精品解析：陕西铜川市耀州区2025-2026学年上学期期末阶段作业九年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末阶段作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 4 B. C. 16 D. 2. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，射线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 将一次函数（为常数，）的图象向上平移4个单位长度得到的一次函数图象经过点，则的值为（ ） A. 7 B. C. D. 3 7. 如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解多项式：_____________． 10. “长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第1个图形用了8根火柴棒，第2个图形用了14根火柴棒，第3个图形用了20根火柴棒，…，则第5个图形需要的火柴棒的根数为_________． 11. 某工厂计划生产一批零件，如果每天生产20个，则比计划时间晚一天完成；如果每天生产25个，则比计划时间早一天完成，则计划生产的天数是_______天． 12. 如图，是的直径，点、在上，且，连接、、，若，则的度数为_____． 13. 已知反比例函数（为常数，）的图象在各象限内，随的增大而增大，则的值可以是_____．（只写一个） 14. 如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组：． 17. 化简：． 18. 如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在和中，，，求证：平分． 20. 某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了A．围棋、B．航模、C．书法、D．阅读四个兴趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽卡片的方式进行选择、抽卡片规则为：将带有这四个兴趣小组图案的不透明卡片背面朝上（四张卡片除正面图案不同外，其余均相同），洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下对应的兴趣小组后放回，洗匀后小阳再随机抽取一张，记下对应的兴趣小组． （1）小明抽到围棋兴趣小组的概率是_________； （2）围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读教室在二楼，请用画树状图或列表的方法求出小明、小阳抽到的兴趣小组不在同一楼层的概率． 21. 如图1是某地的一座单塔双索自锚式混凝土悬索桥实景图．在学习完“利用三角函数测高”知识后，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对该桥上的铁塔高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知铁塔垂直于桥面（即）．测角仪、在两侧．，点与点相距（点，，在同一条直线上），在D处测得铁塔顶点的仰角为，在处测得铁塔顶点的仰角为，，．图中所有的点都在同一平面内．求铁塔的高度．（参考数据：，，） 22. 近海处有一艘渔船正向公海方向行驶，一艘快艇从海岸出发追赶渔船．图中、分别表示快艇、渔船相对于海岸的距离（海里）与快艇追赶的时间（分）之间的关系．根据图象解答下列问题： （1）求的函数解析式； （2）当渔船距离海岸12海里时进入公海，照此速度，快艇能否在渔船进入公海前追上它？请说明理由． 23. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，意义非凡某校为了解本校学生对抗战知识的掌握情况，组织了有关抗战知识的竞答活动，并随机抽取了30名同学的成绩，形成了如下的调查报告： 课题 某校学生对抗战知识掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩/分 频数 组内总分/分 A 5 325 B 7 525 C 950 D 7 660 请根据调查报告，解答下列问题： （1）补全频数直方图，所抽取学生成绩的中位数落在_____组； （2）求所抽取学生成绩的平均分； （3）若该校有1200名学生参加了此次竞答活动，请你估计成绩不低于90分的学生有多少名？ 24. 如图，内接于，是的直径，点是上一点，交的延长线于点，点是上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，点是的中点，求的长． 25. 如图是某林场一处斜坡的截面示意图，其中为该斜坡坡面所在直线．、分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷水装置，喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流呈抛物线状），用于浇灌林场内种植的植物．当喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚处，此时水流最高点到的水平距离为米．已知米，米，米，点在上．以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水流所在抛物线的函数解析式； （2）若在距离喷水装置水平距离为米位置的斜坡上有一棵高为米的小树苗，小树苗与轴垂直，请你通过计算判断喷水装置此次喷出的水流是否会喷到 ． 26. 【问题提出】 （1）如图，点是线段上一点，分别以、为直角边在上方作和，，若，，求的值； 【问题探究】 （2）如图，在中，，点是边的中点，连接，过点作，且，连接、，求证：； 【问题解决】 （3）如图，正方形是某公园的一片空地，现对其进行规划，在边上的点处设立入口，沿修一条小路，在区域种植郁金香，在的中点处修一座观景台，沿修一条小路，再从修一条与小路垂直且相等的小路（与在异侧），在、与围成的区域种植牡丹花．已知，求点到入口的距离．（小路的宽度与观景台的大小忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末阶段作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 4 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据有理数的除法运算计算即可 【详解】解： 故选：B 2. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据左视图是从左面观察几何体得出的平面图形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示的几何体的左视图是， ， 故选：． 3. 如图，，射线交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了邻补角和平行线的性质， 根据邻补角互补求出，再根据两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单项式乘法运算，掌握单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加进行计算是解题的关键． 根据单项式的乘法法则直接求解． 【详解】． 故选：C． 5. 如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过的面积和已知的高，利用面积公式求出的长度，再根据中线性质得到，进而计算出的长． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，解得． 又∵是的中线， ∴． 6. 将一次函数（为常数，）的图象向上平移4个单位长度得到的一次函数图象经过点，则的值为（ ） A. 7 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移规律与待定系数法求参数，先根据“上加下减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再将已知点代入解析式求解k的值． 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移4个单位长度， ∴平移后的一次函数解析式为，即， ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入，得， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过抛物线开口方向、对称轴位置及点A、B的横坐标范围，判断函数值大小及与2的关系，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴开口向上，对称轴， ∵， ∴对称轴满足， ∵点A横坐标满足，点B横坐标满足， ∴， ∴点A在对称轴右侧； 同理， ∴点B在对称轴右侧，函数递增， ∴由，得， 令，解方程，得， 解得：或， ∵， ∴， 当时，， ∵满足，且， ∴， ∵满足， ∴， 综上，， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解多项式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. “长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第1个图形用了8根火柴棒，第2个图形用了14根火柴棒，第3个图形用了20根火柴棒，…，则第5个图形需要的火柴棒的根数为_________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加6是解题的关键． 根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第①个图形需要的火柴棒根数为：； 第②个图形需要的火柴棒根数为：； 第③个图形需要的火柴棒根数为：； …， 所以第n个图形需要的火柴棒根数为个． 当时， 故答案为：32． 11. 某工厂计划生产一批零件，如果每天生产20个，则比计划时间晚一天完成；如果每天生产25个，则比计划时间早一天完成，则计划生产的天数是_______天． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设计划生产的天数为x天，根据总零件数相等列出方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设计划生产的天数为x天． 根据题意，得， 去括号得， 移项得， 合并得， 解得． 故答案为：9． 12. 如图，是的直径，点、在上，且，连接、、，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，则，由，是的直径，可得，从而可得，最后由等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 已知反比例函数（为常数，）的图象在各象限内，随的增大而增大，则的值可以是_____．（只写一个） 【答案】4（答案不唯一，大于3的数均可） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限，且y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，且y随x的增大而增大是解题关键． 根据反比例函数的性质，得，解不等式，再写出符合题意的一个值即可． 【详解】反比例函数的图象在各象限内，y随x的增大而增大， 则比例系数． 解得． 故k的值可以是任何大于3的数，例如4． 故答案为：4（答案不唯一，大于3的数均可）． 14. 如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题的关键． 由四边形是正方形，可得、关于对称，则当、、共线时，的最小值为的长． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴、关于对称， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的最小值为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，零指数幂计算即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别根据解不等式的步骤解两个不等式，找这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 解不等式， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 原不等式组的解集是． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，原式先将括号内的进行通分计算，再把除法转换为乘法约分后即可得到结果 【详解】解： 18. 如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题考查了基本作图——作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，根据作已知线段的垂直平分线的作图方法步骤作图，然后通过等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质即可求解，掌握作已知线段垂直平分线的作图方法是解题的关键． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接，则点即为所求， 理由：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，在和中，，，求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据“”证明，然后由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】证明：在和中， ，，， ， ， 平分． 20. 某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了A．围棋、B．航模、C．书法、D．阅读四个兴趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽卡片的方式进行选择、抽卡片规则为：将带有这四个兴趣小组图案的不透明卡片背面朝上（四张卡片除正面图案不同外，其余均相同），洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下对应的兴趣小组后放回，洗匀后小阳再随机抽取一张，记下对应的兴趣小组． （1）小明抽到围棋兴趣小组的概率是_________； （2）围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读教室在二楼，请用画树状图或列表的方法求出小明、小阳抽到的兴趣小组不在同一楼层的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 ∵开设了围棋、航模、书法、阅读四个兴趣小组， ∴小明抽到围棋兴趣小组的概率是； 【小问2详解】 画树状图如下： 由上图可知共有16种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有6种， （小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层）． 21. 如图1是某地的一座单塔双索自锚式混凝土悬索桥实景图．在学习完“利用三角函数测高”知识后，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对该桥上的铁塔高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知铁塔垂直于桥面（即）．测角仪、在两侧．，点与点相距（点，，在同一条直线上），在D处测得铁塔顶点的仰角为，在处测得铁塔顶点的仰角为，，．图中所有的点都在同一平面内．求铁塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接交于点，则，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：连接交于点，则， 由题意得：，， 设，则， 在中，， ． 在中，， ， ，解得，则， ， 铁塔的高度为． 22. 近海处有一艘渔船正向公海方向行驶，一艘快艇从海岸出发追赶渔船．图中、分别表示快艇、渔船相对于海岸的距离（海里）与快艇追赶的时间（分）之间的关系．根据图象解答下列问题： （1）求的函数解析式； （2）当渔船距离海岸12海里时进入公海，照此速度，快艇能否在渔船进入公海前追上它？请说明理由． 【答案】（1） （2）快艇能在渔船进入公海前追上它．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）设的函数解析式为，将点和代入得出，求解即可得出答案； （2）根据数据，可以计算快艇B的速度，然后计算出快艇B行驶12海里需要的时间，再将代入（1）中的函数解析式，求出相应的t的值，最后比较两个时间即可解答本题． 【小问1详解】 解：（1）设的函数解析式为， 将点和代入上式，得， 解得， 的函数解析式为； 【小问2详解】 快艇能在渔船进入公海前追上它． 理由：由图可得快艇的速度为（海里/分）， （分钟）， 将代入得：， 解得， ， 快艇能在渔船进入公海前追上它． 23. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，意义非凡某校为了解本校学生对抗战知识的掌握情况，组织了有关抗战知识的竞答活动，并随机抽取了30名同学的成绩，形成了如下的调查报告： 课题 某校学生对抗战知识掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩/分 频数 组内总分/分 A 5 325 B 7 525 C 950 D 7 660 请根据调查报告，解答下列问题： （1）补全频数直方图，所抽取学生成绩的中位数落在_____组； （2）求所抽取学生成绩的平均分； （3）若该校有1200名学生参加了此次竞答活动，请你估计成绩不低于90分的学生有多少名？ 【答案】（1）图见解析，（或） （2）82分 （3）280名 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，求个体，中位数，用样本估计总体等相关知识，通过图表获取所需信息是解题关键． （1）用总体减去A，B，D组的人，即可求出C组的人，再根据中位数的定义求解即可； （2）各组总分之和除以总人数即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意知， ∵一共30名同学，从小到大排列后，中位数为第15位和第16位数的平均数， ，， ∴所抽取学生成绩的中位数落在C组（或）． 【小问2详解】 解：， 答：所抽取学生成绩的平均分为82分． 【小问3详解】 解：（名）， 估计成绩不低于90分的学生有280名． 24. 如图，内接于，是的直径，点是上一点，交的延长线于点，点是上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，点是的中点，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ． ， ． ， ， ，则， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的直径定理，直角三角形的性质，圆的切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接，根据垂直得出直角，根据等边对等角以及角的和差得出，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，证明，然后根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，是的直径，点是的中点， ，，，则． ，，由勾股定理得， ． ，， ， ， ． 25. 如图是某林场一处斜坡的截面示意图，其中为该斜坡坡面所在直线．、分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷水装置，喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流呈抛物线状），用于浇灌林场内种植的植物．当喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚处，此时水流最高点到的水平距离为米．已知米，米，米，点在上．以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水流所在抛物线的函数解析式； （2）若在距离喷水装置水平距离为米位置的斜坡上有一棵高为米的小树苗，小树苗与轴垂直，请你通过计算判断喷水装置此次喷出的水流是否会喷到 ． 【答案】（1）或； （2）喷水装置喷出的水流不会喷到小树苗． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． （）由题意可得点的坐标为，水流所在抛物线顶点的横坐标为，然后利用待定系数法求解析式即可； （）先求出直线的函数解析式为，将分别代入和，求出的值，然后作差比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可得点的坐标为，水流所在抛物线顶点的横坐标为，（米）， ∴点的坐标为， 设水流所在抛物线的函数解析式为， 将、代入上式，得， 解得， ∴水流所在抛物线的函数解析式为或； 【小问2详解】 解：由题意可得点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将点、代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴喷水装置喷出的水流不会喷到小树苗． 26. 【问题提出】 （1）如图，点是线段上一点，分别以、为直角边在上方作和，，若，，求的值； 【问题探究】 （2）如图，在中，，点是边的中点，连接，过点作，且，连接、，求证：； 【问题解决】 （3）如图，正方形是某公园的一片空地，现对其进行规划，在边上的点处设立入口，沿修一条小路，在区域种植郁金香，在的中点处修一座观景台，沿修一条小路，再从修一条与小路垂直且相等的小路（与在异侧），在、与围成的区域种植牡丹花．已知，求点到入口的距离．（小路的宽度与观景台的大小忽略不计） 【答案】（）；（）见解析；（）． 【解析】 【分析】（）根据同角的余角相等得出，然后证明，再通过相似三角形的性质即可求解； （）通过直角三角形的性质可得，又，则，故有，，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）由正方形的性质可得，然后证明，所以，由（）可知，以点为圆心，为半径作圆，则点、、、均在上，所以，则，过点作分别交、于点、，则四边形是矩形，所以，，，再由，，则，同理得到，然后由，得，求出即可． 【详解】（）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （）证明：∵，点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴，即， ∴； （）解：由（）可知，则是直角三角形， ∵四边形是正方形，， ∴， 在和Rt中，，， ∴， ∴， 由（）可知，以点为圆心，为半径作圆， 则点、、、均在上， ∴， ∴， 过点作分别交、于点、， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 同理得到， ∵， 解得， ∴点到入口的距离为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，圆周角定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $