第十九章 二次根式 章末复习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）云南专版

第十九章 章末复习 思维导图 ◆··构建知识体系 二次根式 —形如 的式子 概念 (1)被开方数不含 最简二次根式 (2)被开方数中不含 a≥0(a≥0) 性质 (a)2= (a≥0) 次 (a≥0) √a 式 (a<0) 乘法一a·石= (a≥0，b≥0) 运算 团 (a≥0，b>0) 加减法一先将二次根式化简，再将 的二次根式合并 混合运算一类比整式的运算法则进行运算 【考点整合 ◆直击核心要点 考点1二次根式的概念及性质 (2)实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图 1.(红河期末)下列式子中，属于二次根式的是 所示，则化简√(a-b)严-√(c-a)严十 ( |b一c的结果为 A.8 B.√-5 考点2二次根式的运算 店 6.(昆明期未)下列计算正确的是 C.√x2+1 A.√2+3=√5 B.√6÷√3=2 2.当x=一2时，下列二次根式有意义的是 C.2√5-√5=2 D.W3X5=√15 7.计算（√/10+3）235（√10一3）2034的结果是 A.√x-2 B.√Jx-1 A.√10-3 B.√/10+3 C.√x-3.6 D.√/2-x C.-3 D.3 3.(保山期末)下列各式中，是最简二次根式的是 8.(曲靖二模)在一次科技展览会上，机器人利 ( 用编程展示了一组按规律排列的单项式形 A.√0.5 B.4 式信号代码，其单项式依次为：2a,4√2a, 6√5a3,8√4a4,10√5a5,…,则第n个单项 C.5 D.√8 式是 4.化简二次根式√一27a的结果为 A.2n a" B.2n√m+1a" A.-3a√3a B.3a√-3a C.2(n+1)ma” D.2(n-1)√na"-J C.3a 3a D.-3a√J-3a 9已知a+6=4a6=2,则F+√层的值为 5.(1)化简：√（x-3)7-(√x-4)2=; 第十九章二次根式15 10.新定义新趋势对于任意不相等的两个数13.数学文化新趋势海伦一秦九韶公式告诉 a,b,定义一种运算※如下：a※b=√a+石 我们：三角形的三边长分别为a,b,c,记p= a-b' (a十b十c),那么三角形的面积可以表示 1 如5※4= 5干4=3，则(2-3)※(7※5) 5-4 为S=√p(p-a)(-b)(p一c).已知一个 的值为 三角形的三边长分别为7,8,9，那么这个三 11.计算： 角形的面积为 )-6+-, 14.安全教育情境化高空抛物现象曾被称为 “悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的 “头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空 落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来 不及避让，据研究，高空抛物下落的时间 s)和高度h(m)近似满足公式1一√g (共 中g≈9.8m/s2). (1)当h=98时，求下落的时间t.(结果保 留根号) (2)伤害无防护人体只需要65J的动能，高 空抛物动能(J)=10×物体质量(kg)× 高度(m),某质量为0.1kg的玩具在高 空被抛出后经过4s后落在地上，这个 (3)(4+7)4-⑦+(V48-46)÷3. 玩具产生的动能会伤害到楼下的行人 吗？请说明理由. 考点3二次根式的实际应用 12.(教材P12习题T12变式)如图，这是运动 会颁奖台的贴纸，在长方形内绘制三个紧 邻的正方形并标注相应的名次，三个正方 形的面积从左到右依次为3,4,2，将剩余阴 影部分剪掉，则剪掉的面积为 3 A.2√2-2√3+1 B.2√2-23+5 C.2√2+2√3-1 D.22+2√3-5 16数学Ⅱ八年级下册 聚焦课标 ♪·，强化情境任务 15.类比探究新趋势小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： (一)一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 1 √2-1 2-1=2-1 √2+1(2+1)（√2-1） 2-1 1 3-2 =B=巨=5-2. 3+√/2(W3+2)(3-2)3-2 (二)一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： (√3+1)=4+2√3，(5+√3)=8+2√15，（√a+√b)=a+b+2√ab(a≥0，b≥0）； 再根据平方根的定义可得 √4+2√5=3+1，W8+2√I5=5+√3，Wa+b+2√ab=√a+√b(a≥0，b≥0). 请解答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果. ①1 (n为正整数)= √7+√6 ”√2n+1+√2n-1 ②√7-4√5= ;当1≤x≤2时，化简√x-2√c-I- (2)应用：求 1一十 1 1 十…十 的值. 2+1√5+√2'4+√3 √2025+√2024 (3)拓广：求 1 1 1 的值. √4-2√/5 √8-2/15 √12-2√/35 √/16-2√63 提示 请完成阶段微测试（二）[第十九章] 第十九章二次根式17专题一二次根式中常见的化简求值技巧【云南热点·回归教材】 1.解：(1)当x=√5-1时，原式=(W5-1-1)(w5-1+3)=(W5-2)(W5+2)=5-4= 1.(2)原式=a2-7-a2+2a=2a-7.当a=5+1时，原式=2×(w5+1)-7=2√5- 5.(3)当a=√2+1时，原式=(3-2V2)(√2十1)2+(1-√2)（√2+1）=(3-2√2)(2+ 22+1)+(1-2)(1+√2)=(3-2√2)(3+2√2)+(1-√2)(1+√2)=9-8+1-2=0. 2.D3.D4解：由题意，得276≥0解得=3.y=0十0十4=4.(-y)脑 16-2x≥0， =(3-4)2025=(-1)225=-1.5.C6.B7.-2c8.C9.解：(1)：m=5+2V6, n=5-2v6,.m+n=5+2w6+5-26=10,m-n=5+2w6-5+2v6=4w6,∴.m2- n=(m+n)(m-n)=10×4√6=406.(2)m-n=5+26-5+2√6=46，∴.m2 2mm十r=(m-)2=(46)=96.10.解：：x+y=5+2+V3-2 5+②wg-回+5+5-万=5-2+8+反=25，y= √3-2 V3+V② √+√2 -E3+V2/5-=1r+3y+=(x+w+y=(2w3)+1=12+1 1 1 =13.11.解：(1)x=√10-3，x+3=√10.两边平方，得(x+3)2=(√10)，即 x2十6.x十9=10..x2+6x=1..x2+6x一8=1一8=一7.另解：还可采取类型3（二）的 方法，将代数式x2+6.π一8变形为(x+3)2一17，再将x+3=√10整体代入求值. (2)=5,1,2x=5-1.2x+1=5.两边平方，得(2x+1)2=(5)2,即4x2+ 2 4x+1=5..4x2+4x=4,即x2+x=1..x2+3x=x2+x+(2.x+1)-1=1+V5-1=5. 数学活动纸张规格的奥秘 【初步探究】1.411.41√2【验证猜想】解：第一次折叠，得到正方形ABEB,∴.∠B =90°，AB=BE.,.AE=/AB2十BE2=√2AB.第二次折叠，得AD=AE=W2AB. :AD-②AB-√2.即A4纸的长与宽的比值为V2.【进阶问】解：由题意，得A5纸的 ABAB 长为6，宽为受abEa=@弘6：号-6：②-区“A5纸长与宽的比值 2 为反。【类比归纳反减半【拓展探究】【E伸探究】解：由题意，得BM纸的 面积为250×353=88250(mm).B5纸的面积为Sg纸÷2=44125(mm).A4纸的面 积为210X297=62370(mm2).A5纸的面积为SA:÷2=31185(mm2)..S1纸：SA叛 =88250:62370≈1.4≈√2，Ss振：SA纸=44125：31185≈1.4√2.【归纳V2 第十九章章未复习 思维导图 va(a≥0)分母能开得尽平方的因数或因式aa一aVab√合 a 被开方数 相同 考点整合 1.C2.D3.C4.D5.(1)1(2)06.D7.B8.A9.2210.-E+6 4 1.解：1)原式=28-2,5+45-5V5=-.(2)原式=-2×V27×号×哥 ,5 -2V万.(3)原式=4-W+V丽÷5-6÷原=16-7+4-子巨=13 子E.12.D13.12514.解：1)当h=98时4=√28 2×98 =√20=2√5.(2)这个 玩具产生的动能会伤当到棱下的行人理由如下：当：=4时，4解得A=8+ :10×0.1×78.4=78.4>65,∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人. 聚焦课标 15.解：4)0v7-52m+,2m百②2-Vs1-V-(2原式=V2-1+ 2 第4页（共48页） √5-√2+√4-√5+…+√2025-√2024=√/2025-1=45-1=44.(3)原式= 1 1 1 1=5+1-5+E+7+5-+万 3-1√5-√3√7-√5-√7 2 2 2 2 3+1-5-3+万+5-3-五=2=-1， 2 2 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 新知梳理 a2+b2=c2 例题引路 【例1】解：在△ABC中，：∠C=90°，.a2+b2=c2.(1),a=8,b=15,.c=√a2+b= 17.(2),c=25,a=7,.b=√C2-a=24.(3)设a=3.x,则b=4.x..(3.x)2+(4x)2= 402,解得x=8(负值已舍去)..a=24,b=32. 易错典例 【例2】13或/119 基础过关 1.C2.C3.4913 AC BC AB4.D5.B6.解：：CD⊥AB,.∠ADC= ∠BDC=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=√AC-AD=√I72-15=8, .BC=√BD+CD=√(45)2+82=12. 能力提升 7.C8.C9.B10.3611.解：AD⊥BC,∠ADC=∠ADB=90°.∠B=60°， ·∠BAD=30.·BD=号AB=2.在Rt△ADB中，AD=VAB-BD=2V3.在 R△ADC冲，CD=√AC-AD=4.BC=BD+CD=6.△ABC的面积为令BC· AD=63. 思维拓展 12.解：(1)：正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成， AB=c,BE=a,AE=>a,=4X号b十(b-a),整理，得。2+=.(2：直 角三角形ABE的面积为54c=15a6=54d2+6=c=15=225.h=108. .小正方形EFGH的面积为(b-a)2=a2+?-2ab=225-2×108=9,.小正方形 EFGH的边长为3. 第2课时勾股定理在实际生活中的应用 例题引路 【例1】解：连接AM.由题意，得OC=AA'=3m,OM=21m,∴.CM=OM-OC=18m.在 Rt△ACM中，AM=√AC+MC=6√/I0m.,6√I0<20,.云梯的长度足够. 易错典例 【例2V6 基础过关 1.B2.B3.50√34.65.解：CD⊥BD,∠D=90°.在Rt△ADC中，AD= √AC-CD=l0V3m.在Rt△BDC中，BD=√BC-CD=30V3m∴AB=BD-AD =20√3m.答：A,B两个凉亭之间的距离为20√3m. 能力提升 6.A7.2.6m8.解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=4m,BC=12m,.AB= √BC-AC=√122-4平=8√2(m).,工作人员以1m/s的速度收绳，7s后游船移动 到点D处，∴.CD=12-1×7=5(m).在Rt△ACD中，AD=√CD-AC=√5-4= 3(m),∴.BD=AB-AD=(8√2-3)m. 思维拓展 9.解：(1)由题意，得∠ABD=90°.设AB=xm,则AD=（x十2)m.在Rt△ABD中， AB+BD=AD,即x2十82=(x十2)2，解得x=15.答：旗杆的高度AB的长为15m. 第5页（共48页） A'N (2)由(D.得AD=17m,AB=15m,如答图，答图0延长BA至点A,使A=4m 连接A'D,则A'B=A'A+AB=19m.在Rt△A'BD中，A'D=√AB+BD=5√I7 ≈20.6(m).20.6-17=3.6(m).答：绳子至少要加长3.6m. 第3课时利用勾股定理作图与计算 基础过关 1.A2.(-1,0)3.C4.AC5.606.20 能力提升 7.D8.D9.A10.解：连接BD.由题意可知a=AB,b=BC,c=CD,d=AD.在 Rt△ABD和Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=AD+AB=CD+BC,即a+d=b +c.:a+d=12,.b+c=12. 大单元整合练利用勾股定理在数轴上表示实数【回归教材·落实课标】 任务活动1：解：如图， 点E和点F即为所求.任务活 2时。2时 动2：解：在Rt△ABC中，AC=√+17=√2，同理，得AD=√(W2)2+1?=√3，AE= √/(3)2+1=2，AF=√22+1平=√5.由题意知AP=AF=√5.点P表示的数为 一√5.任务活动3：(1)解：如图， 点P即为所求.(2)√5一1 P 32-10123 任务活动4：解：(1)√2一√2(2)①如图③所示. ②如图④， 4. 点A表示-3+√5，点B表示-0.5..-0.5>-3+√5. -4-3-2-1B012 专题二勾股定理中的方程思想【回归教材·云南热点】 1.62.号3解：过点A作ADLBC交BC的延长线于点D.在R△ABD中，由勾股 定理，得AD2=AB2-BD.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2一CD.∴.AB -BD2 =AC2-CD2,202-(7+CD)2=152-CD,..CD=9...AD=AC-CD =12.即点A到BC的距离是12.4.D5.B6.D7.C8.A9.310.1.5m 11.3.7512.解：设木杆断裂处B离地面的高度AB为xm,则BC=(16-x)m.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AB+AC=BC,即x2十82=(16-x)2,解得x=6.答： 木杆断裂处B离地面的高度AB为6m.13.解：设BE=xkm,则CE=BC-BE= (16-x)km.:AB⊥l,DC⊥L,∴.∠ABE=∠DCE=90°..EA2=AB2+BE,ED= CD十CE,,调运站E到A,D两个村庄的距离相等，∴.EA=ED.∴AB十BE=CD +CE,即8+x2=122+(16-x)2,解得x=10.5.∴.BE=10.5km.答：此时调运站E 到村庄B的距离为10.5km. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 基础过关 1.C2.解：(1)，a2=676,b=100,c2=576,.b2+2=a2..此三角形是直角三角形， ∠A是直角.(2)a2=4,b=3,2=7,∴.a2十b=2.∴.此三角形是直角三角形，∠C 是直角.3.证明：根据勾股定理，可得AB=2+2=8,AC2=32+32=18,BC=12 +52=26..'AB十AC2=BC2,.△ABC是直角三角形，∠BAC=90°.∴.AB⊥AC. 4.C5.8 能力提升 6.C7.6和10（或15和17）8.解：(1)根据题意，得AB=√(8-2)+L2-(-1)了 =3√5.(2)根据题意，得CD=√2-(-2)+(3-0)=5，DE= 第6页（共48页）