第二十章 勾股定理 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）云南专版

第二十章综合评价 串产 (时间：120分钟满分：100分) 深电 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.下列各组数中，一定是勾股数的是 A.9,40,41 B.√2，√2,2 C.5,4,√41 D.3k,4k,5k(k为整数) 2.已知直角三角形的一条直角边长为9，斜边长为10，则另一条 直角边长为 ) B.√19 C.19 D.√29 的 A.1 3.如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，其中 批 较小的两个正方形的面积分别为9,16，则正方形A的面积为 ( A.5 B.25 C.27 D.5√2 封 (第3题图) (第5题图) (第6题图) 4.下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是( A.三条边长之比为1：2：3 B.三边长满足a2=b2一c2 C.三条边长之比为1：1：√2 D.三个角满足∠B+∠C=∠A 5.如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池 线 正中央有一根芦苇，高出水面2尺.如果把这根芦苇拉向水池 一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长 部 度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为 A.x2+6=12 B.(12-1)2+62=x2 C.x2+62=(x-2)2 D.(x-2)2+62=x2 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√2，BC=1,分别以点 A,B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D,连接 AD,BD,则△ABD的周长为 ( A.3√3 B.3√5 C.3+√3 D.3√2 第1页（共6页）》 7.如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，以点A为圆心， AB长为半径画弧，交网格线于点D,则DE的长为() A.√5 B.3 C.2 D.√13 (第7题图) (第8题图) (第9题图) 8.如图，小宇将2.6长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面 上，此时梯子底端离屋底1，则梯子顶端与地面的距离是 A.1.5m B.1.6m C.2 m D.2.4m 9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,过点D分 别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.已知DE=3,CD=5, 则CF的长为 ) A.6 B.5 C.4 D.3 10.如图，点A到数轴的距离为1，以点O为圆心，OA长为半径作 弧，弧与数轴的负半轴交于点B,则点B表示的实数是( ) A.√5-2 B.2-√5 C.√5 D.-√5 D 5 m -4-3-2-10123 B (第10题图) (第11题图) (第12题图) 11.如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，则四边形ABCD的面积是 A.72 B.66 C.42 D.36 12.如图，在一个高为3m,长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯 的长度最少为 ) A.4m B.5 m C.7 m D.8 m 13.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折 叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则△ABE的面积为( A.3 cm B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 E B D (第13题图) (第14题图) (第15题图)》 14.如图，在△ABC中，BC=2BD,AD=3,AC=2√10，∠BAD= 90°，则AB的长为 A.3 B.2√2 C.2 D.√3 第2页（共6页） 15.如图，若圆柱的底面周长是12cm,高是5cm,从圆柱底部A 处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长 度是 ( A.5 cm B.10 cm C.13 cm D.17 cm 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分， 16.在平面直角坐标系中，点P(一1,3)到原点的距离是 17.如图，∠BAC=90°，AB=AC=4,BD=7,CD=9,则∠ABD 的度数是 D D (第17题图)（第18题图） (第19题图) 18.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2,点D在边BC上， ∠ADC=2∠B,AD=√5，则BC的长为 19.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门 去阃(kǔ)一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是：如图，推开 两扇门(AD和BC),门边缘D,C两点到门槛AB的距离为 1尺(1尺=10寸)，两扇门间的缝隙CD为2寸，AD=BC= AO=BO,那么门的宽度(AB的长)为 寸 三、解答题：本题共8小题，共62分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤， 20.(7分)如图，在△ABC中，AB=13cm,BC=10cm,中线 AD=12cm.求证：△ABC是等腰三角形. 21.(6分)如图，在△ABC中，AB=12,AC=10,BC边上的高 AD=8,求BC的长. D 第3页（共6页） 22.(7分)如图，一棵垂直于地面且高度为12m的大树被大风吹 折，折断处A与地面的距离AC=4,树梢顶端B恰好碰到 地面.在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD= 7,树枝落地时是否会砸到小轿车？请说明理由. 23.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=16,D是BC的 中点，E是线段BD上一点，连接AD,AE,AE⊥AC,求DE 的长 24.(8分)如图，某船从港口A出发，沿南偏东32°方向航行 l5 n mile到达B岛，然后沿某方向航行20 n mile到达C岛， 最后沿某方向航行了25 n mile回到港口A. (1)判断△ABC的形状. (2)该船从B岛出发到C岛是沿哪个方向航行的？请说明 理由. 东 北 B东 第4页（共6页） 25.(8分)某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的 实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地 测量，测量结果如下表 主题 测量学校旗杆的高度 步骤一：如图①，线段MN表示旗杆，MN 垂直地面于点V.将系在旗杆顶端的绳子 垂直到地面，多出了一段VE,用皮尺测出 N E NE的长度 图① 测量 步骤二：如图②，小丽同学将绳子末端放置 过程 于头顶A处，向正东方向水平移动，直到 绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面 点B处.用皮尺测出点A与，点B之间的距 W B 离及小丽此时距旗杆底端的水平距离 图② 测量 绳子垂到地面多出的部分NE=0.5m,小丽此时距旗杆底端的 数据 水平距离BN=6m,小丽的身高AB=1.5m 请根据表格所给信息，解答下列问题： (1)直接写出线段MN与AM之间的数量关系； (2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN 的高度 26.(8分)【阅读材料】 勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，在对它的证明 方法中很多都用到了出入相补原理，即把一个平面图形从一 处移至它处，面积不变，如果把图形分割成几块，那么各部分 面积之和等于原来图形的面积. 【解决问题】 小红用硬纸板做成了如图①所示的两个全等的直角三角形 (两直角边的长分别为a和b,斜边长为c)和一个以c为直角 边的等腰直角三角形，然后把它们拼成了如图②所示的一个 直角梯形 (1)请你根据小红的操作，利用下面的图形证明勾股定理； (2)如果a=7cm,b=24cm,求△ADE的面积 第5页（共6页） 作入 肉个 图② 27.(12分)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，直角边AC在 射线OP上，直角顶点C与射线端点O重合，AC=b,BC=a, 且满足√b-8+|a-6=0. (1)a= ,b= (2)如图②，向右匀速移动Rt△ABC,在移动的过程中， Rt△ABC的直角边AC始终在射线OP上，移动的速度 为每秒1个单位长度，移动的时间为ts,连接OB. ①Rt△ABC在移动的过程中，能否使△OAB为直角三角 形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由 ②若△OAB为等腰三角形，求t的值. B →向右移动 O(C) A 图① 图② 第6页（共6页）10)+(10-10)2+(12-10)2=8,2+8=10:第三种：{2,4,81，{10,121.：2+4+8 3 =兰则(2-岁)+(4-学)'+(8当)’-9,102-1，则0-1+12 32 1)=2+2-号，第四种：2,48,10,12.2+4+8+10-6则(2-6>+4 4 -6)2+(8-6)2+(10-6)2=40.(12-12)2=0,40+0=40.10<62<35<40, 3 第二种组内离差平方和最小.分成的两组是{2,4}，{8,10,12. 能力提升 5.C6.解：(1)0.3733(2)对.理由如下：将6个数据由小到大排序：7.4,7.5,7.7， 8.3,8.8,9.1.第一种：{7.4}，{7.5,7.7,8.3,8.8,9.1.组内离差平方和为1.888；第二 种：{7.4,7.5}，{7.7,8.3,8.8,9.1}.组内离差平方和为1.1325：第三种：{7.4,7.5， 7.7,{8.3,8.8,9.1}.组内离差平方和为0.3733；第四种：{7.4,7.5,7.7,8.3}，{8.8， 9.1.组内离差平方和为0.5325；第五种：{7.4,7.5,7.7,8.3,8.8}，{9.1}.组内离差平 方和为1.412；0.3733<0.5325<1.1325<1.412<1.888，.第三种：{7.4,7.5， 7.7},{8.3,8.8,9.1}组内离差平方和最小，即组内水平差距最小. 思维拓展 7.解：(1)858070(2)七年级学生掌握春节文化知识较好.理由如下：七年级和八 年级学生成绩的平均数相同，但七年级学生成绩的方差小于八年级学生成绩的方差， 所以七年级学生掌握春节文化知识较好.（答案不唯一，合理即可）(3)将75,80,85,85， 100分成三组，有以下6种情况. 第一组 第二组 第三组 组内离差平方和 75 80 85,85,100 150 75 80,85 85,100 125 75 80,85,85 100 16.7 75,80 85 85,100 125 75,80 85,85 100 12.5 75,80,85 85 100 50 由表可知，当分成的三组分别为{75,80，{85,85}，{100}时，组内离差平方和最小 新趋势提能练新情境·新题型·新思维【落实课标】 1.解：(1)同意去掉最高分和最低分，减少极端值对平均数的影响(2)I,x= .2+7.5+7.8+7.5=7.5,,=8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.4=8.4,根据“方案 4 6 三”中f1=0.6评分时，该甜玉米种子每公顷平均产量为7.5×0.6十8.4×(1-0.6)= 7.86.Ⅱ.②③2.解：(1)小茗同学计算平均数的方法不恰当.因为对于三家饭店星级 评价的人数不同，直接计算简单算术平均数会导致结果偏差，此时应使用加权平均数， 以评价人数为权重进行计算（合理即可），(2)①饭店应从服务这方面提升，理由：三项 打分中，环境和口味打分的众数都为5分，大于服务打分的众数4.5分，所以该饭店应 从服务这方面提升.（答案不唯一，合理即可）.②x日味= 3,5+5+5+4+3t4+5+5+455-4.4(分)m=0×[(3.5-44P+5×(6- 10 4.4)2十2×(4-4.4)2十(3-4.4)2十(4.5-4.4)2]=0.49.0.3<0.49，.环境打分 的分数比较稳定王老师的说法正确。 第二十四章章末复习 思维导图 中间最多大小 考点整合 1.C2.D3.D4.45.46.解：(1)1.4kg1.5kg(2)元= 1.2×2+1,3×4+1.4×5+1.5×6+1.6X2+1.7=1.425(kg).答：这20条鱼质量的 20 平均数为1.425kg.(3)20×1.425×2000×90%=51300(元).答：估计王大伯近期售 完鱼塘里的这种鱼可收入51300元.7.A8.B9.乙10.B11.C12.(1)0.5 4.75.24.726.7(2){12,13}和{15,16,18} 聚焦课标 13.解：(1)3.71.91(2)乙(3)11÷5.6≈1.96，.这片树叶更可能来自于荔枝树： 第28页（共48页） 综合评价答案 第十九章综合评价 1.C2.B3.A4.B5.B6.C7.C8.B9.D10.C11.C12.C13.C 14.C15.A16.√617.<18.x>-2√5-419.420.解：原式=/16-√6+ 26=4+6.21.解：)-(2)原式=2+2+1-√月-2+22+1-2-3 2 +号.22.解x+y-5+1+5-1-2,2-y=-5+1-5+1-2.①)r+2y+ y2=(x十y)2=(23)=12.(2)x2-y2=(x十y)(x-y)=23×2=43.23.解：根 据题意，得宇面飞船内经过60×√厂()=205(。24，解：1-反 (2)(x-√2)+(x-1)2=(1-√2-√2)2+(1-√2-1)2=(1-2√2)+(-√2)2=1 4√2+8十2=11-4√2.25.解：(1)-13-√2(2)m与4-√3是关于3的“实验 数”.理由如下：：m十4-√3=(1十√3)(2-√5)十4-√3=2-√3+23-3十4-3=3， ∴m与4一√5是关于3的“实验数”，26.解：(1)裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的 面积为(10-2×√3)=100-40√3+12=112-40√3(dm).(2)四个直角处的小正方 形的边长为号(10-4②)=5-2E(dm),无盖长方体铁箱的底面的一边长为4V巨dm, 另一边长为号[20-4，厅-2×6-2②]=5(dm,裁期焊接成的-个无盖长方体 铁箱的体积为5×4√2×(5-2√2)=100√2-80(dm3).(3)欣欣27.解：(1)原式= 源9@原武司 2十3 3+2 =2十3十+2 (2-√3)(2十√3)'(W5-√2)(3+√2) =2+2√3十√/2.(3)√/2026-√2025<√/2025-√/2024.理由如下：√/2026- √/2025=- 2026+V√2025'V202两-V2024= 1 1 :w√/2026+ √/2025+√2024 1 V202>V202西+V202>0.∴/2026+/202/225+/22，即V202晒 -/2025</2025-√2024. 第二十章综合评价 1.A2.B3.B4.A5.D6.A7.A8.D9.C10.D11.D12.C13.C 14.C15.C16.√/1017.45°18.√5+119.10120.证明：AD为△ABC的中 线BD=CD=号BC=号X10=5(cm).:BD+AD=5+12=169,AB=132= 169,BD+AD=AB.∴.△ABD为直角三角形.AD⊥BD.:D是BC的中点， .AD垂直平分BC.∴.AB=AC..△ABC是等腰三角形.21.解：：AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中，BD=√JAB-AD=I2-8=4√5.在 Rt△ACD中，CD=/AC-AD=102-8=6.∴.BC=BD+CD=4√5+6. 22.解：树枝落地时不会砸到小轿车，理由如下：由题意可知∠ACB=90°，∴·△ABC为直角 三角形.在Rt△ABC中，AC=4m,AB=12-4=8(m),由勾股定理，得BC=√AB-AC =4√5m.:4√3<7，.CD>BC..树枝落地时不会砸到小轿车，23.解：：AB= AC,D是BC的中点BD=CD=BC=8,ADLBC..∴AD=VAC-CD=6,CE =DE+CD=DE+8.:AE⊥AC,∴.∠EAC=90°.：在Rt△ACE中，AE=CE-AC =(DE+8)2-102,在Rt△ADE中，AE=AD+DE=62+DE,∴.(DE+8)2-10 =62+DE.∴.DE=4.5,24.解：(1)由题意，得AB=15 n mile,BC=20 n mile, AC=25 n mile.152+202=252,.AB2+BC=AC.∴.△ABC为直角三角形，且 ∠ABC=90°.(2)该船从B岛出发到C岛是沿南偏西58°方向航行的.理由如下：由题 意，得∠BAD=32°，∠ADB=90°，∴.∠ABD=90°-∠BAD=58°.∴∠CBD=∠ABC 第29页（共48页） -∠ABD=32°..∠CBE=90°-∠CBD=58°.∴.该船从B岛出发到C岛是沿南偏西 58°方向航行的，25.解：(1)MN=AM-0.5.(2)过点A作AC⊥MN于点C.由题意， 得CV=AB=1.5m,AC=BN=6m.设AM=xm,则MV=(x-0.5)m,CM=MV一 CN=x-0.5-1.5=(x-2)m.在Rt△ACM中，由勾股定理，得AC2十CM=AM,即 62十(x-2)2=x2,解得x=10.∴.AM=10m..MN=AM-0.5=9.5m.答：学校旗杆 MN的商度为9,5m26,解，1：S0um=Sac+Sot十Saew=学+空+号 Sem=B+CD·BC=a+ba+D=+2g+,即空+空+专 。+2ab+,.a+=2.(2):△ABE是直角三角形，a=7cm,b=24cm,心由勾股 2 定理，得c=a+8=7+24=625.SaE=合=号×625-25(cm). 2 27.解：(1)68(2)①能.由题意，得OC=t,∠OCB=90°.由(1)知AC=8,BC=6, .OA=OC+AC=t+8,OB=OC+BC=+6,AB=AC+BC=100.当△OAB为直 角三角形时，∠0BA=90.∴.0B+AB=0A,即+62+100=(1+8)，解得t=之 9 “能使△OAB为直角三角形，此时1=号.②△OAB为等腰三角形，分以下三种情况讨 论：当OB=AB时，易得OC=AC,即t=8;当OA=AB时，t十8=10，解得t=2:当OB =0A时，+6=（十8），解得1=一子（不合题意，舍去）.综上所述，当△0AB为等 腰三角形时，t的值为2或8. 第二十一章综合评价 1.A2.B3.A4.D5.C6.D7.B8.C9.A10.B11.D12.A13.A 14.A15.D16.不稳定17.AB=BC(答案不唯一)18.25°19.(42-1) 20.解：设这个多边形的边数为元根据题意，得180(1一2)×子=360十90，解得1=12。 答：这个多边形的边数为12.21，证明：DE=DC,∴.∠DEC=∠C.∠B=∠C, .∠DEC=∠B.AB∥DE.又：AD∥BC,四边形ABED是平行四边形.∴AD= BE.22.证明：：四边形ABCD是菱形，∴.AB=CB,∠A=∠C,AD=CD.由作图可 知DE=DF,.AD-DE=CD-DF,即AE=CF.在△ABE和△CBF中， AB=CB, ∠A=∠C,∴.△ABE≌△CBF(SAS)..BE=BF.23.(1)证明：.四边形ABCD是 AE=CF, 平行四边形，.AD∥BC,AD=BC.∴.∠D=∠ECF.在△ADE和△FCE中， ∠D=∠ECF, DE=CE, .△ADE≌△FCE(ASA).(2)解：.△ADE≌△FCE,.AD=FC. ∠AED=∠FEC, .'AD=BC,.'FC=BC..BF=BC+FC=2BC..'AB=2BC,.'.AB=FB.../BAF= ∠F=36°.∠B=180°-∠F-∠BAF=108°，24.解：答案不唯一，如：(1)AB=BC (2),AB=BC,BF为AC边上的中线，.BF⊥AC..∠BFC=90.:四边形BECF为 平行四边形，∴四边形BECF为矩形.：∠ABC=90°，BF为AC边上的中线，∴.BF=CF =号AC“四边形BECF为正方形.25，解：任务-：答案不唯-，如：1)@(2)四 边形ABCD是平行四边形AC=BD任务二：·四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC, AC=2AO.BE=BC,.AB是CE的垂直平分线..AE=AC..AE=2AO.26.解： (1)小明的说法是正确的.理由如下：四边形ABCD是矩形，∴.AB∥CD.,CG∥AF, .四边形AFCG是平行四边形.，AB∥CD,∴·∠FCA=∠GAC.由折叠的性质，得 ∠GAC=∠FAC,∴.∠FCA=∠FAC.∴.FC=FA..四边形AFCG是菱形.(2)：四边 形ABCD是矩形，.∠B=90.由折叠的性质，得∠E=∠B=90°.由(1)知∠FAC=∠FCA= ∠CAB=28°.∠ECF=90°-∠FAC-∠FCA=34°.27.解：(1)四边形BEFE是 正方形.理由如下：由旋转的性质，得∠E=∠AEB=90°，BE=BE,∠EBE=90°，又 第30页（共48页）