专题01 导数的切线方程6种重点题型归类（压轴题专项训练）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题01 导数的切线方程 目录 典例详解 类型一、在一点处的切线方程 类型二、过一点的切线方程 类型三、公切线问题 类型四、已知切线求参数 类型五、切线与最值问题 压轴专练 类型一、在一点处的切线方程 求曲线在某点处的切线方程的步骤 例1．已知，则在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求出，将代入，解出，利用导数的几何意义求出即为切线的斜率，将代入，求出即为切点的纵坐标，利用点斜式得到切线方程. 【详解】由，得，令，则，解得，所以， 所以在处的切线方程的斜率为， 又， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 变式1-1．(25-26高二·陕西神木中学·期末)设函数，则曲线在，处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为： 变式1-2．(25-26高二·福建福州第一中学·)已知曲线在处的切线方程为，则 ． 【答案】1 【分析】利用切线过点求，求导，利用导数的几何意义求，进而合并求解． 【详解】点在切线上，即， ， 点处的切线为，则斜率为1，函数求导得， ， ． 故答案为：1． 变式1-3． (25-26高二上·山东泰安·期末)已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明：（1）中直线与函数的图象也相切. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出切线的斜率和切点坐标即得解； （2）设切点，求解此点处的切线，计算得证直线与函数图象相切； 【详解】（1）由题意知，，∴切线的斜率为1 ∴切线方程为 （2）设为函数图象上一点 令点处切线斜率为1，则， 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，不符合题意 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，即直线 ∴直线与函数的图象相切 类型二、过一点的切线方程 过点“P”处的切线： (1)过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． (2)过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤 ①设切点为Q(x0，y0)； ②求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； ③利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)； ④根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 例2．函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C 变式2-1．(24-25高二下·江西吉安·期末)已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 变式2-2．(24-25高二下·河南百师联盟·)已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得，根据题意，得到，且 ，列出方程组，即可求得的值，得到答案； （2）由（1）得到，求得，设切点为，得到切线方程为，将点代入切线方程，求得的值，进而求得切线方程. 【详解】（1）解：由函数，其中，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 可得，且，即， 解得. （2）解：由（1）知，，可得， 设切点为，则切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 解得或，所以切点为或， 此时，曲线过点的切线方程为或. 变式2-3．(23-24高二下·福建泉州安溪铭选中学·)已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【详解】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 类型三、公切线问题 例3．(24-25高二下·广东深圳高级中学·期中)已知和有公共切线，切点分别为，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若点，则始终为钝角 D． 【答案】D 【分析】通过对和求导，根据导数几何意义，可求得切线方程，通过斜率和截距相等建立方程，可求得的关系，逐项代入化简，即可求得正确答案. 【详解】设公切线的斜率为， 由得，又切点为，则，， 所以切线方程为，即， 又得，切点为，则，， 所以切线方程为，即， 又直线是和的公切线， 所以，整理得，， 当时，经验证，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，， 则， 当时，；当时，， 又，所以，所以始终为钝角，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D. 变式3-1．(24-25高二下·云南丽江第一高级中学·月考)已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设切点，再根据导数几何意义列等量关系，解出切点，即得切线方程. 【详解】设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即， 设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即 ∴，解得，或，， 则直线的方程：或．所以满足条件的直线有2条． 故选：C. 变式3-2．(23-24高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知直线是曲线与的公切线，则 ． 【答案】1 【分析】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在轴上的截距相等即可求解. 【详解】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故， 解得 ， 故 故答案为：1 变式3-3．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 类型四、已知切线求参数 例4．(25-26高二上·云南昭通直中学·月考)已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再设出切点为，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 变式4-1．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设切点为，再根据切点在曲线与切线上，以及导数的几何意义可得，最后根据函数的单调性以及即可得解. 【详解】因为， 所以， 设直线与曲线的切点为， 所以， 所以，且， 令函数，， 因为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 变式4-2．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)已知直线为的一条切线，将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位后仍与直线相切，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】由题意知的一条切线的斜率为，根据导数的几何意义求得切点，进而求得切线方程，即可求得. 【详解】由得 由题意，直线的斜率为，则，解得. ∴，∴切点为 ∴切线方程为，即. 所以， . 故选：B. 变式4-3．(25-26高二上·湖南岳阳平江县颐华学校·)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程 (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解切线方程； （2）先求出曲线在点处的切线，然后设该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和题干已知条件列出方程即可求解. 【详解】（1），则， 则函数在点处的切线为，即. （2）， 在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为，则， 故切线为，即， 即，解得. 类型五、切线与最值问题 例5．(25-26高二上·江苏南京第十三中学·期末)函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行的切线，切线到直线的距离即为最小距离. 【详解】，令，即， 令，，恒成立， 故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点， 令，，即切点横坐标为， 代入，切点坐标为，切线方程为：， 切线与直线之间的距离. 故选：C 变式5-1．(24-25高二下·江西赣州十八县（）二十五校·期中)函数图象上一点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数形结合，得出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点处即为到直线的距离最小的点，所以结合导数表示出过点的切线方程，在结合斜率相等求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为． 因为，所以，解得，则切点坐标为． 最短距离为点到直线的距离，即． 故选：C 变式5-2．(22-23高二下·四川广安友实学校·期中)若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离是 . 【答案】 【分析】求出斜率为1且与曲线相切的直线的方程，再根据两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】解：设斜率为的直线与曲线相切于点， 因为， 所以， 令， 解得， 所以， 所以切线的方程为：， 所以要求点到直线的最小距离， 即求切线到直线的距离， 由两平行线间的距离公式可得, 所以点到直线的最小距离是. 故答案为： 变式5-3．(23-24高二下·湖北孝感方子高级中学·月考)已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，根据和，求函数的解析式； （2）根据，在点处的切线与直线平行，转化为点到直线的距离. 【详解】（1）由，可得， ∴，∴， 又，故，， 可知函数的解析式为． （2）由（1）可知， 函数图象上的点到直线的距离的最小值，满足点到直线的距离， 可得． 1．(24-25高二下·广东东莞东莞中学松山湖学校·)已知函数，则在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据分段函数的定义求出，再求出时对应的表达式，然后求导由点斜式可得. 【详解】由题意可得， 当时，，此时， 所以， 求导可得， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：D. 2．(24-25高二下·江西赣州·期末)已知l是函数的切线且斜率为2，则与圆有公共点的切线l的条数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用导数求得切线方程，利用直线与圆的位置关系列出切线与圆有公共点的条件，进行求解分析，得到答案. 【详解】,解得,或, 切线方程为或， 与圆有公共点的条件是或， 即或， 即即（1）或（2）， 其中, 由（1）得,由（2）得, 共有10条切线满足题意， 故选：C. 3．(24-25高二上·河北保定·期末)已知函数，若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程有且仅有一个实数根转化为两个函数和只有一个交点的问题，然后通过求在处的切线斜率，结合函数图象来确定的取值范围. 【详解】已知在上有且仅有一个实数根，可化为. 方程有且仅有一个实数根，等价于函数和的图象在上只有一个交点. . 将代入到导数中，可得，即在处的切线的斜率为. 直线恒过原点. 为了使和在上只有一个交点，结合函数图象可知，当直线的斜率满足或时满足条件. 解不等式，可得；解不等式，可得. 所以的取值范围是.     故选：A. 4．(21-22高二上·山西太原·期末)已知曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，则实数（    ） A．2 B．0或2 C． D．或0 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求切线方程，根据切线与有一个公共点，讨论、判断公共点的个数，即可得a值. 【详解】由，则，而， ∴处的切线方程为，即. 又与有一个公共点， ∴，整理得， 当时，，可得， 当时，显然只有一个解，符合题设； ∴或. 故选：D. 5．(23-24高二上·福建福州六校·期末)已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用导数的定义即可得到，再由导数的几何意义即可得出结果. 【详解】由，得到， 由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为， 即， 故选：D. 6．(21-22高二上·贵州黔东南镇远县文德民族中学校·期末)已知曲线在处的切线过点，其中，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义，利用斜率建立方程，求解，即可求切线方程. 【详解】，，， 所以，解得：， 即， 所以直线的方程为，即. 故选：B 7．(25-26高二上·山东泰安新泰中学·期末)函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 8．(23-24高二下·广西玉林·期末)已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数，记为的导函数，若，则在点处的切线一般式方程为 . 【答案】. 【分析】根据函数奇偶性，得，从而求得函数的的周期为12，所以，得到切点坐标，再根据，求出切线斜率，进而可得切线方程. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以①，且为奇函数，， 所以②，由①②可得， 即的周期为12，且，所以， 又，，得， 所以在点处的切线方程为：，即. 故答案为：. 9．(22-23高二下·河南焦作第一中学·期末)已知抛物线在其上点处的切线斜率之和为 2 ， 则直线的倾斜角等于 【答案】/ 【分析】设直线的方程为，联立方程组，得到，在求得，利用导数的几何意义，得到在点处的切线斜率分别为，结合题意，求得，进而求得直线的倾斜角. 【详解】设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，且， 又由，可得，可得， 所以在点处的切线斜率分别为，可得， 即，可得，解得， 设直线的倾斜角为，且，可得，所以. 故答案为：. 10．(23-24高二上·福建福州第一中学·)已知函数，且． (1)求的值； (2)设，求过点的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求解参数即可. （2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可. 【详解】（1）定义域为，， 而，而已知，可得， 解得，故的值为， （2），设切点为，设切线斜率为， 而，故切线方程为， 将代入方程中，可得，解得(负根舍去)， 故切线方程为， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01导数的切线方程 目录 典例详解 类型一、在一点处的切线方程 类型二、过一点的切线方程 类型三、公切线问题 类型四、已知切线求参数 类型五、切线与最值问题 压轴专练 典例详解 类型一、在一点处的切线方程 求曲线在某点处的切线方程的步骤 求斜率一求出曲线在点(，f(x)》处切线的斜率∫'(x) 写方程一用点斜式y-f(x)=f'(x)(x-)写出切线方程 变形 将点斜式变为一般式 例1.已知f(x)=f(背)sinx-cosx,则f(x)在x=受处的切线方程为， 变式1-1.(25-26高二陕西神木中学.期末)设函数f(x)=x·2-(x2-1)1n2-2,则曲线y=f(x)在 x=1,处的切线方程为】 变式1-2.(25-26高二福建福州第一中学)已知曲线f(x)=警+b在(0，f(0))处的切线方程为y=x, 则a十b= 变式1-3.25-26高二上山东泰安期末)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x3-2x-3· (1)求函数f(x)的图象在点(1,0)处的切线1的方程； (2)证明：(1)中直线1与函数g(x)的图象也相切. 类型二、过一点的切线方程 1/5 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过点“P”处的切线： (1)过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点. (2)过曲线外的点P(x1,y)求曲线的切线方程的步骤 ①设切点为Q(xo,); ②求出函数y=f(x)在点x处的导数f'(xo): ③利用Q在曲线上和f'(xo)=ko,解出xo,yo及f'(xo): ④根据直线的点斜式方程，得切线方程为y一o=f(x)(x一xo). 例2.函数f(x)=4 xsinxcosx过原点的切线条数为（) A.1 B.2 C.3 D.4 变式2-1.(24-25高二下江西吉安期末)已知过原点的直线！与函数f(x)=lx+1的图像相切，则直线] 的方程为 变式2-2.(24-25高二下河南百师联盟.已知f(x)=nx+x2-3b,曲线y=f(x)在点(e,f(e)处 的切线方程为y=2型x-e2+1 (1)求实数a,b的值； 2)若g(x)=最x3.4b,求曲线y=g(x)过点(2,4)的切线方程. 变式2-3.(23-24高二下福建泉州安溪铭选中学已知函数f(x)=ax+x2-3b:曲线y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线方程为2x+y=0. (1)求实数a,b的值； 2)若曲线C:y=-是x3+4b,求曲线C过点(2,4)的切线方程. 类型三、公切线问题 例3.(24-25高二下广东深圳高级中学期中)已知f(x)=m(ex)和g(x)=ex+1有公共切线，切点分 别为P(xy)小Q(x3y2),则下列结论不正确的是（） A.X1V2-X1=1 8.x+授=0 2/5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.若点A(0,1),则∠PAQ始终为钝角D.2十=0 变式3-1.(24-25高二下·云南丽江第一高级中学·月考)已知函数f(x)=ex+1(e为自然对数的底数)， g(x)=nx+3,直线慨与f(x)相切又与g(x)相切，则直线的方程是（) A.y=x+1 B.y=-x+2 C.y=ex+1或y=x+2 D.y=x+2或y=x+1 变式3-2.(23-24高二下湖北武汉新洲区·期中)已知直线y=kx+b是曲线f(x)=x1与 g(x)=ex+2023-2024的公切线，则k=一 变式3-3.若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=1nx+1)+a的切线，则a= 类型四、己知切线求参数 例4.(25-26高二上·云南昭通直中学·月考)已知直线y=x是曲线f(x)=lx+a的切线，则切点的横坐标 为() A.-1 B.1 c.-2 D.2 变式4-1.(24-25高二下浙江台州：期末已知直线y=a(x-1)与曲线y=lnx相切，则实数a的值为（） A.吉 B. C.1 D.2 变式4-2.(24-25高二下.重庆南开中学，期中)已知直线y=kx+m为f(x)=e的一条切线，将 y-f(x)的图象向右平移e个单位，向上平移1个单位后仍与直线！相切，则km=（) A.1 B.是 C.0 D.号 变式4-3.(25-26高二上湖南岳阳平江县颐华学校：知函数f(x)=lnxg(x)=1-景(x>0,a∈R) (1)求曲线y=f(x)在点P(1,0)处的切线方程 (2)若曲线y=f(x)在点P(1,0)处的切线方程与曲线y=g(x)也相切，求a的值. 3/5 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、切线与最值问题 例5.(25-26高二上江苏南京第十三中学·期末)函数f(x)=各的图象上的点到直线x-y+2=0的距离的 最小值为() A号 B.1 c.v D.22 变式5-1.(24-25高二下-江西赣州十八县()二十五校：期中)函数f(x)=1x图象上一点P到直线y=等 的最短距离为() A.反 B. 2 c D.5(22n2 5 变式5-2.(22-23高二下四川广安友实学校期中)若点P是曲线y=x2-1nx上的任意一点，则点P到直线 y=x-2的最小距离是 变式5-3.(23-24高二下.湖北孝感方子高级中学·月考)已知函数f(x)=alx+x+b的图象在点 (1,f(1))处的切线方程为4x-y-1=0. (1)求函数f(x)的解析式： (2)求函数f(x)图象上的点到直线4x-y+10=0的距离的最小值. 压轴专练 124有=下了车车笑东装十学山学妆已数付-{2：X82+网·烟r()在 x2-3x,x∈[0,2] 点(3，f(3))处的切线方程为() A.8x+y-40=0 B.2x+y-10=0 C.2x-y-10=0 D.2x+y-2=0 2.(24-25高二下.江西赣州，期末)已知1是函数y=tanx的切线且斜率为2，则与圆x2+y2=有公共点 的切线1的条数为() A.6 B.8 C.10 D.12 3.(24-25高二上河北保定期末)已知函数fx=ax-sinx,若方程fx)-x=0在(-2,2m)上有且仅有 4/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一个实数根，则a的取值范围为() A.(-∞，1]U[3,+∞) B.[3,+∞) c.(-m,1]D.[1,] 4.(21-22高二上山西太原期末)已知曲线fx)=2x-lnx在点(1，f(1)处的切线与曲线 (x)=ax2+(a-1)x-1有且只有一个公共点，则实数a=() A.2 B.0或2 C.-2 D.-2或0 f(2-f(2+Ax) 5.(23-24高二上·福建福州六校期末)已知函数f(x)在R上可导，且满足 =1,则函数 y=f(x)在点(2,1)处的切线的方程为() A.y=x-1 B.y=-x-1 C.y=x+3 D.y=-x+3 6.(21-22高二上贵州黔东南镇远县文德民族中学校期末)己知曲线f(x)=x2-ax+在x=0处的切线！ 过点(3，-a),其中aER,则直线1方程为() A.y=-2x+1B.y=-X+1 C.y=x+1 D.y=2x+1 7.(25-26高二上山东泰安新泰中学期末)函数f(x)=(x-1)ex,过点A(a,0),a∈R,可以作函数 f(x)的两条切线，求实数a的取值范围一 8.(23-24高二下广西玉林期末)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f3x+3)为奇函数，记f(x)为 fx)的导函数，若f(3)=1,则y=f(x)在点(-9，f(-9刃)处的切线一般式方程为 9.(22-23高二下.河南焦作第一中学期末)已知抛物线y=x2在其上点AB处的切线斜率之和为2，则 直线AB的倾斜角等于■ 10.(23-24高二上福建福州第一中学)已知函数fx)=lnx+ax(a∈R),且f(1)=4. (1)求a的值； (2)设g(x)=f(x-lnx-x,求y=g(x)过点(1,0)的切线方程. 5/5