1.1.3 导数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

1.1.3　导数的几何意义 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.会求简单函数的导函数. 2.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 　　导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数即为曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k=f'(x0).此时曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).如果切线的倾斜角为α,则tan α=f'(x0). (2)若函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数不存在,表明曲线在该点处有切线,且切线与x轴垂直或曲线在该点处无切线. 题型(一)　利用导数的几何意义判断函数的图象变化 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]内单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]内的图象可能是 (　　) 解析:选A　函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在[a,b]内单调递增,由导数的几何意义可知,曲线y=f(x)在区间[a,b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的,只有A选项符合. 　　|思|维|建|模| (1)曲线f(x)在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值,从而得出在x=x0附近曲线是上升的;f'(x0)<0说明在x=x0附近曲线是下降的. (2)曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢. 　　[针对训练] 1.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系正确的是 (　　) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3) C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3) 解析:选C　kAB==f(3)-f(2),f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2,f(2))处的切线的斜率,f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3,f(3))处的切线的斜率,根据图象可知0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2). 题型(二)　利用导数的几何意义求解切线问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 题点1　求切线方程 [例2]　已知曲线y=x3+,求曲线在点P(2,4)处的切线方程. 解:∵P(2,4)在曲线y=x3+上, ∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为 k= = =4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 　　[变式拓展] 1.本例条件不变,求曲线过点P(2,4)的切线方程. 解:设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为k= =, ∴切线方程为y-=(x-x0), 即y=x-+. ∵点P(2,4)在切线上, ∴4=2-+,即-3+4=0. ∴+-4+4=0, ∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 2.本例条件不变,求满足斜率为1的曲线的切线方程. 解:设切点为(x0,y0), 由变式拓展1可知切线的斜率为k=, 即=1,x0=±1,∴切点为或(-1,1), ∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1, 即3x-3y+2=0或x-y+2=0. |思|维|建|模| 求曲线切线方程的两种情形 (1)如果所给点P(x0,y0)是切点,一般叙述为“在点P处的切线”,此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f'(x0),即得切线的斜率k=f'(x0),再根据点斜式得出切线方程. (2)如果所给点P不是切点,应先设出切点M(x0,y0),再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述,点P不一定是切点,也不一定在曲线上. 题点2　求切点坐标或参数 [例3]　已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a= (　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:选B　f'(1)===(d2+3d+3+a)=3+a.又曲线f(x)在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,∴f'(1)·=(3+a)·=-1,解得a=1. [例4]　已知f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为　　　　.  解析:设切点坐标为(x0,y0),则[2(x0+d)2+1]-(2+1)=4x0d+2d2, ∴f'(x0)==4x0. 又∵切线的斜率为k=tan 45°=1,∴4x0=1,即x0=. ∴y0=2×+1=,∴切点坐标为. 答案: |思|维|建|模| 求切点坐标的步骤 (1)设出切点坐标; (2)利用导数或斜率公式求出斜率; (3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标; (4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标. 　　[针对训练] 2.已知曲线f(x)=2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为 (　　) A.4 B.16 C.8 D.2 解析:选C　∵==4x+2d,当d→0时,4x+2d→4x,∴f'(x)=4x,∴f'(2)=4×2=8,即斜率k=8. 3.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,则a的值为　 　　,切点坐标为　　　　.  解析:设直线l与曲线C的切点为(x0,y0),因为y'==3x2-2x, 则y'=3-2x0=1, 解得x0=1或x0=-. 当x0=1时,y0=-+1=1. 又因为(x0,y0)在直线y=x+a上,将x0=1,y0=1代入得a=0,与已知条件矛盾,舍去. 当x0=-时,y0=-+1=, 则切点坐标为, 将代入直线y=x+a中得a=. 答案:　 4.已知曲线f(x)=x2-1在x=x0处的切线与曲线g(x)=1-x3在x=x0处的切线互相平行,求x0的值. 解:对于曲线f(x)=x2-1,=2x0+d,当d→0时,2x0+d→2x0. 对于曲线g(x)=1-x3,=-3x0d-3-d2,当d→0时,-3x0d-3-d2→-3,所以2x0=-3,所以x0=0或x0=-. 学科网（北京）股份有限公司 $