第20章勾股定理单元复习基础巩固专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第20章 勾股定理单元复习专项训练答案解析 一、单选题 1．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，进而根据等面积法求得，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴是直角三角形，且 ∵， ∴是边上的高， ∵ ∴， 在中， 故选：A． 3．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用勾股定理的逆定理求解、折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 由折叠可知， ， ． 故选：B． 4．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 5．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点 ，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故选：B． 6．若的三个顶点，，所对的边分别为，，，则下列条件能判断是直角三角形的是（    ） A． B．， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理． 利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A选项：∵， ∴设， 则， 解得， ∴， 故不是直角三角形． B选项：∵，， ∴， 故不是直角三角形． C选项：∵， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． D选项：∵，，， ∴， 由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形． 故选：D． 7．已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，先利用非负数的性质求出的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状及斜边． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且a为斜边长， 故选C． 8．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A． 9．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：A、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； B、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； C、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； D、，不能用面积验证勾股定理，符合题意； 故选：D． 10．如图，在中，，是的角平分线，于点．若的周长是，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．先利用角平分线性质得，将周长转化为求出；再通过证明得，设，用勾股定理列方程，解得． 【详解】解：∵是的角平分线，， ， ∴(角平分线上的点到角两边的距离相等)， ∵的周长， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 在和中： ， ∴， ∴， 设，则， 即， 在中，由勾股定理：代入得：， 解得：， ∴， 故选：C． 11．如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 根据题意得出为等腰三角形，假设，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，点为线段的中点，且， ∴，为等腰三角形， ∴， 假设，则， 根据勾股定理得，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 12．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 【详解】解：连接， ，，， ∴， ， ，， ∴，， ，则为直角三角形，且， 这块地的面积为． 故选：B． 13．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．如图是一株美丽的“勾股树”其中正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9，则最大正方形G的边长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查勾股树问题，由正方形A、B的面积可得正方形F的面积，由正方形C、D的面积可得正方形E的面积，由正方形E、F的面积可得正方形G的面积，从而可求出正方形G的边长． 【详解】解：∵正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9， ∴正方形F的面积，正方形E的面积， ∴正方形G的面积， ∴正方形G的边长， 故选：B． 14．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027， 故选：B． 15．如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是多少．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题．先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短， ； 如图2所示，， 如图3所示，， ∵， ∴蚂蚁所行的最短路线为cm． 故选：B． 16．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为，即此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，可设秋千的绳索长为，根据题意可知，利用勾股定理可得，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴ 在中，，， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：． 所以，绳索的长度为， 故选：C． 17．如图所示，有一个水池，在水池正中央有一根芦苇，它离岸边的距离尺，高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．由此可知水池的深度的长为（   ）． A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解． 找到题中的直角三角形，设深度的长为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设深度的长为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 故选：C 18．如图，在长方形中，，，将长方形沿折叠，使得点落在边上处，则的长是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查翻折变换、勾股定理等知识，根据题意可得，，利用勾股定理求出，进而得到，由勾股定理可得，求解即可． 【详解】解：将长方形沿折叠，使得点落在边上处，，， ，， ， ， ， 解得， 故选：． 19．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 20．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握通过验证三角形三边的平方关系判断直角三角形是解题的关键． 将五根小棒分成两组，分别验证每组三边是否满足较短两边的平方和等于最长边的平方，以此判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、分组为、、和、、， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； B、分组为、、和15、20、24，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； C、分组为7、24、25 和、、，，满足逆定理，是直角三角形；，满足逆定理，是直角三角形，符合题意； D、分组为、、和、、，，，不满足逆定理，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 21．某建筑屋顶的钢架截面的主体结构是等腰三角形（），如图，钢架的长为13米，中柱（D为的中点）的长为5米，则的长为 米． 【答案】24 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，勾股定理． 根据等腰三角形三线合一得到，，根据勾股定理求出米，即可求出的长． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，， ∵钢架的长为13米，中柱的长为5米， ∴米， ∴米． 故答案为：． 22．如图，点与数轴原点重合，点表示数，，，以点为圆心，长为半径画弧，与负半轴交于点，则点表示数 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理、用数轴上的点表示数，利用勾股定理求出的长度，再根据得到点表示的数． 【详解】解：点表示数， ， 由勾股定理可得，， 由勾股定理可得，， 由圆的知识可得，， 点表示的数为， 故答案为：． 23．若的三边长为、、，并且满足，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【知识点】绝对值非负性、判断三边能否构成直角三角形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了非负数的性质，解本题的关键是求出的值． 根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形． 【详解】解：为直角三角形，理由如下： 由题意得， 所以， 因为， 所以， ∴为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 24．如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质．先根据，运用勾股定理列式计算，得，又因为平分交于点E，， ，得，故，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：5． 25．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理，得，设，则，，再次使用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，得， 设，则，， 根据勾股定理，得， 解得，负的舍去， 故即梯子的底端B向右滑动． 故答案为：． 26．如图，在中，以为边分别向外作正方形，记正方形的面积分别为，其中，，则的度数为 ． 【答案】/90度 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆应用．根据证明，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即是直角三角形，， ∴， 故答案为：． 27．如图，在中，，是三条角平分线的交点，，，则点到的距离是 ． 【答案】2 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形三条角平分线的性质，熟练掌握三角形三条角平分线的性质是解题的关键； 根据勾股定理求得边AB的长，再根据三角形三条角平分线交点的性质设出未知数，运用面积公式求解． 【详解】解：，，， ． 是三条角平分线的交点， 点到三边的距离相等，设这个距离为． 由，得 ， 即， ． 故答案为：． 28．了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为 ． 【答案】114 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】连接对角线分割成两个直角三角形．先在中用勾股定理求出 BD 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，最后分别计算两个三角形的面积并求和，得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接．在中，， ． ，，， ． 为直角三角形，且．． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式。解题关键是通过连接对角线将不规则四边形分割为两个直角三角形，从而用勾股定理及其逆定理求解面积． 29．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 30．如图，在中，是上一点，连接，，过作于点，交于点，且，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查三角形全等判断和性质，等腰三角形性质，勾股定理等知识，作，垂足为M．先根据等腰三角形三线合一的性质得，，推出，证明，得，，则，，再由勾股定理分别求、即可． 【详解】解：作，垂足为M．如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 31．如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，已知． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，一元一次方程的应用知识点，掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理的应用是解题的关键． （1）先利用垂直平分线性质得到，再将已知等式变形，用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而得到， （2）设，用表示，再由得到，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是直角三角形 ∴， ． （2）解：设 ∵ ∴ ∵ ∴ 在 中， ∵ ∴ ∴ ∴。 ∴ ∴ ∴的长为． 32．将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）利用证明，然后利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）先利用勾股定理求得，证明得到 设， 在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，又，， ∴， ∴； （2）解：在中， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 设，则， 在中， 则 解得 ∴的长为． 33．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点， (1)求证：； (2)若，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据长方形的性质和折叠的性质，用“”证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为长方形， ∴，，， 根据折叠可得：，，， ∴，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 34．为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？ 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)1800元 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理求解即可； （2）求出四边形的面积，即可求解费用． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴，则（舍负） ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：由（1）知，而 ∴， ∴费用为：（元） 35．消防队的云梯是一种伸缩梯，它通过液压系统驱动，能够快速调整高度，方便消防员迅速到达高层建筑进行灭火或救援．如图，一架伸缩梯斜靠在墙上，此时它伸长至最长，达17米，量得它在地面上的位置A与墙的距离（的长）为15米． (1)求处与地面的距离； (2)若此伸缩梯向墙面靠近6米到点处，其上端到达处上方4米的点处，求此时伸缩梯的长度； (3)现有一辆高4米的消防车，它上面的新型云梯最多伸长到25米．一天，某栋楼高24米处一老人需要救援，消防员将此云梯伸到最长，要想顺利救下老人，则此云梯底端应距离高楼_____米．（不考虑其他因素） 【答案】(1)B处与地面的距离是8米 (2)伸缩梯的长度是15米 (3)15 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）直接根据勾股定理在中求解即可； （2）先求出，，再根据勾股定理在中求解即可； （3）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴（米）， 答：处与地面的距离是8米． （2）解：由题意得米，米， ∴（米）， （米）， ∴在中，（米）， 答：此时伸缩梯的长度是15米． （3）解：如图， 由题意可得米，米，米，， ∴（米）， ∴在中，（米）． 答：此云梯底端应距离高楼15米． 故答案为：15． 36．问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【答案】(1)16，5 (2)①见解析；② 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质及面积，熟练掌握这些知识是解这道题的关键． （1）根据勾股定理知两直角边的平方和等于斜边的平方，在勾股树中就是两较小正方形的面积和等于较大正方形的面积，知道这点关系即可解决此问题； （2）①证和全等，即可得出结论； ②根据正方形，正方形的面积分别为16，9，求出这两个正方形的边长，从而利用勾股定理求出的长度，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16， 同理可得， ， 正方形G的边长为5． 故答案为：16，5． （2）①证明：∵正方形和正方形， ，， ， 在和中， ， ． ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ． 由①可知：． 37．在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）点、在直线上，，共有三种情况，分别画图，同理（2）可得与其他线段的平方关系，再利用方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，，， ∴，， 设， ①当点、都在边上，如图2， 则，， 由（2）可得：， ∴， 解得：， ②当点在边上，点在左侧时，如图3： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， ②当点在边上，点在右侧时，如图4： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， 综上所述：或或. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 38．综合与实践 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）． 某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动： 探究活动一： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 探究活动二： （2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）． 探究活动三： （3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理． 【答案】（1）；或或；（2）；；见解析；（3）两斜边互相垂直；见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形面积的求解，准确作出辅助线，想到图形中面积的关系为解题关键． （1）利用三角形面积表示出图形的面积即可；利用梯形面积，三角形面积以及矩形面积减三角形面积三种方法表示出梯形面积即可； （2）连接，，利用四边形面积的两种表示方法求出最后结果即可； （3）拼成，延长交于H,连接，设，利用三角形面积的两种表示方法得出结论即可． 【详解】解：（1）； 梯形面积为：或或， 故答案为：；或或； （2）一种等于，另一种等于； 如图，连接，， 则或， ，， ， ， 即， ， ，即； （3）两斜边互相垂直，理由如下： 如图，拼成，延长交于H,连接， 设， 则， 又， ， 整理得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第20章 勾股定理单元复习专项训练 一、单选题 1．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 2．如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 3．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 5．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点 ，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 6．若的三个顶点，，所对的边分别为，，，则下列条件能判断是直角三角形的是（    ） A． B．， C．，， D．，， 7．已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 8．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 9．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，是的角平分线，于点．若的周长是，，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长是（   ） A． B． C． D． 12．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 13．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．如图是一株美丽的“勾股树”其中正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9，则最大正方形G的边长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 15．如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是多少．（   ） A． B． C． D． 16．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为，即此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为（    ） A． B． C． D． 17．如图所示，有一个水池，在水池正中央有一根芦苇，它离岸边的距离尺，高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．由此可知水池的深度的长为（   ）． A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 18．如图，在长方形中，，，将长方形沿折叠，使得点落在边上处，则的长是（    ） A． B． C． D．2 19．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 20．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 21．某建筑屋顶的钢架截面的主体结构是等腰三角形（），如图，钢架的长为13米，中柱（D为的中点）的长为5米，则的长为 米． 22．如图，点与数轴原点重合，点表示数，，，以点为圆心，长为半径画弧，与负半轴交于点，则点表示数 ． 23．若的三边长为、、，并且满足，则的形状是 ． 24．如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为 ． 25．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动 ． 26．如图，在中，以为边分别向外作正方形，记正方形的面积分别为，其中，，则的度数为 ． 27．如图，在中，，是三条角平分线的交点，，，则点到的距离是 ． 28．了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为 ． 29．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为 ． 30．如图，在中，是上一点，连接，，过作于点，交于点，且，若，，则的长为 ． 三、解答题 31．如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，已知． (1)求证：． (2)若，，求的长． 32．将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 33．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内的点处，与交于点， (1)求证：； (2)若，．求的长． 34．为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？ 35．消防队的云梯是一种伸缩梯，它通过液压系统驱动，能够快速调整高度，方便消防员迅速到达高层建筑进行灭火或救援．如图，一架伸缩梯斜靠在墙上，此时它伸长至最长，达17米，量得它在地面上的位置A与墙的距离（的长）为15米． (1)求处与地面的距离； (2)若此伸缩梯向墙面靠近6米到点处，其上端到达处上方4米的点处，求此时伸缩梯的长度； (3)现有一辆高4米的消防车，它上面的新型云梯最多伸长到25米．一天，某栋楼高24米处一老人需要救援，消防员将此云梯伸到最长，要想顺利救下老人，则此云梯底端应距离高楼_____米．（不考虑其他因素） 36．问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 37．在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 38．综合与实践 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）． 某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动： 探究活动一： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 探究活动二： （2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）． 探究活动三： （3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $