第19章二次根式单元复习基础巩固专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第19章 二次根式单元复习专项训练答案解析 一、单选题 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，牢记二次根式有意义的条件是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件列不等式，求出x的取值范围，再判断选项中不符合范围的数即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ∴被开方数 解得 ∵，，， ∴x不可能是， 故选：A． 2．实数，，，，，,,其中无理数的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的概念、二次根式、立方根，熟练掌握相应概念是解题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数），对每个实数逐一判断，再统计无理数的个数即可． 【详解】解：∵，是开方开不尽的数，∴是无理数； ∵，是整数（有理数），∴是有理数； ∵是开方开不尽的数，∴是无理数； ∵是开方开不尽的数，∴是无理数； ∵中是开方开不尽的数，∴是无理数； ∵，是分数（有理数），∴是有理数； ∵是含的无限不循环小数，∴是无理数； 综上，无理数共有5个． 故选：B． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简二次根式，二次根式的运算，根据二次根式的性质，减法法则，乘除法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算正确，符合题意； 故选：D． 4．下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含分母且每个因式的指数都小于2． 本题考查了最简二次根式，掌握基本概念是解题关键． 【详解】A. 被开方数含小数，等价于含分母，不是最简； B. ，被开方数含平方因子4，不是最简； C. 被开方数无分母且因式指数均为1，是最简； D. ，被开方数含指数为2，不是最简． 故选：C． 5．计算的结果为（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，根据二次根式的减法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 6．化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据被开方数为非负数得，再化简原式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， 故选：B． 7．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 8．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练将根式化简成最简二次根式，并准确判断是否是同类二次根式是解题的关键． 先化简成最简二次根式，后根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：选项A：是最简二次根式，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 选项B：，不含，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 选项C：，含有，与是同类二次根式，能合并，符合题意； 选项D：，不含，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 故选C． 9．若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内表达式相同，逐项判断即可． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，不合题意； B．与不是同类二次根式，不合题意； C．与不是同类二次根式，不合题意； D．，与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 10．长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式乘法法则． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 11．如果，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，结合，得出，解得 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：C． 12．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的算术平方根，先计算被开方数的值，再根据算术平方根的性质判断各选项的正确性即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：和在实数范围内无意义，原运算错误，不符合题意； 选项B：，原运算错误，不符合题意， 选项C：，原运算正确，符合题意； 选项D：，原运算错误，不符合题意， 故选：C． 13．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，平方的运算等知识，根据平方根和平方的性质，逐一验证各选项的正确性，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、 ，故选项符合题意； B、∵ 在实数范围内无意义，故选项不符合题意； C、∵ ，故选项不符合题意； D、∵ ，故选项不符合题意； 故选：A． 14．下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一判断各选项. 【详解】解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，含平方因数，不是最简二次根式； ④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式． ∴ 最简二次根式有①和⑤，共个. 故选：B． 15．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 二、填空题 16． ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，核心知识点为二次根式的乘法法则：．先利用法则将两个二次根式合并为一个二次根式，计算根号内的乘积后，再化简二次根式得到最终结果． 【详解】解：； 故答案为：． 17．写出使二次根式有意义的的一个值 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，核心是二次根式的被开方数必须是非负数．先根据该条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围，再从这个范围内任取一个符合条件的数值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数，解得． 取(满足的任意实数均可)， 故答案为：(答案不唯一)． 18．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘方，先运用二次根式的性质进行化简以及运算乘方，再运算减法，即可作答． 【详解】解： 故答案为：． 19．比较大小： 6． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较平方的方法判断两个正数的大小即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 20．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，掌握二次根式减法的运算法则是解题关键．首先，将 化简为 ，再与 进行减法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为： ． 21．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用二次根式的除法进行计算并化简即可得解． 【详解】解：， 故答案为． 22．若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，核心知识点是二次根式的性质，以及绝对值的化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 23．当时，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据题意可知，然后化简即可． 【详解】解：根据题意可知：， 又， ∴， ∴， 故答案为 ：． 24．已知，则的算术平方根是 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出 a 的值，再代入方程求出 b 的值，然后计算 ，最后求算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则， 即， 解得， 则， 因此的算术平方根是， 故答案为：5． 25．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 利用平方差公式，将原式转化为幂的乘积形式，结合指数运算法则简化计算． 【详解】解；原式 = = = = = ． 故答案为：． 26．若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的性质，由是正整数，可知是完全平方数，设（为正整数），则，为使为正整数，需为偶数，令（为正整数），代入得，当时，取最小值2． 【详解】解：因为是正整数， 所以是完全平方数． 设（为正整数），则． 由于是正整数， 因此必须被2整除，即为偶数． 令（为正整数），则． 当时，， 此时，为正整数，满足条件． 故正整数的最小值为2． 故答案为：2． 27．观察：，2，，，，…．按此规律排列，第40个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，二次根式的化简，解题的关键是找出被开方数的规律． 找出被开方数的规律，然后代数求解即可． 【详解】解：根据给出数据的规律可得，数列的第项为， 当时，， 故答案为：． 28．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 29．将化为最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 30．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 31．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）分别化简各项，再作加减法； （2）利用平方差公式展开，再计算． 本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，尤其注意平方差公式的运用． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 32．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简各式，然后合并同类二次根式即可； （2）先将各二次根式化为最简二次根式，然后按照先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 33．下面是嘉嘉进行二次根式运算的过程，请仔细阅读，并完成下面的问题： 计算： 解：原式………………① …………………………………② ………………………………………………③ (1)第①步运用的运算律是___________； (2)嘉嘉的解答过程是从第___________步开始出现错误的（写步骤序号）； (3)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)乘法分配律 (2)② (3)过程见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）第①步将化为，运用了乘法分配律； （2）嘉嘉第②步在展开时错误地只计算了平方项而忽略了中间项，且将常数项误算为，因此错误从第②步开始； （3）根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：第①步将化为，运用了乘法分配律； 故答案为：乘法分配律； （2）解：嘉嘉第②步在展开时错误地只计算了平方项而忽略了中间项，且将常数项误算为，因此错误从第②步开始； 故答案为：②； （3）解： ． 34．已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是，的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴能围成这两个正方形． 35．探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 【答案】(1)，，， (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． ()根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； ()结合()中计算可知不一定等于，并发现其中规律； ()运用()得出的规律进行运算即可； ()结合数轴可知，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，； 故答案为：； （2）解：由()可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； ∴； 故答案为：； （3）解：若，则， ∴， 故答案为：； （4）解：由在数轴上的位置可知，，且，， ∴， ， ， ． 36．已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 【答案】(1)6 (2)11或13 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质． （1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算的值，最后求出其算术平方根； （2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰的周长． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 将代入， 可得， 将，代入， 可得， ∴36的算术平方根是6， 即的算术平方根是6． （2）解：当a为腰长时，等腰的三边长分别为5，5，3， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， 当b为腰长时，等腰的三边长为3，3，5， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， ∴等腰的周长为11或13． 37．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、分母有理化、分子有理化，解决本题的关键是根据题干中提供的思路，利用平方差公式把二次根式的分子或分母转化成有理数． （1）根据题干中提供的分母有理化的方法，把二次根式的分母转化为有理数，再进行计算； （2）根据题干中提供的分子有理化的方法，把两个二次根式转化为分子为的形式，再根据分子相同，分母越大的则分数的值越小比较两个无理数的大小； （3）首先把算式中各部分的分母有理化，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第19章 二次根式单元复习专项训练 一、单选题 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 2．实数，，，，，,,其中无理数的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果为（   ） A． B．4 C．3 D． 6．化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 7．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 9．若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 10．长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 11．如果，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 二、填空题 16． ． 17．写出使二次根式有意义的的一个值 ． 18．计算： ． 19．比较大小： 6． 20．计算： ． 21．化简： ． 22．若，则化简 ． 23．当时，化简 ． 24．已知，则的算术平方根是 ． 25．计算： ． 26．若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是 ． 27．观察：，2，，，，…．按此规律排列，第40个数是 ． 28．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ． 29．将化为最简二次根式为 ． 30．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 三、解答题 31．计算： (1) (2) 32．计算： (1)； (2)． 33．下面是嘉嘉进行二次根式运算的过程，请仔细阅读，并完成下面的问题： 计算： 解：原式………………① …………………………………② ………………………………………………③ (1)第①步运用的运算律是___________； (2)嘉嘉的解答过程是从第___________步开始出现错误的（写步骤序号）； (3)请你写出正确的解答过程． 34．已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 35．探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 36．已知a、b是等腰的两边，且满足． (1)求的算术平方根； (2)求等腰的周长． 37．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $