专题6.1.5 已知正弦、余弦、正切值求角（1大知识点+5大题型+强化训练）- 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义（沪教版)

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.1.5 已知正弦、余弦、正切值求角 简单三角方程 若，则解集为：； 若，则解集为：； 若，则解集为：； 题型一、已知正弦、余弦或正切值求角 【例1】1.已知，求：满足条件的角的集合； 【答案】或 【解析】方法1、在单位圆中，由可知， 角对应的正弦线方向朝上，而且长度为，作示意图，如图所示， 可知角的终边可能是，也可能是， 又因为，所以或 所以，满足条件的角的集合为：或 方法2、由，根据“若，则解集为：” 则满足条件的角的集合为：； 2.已知，求满足条件的角的集合； 【答案】 【详解】如下图所示，、为直线与单位圆的两个交点， 可知、． 设的终边落在射线上，的终边落在射线上，、， 根据三角函数的定义可知，，，， 所以，，． 又当的终边落在射线或上时，有， 所以，满足条件的的集合为 . 3.已知，求满足条件的角的集合； 【答案】； 【解析】由变形得，由结论得， 满足条件的角的集合为：； 【例2】1.求方程的解集：． 【答案】或． 【分析】利用特殊三角函数值，解三角方程，求得的值． 【详解】由，可得， ，或， 即，或  ，， 故方程的解集为，或，． 2.已知，求满足条件的角的集合； 【解析】不妨将“”看作整体，代入“若，则解集为：” 则得，解得或， 所以，满足条件的角的集合为：或； 3．方程的解集是 . 【答案】 【解析】利用正切函数的性质求解即可. 【详解】 解得 即 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解三角函数方程，属于中档题. 【跟踪训练】 1.方程的解集为________.方程的解集为______.方程的解集为_______. 【答案】：..； 2.方程的解集为______方程的解集为_______方程tan x＝的解集为______ 【答案】或.， 3．方程的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据余弦函数的性质计算可得； 【详解】解：因为 所以或，， 解得或，， 故原方程的解集为或，， 故答案为：或， 4.求下列方程的解集： （1）；（2）；（3）； 解：（1）原方程即． 所以． 得． 所以方程的解集为． （2）由方程得 ． 所以． 所以方程的解集为． （3）原方程即． 所以方程的解集为． 题型二、求给定区间上的角 【例3】分别求满足下列条件的x的值： （1）sin x＝，x∈[－π，π]； （2）cos x＝－，x∈； （3）tan x＝－1，x∈； （4）cos＝，x∈[0，π] 【解析】（1）∵sin x＝，x∈[－π，π]，∴x＝或. （2）∵cos x＝－，x∈，∴x＝或. （3）∵tan x＝－1，x∈，∴x＝－. （4）∵cos＝，∴2x＋＝2kπ±，k∈Z， ∴x＝kπ或kπ－，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴x＝0，，π. 【例4】方程的解集是 . 【答案】 【解析】利用，化简得，进而可得，，据此即可求解. 【详解】由，得 ，因此， ，， ，，又由得， 或或或， 故答案为： 【点睛】本题考查三角方程的求解，属于基础题. 【跟踪训练】 1.已知sin x＝，且x∈[0,2π]，则x的取值集合为 【答案】； 【解析】∵x∈[0,2π]，且sin x＝＞0， ∴x∈(0，π)，当x∈时，且sin＝，∴x＝， 又sin＝sin＝，∴x＝也适合题意．∴x的取值集合为.] 2.方程的解集为______________. 解答：. 3.若cos(π－x)＝，x∈(－π，π)，则x的值为 【答案】±； 【解析】由cos(π－x)＝－cos x＝得，cos x＝－， 又因为x∈(－π，π)，所以x在第二或第三象限，所以x＝±； 4.方程在区间上的解集为_________ 【答案】 【解析】当时，， 由，得或或， 解得或或， 所以方程在区间上的解为. 5.已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝________________ 【答案】或； 【答案】因为x∈[0，π]，所以2x∈[0,2π]． 因为tan 2x＝－，所以2x＝或2x＝，所以x＝或； 6.根据下列条件，求角x： （1） 已知，； （2）已知，x是第三象限角. 【答案】（1）或；（2）， 【解析】（1）由得， 因为，所以，因此或，故或 （2）由得或， 又x是第三象限角，所以， 7.求方程在区间上的解. 解答：，取，得. 8.解方程： 解：原方程可化为． 所以． 当时，，不合题意； 取时，； 取时，或； 取时，或； 取时，； 当时，，不合题意． 9.已知； （1）当时，求x的取值集合； （2）当时，求x的取值集合； （3）当时，求x的取值集合； 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【解析】（1）因为且，所以；所以x的取值集合为. （2）因为，所以x为第一、二象限的角，且 所以在上符合条件的角有或.所以x的取值集合为. （3）当时，x的取值集合为或（或 题型三、解简单三角方程 【例5】若cos x＝cos，求x的值． 【解析】在同一个周期[－π，π]内， 满足cos x＝cos的角有两个：和－. 所以满足cos x＝cos的x为{x|2kπ±(k∈Z)}; 【例6】解三角方程：； 解：原方程可化为． 整理，得． 解得（无解）． 因此原方程得解集为． 【跟踪训练】 1．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切的倍角公式，化简方程为，求得，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，方程，因为，所以， 可得，即，即， 解得，所以， 所以方程的解集是. 故选：B. 2.方程cos x＝sin 的解集 【答案】； 【解析】因为cos x＝sin ，又由诱导公式可得sin ＝cos ＝cos， 所以x＝2kπ±，k∈Z，方程cos x＝sin 的解集为. 3.解方程： 解：把原方程左边分解因式，得． 所以． 由，得． 由，得． 所以原方程的解集为． 4.解方程:； 解：原方程可化为． 整理，得． 解得（无解）． 因此原方程得解集为． 题型四、解简单三角不等式 【例7】已知，求：满足条件的角的取值范围； 【解析】画出单位圆中三角函数线，如图． 由图可知角的范围是： 或； 【跟踪训练】 1.求满足下列条件的的集合： （1）；（2）； 【解析】（1）由－sin x>0，所以sin x<，所以角x终边所在区域如图所示， 所以2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， 所以满足条件的的集合为：； （2）由3tan x－≥0，所以tan x≥， 所以角x终边所在区域如图所示， 所以kπ＋≤x<kπ＋，k∈Z， 所以，满足条件的的集合为：； 2.求不等式cos>－的解集． 【解析】不等式的解集为. 3.不等式cos x>sin 的解集为___________________________________； 【答案】 题型五、综合应用 【例8】知关于x的方程. （1）当时，求方程的解；（2）要使此方程有解，试确定m的取值范围. 【解析】（1），所以， 当时，方程为：，所以或， 又，所以，所以，故方程的解集为； （2）由（1）得：有解，即有解， 又，又，所以， 即，即 【跟踪训练】 1.若方程有解，则实数a的取值范围是_______________. 解答：. 2.讨论关于x的方程在内解的情况. 解答：当时，无解；当时，有两个解；当时，有一个解；当时，有四个解. 一、选择题 1.“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B； 【解析】由可得：或， 即能推出，但推不出 所以，“”是“”的必要不充分条件，故选 2.已知，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】由已知，得，得，即方程的根为 3.已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝(　　) A. 　 B. C. D. 【答案】B； 【解析】因为x∈(π，2π)且cos x＝－，∴x＝； 二、填空题 4.方程的解集为______________. 解答：. 5.方程的解集为______________. 解答：. 6.方程的解集为__________ 解答：. 7.方程在上的解是________________.[来源:学*科*网Z*X*X*K] 解答：，. 8.若是方程的解，其中，则___________. 解答：. 9.已知cos x＝，0＜x＜，则角x等于________ 【答案】 【解析】cos＝ 【说明】注意三角比加角的范围； 10.已知sin ＝－，且α是第二象限的角，则角α=______ 【解析】因为α是第二象限角，所以是第一或第三象限的角． 又因为sin ＝－<0，所以是第三象限角． 又sin ＝－， 所以＝2kπ＋π(k∈Z)， 所以α＝4kπ＋π(k∈Z)． 11.已知cos x＝，＜x＜，则角x等于________ 【答案】 【解析】 cos =cos＝ 【说明】注意三角比加角的范围； 12.若，且，则x等于_________ 【答案】或； 【解析】所对锐角，由，得是第三或第四象限角， 而，所以或. 3、 解答题 13.求方程的解集 【答案】； 【解析】由已知，结合诱导公式，化简为， 则或， 得，所以方程的解集为. 故答案为： 14.求方程的解集。 【答案】 【解析】由，得，解得， 即方程的解为.故答案为： 15.解下列方程： （1）；（2）； （3）.[来源:学科网] 解答：（1）或， 又，或； （2）， 又，； （3），又，. 16.试判断关于x的方程是否有实数解，并说明理由. 解：，，， 所以当时原方程有实数解，否则原方程无实数解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.1.5 已知正弦、余弦、正切值求角 简单三角方程 若，则解集为：； 若，则解集为：； 若，则解集为：； 题型一、已知正弦、余弦或正切值求角 【例1】1.已知，求：满足条件的角的集合； 2.已知，求满足条件的角的集合； 3.已知，求满足条件的角的集合； 【例2】1.求方程的解集：． 2.已知，求满足条件的角的集合； 3．方程的解集是 . 【跟踪训练】 1.方程的解集为________.方程的解集为______.方程的解集为_______. 2.方程的解集为______方程的解集为_______方程tan x＝的解集为______ 3．方程的解集为 ． 4.求下列方程的解集： （1）；（2）；（3）； 题型二、求给定区间上的角 【例3】分别求满足下列条件的x的值： （1）sin x＝，x∈[－π，π]； （2）cos x＝－，x∈； （3）tan x＝－1，x∈； （4）cos＝，x∈[0，π] 【例4】方程的解集是 . 【跟踪训练】 1.已知sin x＝，且x∈[0,2π]，则x的取值集合为 2.方程的解集为______________. 3.若cos(π－x)＝，x∈(－π，π)，则x的值为 4.方程在区间上的解集为_________ 5.已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝________________ 6.根据下列条件，求角x： （1） 已知，； （2）已知，x是第三象限角. 7.求方程在区间上的解. 8.解方程： 9.已知； （1）当时，求x的取值集合； （2）当时，求x的取值集合； （3）当时，求x的取值集合； 题型三、解简单三角方程 【例5】若cos x＝cos，求x的值． 【例6】解三角方程：； 【跟踪训练】 1．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 2.方程cos x＝sin 的解集 3.解方程： 4.解方程:； 题型四、解简单三角不等式 【例7】已知，求：满足条件的角的取值范围； 【跟踪训练】 1.求满足下列条件的的集合： （1）；（2）； 2.求不等式cos>－的解集． 3.不等式cos x>sin 的解集为___________________________________； 题型五、综合应用 【例8】知关于x的方程. （1）当时，求方程的解；（2）要使此方程有解，试确定m的取值范围. 【跟踪训练】 1.若方程有解，则实数a的取值范围是_______________. 2.讨论关于x的方程在内解的情况. 一、选择题 1.“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知，则＝（ ） A． B． C． D． 3.已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝(　　) A. 　 B. C. D. 二、填空题 4.方程的解集为______________. 5.方程的解集为______________. 6.方程的解集为__________ 7.方程在上的解是________________.[来源:学*科*网Z*X*X*K] 8.若是方程的解，其中，则___________. 9.已知cos x＝，0＜x＜，则角x等于_________ 10.已知sin ＝－，且α是第二象限的角，则角α=______ 11.已知cos x＝，＜x＜，则角x等于_______ 12.若，且，则x等于_______ 3、 解答题 13.求方程的解集 14.求方程的解集。 15.解下列方程： （1）；（2）； （3）.[来源:学科网] 16.试判断关于x的方程是否有实数解，并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $