专题6.1.4 诱导公式 （4大知识点+6大题型+强化训练） 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义（沪教版)

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.1.4诱导公式 思维导图 题型一：诱导公式一一四组的应用 题型二：诱导公式五、六应用 题型三：利用诱导公式化简求值 诱导公式 题型四：利用诱导公式证明恒等式 题型五：同角基本关系式和诱导公式的综合应用 题型六：利用互补互余关系求值 省知识梳理 知识点01：诱导公式归纳 公式 三 四 五 六 角 2kT+a(k∈Z) π+a -a π-a n2-a π2+a 正弦 sin a -sin a -sin a sin a coS a cos a 余弦 coS a -cos a cos a -coS a sin a -sin a 正切 tan a tan a tan a tan a 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 知识点02：明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0~2π之间的角求值 公式二 将0~2π内的角转化为0~π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将角转化为0~π2之间的角求值 知识点03：诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是 将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角. 1 知识点04：诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代 换的思想简化解题过程常见的互余关系有胥-a与君十a,号+a与名-Q,子十a与普-a等，常见的互 3π一0等 补关系名-0与要+0，号+0与智-0，子+0与 (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了 典型解折 题型一：诱导公式一-四组的应用 【例1】c0s1530°= sin(-19509= 4 【例2】已知ana-行，且a为第-象限角，则sin(x+a+cos(-a)= 【跟踪训练】 tan2025°= 2.已知sinπ-a)= 5，ae 则cosa= 17 16 5 3. cosπ+sin 一π 6 4 4.已知sin(π-a)=2,ae 1 π 则cos2π-a)= 题型二：诱导公式五、六应用 3 3 【例3】已知cosa= 则sin 【例4】若tan(3元+a)=a, 见sn行a-2sm行-aeas+的值为 【跟踪训练】 1已知sna号则a+} 2.sin(6-罗)=（)） A.sine B.-sine C.cosθ D.-cose 2 3.化简：sin 4已知角a的终边经过点P(-12.则sm(经+口 题型三：利用诱导公式化简求值 sin (5+a cos 3π +atan2(π-aj 【例5】化简： (2 2 cos 2asin(π+a 【跟踪训练】 1已知角6的终边上有-点L3》.则si(r-0)+cos7-0】 2 cos(-0)-cos(π+0) 2已知角a终边上-点P1引.勇0a-】-sm*a cosπ-a)+sin-a 3.化简： sin(kT-a)·cos(kπ+a) (1 sin(k+1)π+a)cos(k+I)π-a)' k∈Z; sin (k+2)r+a 2 (2) sin (k+2)+a k∈Z. cos 2 5π 3元 sin 4.已知f(a)= （2 -a cos 2 +atan2(元-a 2a小sin(元+aj π cos (1)化简f(a: 诺引3.求sm-副的值 题型四：利用诱导公式证明恒等式 2+a cos sin(2z-a)cos(+a)cos 11π -0 2 【例6】求证： =-tana. cos(π-a)sin(3r-a)sin(-π-a)sin9r 2 +0 3 【跟踪训练】 tan(2元-x)sin(-2元-x)cos(6r-)cos(r-0=sinx 1.证明： .3π π sin x+cos2-x 1 1 2.求证： tana + tan() cosa 42 题型五：同角基本关系式和诱导公式的综合应用 【例7】已知aa+a):}求下列式子的值 (I)a为第二象限角，求sina-2cosa; (2)2sina cosa-2cos2a. 【跟踪训练】 1.已知sin(3π-a=-2sin 则sina cosa等于(）， 2 A.2 B. 2 c 5 D 2.已知tana=3 2sin(π+a)cos(-2π-a) (1求 sin )的值： (2)求(sina+cosa)2的值. sin(z-a)cox(2-a)cosa) 3.已知f(a)= ，其中a≠kπ，keZ: co+a)jsin(r+a）】 求(-号的值： 似若a是鹤三象限角，且cosa影=}求fa)的值 网若fa)=ina,求如a+的值 1+cos-a c0s(7+0)c0s(π+9)cos3π+0) 5.已知函数f(0)= 2 .其中0≠，keZ. sin()sin(0)sin( 2 (1)化简f(): 2)若f0)=2,求1 1 的值， cos20 cosesine 3)若2sin0·f(旧+)+sin(0+)-f(e)=1,求f0)的值 题型六：利用互补互余关系求值 【例8】已知sin 【跟踪训练】 若}5当[，后小小 合强化训练 一、选择题 1.c0s135°=() A.② B.-1 2 c.- 2 D.1 2 4 3 6 3π的值是（) A.-35 B.36 D.3 4 4 C.-3 4 3已知角a的始边为x轴的非负半轴，角¤的终边与单位圆的交点为P(心5，-5， 5 A.tand =2 B.sin(-a) 3 C.cos(x-a)-- πV6 3 D.cosa-23 3 4已知tanx+元5，则2simx+cosx=（） sin x-cos2x A.50或-50 9 B.9 C. 0或-50 3 D. 50成50 3 c -1 A.5 B./5 c.-25 D.25 5 5 5 5 二、填空题 7已知coa则m(小 8已知m(+a)- 那么cos0=」 3π 9.若c0sa= 且c是第四象限的角，则sina=_, cos a+ 4 10.已知sin 2π+a 5' 则sina= 11.已知角0的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-3,4,则 sin 0+3 2 12.已知sina= 4 则cos21 +sinπ+a= 5 13已知sn-aj-号ae,则eos2-a)- 14已知cag+a)-分且0<a<行，则com(任+0约值为 sin im)+a+sinπ+a】 15.已知角a的终边经过点(-1，-3)，则 cos(3π-a)+sin 3 2-a 三、解答题 16.计算求值： (1)sin 5+sin 25+cos25+tan -π+tan 25 6 3 (2)sin2120°+cos180°+tan45°-cos2(-330+sin(-210) 17.已知tan=3. 2sinπ+a)cos-2π-a) m设。的 (2)求(sina+cosa)2的值 aga1w.货0o空6m0- sin(3π+0)sin-0-π (1)化简f(0) 2若f0+)行求sn0-的值 同若o+/任0{行0<求r+任+0)的值 19如图，已知角的顶点与坐标原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合， 15 2’2 为角a终边与单位圆 的交点，将角α的终边绕点0按逆时针方向旋转后得到角B,此时点A旋转至点B. (1)求tana; (2)求tanB; sin(π-β)+cos(4π-β) 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.1.4 诱导公式 知识点01：诱导公式归纳 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 知识点02：明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π之间的角求值 公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将角转化为0～之间的角求值 知识点03：诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角. 知识点04：诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有与，与，与等，常见的互补关系与，与，与等. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 题型一：诱导公式一---四组的应用 【例1】_________________ 【答案】0; 【例2】已知，且为第一象限角，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系求得，再用诱导公式计算求解. 【详解】为第一象限角， ， ． 故答案为：. 【跟踪训练】 1._________________ 【答案】 ; 1 【分析】利用余弦函数的奇偶性、周期性和特殊角的三角函数值直接求解即可. 【详解】， . 2.已知，，则________ 【分析】由条件利用诱导公式可求，再由平方关系求结论. 【详解】因为，， 所以，又，则， 所以. 3． . 【答案】 【详解】原式 . 故答案为：. 4. 已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数，可得答案. 【详解】因且，则， 则. 故答案为：. 题型二：诱导公式五、六应用 【例3】已知，则________ 【分析】利用诱导公式即可求得结果. 【详解】由诱导公式得 【例4】若，则的值为_________ 【分析】先根据诱导公式对条件和所求式子化简，再根据齐次化为切直接计算可得结果. 【详解】由诱导公式得，所以. 再由诱导公式， 所以 . 【跟踪训练】 1.已知，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简，结合已知正弦函数值求解． 【详解】，， ． 故答案为：． 2.（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由诱导公式化简，即可得到结果. 【解答过程】. 故选：D. 3.化简：______ 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】由题意， 4.已知角的终边经过点，则 ． 【答案】/ 【详解】因为角的终边经过点，所以，. 故答案为： 题型三：利用诱导公式化简求值 【例5】化简： ． 【答案】 【详解】化简：, 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知角的终边上有一点，则=____________ 【分析】根据三角函数的定义先求，再利用诱导公式化简即可求解. 【详解】由题意有，所以， 2.已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可. 【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得： 点到原点的距离：， 因此，，所以， 因为，， ，， 所以 分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得： 原式， 故答案为：. 3．化简： (1)，； (2)，． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当为偶数时，原式； 当为奇数时，原式． 综上，当时，原式． （2）当，时，原式； 当，时，原式； 当，时，原式； 当，时，原式． 综上，当时，原式． 4．已知 (1)化简; (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）解： （2）解：由得，故， 又，故， 因，故为第一、三象限角 当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，， 因为 所以， 故当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，． 题型四：利用诱导公式证明恒等式 【例6】求证：． 【详解】左边==–tanα=右边， ∴等式成立． 【跟踪训练】 1．证明：． 【答案】证明见解析 【详解】左边右边， 所以． 2．求证：. 【答案】证明见解析 【详解】左边＝ ＝右边． 故原式得证． 【点睛】本题考查诱导公式的综合运用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数符号的正负. 题型五：同角基本关系式和诱导公式的综合应用 【例7】已知，求下列式子的值. (1)为第二象限角，求； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用给定条件，利用诱导公式、同角公式求解. （2）由（1）中信息，利用齐次式法，转化为关于的式子求解. 【详解】（1）由，得，即，又， 由为第二象限角，得，因此， 所以. （2）由（1）知， 所以. 【跟踪训练】 1.已知，则等于（    ）． A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，又， 当在第二象限时，，此时；当在第四象限时，，此时． 综上，.故选：A． 2.已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据诱导公式先进行化简，结合商关系解得结果； （2）先化简式子，结合同角三角函数关系式，计算得到结果. 【详解】（1）因为，所以 （2） = = 3.已知，其中. (1)求的值； (2)若是第三象限角，且,求 的值； (3)若 ，求 的值. 【答案】(1)；(2)；(3)1. 【分析】（1）利用诱导公式化简，代值计算即得； （2）利用诱导公式和同角三角函数关系式化简计算即得； （3）根据题设条件和弦化切求得，再将待求式齐次化后代值计算即得. 【详解】（1）因. 则； （2）由可得， 因是第三象限角，则， 即得； （3）由可得. 则. 5.已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【解析】（1）由且； （2）由题设及（1）知，而 （3）由题设，即， 所以，可得， 所以，即， 所以，即. 题型六：利用互补互余关系求值 【例8】已知，且，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以，由，得， 所以． 故答案为： 【跟踪训练】 1．若为第二象限角，且，则＝_______ 【详解】因为为第二象限角，所以， 所以，所以， 又因为，所以. 所以. 2.已知，则 ． 【答案】/ 【分析】观察可得，故，结合诱导公式求结论. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 故答案为：. 3．若，当时， . 【答案】 【详解】由于,则，又，故，， 故答案为： 一、选择题 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 2.的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故选：A 3.已知角的始边为轴的非负半轴，角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，角的终边与单位圆的交点为， 由三角函数的定义得，，则. 对于A，由上可知显然错误；对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 4.已知，则（   ） A．50或 B．或 C．或 D．或50 【答案】C 【详解】因为， 所以可设， 由，可得， 所以， 所以， 当时，原式， 当时，原式， 故选：C 5.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 6.若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】由，可得，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 二、填空题 7．已知，则 【答案】 【分析】直接利用诱导公式计算可得； 【详解】解：因为，所以 故答案为： 8．已知sin＝，那么cosα＝ ． 【答案】 【详解】分析：根据诱导公式求解可得结果． 详解：． 点睛：本题考查诱导公式的应用，解题的关键是熟记诱导公式并熟练根据公式求解，属容易题． 9.若，且α是第四象限的角，则 ， ． 【答案】 / / 【详解】因为α是第四象限的角，所以，所以． 于是. 答案：； 10.已知，则_________ 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以. 11.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 . 【答案】/ 【详解】由题意可得，所以. 故答案为：. 12.已知，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 13.已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式即得. 【详解】因且，则， 则. 故答案为：. 14.已知，且，则的值为 . 【答案】 【分析】由诱导公式计算可得. 【详解】，所以， 因为，所以 所以， 故答案为：. 15.已知角的终边经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，利用三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】由于角的终边经过点，故， 所以. 故答案为：. 3、 解答题 16．计算求值： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）（2）根据诱导公式，结合特殊角的三角函数值，化简计算，即可得出答案. 【详解】（1） （2） . 17.已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以 （2）== 18．已知 (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1） ； （2）； （3）因为 所以， 所以， ， 又因为所以 所以 . 19.如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点.    (1)求； (2)求； (3)求的值. 【解析】（1）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得. （2）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 由题意知， 所以，， 所以. （3）， ， ， ， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $