专题6.1.2 任意角及其度量 （4大知识点+8大题型+强化训练）-2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义（沪教版

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.1.2 任意角及其度量 知识点一、任意角的概念 1.角的定义：由一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形. 2.角的分类 正角：按逆时针方向旋转形成的角. 负角：按顺时针方向旋转形成的角. 零角：射线未旋转（始边与终边重合），角度为（或弧度）. 知识点二、象限角和终边相同的角 1.象限角 建立平面直角坐标系，使角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合. 象限角：终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，称为轴线角）. 表示： 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 2.终边相同的角 定义：所有与角终边相同的角（包括本身），构成集合. 关键：终边相同的角，三角函数值相等（核心前提）. 知识点三、弧度制 1．角度制与弧度制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度：（1）；（2）；（3）。 弧度化角度：（1）；（2）；（3）。 3. 常用特殊角的对照关系： 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 4. 常用解题策略： （1） 度数 弧度数 ， 弧度数 度数 ； （2）将角度化为弧度时，若角度制中含有“分”“秒”单位，应先把它们统一化为“度”的形式，再利用“”的关系转化为弧度即可。 知识点四、扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式：（角度制）、（弧度制） 面积公式：（角度制）、（弧度制） 题型01：任意角的概念 【名师点拨】关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小． 【例1】下列命题中正确的是（    ）． A．第一象限角一定不是负角 B．钝角一定是第二象限角 C．小于的角一定是锐角 D．第一象限角一定是锐角 【跟踪训练】 1．下列说法正确的是（      ） A．最大的角是 B．最大的角是 C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小 2.已知角和角，则下列说法正确的是（    ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 题型02：确定已知角所在的象限 【名师点拨】判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 【例2】若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【例3】分别写出终边在y轴非负半轴､y轴非正半轴和y轴上的角的集合. 【跟踪训练】 1. 是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2.已知，则角的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第三或第四象限 3．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 4．分别写出终边在x轴正半轴、x轴负半轴和x轴上的角所对应的集合． 题型03：终边相同的角的表示 【名师点拨】求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 【例4】已知角，则角的终边落在第 象限． 【例5】已知角与的顶点均在原点，始边均在x轴的非负半轴上，终边相同，且，则 ．（用角度表示） 【跟踪训练】 1．与终边相同的一个角为（    ） A． B． C． D． 2．在~0范围内所有与30角终边相同的角为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（1）写出与角终边相同的角的集合M； （2）把角写成的形式，并指出其是第几象限角； （3）若角且，求角． 题型04：根据图形区域写出角范围 【名师点拨】区域角的写法步骤： （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【例6】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．  B．  C．   D．   【跟踪训练】 1.已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A．B．C． D． 2．终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 3.集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（   ） A．B．C．D． 题型05：由已知角所在的象限确定某角、n倍角和n分角所在的象限 【名师点拨】分角、倍角所在象限的判定思路 （1）已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限用分类讨论法,要对的取值分以下几种情况进行讨论:被整除; 被除余1;被除余被除余.然后方可下结论； （2）已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限,可依据角的范围求出的范围,再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况. 【例7】若α是第四象限角，则下列角中是第一象限角的是（    ） A．α＋180° B．α－180° C．α＋270° D．α－270° 【跟踪训练】 1．若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．已知与角的终边相同，判断是第几象限角. 3．若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 题型06：弧度制与角度制的互化 【名师点拨】角度制与弧度制互化的原则 牢记,充分利用和进行换算. 【例8】将下列角度与弧度进行互化： (1)；(2)；(3)；(4)． 【跟踪训练】 1.将化为弧度制，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)；(4). (5) (6)(7) (8) (9) (10) 题型07：扇形的弧长与面积 【名师点拨】（1）明确弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形的圆心角). （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 【例9】已知扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，则该扇形的弧长为（    ） A．6 B． C．12 D． 【例10】一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为 . 【例11】已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是 . 【例12】折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知某扇形的面积为4，半径为2，则该扇形的弧长为 ． 2.已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C．1 D． 3．已知某扇形的周长为16，则当此扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为 ． 4．已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为 ． 5.已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为 . 题型08：扇形的弧长与面积综合（最值问题） 【例13】《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【跟踪训练】 1.已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 2.已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 . 一、选择题 1．下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2.下列结错误的有（   ） A．是第二象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．与角终边相同的最小正角是 D．若角为锐角，则角为钝角 3．角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 4．若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环.如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ）   A． B． C． D． 二、填空题 6. 2024°角的终边在第 象限. 7.将弧度化为角度：弧度= °． 8. 将角的终边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合 ． 9．已知扇形的周长为，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是 ． 10.已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 . 11.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长是 . 12.若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为 ． 13.已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在的圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    3、 解答题 15．若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 16．已知一个扇形的周长是40， (1)若扇形的面积为75，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S的最大值. 17．已知一个扇形的周长是40， (1)若扇形的面积为75，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S的最大值. 18.某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.1.2 任意角及其度量 知识点一、任意角的概念 1.角的定义：由一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形. 2.角的分类 正角：按逆时针方向旋转形成的角. 负角：按顺时针方向旋转形成的角. 零角：射线未旋转（始边与终边重合），角度为（或弧度）. 知识点二、象限角和终边相同的角 1.象限角 建立平面直角坐标系，使角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合. 象限角：终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，称为轴线角）. 表示： 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 2.终边相同的角 定义：所有与角终边相同的角（包括本身），构成集合. 关键：终边相同的角，三角函数值相等（核心前提）. 知识点三、弧度制 1．角度制与弧度制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度：（1）；（2）；（3）。 弧度化角度：（1）；（2）；（3）。 3. 常用特殊角的对照关系： 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 4. 常用解题策略： （1） 度数 弧度数 ， 弧度数 度数 ； （2）将角度化为弧度时，若角度制中含有“分”“秒”单位，应先把它们统一化为“度”的形式，再利用“”的关系转化为弧度即可。 知识点四、扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式：（角度制）、（弧度制） 面积公式：（角度制）、（弧度制） 题型01：任意角的概念 【名师点拨】关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小． 【例1】下列命题中正确的是（    ）． A．第一象限角一定不是负角 B．钝角一定是第二象限角 C．小于的角一定是锐角 D．第一象限角一定是锐角 【答案】B 【分析】对于ACD，利用象限角、负角与锐角的定义，举反例排除即可；对于B，利用钝角与象限角的定义判断即可. 【详解】对于A，令，显然是第一象限角，同时也是负角，故A错误； 对于B，不妨设是钝角，则，所以一定是第二象限角，故B正确； 对于C，令，显然是小于的角，但不是锐角，故C错误； 对于D，令，显然是第一象限角，但不是锐角，故D错误. 故选：B. 【跟踪训练】 1．下列说法正确的是（      ） A．最大的角是 B．最大的角是 C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小 【答案】D 【分析】由任意角的定义即可得解. 【详解】由任意角的定义可得角可以是任意大小，所以ABC错误，D正确. 故选：D. 2.已知角和角，则下列说法正确的是（    ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 【答案】C 【分析】根据任意角的概念逐项判断. 【详解】A，角，是第一象限角，但不是锐角，A错误； B，角，角，则角和的终边相同，但，B错误； C，的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的两个角互为相反角，C正确； D，角的终边在第二象限，则角不是钝角，D错误. 故选：C. 题型02：确定已知角所在的象限 【名师点拨】判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 【例2】若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 【例3】分别写出终边在y轴非负半轴､y轴非正半轴和y轴上的角的集合. 【答案】见解析 【分析】根据终边相同的角的集合表示及集合的并集，即可求出. 【详解】终边在y轴非负半轴上的角的集合. 终边在y轴非正半轴上的角的集合. 终边在y轴上的角的集合. 【跟踪训练】 1. 是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据所在区域及象限角的定义即可判断. 【详解】因为，所以是第三象限角. 故选：C. 2.已知，则角的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【详解】由已知，， 当时，，即角的终边在第一象限； 当时，，即角的终边在第二象限． 所以角的终边在第一或第二象限． 故选：C 3．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 【答案】B 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断. 【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：B. 4．分别写出终边在x轴正半轴、x轴负半轴和x轴上的角所对应的集合． 【答案】答案见解析 【分析】根据终边相同的角的表示得出答案即可； 【详解】解：x轴正半轴； x轴负半轴； x轴上的角 题型03：终边相同的角的表示 【名师点拨】求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 【例4】已知角，则角的终边落在第 象限． 【答案】三 【分析】根据终边相同的角的表示，将化为，即可判断答案. 【详解】由题意得， 由于的终边在第三象限内，故角的终边落在第三象限内， 故答案为：三 【例5】已知角与的顶点均在原点，始边均在x轴的非负半轴上，终边相同，且，则 ．（用角度表示） 【答案】630° 【分析】根据题目条件得到，求出，列出不等式组，求出. 【详解】由题意得，， 即， 而， 即， 解得：，， 所以. 故答案为：630°. 【跟踪训练】 1．与终边相同的一个角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由即可求解. 【详解】因为， 所以与终边相同的一个角为. 又、、与终边不同， 故符合的只有A， 故选：A. 2．在~0范围内所有与30角终边相同的角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】与角终边相同的角为：，当时，； 当时，.本题正确选项： 3．（1）写出与角终边相同的角的集合M； （2）把角写成的形式，并指出其是第几象限角； （3）若角且，求角． 【答案】（1）；（2），第四象限角；（3）. 【分析】（1）根据，写出终边相等的角的集合即可. （2）利用周期性，写出与终边相同的最小正角，进而判断所在的象限. （3）由（1）所得范围，结合给定的范围写出角． 【详解】（1）由终边相同的角的概念得：． （2）∵，而是第四象限角， ∴是第四象限角． （3），又且， ∴取得，． 题型04：根据图形区域写出角范围 【名师点拨】区域角的写法步骤： （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【例6】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】分奇偶讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，， 当时，,所以选项C满足题意. 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】令即可判断出正确选项. 【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意. 故选：B． 2．终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出终边落在边上的角为，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 所以终边落在边上的角为， 所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为. 故选：C. 3.集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】当，时，，.此时角的终边位于第一象限靠近轴的区域； 当，时，，.此时角的终边位于第三象限靠近轴的区域. 故选：C 题型05：由已知角所在的象限确定某角、n倍角和n分角所在的象限 【名师点拨】分角、倍角所在象限的判定思路 （1）已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限用分类讨论法,要对的取值分以下几种情况进行讨论:被整除; 被除余1;被除余被除余.然后方可下结论； （2）已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限,可依据角的范围求出的范围,再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况. 【例7】若α是第四象限角，则下列角中是第一象限角的是（    ） A．α＋180° B．α－180° C．α＋270° D．α－270° 【答案】D 【解析】根据α是第四象限角，取特殊角α＝350°判断. 【详解】因为α是第四象限角， 所以可令α＝350°，则α－270°＝80°， 所以为第一象限角， 故选：D． 【跟踪训练】 1．若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】由象限角的定义即可求解. 【详解】由题意是第二象限角， 所以不妨设， 所以， 由象限角的定义可知是第四象限角. 故选：D. 2．已知与角的终边相同，判断是第几象限角. 【答案】第二或第四象限角 【分析】根据终边相同的角写出，再分类讨论求半角所属象限角即可. 【详解】由（），可得（） 若k为偶数，设，，则（）， 从而与角的终边相同，是第二象限角； 若k为奇数，设，，则（）， 从而与角的终边相同，是第四象限角. 因此是第二或第四象限角. 3．若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 【答案】可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角 【分析】根据象限角的表示方法，得到和的表示，进而判定其象限，得到答案. 【详解】因为是第二象限角，所以， 可得， 所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角． 又由 ， 当时，，此时是第一象限角； 当时，，此时是第二象限角； 当时，，此时是第四象限角． 综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． 题型06：弧度制与角度制的互化 【名师点拨】角度制与弧度制互化的原则 牢记,充分利用和进行换算. 【例8】将下列角度与弧度进行互化： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】（1）（2）（3）（4）利用弧度与角度的关系进行转化即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【跟踪训练】 1.将化为弧度制，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角度与弧度的换算关系可得结果. 【详解】. 故选：C. 2.把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)；(4). (5) (6)(7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9） （10）. 题型07：扇形的弧长与面积 【名师点拨】（1）明确弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形的圆心角). （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 【例9】已知扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，则该扇形的弧长为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用扇形面积及弧长公式列式求解. 【详解】设扇形半径为，由扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，得，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：C 【例10】一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为 . 【答案】 【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 【例11】已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是 . 【答案】/ 【分析】由扇形面积公式可直接求得结果. 【解析】扇形面积. 故答案为：. 【例12】折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大的扇形面积减去小的扇形面积可求得结果. 【详解】，转化为弧度制为， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， 则曲边四边形的面积为：. 故选：B. 【跟踪训练】 1．已知某扇形的面积为4，半径为2，则该扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式计算可得. 【详解】设该扇形的弧长为， 因为，， 则，解得. 故答案为： 2.已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】依题意先求出扇形半径，再求扇形面积即可. 【详解】设扇形的半径为，依题意，，解得， 则该扇形的面积为. 故选：B. 3．已知某扇形的周长为16，则当此扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为 ． 【答案】2 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得，结合扇形面积公式和二次函数求最值，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大，此时，角度 故答案为：2 4．已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为 ． 【答案】2 【分析】利用扇形面积公式，结合二次函数求出最大值，即可求解半径. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大． 故答案为：2 5.已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为 . 【答案】 【分析】根据题意结合弧长和扇形面积公式解得，进而可求扇形周长. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 则扇形的面积，即， 且，解得， 所以扇形的周长. 故答案为：. 题型08：扇形的弧长与面积综合（最值问题） 【例13】《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】 【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，， ∴，即，得， ∴弧田面积，而， ∴. （2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积， ∴当且仅当时等号成立. ∴当时，该扇形面积最大. 【点睛】关键点点睛： （1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可； （2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积关于圆心角的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件. 【跟踪训练】 1.已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 2.已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 . 【答案】 【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而求得的周长. 【详解】设扇形所在圆半径为，∴ 如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴, ，故，所以最大的圆周长为.故答案为： 一、选择题 1．下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】B 【分析】由角度制和弧度制的定义，象限角的概念，判断各选项的正误. 【解析】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误； 若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，B选项正确； 当，时，与终边重合，但两个角不相等，C选项错误； 不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D选项错误. 故选：B 2.下列结错误的有（   ） A．是第二象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．与角终边相同的最小正角是 D．若角为锐角，则角为钝角 【答案】D 【分析】逐个分析选项，通过角的终边转化判断象限、利用弧长公式计算扇形面积、通过终边相同角的转化求最小正角、举反例验证锐角的二倍角性质. 【详解】选项A：，，对应第二象限，A正确. 选项B：由弧长公式，得半径. 扇形面积，B正确. 选项C：，故与终边相同的最小正角是，C正确. 选项D：取锐角，则仍为锐角，并非钝角，D错误. 故选：D 3．角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求与大小为的角的终边关于轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求即可. 【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称， 所以. 故选：D. 4．若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是． 故选：D． 5．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环.如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得在扇形中，，解得，所以有扇形的面积为； 在扇形中，有，解得，所以有扇形的面积为， 所以该扇环的面积为， 故选：A. 二、填空题 6. 2024°角的终边在第 象限. 【答案】三 【分析】根据终边相同的角判断即可. 【解析】且角是第三象限角， 角的终边在第三象限. 故答案为：三. 7.将弧度化为角度：弧度= °． 【答案】 【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解. 【解析】. 故答案为： 8. 将角的终边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合 ． 【答案】 【分析】先求出，再由终边相同的角求解即可． 【解析】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为． 则，故终边与相同的角的集合. 故答案为：. 9．已知扇形的周长为，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是 ． 【答案】 【分析】根据扇形周长公式得出弧长与半径的关系，再结合扇形面积公式，利用二次函数的性质求出面积最大时半径的值，进而求出圆心角的弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 已知扇形的周长，由扇形周长公式， 可得，移项可得， 又扇形面积， 将代入面积公式可得， 根据二次函数的图像性质，可得当时，面积取得最大值， 当时，可得， 所以圆心角. 故答案为： 10.已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 . 【答案】/ 【分析】由弧长公式直接求解即可. 【解析】由弧长公式可得，弧长为. 故答案为：. 11.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长是 . 【答案】 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，解得.故答案为： 12.若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】设扇形半径为r，而圆心角为，弧长.因此，则扇形面积为.故答案为： 13.已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在的圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设这条弧所在的圆的半径为，，又圆心角所对的弧长为，所以，解得.故选：B. 14.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【答案】 【分析】利用扇形面积公式去求扇环部分的面积即可. 【解析】设线段的中点为，则.    故答案为： 3、 解答题 15．若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 【答案】是第一象限或第三象限的角，是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 【分析】由的范围，求出的范围，分类讨论可得到角的象限． 【详解】因为是第一象限角， 所以， 所以， 当时，，在第一象限； 当时，，在第三象限； 所以是第一象限或第三象限的角． 因为， 所以是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 16．已知一个扇形的周长是40， (1)若扇形的面积为75，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S的最大值. 【答案】(1)扇形的圆心角为或 (2) 【分析】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，进而求解可得扇形的圆心角； （2）设扇形的半径为，扇形的弧长为，，利用基本不等式可求得扇形面积S的最大值. 【详解】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为， 由题意可得，所以， 所以，所以， 所以，解得或. 当时，，扇形的圆心角为； 当时，，扇形的圆心角为； 综上所述：扇形的圆心角为或； （2）设扇形的半径为，扇形的弧长为， 由题意可得，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以扇形面积S的最大值为. 17．已知一个扇形的周长是40， (1)若扇形的面积为75，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S的最大值. 【答案】(1)扇形的圆心角为或 (2) 【分析】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，进而求解可得扇形的圆心角； （2）设扇形的半径为，扇形的弧长为，，利用基本不等式可求得扇形面积S的最大值. 【详解】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为， 由题意可得，所以， 所以，所以， 所以，解得或. 当时，，扇形的圆心角为； 当时，，扇形的圆心角为； 综上所述：扇形的圆心角为或； （2）设扇形的半径为，扇形的弧长为， 由题意可得，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以扇形面积S的最大值为. 18.某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 【答案】(1) (2)，当时，y取得最大值，最大值为 【分析】（1）通过表示出扇环形花坛的周长即可得出θ关于x的函数关系式； （2）列出y关于x的函数关系式，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由题意得，故． （2）花坛的面积为． 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用的比为． 令，则，则， 当且仅当，即时， y取得最大值，最大值为，此时，． 故当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大 1 学科网（北京）股份有限公司 $