专题8.3.1 向量基本定理（2大知识点+8大题型+强化训练）提升讲义-2025-2026学年高一数学寒假班预修（沪教版)

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题8.3.1 向量基本定理 知识点1：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使．我们把两个不共线的向量叫作表示这个平面的一组基底． 2、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点2：平面向量基本定理的应用 1、唯一性的应用 设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 题型一、平面向量基本定理辨析 【例1】下列结论正确的是（ ） （1） 基底中的向量不能为零向量． （2） 平面内的任何两个向量都可以作为一个基底． （3）若不共线，且，则.　 （4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示． 【跟踪训练】 1.下列选项中，正确的是________ (1)基中的向量可以有零向量 (2)一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 (3)一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 (4)平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 2. 下列说法正确的是（    ） （1）长度为的向量都是零向量 （2）若向量与共线，则存在唯一的实数使 （3）若两个向量的数量积小于零，则它们的夹角一定为钝角 （4）若、是同一平面内两个不共线的向量，则可以表示该平面内所有向量 题型二、基底的判断 【名师点拨】考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 【例2】设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪训练】 1.若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（    ） A． B． C． D． 题型三、用基底表示向量 【名师点拨】（1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． （2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 【例3】在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 2.在中，为边上的中线，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3.如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（   ） A． B． C． D． 题型四、根据向量基本定理求参数 【例4】如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2.在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 3.已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 4．如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 ． 题型五、根据三点共线求参数 【例5】在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【跟踪训练】 1.已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（    ） A． B． C． D． 2.如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 4.如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 题型六、利用基底法求向量的数量积 【例6】正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 【例7】已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 【例8】如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，在中，点､分别为､中点，与相交于点，点满足.记，，用，表示 ；若，，，则 . 2.如图，在中，点是的中点，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，，求． 题型七、向量基本定理有关的最值、取值范围问题 【例9】在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为 . 【例10】在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例11】若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 【跟踪训练】 1.如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 2.如图所示的矩形中，，满足，，G为EF的中点，若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．2 题型八、解答综合题 【例12】如图，在中，，，BE与AD相交于点M．    (1)用，表示，； (2)若，求的值． 【例13】如图所示，已知点是的重心.    (1)求； (2)若过的重心，且，，，，求证：. 一、选择题 1．下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 3.已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4.如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（   ） A． B． C． D． 5.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．若，则（    ） A． B．0 C． D．1 6．等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7.若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为______ ①和；②和；③和；④和. 8.在中，，，若M是的中点，则 .（用、表示） 9.在中，点是线段的中点，点是线段上一点，，则_______ 10.如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 11．所在平面内一点满足：，且，则的值为________ 12．在中，点满足，若，则_______ 13.如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 14.已知矩形，是的中点，则 ． 15．在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若，，则的最小值是 .    3、 解答题 16.如图所示，在中，点 是的中点，点是靠近点 将分成的一个三等分点，和交于点，设、.      (1)用、表示向量、； (2)若，求的值. 17.如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 18．如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上． (1)若点为线段上靠近的三等分点，求的值； (2)求的取值范围． 19．如图，在平行四边形ABCD中，，，，，，    (1)求的值； (2)若，，，求的值． 20.在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题8.3.1 向量基本定理 知识点1：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使．我们把两个不共线的向量叫作表示这个平面的一组基底． 2、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点2：平面向量基本定理的应用 1、唯一性的应用 设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 题型一、平面向量基本定理辨析 【例1】下列结论正确的是（ ） （1） 基底中的向量不能为零向量． （2） 平面内的任何两个向量都可以作为一个基底． （3）若不共线，且，则.　 （4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示． 【答案】 (1) (3) (4) 【分析】根据题意，结合向量的定义，平面向量基底的定义，平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解 【详解】对于（1）中，因为零向量和任意向量共线，所以基底中的向量不能为零向量，所以（1）正确； 对于（2）中，平面内不共线的两个向量才可以作为一个平面基底，所以（2）错误； 对于（3）中，由不共线，且， 根据向量的运算法则，可得，所以（3）正确； 对于（4）中，根据平面基底的定义，可得平面向量的基底不唯一，根据平面向量基本定理，可得平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示，所以（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4） 【跟踪训练】 1.下列选项中，正确的是________ (1)基中的向量可以有零向量 (2)一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 (3)一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 (4)平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 【答案】(3)(4) 【分析】理解平面内一组不共线的向量可以作为一个基底，对平面内任意向量进行线性表示即可依次判断各选项． 【详解】(1)．基中的向量是非零向量，错误，不符合题意； (2)一个平面内只要有一组不共线的向量就可作为表示该平面内所有向量的基，有无数组，选项错误，不符合题意； (3)一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基，正确，符合题意； (4)平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的，正确，符合题意； 故选：(3)(4)． 2. 下列说法正确的是（    ） （1）长度为的向量都是零向量 （2）若向量与共线，则存在唯一的实数使 （3）若两个向量的数量积小于零，则它们的夹角一定为钝角 （4）若、是同一平面内两个不共线的向量，则可以表示该平面内所有向量 【答案】（1）（4） 【分析】利用零向量的定义可判断A选项；取，可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量基本定理可判断D选项. 【详解】对于（1），长度为的向量都是零向量，（1）对； 对于（2），若非零向量与共线，且，则不存在实数，使得，（2）错； 对于（3），若两个向量的数量积小于零，则它们的夹角为钝角或，（3）错； 对于（4）选项，由平面向量的基本定理可知，若、是同一平面内两个不共线的向量， 则可以表示该平面内所有向量，（4）对. 题型二、基底的判断 【名师点拨】考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 【例2】设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D 【跟踪训练】 1.若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，所以共线，不能作为基底； 对于B选项，，所以共线，不能作为基底； 对于C选项，，所以共线，不能作为基底； 对于D选项，易知不共线，可以作为基底. 故选：D. 2.已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 3.已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线，分别判断选项中的向量是否共线即可. 【详解】对于A，，故共线，故A错误； 对于B，，故共线，故B错误； 对于C，，故共线，故C错误； 对于D，设，，则， 所以，无解，故不共线，故D正确. 故选：D. 题型三、用基底表示向量 【名师点拨】（1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． （2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 【例3】在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，而， 所以 故选：D 【跟踪训练】 1.如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量基本定理得到答案. 【解答过程】点是的中点，， ． 故选：D． 2.在中，为边上的中线，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以． 故选：B 3.如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可. 【解答过程】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 . 故选：A. 题型四、根据向量基本定理求参数 【例4】如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解． 【解答过程】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，所以． 故选：A． 【跟踪训练】 1.如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【解答过程】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 2.在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】选一组基底，利用平面向量基本定理即可求解. 【解答过程】 因为是边上靠近点的三等分点，是的中点， 所以， 所以， 因为，不共线，所以. 故选：C. 3.已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 4．如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则 ． 【答案】 【详解】连接，如图所示： 所以，则. 故答案为： 题型五、根据三点共线求参数 【例5】在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【解答过程】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【解析】利用三点共线再利用向量相等可得答案. 【详解】由点共线，得， 而，于是有， 即，. 故选：C. 2.如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 3.如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 【答案】/0.4 【分析】设，在中，利用向量加减法的三角形法则表示出，进而表示出；设，同理，在中表示出，根据平面向量基本定理列出方程组，求出，即可得到的值，即可得解. 【详解】因为， 所以. 设，所以①. 因为为的中点，所以. 设，又， 所以 ②. 由①②可得，解得. 所以，所以. 故答案为： 4.如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【解答过程】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 题型六、利用基底法求向量的数量积 【例6】正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】0 【分析】用表示，再根据向量数量积运算求解. 【详解】在正方形中，，且， ，， . 故答案为：0. 【例7】已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 【答案】 【分析】由平面向量的加法运算法则及向量数量积的运算性质求解即可 【详解】在矩形中，因为，所以. 由平面向量的运算法则可得： . 故答案为：. 【例8】如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 【跟踪训练】 1.如图，在中，点､分别为､中点，与相交于点，点满足.记，，用，表示 ；若，，，则 . 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理将表示出来，利用向量的数量积运算律和数量积的定义求出. 【详解】由题意知，. . 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：①②. 2.如图，在中，点是的中点，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量基本定理得到； （2）在（1）基础上，利用向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【解答过程】（1）点是的中点，， 故， ； （2）由（1）知， ． 题型六、向量基本定理有关的最值、取值范围问题 【例9】在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据中点的性质将转化为与有关的向量，再利用三点共线得到与的关系，最后根据均值不等式求出的最大值. 【详解】因为，所以. 因为点在线段上（端点不重合），所以三点共线， 所以，且，​. 由均值不等式，可得， 化简得，即. 当且仅当时等号成立，结合，可得，时等号成立. 故答案为：. 【例10】在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    【例11】若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 【答案】/ 【分析】根据平面向量基本定理及向量共线的条件可得，，再由基本不等式可得最大值. 【详解】因为是内部或边上的动点，且， 根据平面向量基本定理可得，，（当P在边上时，）， 由基本不等式得，当且仅当时，即P是的中点时等号成立. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为是的中点，则 ， 、、三点共线， ， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D．    2.如图所示的矩形中，，满足，，G为EF的中点，若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】以为基底，根据平面向量线性运算即可求解. 【详解】因为，，G为EF的中点， 所以 ， 所以，所以. 故选：A 题型七、解答综合题 【例12】如图，在中，，，BE与AD相交于点M．    (1)用，表示，； (2)若，求的值． 【解析】（1）因为，所以， 所以． 因为，所以， 所以． （2）因为A，M，D三点共线，所以． 因为，所以，即． 因为B，M，E三点共线，所以． 因为，所以． 因为，所以，解得， 从而，，故． 【例13】如图所示，已知点是的重心.    (1)求； (2)若过的重心，且，，，，求证：. 【解析】（1）如图所示，延长交于点，则是的中点， ∴， ∵是的重心，∴，∴； （2）∵是边的中点，∴，   又∵是的重心， ∴，    ∴，   而， ∵、、三点共线，∴有且只有一个实数，使得， ∴，∴， ∵与不共线，∴且消去，得. 一、选择题 1．下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】对于①，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底（只要不共线就行），正确； 对于②，零向量和任何一个向量都平行，不能作为基底，错误； 对于③，由平面向量基本定理知，基底确定，分解形式也唯一确定，正确, 所以①③正确. 故选：B 2.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【解答过程】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 3.已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【解答过程】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 4.如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案. 【详解】由图形可知：. 故选：C. 5.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．若，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【解题思路】由得，进而，最后利用平面向量基本定理即可求解. 【解答过程】由四边形为平行四边形，为的中点，知，且， 所以，则． 因为， 所以，，所以． 故选：C． 6．等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，不妨设，则 因三点共线，故存在，使, 又因三点共线，故存在，使, 对照可得：，解得， 即， 于是 故选：C. 二、填空题 7.若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为______ ①和；②和；③和；④和. 【答案】②③ 【解析】对于①，，①不是； 对于④，，④不是， 对于②，因为，是平面内一组不共线的非零向量，故和均不是零向量， 若和共线，则存在实数，使得，即，无解， 故和不共线即它们可以形成基底向量，故②是； 对于③，同理和均为非零向量， 若和共线，则存在实数，使得， 即，无解，故和不共线即它们可以形成基底向量，故③是； 因此可以作为一组基底向量的为②③. 8.在中，，，若M是的中点，则 .（用、表示） 【答案】 【分析】根据平面向量加法的三角形法则与共线的向量的表达求解即可. 【详解】如图，    因为四边形为平行四边形， 所以，， 所以，. 又因为M为中点，所以. 得， 所以. 故答案为:. 9.在中，点是线段的中点，点是线段上一点，，则_______ 【分析】由平面向量的基本定理求解即可. 【详解】因为，所以，即，又， 所以，因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：A 10.如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 【答案】/ 【分析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可. 【详解】由得， 因为， 则， 因为三点共线， 所以，解得. 故答案为：. 11．所在平面内一点满足：，且，则的值为________ 【详解】因为，所以， 所以， 又，且、不共线， 所以，所以. 12．在中，点满足，若，则_______ 【详解】在中，点满足， 则， 又，所以. 13.如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 14.已知矩形，是的中点，则 ． 【答案】0 【分析】根据向量数量积的运算得到，最后代入数据即可. 【详解】如图所示： ，， 所以， 故答案为：0 15．在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】先用将表示出来，然后根据、、三点共线，列出关于的等式，最后根据基本不等式的性质求解即可. 【详解】因为为的中点，所以， 因为，所以； 因为，， 所以，，所以， 因为、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：. 3、 解答题 16.如图所示，在中，点 是的中点，点是靠近点 将分成的一个三等分点，和交于点，设、.      (1)用、表示向量、； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 【分析】（1）根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解； （2）由、、三点共线，得到，列出方程，得出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：因为点是的中点，可得，所以， 又点是靠近点将分成的一个三等分点，所以， 所以. （2）解：因为、、三点共线，所以存在实数，使得， 又因为，可得，， 所以， 因为不共线，则，解得 17.如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平面向量基本定理得到； （2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【解答过程】（1）点满足，点是边上的中点， 故， ； （2）点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 18．如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上． (1)若点为线段上靠近的三等分点，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意，, ∵， ， ∴． （2）设则 ∴， ∴， 显然为增函数，因，故． 19．如图，在平行四边形ABCD中，，，，，，    (1)求的值； (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 故，； （2）因为， 故 . 20.在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，然后用表示，根据三点共线求出的值； （2）根据，用表示，再将条件与代入，根据三点共线求出的关系，结合基本不等式求解. 【详解】（1）因为，所以 ① 因为E，P，F三点共线，所以设，则， 即② （1）因为，即 设，代入①则有，因为E，P，F三点共线，     所以，解得，所以. （2）由题，，代入①可知，， 由②得：所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $