专题9.1.2复数的实部、虚部与共轭 （5大知识点+8大题型+强化训练）提升讲义-2025-2026学年高一数学寒假班预修（沪教版必修第二册)

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题9.1.2 复数的实部、虚部与共轭 知识点一、复数的实部虚部与分类 1、 复数的代数形式：复数的表达式称为它的代数形式，其中叫复数的实部，记作；叫复数的虚部，记作； 2、复数的分类： 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当b≠0时，叫做虚数； （3）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点二、共轭复数 1、共轭复数的概念：实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数， 也称这两个复数互相共轭.复数的共轭复数用表示， 也就是当时， 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数； 2、共轭复数的几何与代数特征: （1）几何特征：非零复数互为共轭复数对应点；（或对应向量，）关于实轴对称； （2）代数特征：①为纯虚数或零；　②. 3、共轭复数的性质 （1）一个复数的共轭复数的共轭复数是它自己，即对任何复数，； （2）取共轭复数的过程与复数的四则运算可交换，即对复数与， ①； ② ；　 ③（）； ④； ⑤； ⑥（请：证明）； 　 ⑦若z为纯虚数（请：证明）；⑧ 题型一、复数的实部与虚部 【例1】（2024·上海青浦·二模）已知复数，则 ． 【答案】/2.5 【分析】根据复数的运算法则求出，再写出复数的虚部即可. 【详解】∵， ∴， 故答案为：. 【例2】（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 【答案】 【分析】设出复数的代数形式，由给定条件列式，结合复数乘法及复数相等求解. 【详解】设，则，由，得，解得， 即，由，得，所以. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2024·上海·二模）已知复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】1 【分析】根据复数的运算法则求出，再写出复数的虚部即可. 【详解】∵， ∴， 故答案为：. 2．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知是虚数单位，则 ． 【答案】/ 【分析】 由复数除法运算以及虚部的概念即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 3.已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】直接根据复数的概念可得. 【详解】由复数的实部与复数的虚部相等，且为实数，所以. 故选：D. 4.已知复数的实部与虚部和为，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴解得， 故选D． 5.分别写出下列各复数的实部与虚部． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)； (7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)． 【答案】(1)实部为，虚部为 (2)实部为，虚部为 (3)实部为，虚部为 (4)实部为，虚部为 (5)实部为，虚部为 (6)实部为，虚部为 (7)实部为，虚部为 (8)实部为，虚部为 (9)实部为，虚部为 (10)实部为，虚部为 (11)实部为，虚部为 (12)实部为，虚部为 【分析】根据复数的实部和虚部的概念进行求解. 【详解】（1）的实部为，虚部为 （2）的实部为，虚部为 （3）的实部为，虚部为 （4）实部为，虚部为 （5）的实部为，虚部为 （6）的实部为，虚部为 （7）的实部为，虚部为 （8）的实部为，虚部为 （9）的实部为，虚部为 （10）的实部为，虚部为 （11）的实部为，虚部为 （12）的实部为，虚部为 题型二、复数的分类 【例3】实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数. 【答案】(1)或; (2)且； (3). 【分析】根据复数的概念分别列等式求解即可. 【详解】（1）当复数是实数时，，解得或； （2）当复数是虚数时，，解得且； （3）当复数是纯虚数时，则，解得. 【跟踪训练】 1．若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 【答案】B 【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值. 【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得. 故选：B. 2．已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列出等式，然后计算即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 题型三、已知复数的类型求参数 【例4】已知复数 为纯虚数，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或1 【答案】B 【分析】利用纯虚数的概念可得所满足的条件，计算求解即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 【跟踪训练】 1.复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】考查复数相关概念问题，根据实数和虚数概念求解即可. 【详解】若复数，（，）为实数， 则有， ， 故选：A. 2.已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【解题思路】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； （2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； （3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【解答过程】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 3.已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】由纯虚数概念得到求解即可. 【解答过程】因为复数是纯虚数， 所以， 解得. 故选：A. 4.已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果. 【详解】因为， 所以复数是纯虚数，则满足，则， 故答案为：. 题型四、复数中的比较大小 【例5】若，且，求实数x的取值范围． 【答案】 【分析】根据复数的概念，列出方程组，求得，进而验证，即可求解. 【详解】由题意知，可得，解得， 当时，可得，此时满足， 所以实数x的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知为虚数单位，实数满足，则 ． 【答案】6 【分析】根据复数为实数的条件，解不等式即可求解. 【详解】由题意，即，解得. 故答案为：6 2.若为实数，复数，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，可得该复数是实数，再列式计算即得. 【详解】由只能是实数才能比较大小，得为实数，因此，解得， 所以. 故答案为：2 3.已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简，然后计算，根据纯虚数的概念即可求解. （2）因为虚数无法比较大小，所以，由题意可知，为实数，令的实部大于0，虚部为0，即可求解. 【详解】（1）化简，， ， 因为为纯虚数， 则，解得 （2）因为， 则，解得. 题型五、共轭复数 【例6】若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算得到，根据共轭复数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：. 【例7】若复数（其中为虚数单位，）满足为实数，则 ． 【答案】4 【分析】先根据得到，从而求出. 【解析】，， 故， 因为为实数，所以，故， 故. 故答案为：4 【跟踪训练】 1．（2024·上海徐汇·二模）已知复数（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】由复数除法求得后，再根据复数的乘法计算． 【详解】由已知， 所以． 故答案为：2． 2.设复数，则 ． 【答案】2 【分析】根据共轭复数的定义及复数的四则运算法则计算即可. 【详解】根据共轭复数的定义可知，. 所以. 故答案为：2. 3．（2023上·上海黄浦·高三统考期中）已知复数（i为虚数单位），则满足的复数为 ． 【答案】 【分析】根据已知结合共轭复数得出，代入化简，即可得出答案. 【详解】，则， 则，为， 即， 故答案为： 4．（2023上·上海虹口·高三统考期末）设i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算法则和共轭复数相关概念直接计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A 5．（2024·上海长宁·一模）已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 【答案】A 【分析】根据复数的加减法，结合虚数和纯虚数的定义即可逐一求解. 【详解】设,则故为实数，故A正确， 对于B，，当时，此时为实数，故B错误， 对于C，则，当时，此时为实数，C错误， 对于D, ，则，则是实数，故D错误， 故选：A 题型七、综合提升 【例8】已知是虚数单位，若m为实数，,，那么使的m值的集合是什么？使的m值的集合又是什么？ 【提示】注意：题设中“”、“”中的隐含条件； 【解析】因为，m为实数，，， 又因为，，所以，,为实数； 当为实数时,,解得或或，所以，或或. 当为实数时,,解得或或，所以，或或. 上面m的公共值为，此时,同时为实数，即,， 所以，使的m值的集合是空集，使的m值的集合是； 【说明】本题考查了根据可知为实数，即考查了虚数不能比较大小的知识点与求方程的解；再求解对应的虚部为0的情况分析即可； 【例9】已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1. （1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围； （2）若ω＝，求证：ω为纯虚数． 【解析】（1）z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i. 因为z2是实数，b≠0， 于是有a2＋b2＝1， 即|z1|＝1，所以z2＝2a， 由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤， 即z1的实部的取值范围是. （2）ω＝＝＝＝－i. 因为a∈，b≠0， 所以ω为纯虚数． 【例10】已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 【例11】已知是虚数单位，设，． (1)已知，且，求的值； (2)求证：． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）设，再分及代入计算即可得解； （2）设，再分及验证是否恒成立即可得. 【详解】（1）设， 若，则， 故， 即，，即； 若，则， 故， 即，，即； 综上所述，或； （2）设， 若，则，， 则， ，故； 若，则，， ， ，故； 故恒成立，即得证. 一、选择题 1.已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用复数的乘除法则计算出复数，然后利用共轭复数的概念求出结果. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：C. 2.设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　) A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是虚数 C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2<0 【提示】理解复数分类的标准； 【答案】C； 【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)， 选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确； 选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确； 选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误； 选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确； 3.若是纯虚数，则实数的值为（    ）． A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【解析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则. 4.已知，，则“”是“复数是实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据复数的概念，即可得出答案. 【解答过程】若，则复数是实数； 若复数是实数，则. 所以“”是“复数是实数”的充要条件. 故选：C. 5.已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【解题思路】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可. 【解答过程】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性. 故选：B. 6.下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解题思路】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【解答过程】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 二、填空题 7.已知复数，为虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据，确定其实部和虚部，即可求得答案. 【详解】由复数，可知其实部和虚部分别为1和 , 故， 故答案为： 8.已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为 【答案】2－i 【解析】由＝1－yi，得＝1－yi，即－i＝1－yi，∴ 解得x＝2，y＝1， ∴x＋yi＝2＋i， ∴其共轭复数为2－i. 9．（2024·上海宝山·一模）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 【答案】 【分析】根据已知条件，列出方程即可求解. 【详解】因为为纯虚数，所以，即， 所以. 故答案为： 10．（2024·上海静安·一模）已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算和复数分类即可得到答案. 【详解】， 因为其为纯虚数，则且，解得. 故答案为：. 11．（2023·上海崇明·统考一模）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 ． 【答案】2 【分析】由复数的概念列方程组求解即可. 【详解】由于复数（为虚数单位）是纯虚数，所以， 解得， 故答案为：2. 12．（2025·上海长宁·二模）复数，，则 ． 【答案】/ 【分析】由已知可得，根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 13．（2025·上海徐汇·二模）复数（其中为虚数单位）的虚部是 ． 【答案】/0.5 【分析】根据复数除法，化简，进而直接写出虚部即可. 【详解】，故其虚部为. 故答案为：. 14．（2025·上海普陀·二模）已知复数，其中i为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】根据复数的运算求出，再根据共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为， . 故答案为： 15.已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 【答案】 【分析】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为： 16.已知，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法求出，再求共轭复数即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：． 17.设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为_______ 【提示】注意：先化简已知复数； 【答案】3； 【解析】复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，则a－3＝0，即a＝3； 18.若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为 【提示】注意：先化简； 【答案】； 【解析】由，因为复数的实部与虚部相等， 所以，解得，故实数a的值为； 19.若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为________ 【提示】注意：理解共轭复数与复数运算； 【答案】0； 【解析】z2＋2＝(1＋i)2＋(1-i)2＝0，所以，z2＋2的虚部为0； 20.设，则下列命题中为真命题的序号是 . ①若，则； ②的充要条件为； ③复数为实数的充要条件为； ④若，则为纯虚数. 【答案】③ 【分析】利用实数可以比较大小，复数不能比较大小判断①；举反例判断结合充分，必要条件的定义可判断②；根据充分，必要条件的定义可判断③；举反例说明④. 【详解】对于①，实数可以比较大小，但复数不能比较大小，为实数，但与不一定为实数，如，，故①错误； 对于②，当，时，，故为的充分不必要条件，故②错误；； 对于③，设复数，若为实数，则；若，即，得；所以复数为实数的充要条件为，故③正确； 对于④，若，则为实数，故④错误. 故答案为：③ 3、 解答题 21.写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【解题思路】根据复数得出实部及虚部，进而根据复数类型定义判断复数是实数还是虚数或纯虚数即可. 【解答过程】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数. 22.当实数为何值时，复数满足下列条件？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 【答案】(1) (2)且 (3) 【解题思路】（1）根据复数是实数列式计算求参； （2）根据复数是虚数列式计算求参； （3）根据复数是纯虚数列式计算求参. 【解答过程】（1）当即时，复数是实数． （2）当，且，即且时，复数是虚数． （3）当即时，复数是纯虚数． 23.已知复数． (1)当为实数时，求的值； (2)当为纯虚数时，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意得到实部有意义、虚部为0即可； （2）要求实部为0且虚部不为0即可，得到方程组，可得答案. 【详解】（1）为实数， ， 解得或， 当为实数时，或； （2）为纯虚数， ， 解得， 当为纯虚数时，. 24.已知复数． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据纯虚数定义列式求参； （2）根据复数相等列式，结合三角函数值域求范围即可. 【解答过程】（1）因为为纯虚数，所以解得． （2）由于，所以 所以， 又，所以当时，，当时，， 所以实数的取值范围是． 25．设是虚数，，且． (1)求的值及的实部的取值范围； (2)求证：是纯虚数； (3)求的最小值． 【答案】(1)1； (2)证明见解析. (3) 【分析】（1）设出复数，写出的表示式，进行复数的运算，把整理成最简形式，根据所给的的范围，得到的虚部为，实部属于这个范围，得到的实部的范围． （2）根据设出的，整理的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问求出的、的范围，得到是一个纯虚数． （3），再利用基本不等式即可求的最小值． 【解析】（1）因为是虚数，设，则， ，，，，，此时， ，，即的实部的取值范围. （2），， ，，，是纯虚数. （3） ，可得， 当且仅当，即时取得最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题9.1.2 复数的实部、虚部与共轭 知识点一、复数的实部虚部与分类 1、 复数的代数形式：复数的表达式称为它的代数形式，其中叫复数的实部，记作；叫复数的虚部，记作； 2、复数的分类： 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当b≠0时，叫做虚数； （3）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点二、共轭复数 1、共轭复数的概念：实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数， 也称这两个复数互相共轭.复数的共轭复数用表示， 也就是当时， 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数； 2、共轭复数的几何与代数特征: （1）几何特征：非零复数互为共轭复数对应点；（或对应向量，）关于实轴对称； （2）代数特征：①为纯虚数或零；　②. 3、共轭复数的性质 （1）一个复数的共轭复数的共轭复数是它自己，即对任何复数，； （2）取共轭复数的过程与复数的四则运算可交换，即对复数与， ①； ② ；　 ③（）； ④； ⑤； ⑥（请：证明）； 　 ⑦若z为纯虚数（请：证明）；⑧ 题型一、复数的实部与虚部 【例1】（2024·上海青浦·二模）已知复数，则 ． 【例2】（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 【跟踪训练】 1．（2024·上海·二模）已知复数满足（为虚数单位），则 . 2．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知是虚数单位，则 ． 3.已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 4.已知复数的实部与虚部和为，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D． 5.分别写出下列各复数的实部与虚部． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)； (7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)． 题型二、复数的分类 【例3】实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数. 【跟踪训练】 1．若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 2．已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 题型三、已知复数的类型求参数 【例4】已知复数 为纯虚数，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或1 【跟踪训练】 1.复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 2.已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 3.已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4.已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ． 题型四、复数中的比较大小 【例5】若，且，求实数x的取值范围． 【跟踪训练】 1.已知为虚数单位，实数满足，则 ． 2.若为实数，复数，则 ． 3.已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. 题型五、共轭复数 【例6】若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ． 【例7】若复数（其中为虚数单位，）满足为实数，则 ． 【跟踪训练】 1．（2024·上海徐汇·二模）已知复数（为虚数单位），则 . 2.设复数，则 ． 3．（2023上·上海黄浦·高三统考期中）已知复数（i为虚数单位），则满足的复数为 ． 4．（2023上·上海虹口·高三统考期末）设i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海长宁·一模）已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 题型六、综合提升 【例8】已知是虚数单位，若m为实数，,，那么使的m值的集合是什么？使的m值的集合又是什么？ 【例9】已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1. （1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围； （2）若ω＝，求证：ω为纯虚数． 【例10】已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【例11】已知是虚数单位，设，． (1)已知，且，求的值； (2)求证：． 一、选择题 1.已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2.设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　) A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是虚数 C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2<0 3.若是纯虚数，则实数的值为（    ）． A． B．0 C．1 D． 4.已知，，则“”是“复数是实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 6.下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 7.已知复数，为虚数单位，则 ． 8.已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为 9．（2024·上海宝山·一模）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 10．（2024·上海静安·一模）已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为 . 11．（2023·上海崇明·统考一模）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 ． 12．（2025·上海长宁·二模）复数，，则 ． 13．（2025·上海徐汇·二模）复数（其中为虚数单位）的虚部是 ． 14．（2025·上海普陀·二模）已知复数，其中i为虚数单位，则 . 15.已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 16.已知，则 ． 17.设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为_______ 18.若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为 19.若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为________ 20.设，则下列命题中为真命题的序号是 . ①若，则； ②的充要条件为； ③复数为实数的充要条件为； ④若，则为纯虚数. 3、 解答题 21.写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)0． 22.当实数为何值时，复数满足下列条件？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 23.已知复数． (1)当为实数时，求的值； (2)当为纯虚数时，求的值． 24.已知复数． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 25．设是虚数，，且． (1)求的值及的实部的取值范围； (2)求证：是纯虚数； (3)求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $