2026年九年级数学中考专题圆——反A、三角函数、双垂直模拟题分类汇编（巧法解决问题）

专题圆参考答案 1.(1)见解析 R36 2 【分析】本题考查圆周角定理、圆的切线的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质 等知识，熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解答的关键 (1)连接OE,利用圆周角定理推出∠AOE=2LACE=90°，则OE⊥AB,再利用切线的 性质得到OE⊥EF，进而利用平行线的判定可得结论； (2)证明△EBH△ECB,得到辈=器，进而求得BE2-27,在Rt△B0E中， 利用勾股定理求解即可· 【详解】(1)证明：连接OE, :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， :CE平分∠ACB, ∠4CE=∠BCE-ACB=4S. ∠A0E=2LACE=90°，则OE⊥AB, .:EF与⊙O相切于点E, OE⊥EF, .EF∥AB; H E (2)解： ·∠ABE=∠BCE=∠ACE=45°，∠CEB=∠CEB, .△EBH∽△ECB “器=器· CH=6 5,EH=9 5 :CE CH+EH=35, B82=CBEH=35×25=27 在RtAB0E中，OB=OE,∠B0E=90°， ·BE2=0B2+0E2=20B2,则0B2-专BE2-号， 0B= 5,即00的半径为3V6 2 2.(1)证明见解析 a号 【分析】(1)连接OB,由圆周角定理得LCBF=90°，进而由LBAF=∠BAC,即得 BF=BC,得到∠BCF=∠BFC=45°，进而得∠OBC=∠OCB=45°，由根据平行线的性质 得∠ECF=90°，得LBCE=45°，即得∠EBC=45°，即得到∠0BE=90°，即可求证； (2)连接BF,由四边形B0CE是正方形得OB=BE=3,即得 BF=VDB2+OF-V32+32=3V2，最后利用△BFD~△BAF解答即可求解. 【详解】(1)证明：连接0B, :CF是O0的直径， ·∠CAF=90°， A :AB平分LFAC, ·∠BAF=∠BAC=45°， D 弧BC=弧BC, ∴.∠B0C=2∠BAC=90o, B 又BE∥CD, .∠0BE+∠B0C=180°， ∠0BE=90°， 即OB⊥BE, :OB是⊙0的半径， BE为OO的切线； (2)解：如图，连接BF 由(1)得，LECF=L0BE=LE=90°， .四边形BOCE是矩形， 0B=0C, 四边形BOCE是正方形， .OB=BE=3,∠B0C=∠B0D=90°， “BF=V0B2+0F=V32+32=32,B01CF, :弧BC=弧BC B ∴∠BFC=∠BAC=∠BAF=45°，∠FBA=∠FBA, ∴.△BFD∽△BAF “嚣=器 BE2=BA.BD (3E)2=5BD' BD= 【点晴】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性 质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题 的关键。 3.(1)见解析 ⊙3g 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径对的圆周角是直角， 熟练掌握切线的判定定理是解题的关键 (1)连接OA,根据直径所对的圆周角为直角得到∠BAE=90°.根据等腰三角形的性质得 到∠ABC=∠BAO,求得∠OAC=90°，根据切线的判定定理得到结论； (2)根据相似三角形的判定和性质定理得到BC=12,求得BE=BC-CE=9.连接BD, 根据角平分线的定义得到∠BAD=∠EAD,求得BD=DE,得到BD=DE,根据等腰直角三 角形的性质即可得到结论 【详解】(1)证明：如图，连接OA, D :BE是OO的直径， ∠BAE=90°. .∠BA0+∠OAE=90°， :0A=0B, :∠ABC=∠BAO. :∠EAC=∠ABC, :LCAE=∠BAO. ∠CAE+∠0AE=90°. ∠0AC=90°. :0A是⊙0的半径， CA是⊙0的切线； (2)解：：LEAC=LABC,∠C=∠C, △ABC∽△EAC. .AC CE BC AC 6=3 ·.8C6 BC=12. .BE BC-CE=9. 如图，连接BD, CAD平分∠BAE, D .∠BAD=∠EAD. :BD=DE· .BD DE. :BE是⊙O的直径， :∠BDE=90°. ∴.∠DBE=∠DEB=45° .DE=BD- 2 BE=9 2 4.(1)见解析 (2)00的半径为6 【分析】本题考查圆的切线判定以及利用相似三角形和三角函数求解圆半径，解题关键是通 过角的等量代换证明切线，利用圆周角定理、相似三角形性质和三角函数关系计算半径。 (1)连接OD,OC,利用PC=PE得到角相等，结合圆的半径相等及点D是半圆中点推 出∠AOD=∠B0D=90°，通过角的等量代换得出∠OCP=90°，依据切线判定定理证明结论。 (2)利用同弧所对圆周角相等得∠ADC=∠B,结合己知tanD的值得到tanB的值，由直径 所对圆周角是直角构建直角三角形，通过角的等量关系证明△PCA~△PBC,根据相似三角 形对应边成比例及已知PC的值求出PA、PB,进而得出AB,得到圆的半径。 【详解】(1)证明：连接0D,0C,如图， B.:PC=PE, D :ZPCE ZPEC, :∠OED=∠PEC, :∠PCE=∠OED 0C=0D, :ZOCD ZODC :点D是半圆AB的中点， ·AD=BD ∴.∠AOD=∠BOD=1×180°=90°， 2 :∠0DE+∠0ED=90°. ∠PCE+∠0CD=90°，即∠0CP=90°， .0C⊥CP. :0C为00的半径， CP是⊙0的切线： (2)解：：AC=AC, :∠ADC=∠B, :tan∠ADC=ianB= 1 :AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， 在Rt△ABC中， AC tan B= BC AC 1 ·BC2 :∠PCA+∠0CA=90°，L0CB+L0CA=90°， ·LPCA=∠OCB, 0C=0B, :∠OCB=LB, LPCA=∠B, ∠P=∠P, :aPCA∽△PBC, PA_PCAC1 PC PB BC2 :PC=8, .PA=4,PB=16 AB=PB-PA=16-4=12 00的半径为6. 5.(1)见解析： (2②BE=15 【分析】(1)连接OC,AC,可得∠FAC=∠CAE,然后根据等边对等角证明OC∥AF,再 由切线的性质得到OC⊥EF,再由平行线的性质即可求证； (2)先由圆周角定理得到∠BGD=∠BAD,连接BD,则∠ADB=90°，解Rt△ADB中， BAD=0,则0C=0BAB=5,证明∠C0E=LB4D,解R△C0E中，求得 O- ，再由BE=0E-OB即可求解. 25 【详解】(1)证明：连接OC,AC, 点C是BD的中点， R .BC CD, :∠FAC=∠CAE :0A=0C, :∠CAE=∠ACO, :∠FAC=∠AC0, .OC∥AF :EF切OO于C, OC⊥EF, :∠0CE=90 .∠F=∠0CE=90°， ·EF⊥AF: (2)解：·LBGD、∠BAD都是BD所对的圆周角， :∠BGD=∠BAD 连接BD, :AB是⊙0直径， ∠ADB=90°， 的 E 在Rt△ADB中，cOS∠BAD=coS∠BGD=2 4D、2 AB3' :AD=4, AB=3AD=10, ∴.OC=OB=AB=5 :点C是BD的中点， ∠COE=∠BAD 在RtAC0E中，cos∠COE=OC-2 OE5' ÷0E=30C=2 ÷BE=0E-0B=25-5= 15 22 【点晴】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质等知 识点，正确添加辅助线是解题的关键， 6.(1)见详解 四号 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等量代换，直径所 对的圆周角是直角，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质定理，并灵活应用. (1)根据圆周角的性质定理，直径所对的圆周角是直角，等量代换即可证明AE是⊙0的切 线： (2)利用直径定理和切线定理得出△DAE∽△FDE,根据相似三角形的性质得出AE的长度， 假设出半径，利用勾股定理列出方程，即可求出结果. 【详解】(1)证明： B D M BM =BM A 图1 ∠BOM=2∠BAM. :∠BOM=2∠BCA, :∠BAM=∠BCA. :AB为O0直径， .∠BMA=909 .∠ABM+∠BAM=90°. :∠ABM+∠BCA=90°. ∠BAC=90°. :AB⊥AE. :AB为O0直径， :AE是⊙O切线. (2)解：连接AD, D M:AB为O0直径， F A CE 图2 .∠ADB=90°. ∠FBA+LBAD=90°. 由(1)得，∠FAB=∠BAE=90° ∠FBA+∠F=90°. ∠BAD=LF· 0D=0A, :∠BAD=∠ODA. :∠F=∠ODA. ∠E=∠E, .△DAE∽△FDE. .AD_AE FD DE ”在RtADF中，tan∠F=D=L ,DE=6, FD 2 AE=3. 设0D=0A=x, 0E=DE-0D=6-x. 在Rt△OAE中，OA2+AE2=OE2 2+9=(6-x)2. 9 00的半径长为号 7.(1)见解析 聘 【分析】(1)先由MA是⊙0的切线，得∠0AM=90°，结合平行线的性质得 LAB0=∠M0C,LBA0=LMOA,整理得∠MOC=∠MOA,证明△MOC≌MOA(SAS, 得∠MCO=∠OAM=90°，因为0C是⊙0的半径，故MC是00的切线.即可作答. (2)过点D作DN⊥CM于点N,运用圆周角定理得∠BDC=90°，根据 。元=。得出BD=45,根据勾股定理得BC=10,证明4DCN∽AC CN 25 DN 4510 2,,代入数值得CN=4,DN=2,证明ADMN∽△OMC,则二=CM4 CM 即可作答. 【详解】(1)解：连接OA,如图所示：学会一类题 中考模拟题分类汇编一一圆（辽宁适用） 解决圆的相关问题，要掌握基本模型，反A模型，双 垂直，勾股定理，三角函数等.本内容将模拟题中同类模型 整理在一起，进行分析、讲解与练习，用最简便和常用的 方法解决问题、 类型一一一 角平分线+反A相似 1.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E,交AB于点 H,过点E作OO的切线EF,交CA的延长线于点F,连接BE. H E ()求证：EF∥AB: (2)考CH=6v5 5, EH =93 5,求⊙0的半径. 2.△ABC内接于OO,CO的延长线交AB于点D,交⊙O于点F,连接AF,AB平分 ∠FAC,过点B作BE∥CD,CE⊥BE,垂足为点E. (I)求证：BE为⊙O的切线： 学会一类题 (2)若AB=5,BE=3,求BD的长度. 3.如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC=∠ABC, AD平分∠BAE交OO于点D,连接DE. (I)求证：CA是⊙O的切线. (2)当AC=6,CE=3时，求DE的长. 4.如图，AB是⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，点C是⊙O上一点，连接CD交AB 于E,点P是BA延长线上一点，且PC=PE.(此题包括类型二中的三角函数角度转化)》 C B D (1)求证：PC是⊙O的切线； ②连接AD'AC'BC·若nD 2’PC=8'求o0的半径. 学会一类题 类型二一一三角函数角度转化+相似(1) 5.如图，四边光1C0内接于00,4B为00的直径，点C为D的中点，过C作O0的 AB,AD 切线，分别交 的延长线于点E,F. F A B E G (I)求证：EF⊥AF: 2若点G为⊙O上一点且位于4B下方，os∠BGD=号，D=4,求E的长， 6.如图1，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点M,直线OM分别交AC的延长线于点E, 交⊙O于点D,∠BOM=2∠BCA. 学会一类题 B B D A A 图1 图2 (I)求证：AE是⊙O的切线： (②如图2，连接BD并延长交EA的延长线于点F,若an∠下- =2DE=6,求O0的半径长. 7.如图，M是0的切线，点4为切点，连接“交00 ABIIOM 交 于点D,过点A作 交 ⊙O于点B,连接BO并延长交⊙O于点C,连接MC,BD,CD B C (1)求证：MC是⊙O的切线， (②若m∠CBD=CD=25,求线段C/的长. 学会一类题 8.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作CE∥AB,点D是OC的中点， AD的延长线与CE相交于点E, C G D B y B (图1) (图2) (I)如图1，连接AC,OE,求证：四边形AOEC是平行四边形. (2)如图2，CE与⊙O相切于点C,AE与⊙0相交于点F,连接BF并延长交CE于点G, 若⊙0的半径是4，求CG的长. 9.如图，已知AB为⊙O的直径，OC为⊙O的半径，过点C作⊙O的切线MN,过点A作 AD∥MN交OC于点E,交⊙O于点D,连接BC,CD,BD,∠DON=30. 0)若8C长为35，求o0E 的半径： (2)求证：四边形OCDB为菱形. 学会一类题 类型二一一三角函数多次应用(2) 10.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，⊙O经过A,C两点，交AB于点D, CO的延长线交AB于点F,DE∥CF交BC于点E, C B (I)求证：DE为⊙O的切线： (2若4C=4W2,an∠CFD= 3,⊙0的半径. 类型三一一三角函数值直接判断角度大小 11.如图， △ABC ⊙O,AB⊙O 内接于 0的直径，点D为o0上一点， BC=BD 为 ,延长BA 至E,连接ED,使得∠ADE=∠ABC. E A B (I)求ED与⊙O的位置关系，并说明理由： (2) EA=3,tan∠ABC= 3,求AD的长. 学会一类题 12,如图，点C在以4B为直径的O0上，点D是BC的中点，点E在BC的延长线上，连接 AE,且∠EAC=∠ADC. E D (I)求证：EA是⊙O的切线： (2)若sin∠CAD= 2’0A=5,求BC的长 I3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的 点D,与OB交于点F,且BD=BC, D (I)求证：AB是⊙O的切线： 2若AE=2,a4=3 3,求CF的长. 学会一类题 I4.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点F,过点C的切线垂直于射线DA,垂足为点 E,连接AC,BC. B D (I)求证：∠ECA=∠CDA: (2)若CD⊥AB,CE=3,求⊙O的半径. 类型四一一双垂直相似 I5.如图，AB,CD是⊙O的直径，切线DE与CA延长线相交于点E. D (1)求证：∠E=∠B: 学会一类题 ②若BC=6,DE- 2,求o0的半径. 16,图1，B是00直径，点C在o0上，连接1C8C,过点4作O0的切线1D交 AC,BC ⊙0 BC延长线于点D,点E在OO上，连接BE,且BE=AC,连接AE交线段BC于点F B B A D A 图1 图2 (I)求证：∠ABE=∠ADB; (2)如图2，若BE=4,AD=5,求⊙0的半径. 17.如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切 于点C,与OF的延长线相交于点D,AC与OF相交于点E,DC=DE. D B 学会一类题 (I)求证：OD⊥AB: (2)若OA=2OE,DF=4,求PB的长.