第十四章 一次函数核心基础知识清单（含pdf可直接打印）八年级数学下册新教材北京版

该初中数学知识清单系统梳理了一次函数知识体系。从变量与常量、函数定义及表示法人手，通过函数图象画法构建基础认知，进而学习一次函数的定义、图象性质及实际应用，最后突破待定系数法等重难题型，形成完整学习支架。 知识链路按“概念-图象-性质-应用-拓展”逻辑递进，每个知识点配套解题技巧、易错点拨和典型例题。通过实例建模培养模型意识，借助推理分析发展数学思维，助力学生用数学语言表达现实问题，提升综合应用能力。

第十四章 一次函数 知识清单 一、函数和函数的图象 14.1 变量和常量 基本概念 · 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 · 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。 例：汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程（km）与时间（h）的关系为。指出其中的变量与常量。 解：变量是和，常量是。 14.2 函数 基本概念 · 函数定义：在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么就说是自变量，是的函数。 · 函数值：当自变量取某一值时，对应的函数的值，记为。 解题技巧 · 判断是否为函数：关键看“对于的每一个值，是否唯一确定”。 · 求函数值：将自变量的值代入函数表达式计算。 易错点拨 · 函数的核心是“唯一对应”，一个不能对应多个。 例：判断是否表示是的函数。 解：当时，，的值不唯一，因此不是的函数。 14.3 函数的表示法 基本概念 · 解析法：用数学式子表示函数关系（如）。 · 列表法：用表格列出自变量与函数值的对应关系。 · 图象法：用图象表示函数关系。 解题技巧 · 三种表示法可以互相转化，根据需要选择。 例：已知函数，当时，求对应的值，并用列表法表示。 解： 1 2 3 1 4 7 14.4 函数图象的画法 基本步骤 · 列表：选取自变量的一些值，计算对应的函数值。 · 描点：在平面直角坐标系中，以为坐标描点。 · 连线：用平滑的曲线（或直线）连接各点。 解题技巧 · 画函数图象时，选取的点要具有代表性，能反映函数的变化趋势。 例：画出函数的图象。 解：列表： -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 描点、连线，得到一条过和的直线。 二、一次函数 14.5 一次函数 基本概念 · 一次函数定义：形如（为常数，）的函数，叫做一次函数。 · 正比例函数：当时，（），叫做正比例函数，它是特殊的一次函数。 解题技巧 · 判断一次函数：看是否符合（）的形式。 · 正比例函数是一次函数的特例，一次函数不一定是正比例函数。 易错点拨 · 一次函数中，若，则是常数函数，不是一次函数。 例：判断下列函数是否为一次函数：① ；② ；③ 。 解：① 是一次函数；② 不是（是反比例函数）；③ 不是（是常数函数）。 14.6 一次函数的图象 基本概念 · 图象形状：一次函数的图象是一条直线，因此也叫直线。 · 图象与坐标轴的交点： · 与轴交点：； · 与轴交点：（）。 解题技巧 · 画一次函数图象：只需确定两个点（如与坐标轴的交点），即可画出直线。 例：求一次函数的图象与轴、轴的交点坐标。 解：与轴交点：令，，交点为； 与轴交点：令，，交点为。 14.7 一次函数的性质 基本性质 1. 增减性： · 当时，随的增大而增大； · 当时，随的增大而减小。 2. 图象位置： · ：图象经过一、二、三象限； · ：图象经过一、三、四象限； · ：图象经过一、二、四象限； · ：图象经过二、三、四象限。 解题技巧 · 由的符号判断增减性，由的符号判断图象经过的象限。 易错点拨 · 一次函数的增减性只与有关，与无关。 例：已知一次函数，若随的增大而减小，求的取值范围。 解：由，得。 14.8 一次函数的应用 解题技巧 1. 建模步骤： a. 分析问题，确定自变量和函数； b. 建立一次函数解析式； c. 利用函数性质解决问题（如求最值、交点等）。 2. 常见应用：行程问题、工程问题、利润问题、方案选择等。 例：某出租车收费标准为：起步价10元（3km及以内），超过3km的部分，每千米收费2元。设行驶路程为km（），车费为元，求与的函数关系式，并计算行驶5km的车费。 解：函数关系式：（）； 当时，元。 三、重难题型突破 题型1：一次函数解析式的确定（待定系数法） 典型试题 已知一次函数的图象经过点和点，求这个一次函数的解析式。 解题技巧 设：设函数解析式为（）。 代：将两点坐标代入解析式，得到关于的二元一次方程组。 解：解方程组，求出的值。 写：将代回，写出函数解析式。 解答 设函数解析式为，将、代入： ， 解得：，。 ∴ 函数解析式为：。 题型2：一次函数与方程、不等式的综合（进阶难度） 典型试题 已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点。 （1）求点、的坐标； （2）当取何值时，函数值满足？ （3）结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集。 解题技巧 求交点： · 与轴交点：令，解方程； · 与轴交点：令，求。 解不等式组：将转化为，拆分为两个不等式，联立求解。 数形结合： · 方程的解 ⇔ 直线与轴交点的横坐标； · 不等式的解集 ⇔ 直线在轴上方部分的范围； · 不等式的解集 ⇔ 直线在轴下方部分的范围。 解答 （1）求交点坐标： 令，则，∴ 点； 令，则，∴ 点。 （2）解不等式： 由，拆分为： 解(1)得：； 解(2)得：。 ∴ 当时，。 （3）方程与不等式求解： 方程的解为； 不等式的解集为。 题型3：一次函数的实际应用（方案选择问题） 典型试题 某通讯公司推出两种手机收费套餐： · 套餐A：月租费20元，每分钟通话费0.2元； · 套餐B：无月租费，每分钟通话费0.3元。 设每月通话时间为分钟，费用为元。 （1）分别写出两种套餐的费用与通话时间的函数关系式； （2）若每月通话时间为400分钟，选择哪种套餐更省钱？ （3）若每月预算话费为100元，选择哪种套餐可通话时间更长？最长通话时间为多少？ 解题技巧 建模：根据题意列出两个函数解析式，。 分类讨论： · 求费用相等的分界点：令，解； · 根据的取值范围，结合增减性判断最优方案。 最值问题：已知费用求时间，将代入解析式，解。 解答 （1）建立函数关系式： 套餐A：； 套餐B：。 （2）通话400分钟时的方案选择： 当时， 元； 元。 ∵ ，∴ 选择套餐A更省钱。 （3）预算100元时的方案选择： · 套餐A：令，则分钟； · 套餐B：令，则分钟。 ∵ ，∴ 选择套餐A可通话时间更长，最长为400分钟。 题型4：一次函数图象的平移问题 典型试题 将直线进行平移，得到直线。若直线经过点，且是由原直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到，求的值。 解题技巧 · 一次函数图象平移规律：“上加下减常数项，左加右减自变量”。 · 设平移后的解析式为，将已知点坐标代入，得到关于的方程，求解即可。 解答 设平移后的直线的解析式为（根据平移规律：向右平移个单位，自变量变为；向上平移个单位，常数项加，斜率不变）。 ∵ 直线经过点，将点代入平移后的解析式，得： 化简方程： 整理得： 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第十四章一次函数知识清单 一、函数和函数的图象 14.1变量和常量 基本概念 。 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 。 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。 例：汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程s(km)与时间t(h)的关系为s=60t。指出其中的变量 与常量。 解：变量是s和t,常量是60。 14.2函数 基本概念 ·函数定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值 与之对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 函数值：当自变量x取某一值a时，对应的函数y的值，记为y=f(a)。 解题技巧 ·判断是否为函数：关键看“对于x的每一个值，y是否唯一确定”。 。 求函数值：将自变量的值代入函数表达式计算。 易错点拨 。 函数的核心是“唯一对应”，一个x不能对应多个y。 例：判断y2=x是否表示y是x的函数。 解：当x=4时，y=士2，y的值不唯一，因此y不是x的函数。 14.3函数的表示法 基本概念 ·解析法：用数学式子表示函数关系（如y=2x+1)。 列表法：用表格列出自变量与函数值的对应关系。 。 图象法：用图象表示函数关系。 解题技巧 三种表示法可以互相转化，根据需要选择。 例：己知函数y=3x-2,当x=1,2,3时，求对应的y值，并用列表法表示。 解： 2 3 y 厨学科网·上好课 ww w zxx k.com 上好每一堂课 14.4函数图象的画法 基本步骤 ·列表：选取自变量的一些值，计算对应的函数值。 ·描点：在平面直角坐标系中，以(xy)为坐标描点。 。 连线：用平滑的曲线（或直线）连接各点。 解题技巧 ·画函数图象时，选取的点要具有代表性，能反映函数的变化趋势。 例：画出函数y=x+1的图象。 解：列表： 2 -2 0 1 2 y -1 0 1 2 3 描点、连线，得到一条过(01)和(-10)的直线。 3 1(0,1) (-1,0 3 10 3 4 二、一次函数 14.5一次函数 基本概念 一次函数定义：形如y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。 。 正比例函数：当b=0时，y=kx(k≠0)，叫做正比例函数，它是特殊的一次函数。 解题技巧 ·判断一次函数：看是否符合y=kx+b(k≠0)的形式。 ·正比例函数是一次函数的特例，一次函数不一定是正比例函数。 易错点拨 一次函数中k≠0，若k=0,则y=b是常数函数，不是一次函数。 例：判断下列函数是否为一次函数：①y=2x-3；②y=；③y=5。 命学科网·上好课 ww w zxx k.com 上好每一堂课 解：①是一次函数：②不是（是反比例函数)；③不是（是常数函数）。 14.6一次函数的图象 基本概念 ·图象形状：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此也叫直线y=kx+b。 。 图象与坐标轴的交点： 。与y轴交点：(0b): 。与x轴交点：(-0)(k≠0)。 解题技巧 ·画一次函数图象：只需确定两个点（如与坐标轴的交点），即可画出直线。 例：求一次函数y=2x-4的图象与x轴、y轴的交点坐标。 解：与y轴交点：令x=0,y=-4,交点为(0-4)： 与x轴交点：令y=0,2x-4=0→x=2,交点为(20)。 14.7一次函数的性质 基本性质 1.增减性： 。当k>0时，y随x的增大而增大： 。当k<0时，y随x的增大而减小。 2.图象位置： 。k>0,b>0:图象经过一、二、三象限： 。k>0,b<0:图象经过一、三、四象限； 。k<0,b>0:图象经过一、二、四象限： 。k<0,b<0:图象经过二、三、四象限。 解题技巧 ·由k的符号判断增减性，由k,b的符号判断图象经过的象限。 易错点拨 。 一次函数的增减性只与k有关，与b无关。 例：己知一次函数y=(m-2)x+3,若y随x的增大而减小，求m的取值范围。 解：由k<0,得m-2<0→m<2。 14.8一次函数的应用 解题技巧 1.建模步骤： 厨学科网·上好课 ww w zxx k.com 上好每一堂课 a.分析问题，确定自变量和函数： b.建立一次函数解析式y=kx+b: ℃.利用函数性质解决问题（如求最值、交点等）。 2.常见应用：行程问题、工程问题、利润问题、方案选择等。 例：某出租车收费标准为：起步价10元(3km及以内)，超过3km的部分，每千米收费2元。设行驶路 程为xkm(x>3),车费为y元，求y与x的函数关系式，并计算行驶5km的车费。 解：函数关系式：y=10+2(x-3)=2x+4(x>3): 当x=5时，y=2×5+4=14元。 三、重难题型突破 题型1：一次函数解析式的确定（待定系数法） 典型试题 己知一次函数的图象经过点A(25)和点B(-1,-1),求这个一次函数的解析式。 解题技巧 设：设函数解析式为y=kx+b(k≠0)。 代：将两点坐标代入解析式，得到关于k,b的二元一次方程组。 解：解方程组，求出k,b的值。 写：将k,b代回，写出函数解析式。 解答 设函数解析式为y=kx+b,将A(25)、B(-1-1)代入： 2k+b=5,-k+b=-1 解得：k=2,b=1。 ∴.函数解析式为：y=2x+1。 题型2：一次函数与方程、不等式的综合（进阶难度) 典型试题 己知一次函数y=一2x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B。 (1)求点A、B的坐标： (2)当x取何值时，函数值y满足0<y≤4？ (3)结合图象，求方程-2x+6=0的解，并直接写出不等式-2x+6<0的解集。 解题技巧 求交点： 。与x轴交点：令y=0,解方程kx+b=0: 。与y轴交点：令x=0,求y=b。 解不等式组：将0<y三4转化为0<-2x十6≤4拆分为两个不等式[2十8≥ ,联立求解。 学科网·上好课 ww w zxx k.com 上好每一堂课 数形结合： 。方程kx+b=0的解台直线与x轴交点的横坐标： 。不等式kx+b>0的解集台直线在x轴上方部分的x范围； 。不等式kx+b<0的解集台直线在x轴下方部分的x范围。 解答 (1)求交点坐标： 令y=0,则-2x+6=0→x=3,.点A(30): 令x=0,则y=6,∴.点B(06)。 (2)解不等式0<y≤4： 由0<-2x+6≤4，拆分为： (-2x+6>0(1) 1-2x+6≤4(2) 解(1)得：x<3: 解(2)得：x≥1。 .当1≤x<3时，0<y≤4。 (3)方程与不等式求解： 方程-2x+6=0的解为x=3: 不等式-2x+6<0的解集为x>3。 题型3：一次函数的实际应用（方案选择问题） 典型试题 某通讯公司推出两种手机收费套餐： ·套餐A:月租费20元，每分钟通话费0.2元： ·套餐B:无月租费，每分钟通话费03元。 设每月通话时间为x分钟，费用为y元。 (1)分别写出两种套餐的费用y与通话时间x的函数关系式： (2)若每月通话时间为400分钟，选择哪种套餐更省钱？ (3)若每月预算话费为100元，选择哪种套餐可通话时间更长？最长通话时间为多少？ 解题技巧 建模：根据题意列出两个函数解析式y4=k1x+b1,yB=k2x+b2 分类讨论： 。求费用相等的分界点：令y4=yB,解x: 。根据x的取值范围，结合增减性判断最优方案。 最值问题：己知费用y求时间x,将y代入解析式，解x。 解答 学科网·上好课 ww w zxx k.com 上好每一堂课 (1)建立函数关系式： 套餐A:ya=0.2x+20: 套餐B:yB=0.3x。 (2)通话400分钟时的方案选择： 当x=400时， y4=0.2×400+20=100元： yB=0.3×400=120元。 ·100<120,∴.选择套餐A更省钱。 (3)预算100元时的方案选择： 。套餐A:令yA=100,则0.2x+20=100→x=400分钟： 。套餐B:令yB=100,则0.3x=100→x≈333.33分钟。 ,400>333.33,∴.选择套餐A可通话时间更长，最长为400分钟。 题型4：一次函数图象的平移问题 典型试题 将直线y=2x+1进行平移，得到直线l。若直线经过点(1,5)，且是由原直线向上平移m个单位，再向右 平移n个单位得到，求m-2n的值。 解题技巧 ·一次函数图象平移规律：“上加下减常数项，左加右减自变量”。 。 设平移后的解析式为y=2(x-n)+1+m,将已知点坐标代入，得到关于m,n的方程，求解即可。 解答 设平移后的直线l的解析式为y=2(x-n)+1+m(根据平移规律：向右平移n个单位，自变量x变为x-n: 向上平移m个单位，常数项加m,斜率k不变)。 :直线经过点(15)，将点(15)代入平移后的解析式，得： 5=2(1-n)+1+m 化简方程： 5=2-2n+1+m 5=3-2n+m 整理得：m-2n=2