第16章函数及其图象（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版八年级下册

第16章函数及其图象（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数属于反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各点，在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 4．在同一平面直角坐标系中，函数与 其中，是常数，)的图象不可能是（    ） A．B． C． D． 5．已知是的函数，列出部分自变量的值与其对应函数值如下表为常数），则这个函数的图象可能是（   ） ．．． ．．． ．．． ．．． A． B． C． D． 6．如图是通过甲，乙，丙，丁四个不同电阻（）的电流（）与其两端电压（）变化的关系图象，根据图象及电学知识，可判断甲，乙，丙，丁中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．在平面直角坐标系中，直线经过点，点，，，，，，…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上．若点的纵坐标为，则的值为（    ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，点，，在轴上，点，，在函数图象上，若分别以，，为边构建正方形，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．两家牛奶销售公司招聘送奶员，下面是两家公司的周薪计算方式： 甲公司：一星期内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元．此后，每多送1瓶每瓶多0.3元． 乙公司：底薪200元．此外，每送出1瓶牛奶将额外有0.3元． 小明决定应聘送奶员，下列能大致表示两家公司的周薪计算方式的图象是（    ） A． B． B． C． D． 10．如图，长方形的顶点，分别在轴、轴上，，．将长方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 11．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于，的方程组的解为 ． 12．一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为 ． 13．为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A、B两点，与正比例函数的图象交于点，若一次函数的图象与直线、不能围成三角形，则k的值为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高 ． 16．小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为、和，如果在变量和的允许取值范围内，变量随着和的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量叫做变量和的二元函数，例如，小明认为、两数的积，就是和的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“是和的二元函数”用记号来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数，满足特征，，那么 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知反比例函数 的图象在第二、四象限，求m的取值范围，并在该范围内取一个整数，求此时反比例函数的解析式． 18．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点C． (1)求的值和点的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 19．中国科技发展日新月异；有些电子产品会随着科技发展而降价．某电脑经销店开始销售A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同． (1)求A款电脑每台的进价为多少万元？ (2)为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台．如果两种电脑的进价不变，第三季度A款电脑的售价为0.6万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？ 20．如图，在中，，于点D，动点P从点B出发，沿折线B→A→C运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为，连接DP．的面积为，的面积与点P的运动路程x的比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数对x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 21．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 22．如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点． (1)求反比例函数解析式及点B坐标； (2)当的面积为8时，求此时P点坐标； (3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)将直线向下平移个单位长度得到直线l：，设直线l与反比例函数的图象交于点P，与x轴交于点D． ①连接，，若，求m的值； ②连接，，当是等腰三角形时，请直接写出点D到直线的距离． 24．如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． (1)求出双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“美丽四边形”．在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章函数及其图象（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数属于反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解反比例函数的定义是解题的关键． 反比例函数的形式为 ，据此回答即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的一般形式为 ， 选项A: ，是正比例函数； 选项B: ，符合 形式； 选项C: ，不是反比例函数； 选项D: ，是一次函数. ∴ 属于反比例函数的是B． 故选：B． 2．下列各点，在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将各选项的横坐标代入函数解析式，计算出对应的纵坐标，与选项中的纵坐标对比即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解：∵对于函数 A、当时，，∴点不在函数图象上． B、当时，，∴点不在函数图象上． C、当时，，∴点不在函数图象上． D、当时，，∴点在函数图象上． 故选：D． 3．已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 【详解】解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 4．在同一平面直角坐标系中，函数与 其中，是常数，)的图象不可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像及性质，首先假设一次函数是正确的，根据一次函数图像判断、的取值情况，再根据、的取值情况判断反比例函数的图像是否正确． 【详解】解：A选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴交于正半轴， ， ， ， 反比例函数在第一、三象限，故A选项正确； B选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴交于正半轴， ， ， ， 反比例函数在第二、四象限，故B选项正确； C选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴交于正半轴， ， ， ， 反比例函数应在第二、四象限，故C选项错误； D选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴交于负半轴， ， ， ， 反比例函数在第二、四象限，故D选项正确； 故选：C． 5．已知是的函数，列出部分自变量的值与其对应函数值如下表为常数），则这个函数的图象可能是（   ） ．．． ．．． ．．． ．．． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的识别，用表格表示变量之间的关系，由表格中的数据可知，mx的值每增大1，y的值就减小，则y是x的一次函数，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：由表格中的数据可知，x的值每增大1，y的值就减小，即 ∴y是x的一次函数，且y所x的增大而减小， ∴四个选项中只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D 6．如图是通过甲，乙，丙，丁四个不同电阻（）的电流（）与其两端电压（）变化的关系图象，根据图象及电学知识，可判断甲，乙，丙，丁中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由得，，如图，取， 则是关于的正比例函数，而，则随着的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：由得，， 如图，取， 则是关于的正比例函数， 而， ∴随着的增大而增大， ∴甲，乙，丙，丁中电阻最大的是丁， 故选：D． 7．在平面直角坐标系中，直线经过点，点，，，，，，…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上．若点的纵坐标为，则的值为（    ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【答案】A 【分析】本题考查了 用坐标描述平面内点的位置，熟练掌握用坐标描述点的位置是解题的关键； 观察坐标系，得出点，，，，，，…的坐标，根据规律得出奇数点和偶数点的坐标规律即可得出纵坐标为的点． 【详解】解：由题图可知，点，，，，，，，… 根据规律可知，奇数格点的坐标为，（为自然数）， 偶数格点的坐标为（为自然数）． 点的纵坐标为， 为偶数格点， ， 解得， ． 故选：A． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，点，，在轴上，点，，在函数图象上，若分别以，，为边构建正方形，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、点的坐标规律探究．先求出、、的横坐标，找到规律后，即可根据规律解决问题． 【详解】解：由直线得， ∴的横坐标为，， 当时，， ∴， ∴， ∴的横坐标为，， 当时，， ∴， ∴， ∴的横坐标为，， ， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∴的坐标为， 故选：D． 9．两家牛奶销售公司招聘送奶员，下面是两家公司的周薪计算方式： 甲公司：一星期内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元．此后，每多送1瓶每瓶多0.3元． 乙公司：底薪200元．此外，每送出1瓶牛奶将额外有0.3元． 小明决定应聘送奶员，下列能大致表示两家公司的周薪计算方式的图象是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意判断出周薪与送奶数量的关系式即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，甲公司的周薪与送奶数量是分段函数，当送奶数量小于或等于240瓶是正比例函数，当送奶数量大于瓶是一次函数； 乙公司的周薪是送奶数量是一次函数． 综上所述，只有选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的图象，正确判断周薪与送奶数量的函数关系是解答本题的关键． 10．如图，长方形的顶点，分别在轴、轴上，，．将长方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作轴于点，连接，根据已知条件求出点的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点的坐标，发现规律，进而求出第2025次旋转结束时，点的坐标． 【分析】解：如图，过点作轴于点，连接． ， ． ， ． ， ， ， ． 长方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第1次旋转结束时，点的坐标为；第2次旋转结束时，点的坐标为；第3次旋转结束时，点的坐标为；第4次旋转结束时，点的坐标为；……．发现每旋转4次为一个循环． ， 第2025次旋转结束时，点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2025次旋转后矩形的位置是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 11．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的解，方程组的解即为两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：将方程组 变形得：， 因此方程组的解就是函数与图象的交点坐标， 由图象可知，两直线交于点， 故方程组的解为：． 故答案为：． 12．一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答． 【详解】解：不等式组的解集为由图像可知满足且的部分为下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 13．为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，理解题意正确列出函数表达式是解题的关键； 水费由使用费和污水处理费组成，污水处理费每立方米1.2元；使用费分段计费：用水量不超过16立方米时，每立方米1.3元，超过部分每立方米2.0元，因此分段写出函数表达式即可． 【详解】解：①当时，使用费为元，污水处理费为元， 故； ②当时，使用费为元，污水处理费为元， 故， ∴与之间的函数表达式为， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A、B两点，与正比例函数的图象交于点，若一次函数的图象与直线、不能围成三角形，则k的值为 ． 【答案】2或3或 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，分三种情况：当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，，于是得到结论． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， ∵一次函数的图象为，且、、不能围成三角形， ∴有以下三种情况： 当经过点时，即，则； 当，平行时，； 又∵正比例函数的图象过点， ∴，则， ∴当，平行时，； 综上所述，当k的值为2或3或时，直线、、不能围成三角形． 故答案为：2或3或． 15．如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 先根据点的坐标求出反比例函数的解析式，再依次求出点、、的坐标，最后根据线段的长度等于点与点的纵坐标之差来求解． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为． ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵的长度等于点与点的纵坐标之差， ∴． 故答案为：． 16．小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为、和，如果在变量和的允许取值范围内，变量随着和的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量叫做变量和的二元函数，例如，小明认为、两数的积，就是和的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“是和的二元函数”用记号来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数，满足特征，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的性质，解题的关键是理解题意，利用二元函数的特征性质，通过代入特殊值推导出结果． 【详解】解： ， ， ，令 ，， ， 即 ； ，令 ， ， ，代入得， 解得． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知反比例函数 的图象在第二、四象限，求m的取值范围，并在该范围内取一个整数，求此时反比例函数的解析式． 【答案】，取整数，此时解析式为 （答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象在第二、四象限，可得 ，再进一步求解即可. 【详解】解：∵反比例函数图象在第二、四象限 解得： 取整数，此时解析式为（答案不唯一）. 18．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点C． (1)求的值和点的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)； (3)或 【分析】本题考查一次函数的交点求解、三角形面积计算及勾股定理求平面直角坐标系中的线段长，关键是灵活运用一次函数解析式求点坐标，结合等腰三角形的边长关系列方程． （1）将点的坐标代入直线，代入计算可求出的值；联立两条直线的解析式组成二元一次方程组，解方程组即可得到交点的坐标； （2）先求出直线与轴交点的坐标，计算出线段的长度，再以为底，点的纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式计算面积； （3）设点的坐标为，先根据两点间距离公式计算的长度，由以为底的等腰三角形可知，据此列出关于的绝对值方程，求解得到的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴代入得，解得； 联立，解得， ∴点的坐标为； （2）解：∵函数的图象与轴交于点，令，则，解得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∵点的纵坐标为，即中边上的高为， ∴； （3）解：设点的坐标为， ∵点，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或． 19．中国科技发展日新月异；有些电子产品会随着科技发展而降价．某电脑经销店开始销售A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同． (1)求A款电脑每台的进价为多少万元？ (2)为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台．如果两种电脑的进价不变，第三季度A款电脑的售价为0.6万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？ 【答案】(1)A款电脑每台的进价为0.45万元 (2)应选择购进A款电脑10台、B款电脑15台的进货方案，最大利润是4.5万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设A款电脑每台的进价为万元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购进款电脑台，则购进款电脑 ，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设总利润为万元，则，再结合一次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设A款电脑每台的进价为万元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ∴A款电脑每台的进价为0.45万元； （2）解：设购进款电脑台，则购进款电脑 ， 由题意可得：， 解得：， 设总利润为万元， 则 ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最大为（万元）， ∵， ∴应选择购进A款电脑10台、B款电脑15台的进货方案，最大利润是4.5万元． 20．如图，在中，，于点D，动点P从点B出发，沿折线B→A→C运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为，连接DP．的面积为，的面积与点P的运动路程x的比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数对x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一； （1）由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点P在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，再由对称性可求出当点P在上时，； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上时，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称性可得当点P在上时，； 综上所述，； （2）解：如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大； （3）解：联立得，此时，原方程无解； 联立得，解得或 由函数图象可知，当时，． 21．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 【答案】（1）不是，；（2）；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为；⑤ 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②先列表然后描点连线即可得到图象， ③根据图象逐一判断即可得到答案； ④将代入进行计算即可得到答案， ⑤由图象观察可知，该图像可由平移得到． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2） 是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②列表如下， 如图如图所示：    ③由图象可得： A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B，由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C，随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④ ， ， 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． ⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 22．如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点． (1)求反比例函数解析式及点B坐标； (2)当的面积为8时，求此时P点坐标； (3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式，求出a的值后，再代入反比例函数的解析式，求出k的值； （2）过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为，则点G的坐标为．将转化为和，根据列方程并求解出t的值，从而得出点P的坐标； （3）过点A作的平行线，交x轴于点H，连接，容易证出，，则，．在直角中，使用勾股定理可以得到与的关系． 【详解】（1）解：将点代入直线，得， 解得， ∴点A坐标为， ∵反比例函数的图象与直线都关于原点对称， ∴点A和点B也关于原点对称， ∴点B坐标为， 将点代入反比例函数，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． （2）解：如图过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点G的坐标为， ∴， 点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∵， ∴，即， 当时， 化简，得， 因式分解，得， ∴或（负值舍去）； 当时， 化简，得， 因式分解，得， ∴或（负值舍去）； 综上所述，或9，则点P的坐标为或． （3）解：为定值，理由如下： 如图，过点A作的平行线，交x轴于点H，连接， ∵点A和点B关于原点对称， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在直角中，， ∴, ∴为定值． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，直线围成的三角形面积问题，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握一次函数的解析式是解题关键． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)将直线向下平移个单位长度得到直线l：，设直线l与反比例函数的图象交于点P，与x轴交于点D． ①连接，，若，求m的值； ②连接，，当是等腰三角形时，请直接写出点D到直线的距离． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点B的坐标为 (2)①；②当是等腰三角形时，点D到直线AB的距离为或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）求出，代入反比例函数即可求出答案； （2）①过点P作轴交直线于点Q，设点，将各线段分别表示出来，根据等量关系列出方程求解即可． ②分类讨论，当时，如图2，过点D作于点E，过点E作轴于点M，过点A作，交的延长线于点N；当时，由于直线l是由直线向下平移个单位长度得到．分别进行求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ．解得． ． 将代入，得．解得． 反比例函数的表达式为． 对于一次函数，令，则． 解得． 点B的坐标为． （2）解：①如图1，过点P作轴交直线于点Q，设点， 则点． ． ． 一次函数的图象与y轴交于点C， ． ． ， ．整理，得． 解得，（舍去）． ． 将代入，得． 解得． ②或． ，，， ，，． （ⅰ）当时，如图2，过点D作于点E，过点E作轴于点M，过点A作，交的延长线于点N． ，， ． ，， E是中点， ． ，． ，，． ， ，即． 解得． （ⅱ）当时，由于直线l是由直线向下平移个单位长度得到， ∴此时点D在x轴正半轴．如图3，过点D作于点F，过点D作轴交直线于点G． ． ． ． ．将代入，得．解得． 轴， ． ． ． 由平移可知，． ， 解得． 综上所述，当是等腰三角形时，点D到直线AB的距离为或． 24．如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． (1)求出双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点的坐标； (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“美丽四边形”．在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查了勾股定理、待定系数法求函数解析式、面积问题、平行四边形，利用分类讨论的思想，理解新定义是解题的关键． （1）把坐标代入解析式计算即可； （2）设，表示出和的面积，列方程计算即可； （3）利用分类讨论的思想，逐一分析即可． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点， ∴，解得：， ∴； （2）解：如图，设直线AB交x轴于点C，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， ∵上点B的坐标为， ∴， 又， ∴，， 在中，令，得， 解得：， ∴， ∴， 设，且， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； （3）解：平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或或． 详解如下： ∵，，， ∴，， ． ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 设， 当时，如图， 则，，． 解得：， ∴； 当时，如图， 则，，， 解得：， ∴； 当时，如图，设直线AB交x轴于点C，过点A作轴于E，作轴，过点Q作于F， 则，，由（2）知：， ∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵轴，∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当时，如图， 则，，， 解得：， ∴； 综上所述，平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是美丽四边形，点的坐标为或或或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $