专题02 一次函数与反比例函数的实际应用（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题02 一次函数与反比例函数的实际应用 题型一：一次函数的行程问题 题型二：反比例函数的物理量关系问题 题型三：一次函数的工程问题 题型四：表格/图象信息提取与函数建模 题型五：一次函数的梯度计价问题(分段计费类) 题型六：反比例函数的销售单价与销量问题 题型七：一次函数与反比例函数的方案选择问题 题型八：一次函数的利润最大/费用最少问题 题型九：一次函数与反比例函数的交点综合应用 题型一：一次函数的行程问题 方法技巧：设时间为，路程为，根据(为速度，为初始路程)列一次函数，结合图象或路程关系求解。 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某款新能源纯电动汽车充满电后，仪表盘上剩余电量的显示值与行驶路程x（单位：）的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在（1）中所求函数关系式中常数项的实际意义是什么？ (3)若该款新能源纯电动汽车在高速公路上以的速度匀速行驶，仪表盘上剩余电量的显示值从90下降至40时，该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了多长时间？ 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图1，在实验课上，小明做“小球反弹实验”．已知桌面的长为，小球与木块（大小、厚度忽略不计）同时从点出发，向点做匀速直线运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回（忽略转向时间），沿原来的路径和速度返回，遇到木块后又被反弹回挡板，如此反复，直到木块到达挡板，小球和木块同时停止运动．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图2是y与x的部分图象，请结合已有的部分图象写出t的值为 ． 4．（25-26八年级上·山东烟台·期末）小明家与奶奶家相距，他假期去看望奶奶，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小明到服务区，于是，小明与爸爸约定，他先搭乘顺路车到服务区，爸爸驾车到服务区接小明回家．小明到达服务区之后等了一会儿爸爸才到，然后小明就乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小明与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示， (1)求小明从奶奶家到服务区的过程中，与的函数关系式； (2)小明从奶奶家回到自己家共用了多长时间？ 题型二：反比例函数的物理量关系问题 方法技巧：根据物理公式(如、)确定反比例关系，代入已知数据求，再解答问题。 5．（2025·河南开封·一模）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）为测定一批小灯泡的使用寿命，某实验人员从一批灯泡中随机抽取了一个小灯泡，拼接成如下串联电路图（图1），实验人员收集并整理了滑动变阻器从点移动到点过程中的相关数据，并绘制成函数图象（图2）．已知电流与电阻成反比例（即，为电源电压），在串联电路中，（为小灯泡电阻）， (1)直接写出关于的函数表达式为__________； (2)小灯泡电阻的值为__________，滑动变阻器最大电阻为__________； (3)若小灯泡额定电流为，在不改变电源电压的情况下，为保证实验准确性，实验时滑动变阻器电阻应控制在什么范围． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 8．（25-26九年级上·山西太原·月考）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在物理活动课上，我们“领航”小组的同学，参加了一次“探究电功率与电阻之间的函数关系”的活动． 第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率． 第二步，整理数据． 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ … … 3 6 9 12 15 … … 3 1.5 1 0.75 0.7 … 第三步，描点连线．以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务： (1)表格中错误的数据是第______组，与的函数表达式为______； (2)直接写出大于时的取值范围为______． 题型三：一次函数的工程问题 方法技巧：设工作时间为，工作量为，按(为效率，为初始工作量)列函数，结合完成条件求解。 9．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）要从甲、乙两仓库向，工地运送水泥，已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；工地需70吨水泥，工地需110吨水泥．设甲仓库运往工地水泥吨，两仓库到，两工地的路程和每吨每千米的运费如下表： 路程/ 运费/（元/） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 工地 20 15 工地 25 20 1 (1)填写下表： 运量/吨 运费/元 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 工地 工地 (2)求总运费关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围． (3)当甲、乙两仓库各运往，两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？ 运量/吨 运费/元 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 工地 工地 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）沐阳快速路全长31公里，在铺设过程中，需将其中某路段，交由工程队承建.有甲、乙两家工程队参与投标，其报价方案如下： 甲工程队：基础费用1000万元（含设备、人员调配等成本)，每公里施工费180万元； 乙工程队：基础费用600万元，每公里施工费220万元． 设施工路段长度公里，甲工程队承建费用为万元，乙工程队承建费用为万元． (1)分别求出，与之间的关系式； (2)当施工路段为多少公里时，甲、乙两个工程队的承建费用相同？ (3)若预算上限为3000万元，则应选哪个工程队，可使施工路段长度更长？请说明理由． 11．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）某工厂同时生产甲、乙两种零件，已知每生产一个甲种零件可获得利润260元，每生产一个乙种零件可获得利润150元，工作2天后为了提高生产效率，现引进新的生产技术，对生产乙种零件的生产工人进行了新技术的培训同时停产一天，新技术培训后生产效率是之前的2倍．甲、乙生产线各自生产的零件个数y（件）与生产时间x（天）的函数关系如图所示． (1)求生产甲种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式； (2)求新技术培训后生产乙种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式； (3)该工厂前7天的总利润是多少？ 12．（2024七年级下·浙江·专题练习）为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成． (1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少． 题型四：表格/图象信息提取与函数建模 方法技巧：从表格或图象中找关键点(如截距、交点)，一次函数代入，反比例函数代入，求解函数表达式。 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）【综合与实践】设置“绿波带”交通控制方案 一条路上有多个交通信号灯，在“绿波带”，驾驶员以“绿波速度”驾驶，往往能一路绿灯通行．“绿波带”一般设置在城市干线道路上，将所有信号灯交叉口看作一个系统，通过协调控制绿灯亮起的时间，使得车辆以某一规定车速行驶时，基本上可以处处遇到绿灯，这个车速就是“绿波速度”，设置“绿波带”，既可以大大提高交通整体通行效率，也可以优化司机的通行体验． 如图1，汽车以速度v（）匀速行驶通过路口A、B、C、D，且．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计．已知路口A的绿灯亮起后路口C，D的绿灯亮起；亮起后路口B的绿灯亮起．路口B，C，D和路口A的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． 【问题一】特定速度通行情况 设汽车在第0秒出发，匀速行驶t(s)后路程为s(m)．图2中的射线表示在某种红绿灯设置的行驶情况． （1）求与的函数关系式； （2）汽车以这样的速度向路口D行驶，它能一路通过这四个路口吗？若能请说明理由，若不能，请计算从路口A出发到通过路口D的总时长（行程总时长＝红灯等待时间+行驶时间）； 【问题二】绿波速度通行情况 （3）如果在这种红绿灯设置下，一辆汽车在路口A绿灯亮起后第15秒钟经过路口A，汽车若想一路绿灯通过剩下的三个路口，需要优化通行速度，则“绿波速度”的取值范围为 ； 【问题三】系统优化对比情况 （4）以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比： 指标 优化前 优化后 行程总时长 分钟 12分钟 红灯等待次数 5次 1次 单次红灯平均等待时长 为优化前的 行驶速度 600米/分钟 900米/分钟 求“绿波控制系统”优化前的单次红灯等待时长． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）综合与实践：杆秤中的数学 背景 杆秤，是中国人发明的人类最早的衡器，它凝聚了古代劳动人民的智慧，你知道杆秤中隐含的数学原理吗？ 素材1 杆秤称物符合杠杆原理：如图1，要使杆秤平衡，杆秤左端物体的质量M、左端物体到秤纽O（即杆秤的支点）的水平距离与右端秤砣的质量m、秤砣到秤纽的水平距离满足等式：．    素材2 如图2，利用杆秤称重时，当秤盘所托重物为（不包括秤盘的质量）时，秤砣到秤纽的水平距离为，根据杠杆平衡原理可得y是关于x的一次函数．    素材3 为了便捷的利用杆秤称重，需在杆秤上标记分布均匀的刻线来刻画刻度与重物质量的对应关系，其制作过程如下： （1）标记零刻线：当秤盘不放重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出零刻线； （2）标记末刻线：当秤盘放入杆秤允许的最大质量（即杆秤的最大量程）重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出末刻线； （3）标记计量刻线：量出零刻线与末刻线之间的距离，将零刻线与末刻线之间的距离等间距分割成10大格，每大格再等间距分割成10小格． 小明根据素材3制作了最大量程为的杆秤，若干次称重时所记录的一些数据如下表所示： 25 50 75 100 3 4 (1)若称一重物时的读数为5大格3小格，则此时称得的重物的质量为_________； (2)求y关于x的函数表达式； (3)求此杆秤的每小格的长度． 15．（25-26九年级上·云南昆明·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 囊括上百种特色美食的昆一西食堂，为丰富菜品，计划采购甲、乙两种食材． 素材一 购买千克甲食材和千克乙食材共需元，购买千克甲食材和千克乙食材共需元． 素材二 食堂准备采购这两种食材共千克，乙食材的数量不少于甲食材数量的，且总花费不超过元． 请完成下列任务： 任务一 甲、乙两种食材每千克的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的采购方案． 16．（25-26八年级上·四川成都·月考）某公司装修需要A型和B型板材，根据以下素材，探索完成任务： 材料一 如图， A型板材规格是； B型板材规格是． 材料二 目前只能购得的标准板材，如图． 材料三 一张标准板材尽可能最多的截出A型、B型板材，有以下三种截法： 截法一：A型1块，B型2块； 截法二：A型2块，B型块； 截法三：A型0块，B型块． 任务一 直接写出材料三中的，的值； 任务二 公司现需要A型板材块，B型板材块． 设按截法一截张标准板材，按截法二截张标准板材，按截法三截张标准板材，且所截出的A、B两种型号的板材刚刚好够用． 分别求出与和与的函数关系式； 任务三 若用表示所购标准板材的张数，求与的函数关系式，并直接指出当取何值时最小，最小值是多少？ 题型五：一次函数的梯度计价问题(分段计费类) 方法技巧：按计费分段标准，分区间列一次函数表达式，根据用量确定对应区间，代入计算费用。 17．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 18．（25-26八年级上·广东深圳·期中）综合实践 提出问题 随着新能源车的发展，人们在购车时会面临一个问题：选燃油车还是电动车？ 数据收集 用车费用包含购车费用和耗能费用（A型电动车每100公里耗电15度电，每度电0.6元；B型燃油车每100公里耗油8L，每升油8块钱） 注意事项 数据的单位！ 数据整理 购车费用（元） 每公里耗能费用（元） A型电动车 135000 a B型燃油车 80000 0.64 数据描述 行驶公里数（公里） 用车费用y（元） A型电动车 x B型燃油车 x 解决问题 回答表格中第一行的提问； 拓展问题 资金预算 小敖爸爸计划购买一辆A型电动车进行网约车工作，要了解在使用年限内，至少需要投入多少费用？ 政策法规 行驶路程超过60万公里，网约车强制报废． 数据收集 网约车每年平均行程10万公里 电动车保险费：5000元/年 电动车保养费：120元/万公里 根据上述信息解答下列问题： (1)表中______、______、______； (2)请完成“解决问题”； 当______时，燃油车与新能源电动车的用车费一样． 当______时，新能源电动车的用车费用更低，选择新能源电动车划算． (3)请计算“资金预算”中的费用． 19．（25-26八年级上·广西贵港·期中） 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下：纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低．燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据． A车 B车 每千米行驶费用 a元 元 总行驶费用 10元 25元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为 A车 B车 保险6500元/年 保险3000元/年 车机服务1000元/年 保养0.05x元 项目任务： (1)求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； (2)若小明家仅用新车短途代步，每月行驶固定，按1年计算，A、B车的总费用相差多少元？ (3)请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程，请你帮小明家确定购车方案． 20．（2025·山东·二模） 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 元 元 总行驶费用 7.5元 18.75元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元／年 车机服务 1230元／年 B车 保险 2900元/年 保养 元 项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 题型六：反比例函数的销售单价与销量问题 方法技巧：设单价为，销量为，由总价确定反比例函数，结合利润公式求解。 21．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）为迎接农历马年的到来，提前点燃节日消费热度，各平台推出年终促销让利活动．某商家出售一款零食，在销售过程中，该商家发现这款零食的日销售量（单位：kg）与日销售单价（单位：元）之间成反比例函数关系，其函数图象如图所示，点在该反比例函数图象上． (1)求与之间的函数表达式（不必写的取值范围）； (2)当日销售单价为元时，对应的日销售量为_______； (3)若，求的取值范围． 22．（2025九年级·全国·专题练习）某商场销售一批进价为120元/双的运动鞋．当每双运动鞋的售价进行调整时，每天的销量随之发生变化（要求售价高于进价）部分销售数据如下： 每双的售价元 200 250 300 每天的销量双 30 24 20 (1)求y关于x的函数解析式． (2)若要求每天的销量不低于15双，则x的取值范围为 ． (3)若商场希望每天的销售利润为2400元，则售价应定为每双多少元？ 23．（24-25八年级下·全国·单元测试）某工厂去年月的利润为万元．记去年月为第个月，设第个月的利润为万元．由于机器老化，该厂决定从去年月底起适当限产，并投入资金对机器更新换代，月利润明显下降．从月到月，与成反比例．到月底，机器全部完成更新，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元（如图）． (1)分别求该厂更新机器期间及机器全部更新后与之间的函数表达式． (2)机器全部更新后几个月，该厂月利润才能达到去年月的水平？ (3)当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，该厂资金紧张期共有几个月？ 24．（21-22九年级下·湖南常德·期中）受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题： (1)分别写出该化工厂对生产线进行升级改造期间以及改造后与的函数表达式；（不用写出自变量取值范围） (2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？ 题型七：一次函数与反比例函数的方案选择问题 方法技巧：分别建立两种函数表达式，通过比较函数值大小、找交点，确定不同范围内的最优方案。 25．（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 26．（23-24九年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 27．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 28．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 题型八：一次函数的利润最大/费用最少问题 方法技巧：根据题意列利润(或费用)关于变量的一次函数，结合自变量取值范围(如销量、数量为正整数)，求最值。 29．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）如图，这是某种产品天的销售图象．图是产品日销售量（件）与时间（天）之间的函数关系图象，图是一件产品的销售利润（元）与时间（天）之间的函数关系图象．已知日销售利润日销售量一件产品的销售利润． (1)第天的日销售量为______件． (2)求第天销售一件产品的利润是多少元？ (3)求第天的日销售利润是多少元？ 30．（25-26八年级下·全国·期末）某特产店在春节期间推出了菌菇和杂粮粥两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个杂粮粥礼盒的销售总额为390元，售出4个菌菇礼盒的销售额和售出5个杂粮粥礼盒的销售额相同． (1)求菌菇礼盒和杂粮粥礼盒的销售单价． (2)由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共30个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒可盈利20元，每个杂粮粥礼盒的利润率为．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②老板应该如何进货才能使得这批礼盒全部售完后获利最大？最大利润为多少？ 31．（25-26八年级上·全国·期末）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元/件．工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段表示的函数关系中时间每增加1天，日销售量减少5件． (1)第17天的日销售量是 件，日销售利润是 元； (2)求所在直线的函数表达式； (3)求试销售期间日销售利润的最大值． 32．（25-26八年级上·四川成都·期末）（）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙． ①这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ ②当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处求云梯底端在水平方向滑动的距离． （）小明和小丽两人同时到一家水果店买水果，小明买了苹果和梨，共花了元；小丽买了同样品种的苹果和同样品种的梨，共花了元． ①求这种苹果和梨的价格各为多少？ ②小颖准备买同样品种的苹果和梨共，且苹果不多于，应该如何购买才能使总费用最少？并求最少费用． ∴购买苹果，购买梨，能使总费用最少，最少费用为元． 题型九：一次函数与反比例函数的交点综合应用 方法技巧：联立两种函数解析式，求解交点坐标，结合交点的实际意义（如临界状态、平衡点）解答。 33．（24-25九年级下·湖南郴州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点和点的坐标； (3)已知点在第三象限，且为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 34．（25-26九年级上·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 35．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，求a的值； (3)若点P为x轴正半轴上一个动点，在反比例函数图象上是否存在一点M，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 36．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)若点是点关于轴的对称点，求的面积； (3)当函数值时，直接写出的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数与反比例函数的实际应用 题型一：一次函数的行程问题 题型二：反比例函数的物理量关系问题 题型三：一次函数的工程问题 题型四：表格/图象信息提取与函数建模 题型五：一次函数的梯度计价问题(分段计费类) 题型六：反比例函数的销售单价与销量问题 题型七：一次函数与反比例函数的方案选择问题 题型八：一次函数的利润最大/费用最少问题 题型九：一次函数与反比例函数的交点综合应用 题型一：一次函数的行程问题 方法技巧：设时间为，路程为，根据(为速度，为初始路程)列一次函数，结合图象或路程关系求解。 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某款新能源纯电动汽车充满电后，仪表盘上剩余电量的显示值与行驶路程x（单位：）的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在（1）中所求函数关系式中常数项的实际意义是什么？ (3)若该款新能源纯电动汽车在高速公路上以的速度匀速行驶，仪表盘上剩余电量的显示值从90下降至40时，该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了多长时间？ 【答案】(1)， (2)该新能源纯电动汽车充满电时，仪表盘上剩余电量的显示值为100 (3)该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数关系式，再求出函数值为0时x的值即可得到自变量的取值范围； （2）结合实际场景作答即可； （3）分别求出时和时x的值，进而求出行驶的路程，再根据行驶时间等于行驶路程除以行驶速度可得答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 由题意可得 解得 ∴y与x的函数关系式为， 当时，， ∴x的取值范围是； （2）解：y与x的函数关系式中常数项100的实际意义：该新能源纯电动汽车充满电时，仪表盘上剩余电量的显示值为100； （3）解：在中，当时，，解得． 当时，，解得． ∴仪表盘上剩余电量的显示值从90下降至40时，汽车行驶的路程为． ． 答：该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 【答案】(1)1200，80 (2)， (3) (4)分钟和7分钟 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图象分析出各个点对应的情况． （1）分析图象，出发前两人之间的距离即为两地之间的距离，为1200米，乙经过15分钟时到达地，据此即可求解； （2）由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，点表示此时甲到达地，则可求出，再经过3分钟乙到达地，此时两人相距米，利用甲乙的速度即可算出； （3）根据的坐标，设出的一般解析式，将的坐标代入即可求出； （4）设经过分钟两人相距60米，根据两人相遇前和相遇后都可相距60米分别列方程即可求出． 【详解】（1）解：由函数图象可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从地出发，乙从地出发，两人最开始时的距离就是两地之间的距离， 所以两地之间距离为1200米； 由图象可知乙经过15分时到达地， ∴乙的步行速度为（米／分）； 故答案为：1200，80； （2）解：由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，点表示此时甲到达地，乙未到达地，15分钟时乙到达地，此时两人相距米， 设甲的步行速度为米／分， 则， 解得：（米／分）， ∴（分）， 米， 故答案为：12；900； （3）解：设线段的解析式为， 则有， 解得：， ∴线段的函数解析式是； （4）解：设经过分钟两人相距60米，两人相遇前和相遇后都可相距60米， 相遇前：， 解得：； 相遇后：， 解得：， 所以经过7分钟和分钟时两人相距60米． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图1，在实验课上，小明做“小球反弹实验”．已知桌面的长为，小球与木块（大小、厚度忽略不计）同时从点出发，向点做匀速直线运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回（忽略转向时间），沿原来的路径和速度返回，遇到木块后又被反弹回挡板，如此反复，直到木块到达挡板，小球和木块同时停止运动．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图2是y与x的部分图象，请结合已有的部分图象写出t的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解函数图象，掌握一次函数图象的性质是关键，根据题意得到直线的解析式，再代入函数值计算即可． 【详解】解：小球与木块（大小、厚度忽略不计）同时从点出发，向点做匀速直线运动，木块与小球之间的距离为， 由图2可知，当时，值最大，即木块与小球之间的距离最大， ∴小球的运动速度为， ∴， 当小球遇到挡板反弹时，经过了时，值为0，即木块与小球之间的距离为0， 设小球反弹时的直线解析式为， ∴， 解得，， ∴， 当，时，， 解得，， 故答案为： ． 4．（25-26八年级上·山东烟台·期末）小明家与奶奶家相距，他假期去看望奶奶，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小明到服务区，于是，小明与爸爸约定，他先搭乘顺路车到服务区，爸爸驾车到服务区接小明回家．小明到达服务区之后等了一会儿爸爸才到，然后小明就乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小明与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示， (1)求小明从奶奶家到服务区的过程中，与的函数关系式； (2)小明从奶奶家回到自己家共用了多长时间？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】（）设与的函数关系式为，再利用待定系数法解答即可求解； （）求出时的值，进而列式求出时间即可； 本题考查了一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，把和代入得， ， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：把代入中得，， ∴（小时）， 答：小明从奶奶家回到自己家共用了小时． 题型二：反比例函数的物理量关系问题 方法技巧：根据物理公式(如、)确定反比例关系，代入已知数据求，再解答问题。 5．（2025·河南开封·一模）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 【答案】(1) (2)；图象见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据解答即可； （2）求出与的关系式，可得L关于x的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ， ∴与的关系式为， ， ， ∴， 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出图象如图所示： 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）为测定一批小灯泡的使用寿命，某实验人员从一批灯泡中随机抽取了一个小灯泡，拼接成如下串联电路图（图1），实验人员收集并整理了滑动变阻器从点移动到点过程中的相关数据，并绘制成函数图象（图2）．已知电流与电阻成反比例（即，为电源电压），在串联电路中，（为小灯泡电阻）， (1)直接写出关于的函数表达式为__________； (2)小灯泡电阻的值为__________，滑动变阻器最大电阻为__________； (3)若小灯泡额定电流为，在不改变电源电压的情况下，为保证实验准确性，实验时滑动变阻器电阻应控制在什么范围． 【答案】(1) (2)5；20 (3)实验时滑动变阻器电阻 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，涉及待定系数法求解析式，解方程和不等式， （1）根据题意关于的函数表达式为，结合过点采取待定系数法求解析式即可； （2）结合反比例函数的性质分别求的最大值和最小值，结合电路图中求解即可； （3）根据题意列出不等式，结合已知的电阻求得范围即可． 【详解】（1）解：根据题意知，关于的函数表达式为，且过点，则 ，解得， 故关于的函数表达式为； 故答案为：； （2）解：根据关于的函数表达式为可知，当最小时，取得最大值，此时滑动变阻器接入的值最小为0，则， 当最大时，取得最小值，此时滑动变阻器接入的值最大，则，解得， 故答案为：5；20； （3）解：由题意得，解得， 则实验时滑动变阻器电阻应控制在． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 【答案】(1)， (2)当它所受的牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时 (3)若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合函数图像分析出相关信息是解题的关键． （1）函数图像过点， 将点的坐标代入函数关系式，即可求得功率，进而写出函数解析式； （2）将代入函数解析式，即可求出速度v的大小； （3）汽车的速度不超过30米/秒，即，结合函数解析式，解不等式即可求出F的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，反比例函数表达式为， 把代入，得， （瓦）， ∴． （2）解：当牛时， （米/秒）（千米/时）， 即当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时． （3）解：由，得． 所以，若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛． 8．（25-26九年级上·山西太原·月考）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在物理活动课上，我们“领航”小组的同学，参加了一次“探究电功率与电阻之间的函数关系”的活动． 第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率． 第二步，整理数据． 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ … … 3 6 9 12 15 … … 3 1.5 1 0.75 0.7 … 第三步，描点连线．以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务： (1)表格中错误的数据是第______组，与的函数表达式为______； (2)直接写出大于时的取值范围为______． 【答案】(1)⑥， (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是根据表格数据确定两个变量成反比例，求出函数解析式． （1）根据P与R是反比例函数求解即可； （2）根据反比例函数图象，直接写出答案即可． 【详解】（1）解：观察表中的数据发现P与R的乘积固定不变，等于9,故P与R是反比例函数， 其中，⑥数据错误； 设P与R的函数解析式为， 把代入得，， 解得，， P与R的函数解析式为， 故答案为：⑥，． （2）解：当，结合反比例函数图象，P大于6W时R的取值范围是． 故答案为：. 题型三：一次函数的工程问题 方法技巧：设工作时间为，工作量为，按(为效率，为初始工作量)列函数，结合完成条件求解。 9．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）要从甲、乙两仓库向，工地运送水泥，已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；工地需70吨水泥，工地需110吨水泥．设甲仓库运往工地水泥吨，两仓库到，两工地的路程和每吨每千米的运费如下表： 路程/ 运费/（元/） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 工地 20 15 工地 25 20 1 (1)填写下表： 运量/吨 运费/元 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 工地 工地 (2)求总运费关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围． (3)当甲、乙两仓库各运往，两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当甲仓库运往工地，运往工地，乙仓库运往工地，运往工地时，总运费最省，最省的总运费是3710元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、一次函数的性质等知识点，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意，填写表格即可； （2）由（1）的表格可得从甲、乙两仓库向，两工地运送水泥的费用，然后求和即可求得解析式； （3）先根据（2）得到函数解析式的增减性求得最省费用即可． 【详解】（1）解：设甲仓库运往工地水泥吨， 工地需70吨水泥， 乙仓库运往工地水泥吨， 由题意得，甲仓库运往工地的运费为元， 乙仓库运往工地的运费为； 甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥， 甲仓库运往工地水泥吨，乙仓库运往工地水泥吨， 由题意得，甲仓库运往工地的运费为元， 乙仓库运往工地的运费为； 填写表格如下： 运量/吨 运费/元 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 工地 工地 （2）解：由（1）得，总运费关于的函数表达式为 ， 其中，解得， 总运费关于的函数表达式为； （3）解： ， 其中， 随着的增大而减小， 当时，即甲仓库运往工地吨，运往工地吨，乙仓库运往工地吨，运往工地吨时，总运费最省，最省运费为元． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）沐阳快速路全长31公里，在铺设过程中，需将其中某路段，交由工程队承建.有甲、乙两家工程队参与投标，其报价方案如下： 甲工程队：基础费用1000万元（含设备、人员调配等成本)，每公里施工费180万元； 乙工程队：基础费用600万元，每公里施工费220万元． 设施工路段长度公里，甲工程队承建费用为万元，乙工程队承建费用为万元． (1)分别求出，与之间的关系式； (2)当施工路段为多少公里时，甲、乙两个工程队的承建费用相同？ (3)若预算上限为3000万元，则应选哪个工程队，可使施工路段长度更长？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当施工路段为公里时，甲、乙两个工程队的承建费用相同； (3)应选甲工程队，可使施工路段长度更长，理由见解析． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，涉及一次函数关系式的建立、一元一次方程的求解和一元一次不等式的应用． （1）根据“总承建费用=基础费用+每公里施工费用×施工路段长度”的数量关系，分别建立甲、乙工程队的费用与路段长度的一次函数关系式； （2）当两队承建费用相同时，令两个函数表达式相等，通过解一元一次方程求出对应路段长度； （3）分别以预算上限为限制条件，列一元一次不等式求出甲、乙两队可施工的最大路段长度，再比较大小确定最优选择． 【详解】（1）解：根据题意，； ； （2）解：当甲、乙两个工程队的承建费用相同时，令，即， 解得； 答：当施工路段为公里时，甲、乙两个工程队的承建费用相同； （3）解：令，则，解得； 令，则，解得； ，，，即， 甲工程队能施工的路段长度更长，应选甲工程队； 答：应选甲工程队，可使施工路段长度更长． 11．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）某工厂同时生产甲、乙两种零件，已知每生产一个甲种零件可获得利润260元，每生产一个乙种零件可获得利润150元，工作2天后为了提高生产效率，现引进新的生产技术，对生产乙种零件的生产工人进行了新技术的培训同时停产一天，新技术培训后生产效率是之前的2倍．甲、乙生产线各自生产的零件个数y（件）与生产时间x（天）的函数关系如图所示． (1)求生产甲种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式； (2)求新技术培训后生产乙种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式； (3)该工厂前7天的总利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，熟练运用待定系数法求函数的关系式是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出乙当时对应x的值，再利用待定系数法求解即可； （3）该工厂前7天的总利润=前7天生产甲种零件的利润+前7天生产乙种零件的利润，据列代数式计算即可． 【详解】（1）解：设生产甲种零件的个数y与工作时间x的函数关系式为（为常数，且）． 将代入， 得， 解得， ∴． （2）解：新技术培训前的生产效率是（件/天），新技术培训后的生产效率是（件/天）， （天），（天）． 设新技术培训后生产乙种零件的个数y与工作时间x的函数关系式为（、b为常数，且）． 将和 代入， 得， 解得， ∴． （3）解：前7天生产甲种零件的利润为（元）， 生产乙种零件的利润为（元）， （元）， ∴该工厂前7天的总利润是元． 12．（2024七年级下·浙江·专题练习）为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成． (1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少． 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天 (2)甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元 【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，二元一次方程的实际应用，一次函数的性质； （1）如果设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题； （2）设甲工程队做天，乙工程队做天，先得出，进而求出所需费用，因为需在20天内完成工程，从而确定出最佳方案． 【详解】（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天，由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天． （2）设甲工程队做天，乙工程队做天， 根据题意得：， 整理得，即， 需在20天内完成工程， ，解得， 所需费用， 根据一次函数的性质可得， 越小，所需费用越小， ∴时，费用最少，此时， 即甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小， 最小费用为（万元）， 答：甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元． 题型四：表格/图象信息提取与函数建模 方法技巧：从表格或图象中找关键点(如截距、交点)，一次函数代入，反比例函数代入，求解函数表达式。 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）【综合与实践】设置“绿波带”交通控制方案 一条路上有多个交通信号灯，在“绿波带”，驾驶员以“绿波速度”驾驶，往往能一路绿灯通行．“绿波带”一般设置在城市干线道路上，将所有信号灯交叉口看作一个系统，通过协调控制绿灯亮起的时间，使得车辆以某一规定车速行驶时，基本上可以处处遇到绿灯，这个车速就是“绿波速度”，设置“绿波带”，既可以大大提高交通整体通行效率，也可以优化司机的通行体验． 如图1，汽车以速度v（）匀速行驶通过路口A、B、C、D，且．已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计．已知路口A的绿灯亮起后路口C，D的绿灯亮起；亮起后路口B的绿灯亮起．路口B，C，D和路口A的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． 【问题一】特定速度通行情况 设汽车在第0秒出发，匀速行驶t(s)后路程为s(m)．图2中的射线表示在某种红绿灯设置的行驶情况． （1）求与的函数关系式； （2）汽车以这样的速度向路口D行驶，它能一路通过这四个路口吗？若能请说明理由，若不能，请计算从路口A出发到通过路口D的总时长（行程总时长＝红灯等待时间+行驶时间）； 【问题二】绿波速度通行情况 （3）如果在这种红绿灯设置下，一辆汽车在路口A绿灯亮起后第15秒钟经过路口A，汽车若想一路绿灯通过剩下的三个路口，需要优化通行速度，则“绿波速度”的取值范围为 ； 【问题三】系统优化对比情况 （4）以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比： 指标 优化前 优化后 行程总时长 分钟 12分钟 红灯等待次数 5次 1次 单次红灯平均等待时长 为优化前的 行驶速度 600米/分钟 900米/分钟 求“绿波控制系统”优化前的单次红灯等待时长． 【答案】（1）；（2）不能，190秒；（3）；（4）“绿波控制系统”优化前平均单次红灯等待时长为分钟 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，列一元一次方程解决实际问题，确定不等式组的解集等知识点，解题的关键是掌握以上性质和理解题意． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据解析式求出汽车到达路口的时间，然后判断出是否绿灯，然后进行求解即可； （3）根据各个路口绿灯开始和结束时间，求出速度的范围，最后根据题意进行确定取值范围即可； （4）设“绿波控制系统”优化前平均单次红灯等待时长为t分钟，根据路程相等列出方程求解即可． 【详解】解：（1）s与t的函数关系式为，把代入得，， ∴s与t的函数关系式为； （2）不能， 由图2可知，汽车以这样的速度向路口D行驶，它不能一路绿灯通过这四个路口， 当时，， 解得， ∴汽车到达路口D为，此时为红灯， 第秒时，路口D绿灯亮起，故从路口A出发到通过D路口的总时长为190秒； （3）①绿灯通过路口B，则，即， ②绿灯通过路口C，则，即， ③绿灯通过路口D，则，即， 又， ∴． （4）设“绿波控制系统”优化前平均单次红灯等待时长为t分钟， ， 解得， 答：“绿波控制系统”优化前平均单次红灯等待时长为分钟． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）综合与实践：杆秤中的数学 背景 杆秤，是中国人发明的人类最早的衡器，它凝聚了古代劳动人民的智慧，你知道杆秤中隐含的数学原理吗？ 素材1 杆秤称物符合杠杆原理：如图1，要使杆秤平衡，杆秤左端物体的质量M、左端物体到秤纽O（即杆秤的支点）的水平距离与右端秤砣的质量m、秤砣到秤纽的水平距离满足等式：．    素材2 如图2，利用杆秤称重时，当秤盘所托重物为（不包括秤盘的质量）时，秤砣到秤纽的水平距离为，根据杠杆平衡原理可得y是关于x的一次函数．    素材3 为了便捷的利用杆秤称重，需在杆秤上标记分布均匀的刻线来刻画刻度与重物质量的对应关系，其制作过程如下： （1）标记零刻线：当秤盘不放重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出零刻线； （2）标记末刻线：当秤盘放入杆秤允许的最大质量（即杆秤的最大量程）重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出末刻线； （3）标记计量刻线：量出零刻线与末刻线之间的距离，将零刻线与末刻线之间的距离等间距分割成10大格，每大格再等间距分割成10小格． 小明根据素材3制作了最大量程为的杆秤，若干次称重时所记录的一些数据如下表所示： 25 50 75 100 3 4 (1)若称一重物时的读数为5大格3小格，则此时称得的重物的质量为_________； (2)求y关于x的函数表达式； (3)求此杆秤的每小格的长度． 【答案】(1)530 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，每个大格表示的质量为，每一小格表示的质量为，根据重物时的读数为5大格3小格，计算解答即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据题意，得． 【详解】（1）解：根据题意，每个大格表示的质量为，每一小格表示的质量为， 由称重物时的读数为5大格3小格，故其质量为； （2）解：设y关于x的函数表达式为（） 将和分别代入得：解得 y关于x的函数表达式为； （3）解：令，，令， 每小格的长度为：． 15．（25-26九年级上·云南昆明·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 囊括上百种特色美食的昆一西食堂，为丰富菜品，计划采购甲、乙两种食材． 素材一 购买千克甲食材和千克乙食材共需元，购买千克甲食材和千克乙食材共需元． 素材二 食堂准备采购这两种食材共千克，乙食材的数量不少于甲食材数量的，且总花费不超过元． 请完成下列任务： 任务一 甲、乙两种食材每千克的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的采购方案． 【答案】 任务一：甲食材每千克元，乙食材每千克元；任务二：采购甲食材千克，乙食材千克，此时总费用最省，为元 【分析】本题考查了二元一次方程组与实际问题、一元一次不等式组、一次函数的性质，关键是熟练应用知识点解题； 任务一：根据题意列方程组即可； 任务二：根据题意列出不等式组，并列出总费用与甲食材数量之间的一次函数关系式，并讨论其最值． 【详解】任务一：解：设甲食材每千克的价格是元，乙食材每千克的价格是元， 由题意得：， 解得：， 答：甲食材每千克的价格是元，乙食材每千克的价格是元； 任务二：解：设采购甲食材需千克，总费用为：元， ， 解得：， ∵，， ∴随的增大而减小， 即：当时，最小，此时买甲食材千克，买乙食材千克， 答：采购甲食材千克，乙食材千克，此时总费用最省，为元． 16．（25-26八年级上·四川成都·月考）某公司装修需要A型和B型板材，根据以下素材，探索完成任务： 材料一 如图， A型板材规格是； B型板材规格是． 材料二 目前只能购得的标准板材，如图． 材料三 一张标准板材尽可能最多的截出A型、B型板材，有以下三种截法： 截法一：A型1块，B型2块； 截法二：A型2块，B型块； 截法三：A型0块，B型块． 任务一 直接写出材料三中的，的值； 任务二 公司现需要A型板材块，B型板材块． 设按截法一截张标准板材，按截法二截张标准板材，按截法三截张标准板材，且所截出的A、B两种型号的板材刚刚好够用． 分别求出与和与的函数关系式； 任务三 若用表示所购标准板材的张数，求与的函数关系式，并直接指出当取何值时最小，最小值是多少？ 【答案】任务一：，；任务二：，；任务三：，当时，取最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数的值，熟练找出等量关系及一次函数的性质是解题的关键． （1）根据按截法二裁剪时，2块A型板材块的长为，用，与B型板的规格进行比较可得，按截法三裁剪时，3块B型板材块的长为，而4块B型板材块的长为，从而求得； （2）根据按截法一截张标准板材，按截法二截张标准板材，按截法三截张，需用A型板材块、B型板材块，即可找出求出与和与的函数关系式； （3）根据与和与的函数关系式，即可得与的关系，进而求得，当时，最小，把代入即可求得的最小值． 【详解】解：任务一：， ， ，； 任务二：由题意得：，， ，； 任务三：由题意得：， ； x，y，z都是非负整数， ，且为2和3的公倍数， ∴当时，Q取最小值，最小值为． 题型五：一次函数的梯度计价问题(分段计费类) 方法技巧：按计费分段标准，分区间列一次函数表达式，根据用量确定对应区间，代入计算费用。 17．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）某电商平台推出同城生鲜快递配送服务，按包裹重量实行分档计费，具体计费标准如下（注：配送费为各档累计费用之和）： 计费档 包裹重量（单位：千克） 计价方式 第一档 整单8元 第二档 比上一档超出的部分收1元/千克 第三档 比上一档超出的部分收2元/千克 例如，某顾客购买了15千克的生鲜，他需要付的配送费为（元）． (1)当时，求配送费（单位：元）与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该电商同城生鲜千克，快递配送费用为45元，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分段函数的实际应用，围绕分段函数在实际计费场景中的应用展开，明确各档位的计费逻辑，通过分析不同区间的费用构成来确定函数关系式，再结合费用数值判断所属档位以求解变量是解题的关键． （1）依据分档计费规则，第一档费用固定为8元，第二档是对超出5千克部分按1元/千克收费，据此构建函数关系式； （2）先判断45元对应的计费档位，再结合对应档位的计费方式列方程求解． 【详解】（1）解：， 整理，得， 当时，函数关系式为； （2）解：当包裹重量为20千克，配送费元， 因为 所以， ， 化简得， 把代入上式，得， 解得，． 18．（25-26八年级上·广东深圳·期中）综合实践 提出问题 随着新能源车的发展，人们在购车时会面临一个问题：选燃油车还是电动车？ 数据收集 用车费用包含购车费用和耗能费用（A型电动车每100公里耗电15度电，每度电0.6元；B型燃油车每100公里耗油8L，每升油8块钱） 注意事项 数据的单位！ 数据整理 购车费用（元） 每公里耗能费用（元） A型电动车 135000 a B型燃油车 80000 0.64 数据描述 行驶公里数（公里） 用车费用y（元） A型电动车 x B型燃油车 x 解决问题 回答表格中第一行的提问； 拓展问题 资金预算 小敖爸爸计划购买一辆A型电动车进行网约车工作，要了解在使用年限内，至少需要投入多少费用？ 政策法规 行驶路程超过60万公里，网约车强制报废． 数据收集 网约车每年平均行程10万公里 电动车保险费：5000元/年 电动车保养费：120元/万公里 根据上述信息解答下列问题： (1)表中______、______、______； (2)请完成“解决问题”； 当______时，燃油车与新能源电动车的用车费一样． 当______时，新能源电动车的用车费用更低，选择新能源电动车划算． (3)请计算“资金预算”中的费用． 【答案】(1)，， (2)当时，燃油车用车费用与新能源电动车费用一样，当时，新能源电动车费用更低，选择新能源电动车划算 (3)至少需要投入的费用是226200元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据A型电动车每100公里耗电15度电，每度电0.6元，求出的值，根据用车费用包含购车费用和耗能费用，求出即可； （2）令，求出燃油车与新能源电动车的用车费一样时，的值，令，求出新能源电动车的用车费用更低时，的值即可； （3）求出各种费用的总和即可． 【详解】（1）解：由题意， ∴；． （2）当时，解得； ∴当时，燃油车用车费用与新能源电动车费用一样． 当时，解得； ∴当时，新能源电动车费用更低，选择新能源电动车划算． （3）由题意可知，使用年限为60万万年， ∴（元）． 答：至少需要投入的费用是226200元． 19．（25-26八年级上·广西贵港·期中） 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下：纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低．燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据． A车 B车 每千米行驶费用 a元 元 总行驶费用 10元 25元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为 A车 B车 保险6500元/年 保险3000元/年 车机服务1000元/年 保养0.05x元 项目任务： (1)求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； (2)若小明家仅用新车短途代步，每月行驶固定，按1年计算，A、B车的总费用相差多少元？ (3)请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程，请你帮小明家确定购车方案． 【答案】(1)纯电动汽车每千米元，燃油车每千米元 (2)元 (3)当年平均行驶里程少于时，选燃油车；当年平均行驶里程恰好时，两者均可；当年平均行驶里程多于时，选纯电动汽车 【分析】本题考查分式方程，一次函数的实际应用，不等式的应用，掌握利用方程求解费用单价、利用函数比较费用差异的方法是解决问题的关键． （1）根据行驶里程分别表示两车的行驶里程，再以两车行驶里程相同为等量关系列方程求解即可； （2）先计算年行驶里程，再分别计算、车的总费用（总费用=行驶费用+保险+其他费用），最后求差值； （3）构建、两车的总费用函数，通过比较函数值大小确定购车方案． 【详解】（1）解：设纯电动汽车每千米行驶费用为元，则燃油车每千米行驶费用为元， 根据题意得： 解得 经检验是原方程的解， 则燃油车每千米行驶费用为： 元， 答：纯电动汽车每千米行驶费用为元，燃油车每千米行驶费用为元； （2）解：月行驶，年行驶里程为： ， 车总费用：元， 车总费用：元， 总费用差值：元， 答：A、B车的总费用相差元； （3）解：设纯电车花费元，燃油车花费元，由题意得： 当时， 当时， ， 当时， ， ∴当年平均行驶里程少于时，选燃油车； 当年平均行驶里程恰好时，两者均可； 当年平均行驶里程多于时，选纯电动汽车． 20．（2025·山东·二模） 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 元 元 总行驶费用 7.5元 18.75元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元／年 车机服务 1230元／年 B车 保险 2900元/年 保养 元 项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 【答案】任务1：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；任务2：见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； 任务1：根据题意得，解分式方程，即可求解； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元；求得，，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元； 由题意得， ， ①当时，， 解得， ∴当时，燃油车的行驶费用更低； ②当时，， 解得， ∴当时，两种车的行驶费用相同； ③当时，， 解得， ∴当时，纯电动汽车的行驶费用更低． 题型六：反比例函数的销售单价与销量问题 方法技巧：设单价为，销量为，由总价确定反比例函数，结合利润公式求解。 21．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）为迎接农历马年的到来，提前点燃节日消费热度，各平台推出年终促销让利活动．某商家出售一款零食，在销售过程中，该商家发现这款零食的日销售量（单位：kg）与日销售单价（单位：元）之间成反比例函数关系，其函数图象如图所示，点在该反比例函数图象上． (1)求与之间的函数表达式（不必写的取值范围）； (2)当日销售单价为元时，对应的日销售量为_______； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值. ()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为 故答案为：； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵，∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 22．（2025九年级·全国·专题练习）某商场销售一批进价为120元/双的运动鞋．当每双运动鞋的售价进行调整时，每天的销量随之发生变化（要求售价高于进价）部分销售数据如下： 每双的售价元 200 250 300 每天的销量双 30 24 20 (1)求y关于x的函数解析式． (2)若要求每天的销量不低于15双，则x的取值范围为 ． (3)若商场希望每天的销售利润为2400元，则售价应定为每双多少元？ 【答案】(1) (2) (3)200元 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用． （1）由表中数据可得，与x成反比例函数关系，且，即可得到y关于x的函数解析式； （2）根据“销量不低于15双”列出不等式求解即可； （3）根据“每天的销售利润为2400元”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：由表中数据可得， 与x成反比例函数关系，且 关于x的函数解析式为； （2）解：∵每天的销量不低于15双， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：售价应定为每双200元． 23．（24-25八年级下·全国·单元测试）某工厂去年月的利润为万元．记去年月为第个月，设第个月的利润为万元．由于机器老化，该厂决定从去年月底起适当限产，并投入资金对机器更新换代，月利润明显下降．从月到月，与成反比例．到月底，机器全部完成更新，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加万元（如图）． (1)分别求该厂更新机器期间及机器全部更新后与之间的函数表达式． (2)机器全部更新后几个月，该厂月利润才能达到去年月的水平？ (3)当月利润少于万元时为该厂资金紧张期，该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1) (2)个月 (3)个月 【分析】本题考查了反比例函数混合与一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式，再求出第五个月的利润，然后根据每月的利润比前一个月增加万元，设出函数解析式，根据待定系数法即可求出函数解析式； （2）把万元代入函数解析式求得的值，由此即可求出机器全部更新后所经过的月数，该厂月利润才能达到去年月的水平； （3）求出机器更新换代期间和机器全部更新后利润为万元的月数，再求出两个月数的差，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，设，把代入，得，即， 当时，，当时，， ； （2）当时，， 解得：， ， 机器全部完成更新个月后，利润达到万元； （3）对于，当时，； 对于，当时，， ， 资金紧张的时间为个月． 24．（21-22九年级下·湖南常德·期中）受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题： (1)分别写出该化工厂对生产线进行升级改造期间以及改造后与的函数表达式；（不用写出自变量取值范围） (2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1) (2)到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元 (3)该化工厂资金紧张期共有5个月 【分析】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）把代入即可得到结论； （3）对于，当时，得，得到时，，对于，当时，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：当时，由月利润与时间成反比例函数，设函数解析式为：， 由图可知：在函数图像上， ， ， 当时， 当时，设函数为， 由从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元， ， 由图可知，过点， ， ， ， 综上：， （2）解：在函数中，令，得， 解得：， 答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元． （3）解：在函数中， 当时，， ∵，y随x的增大而减小， ∴当时，， 在函数中， 当时，得 解得： ∴且x为整数； ∴x可取3，4，5，6，7；共5个月． 答：该化工厂资金紧张期共有5个月 题型七：一次函数与反比例函数的方案选择问题 方法技巧：分别建立两种函数表达式，通过比较函数值大小、找交点，确定不同范围内的最优方案。 25．（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2)恒温阶段保持的时间有10小时 (3)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）由（1）知，观察图象可得； （3）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设对应函数解析式为， 把代入中得： ， ， 当时，， 解得，即； ； （2）解：由（1）知， ， 恒温阶段保持的时间有：（小时）， 答：恒温阶段保持的时间有10小时； （3）解：设的解析式为：， 把、代入中得：， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 解得， ， ， （小时）， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时． 26．（23-24九年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 27．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 28．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 题型八：一次函数的利润最大/费用最少问题 方法技巧：根据题意列利润(或费用)关于变量的一次函数，结合自变量取值范围(如销量、数量为正整数)，求最值。 29．（24-25八年级上·安徽合肥·月考）如图，这是某种产品天的销售图象．图是产品日销售量（件）与时间（天）之间的函数关系图象，图是一件产品的销售利润（元）与时间（天）之间的函数关系图象．已知日销售利润日销售量一件产品的销售利润． (1)第天的日销售量为______件． (2)求第天销售一件产品的利润是多少元？ (3)求第天的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)元 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息． （1）由图①的信息可得解； （2）求解一件产品的销售利润（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式，计算当时，，可得解； （3）先求解当时，设产品日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的函数关系式：分别计算第天与第天的销售量与当天一件产品的销售利润，即可得解． 【详解】（1）解：由图中的信息可得：第天的日销售量为件， 故答案为：； （2）解：根据图，当时，设与之间的函数关系式为． 将坐标，分别代入， 得 解得 ∴与之间的函数关系式为．． 当时，， ∴第天销售一件产品的利润是元； （3）解：根据图，当时，设与之间的函数关系式为． 将坐标，分别代入， 得 解得 ∴与之间的函数关系式为．． 当时，．． 由（），得， 当时，，． ∴第天的日销售利润是（元） 30．（25-26八年级下·全国·期末）某特产店在春节期间推出了菌菇和杂粮粥两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个杂粮粥礼盒的销售总额为390元，售出4个菌菇礼盒的销售额和售出5个杂粮粥礼盒的销售额相同． (1)求菌菇礼盒和杂粮粥礼盒的销售单价． (2)由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共30个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒可盈利20元，每个杂粮粥礼盒的利润率为．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②老板应该如何进货才能使得这批礼盒全部售完后获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)菌菇礼盒的销售单价为150元，杂粮粥礼盒的销售单价为120元 (2)①；②老板应该购进10个菌菇礼盒和20个杂粮粥礼盒，才能使得这批礼盒全部售完后获利最大，最大利润为680元 【分析】（1）设菌菇礼盒的销售单价为元，杂粮粥礼盒的销售单价为元，根据“出个菌菇礼个杂粮粥礼盒元”、“个菌菇礼盒的销售额个杂粮粥礼盒的销售额”，列方程求解即可； （2）①已知购进个菌菇礼盒，购进个杂粮粥礼盒，先求出每个杂粮粥礼盒的利润，再根据“利润菌菇礼盒利润杂粮粥礼盒利润”即可得到关于的函数解析式；②根据一次函数的增减性即可求出最大利润和进货方案． 【详解】（1）解：设菌菇礼盒的销售单价为元，杂粮粥礼盒的销售单价为元． 由题意，得 解得 答：菌菇礼盒的销售单价为元，杂粮粥礼盒的销售单价为元． （2）解：①由题意，得购进个菌菇礼盒，则购进个杂粮粥礼盒． ∵每个杂粮粥礼盒的利润率为， ∴每个杂粮粥礼盒的进价为（元）， ∴每个杂粮粥礼盒的利润为（元）， ， ∵老板决定再次购进这两种礼盒共个，且菌菇礼盒至少购进个, ， 关于的函数解析式为． ②， 随的增大而减小， ∴当取最小值时，有最大值， （元），（个）． 故老板应该购进个菌菇礼盒和个杂粮粥礼盒，才能使得这批礼盒全部售完后获利最大，最大利润为元． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用以及一次函数的应用和，根据题意结合得出正确等量关系是解题关键． 31．（25-26八年级上·全国·期末）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元/件．工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段表示的函数关系中时间每增加1天，日销售量减少5件． (1)第17天的日销售量是 件，日销售利润是 元； (2)求所在直线的函数表达式； (3)求试销售期间日销售利润的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)试销售期间日销售利润的最大值为元． 【分析】本题考查了函数的概念及应用，一次函数和正比例函数，函数图象的理解，函数的最大值和最小值，数学建模思想，关键在于理解分段函数的分界点及各段函数的变化规律，通过函数性质确定最值． （1）根据图象信息即可求出第17天的日销售量，再结合“利润（售价成本价）日销售量”求日销售利润； （2）先根据线段表示的函数关系中时间每增加1天，日销售量减少5件，求出，再利用待定系数法求解即可； （3）先求出段的函数关系式为；联立，求出，进而得到，再根据“利润（售价成本价）日销售量”，结合日销售量的最大值（由段函数性质确定）计算最大利润． 【详解】（1）解：由题意得：第17天的日销售量是件，日销售利润是（元）； 故答案为：，； （2）解：线段表示的函数关系中时间每增加1天，日销售量减少5件， ∴第30天的日销售量是（件） 则， 设所在直线的函数表达式为，则，解得， ∴所在直线的函数表达式为； （3）解： 段为过原点的正比例函数，设其解析式为， 由图象可知，当时，，代入得，解得， 段的函数关系式为； 联立，则，解得， 当时，， 日销售利润 每件利润 日销售量，其中售价成本价 元（定值），因此日销售量最大时，利润最大， 则日销售最大利润为元， 答：试销售期间日销售利润的最大值为元． 32．（25-26八年级上·四川成都·期末）（）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙． ①这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ ②当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处求云梯底端在水平方向滑动的距离． （）小明和小丽两人同时到一家水果店买水果，小明买了苹果和梨，共花了元；小丽买了同样品种的苹果和同样品种的梨，共花了元． ①求这种苹果和梨的价格各为多少？ ②小颖准备买同样品种的苹果和梨共，且苹果不多于，应该如何购买才能使总费用最少？并求最少费用． 【答案】（）①；②；（）①苹果的价格为元，梨的价格为元；②购买苹果，购买梨，能使总费用最少，最少费用为元 【分析】（）①利用勾股定理解答即可求解； ②利用勾股定理解答即可求解； （）①设苹果的价格为元，梨的价格为元，利用二元一次方程组解答即可求解； ②设购买苹果，则购买梨，总费用为元，求出与之间的一次函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解． 本题考查了勾股定理的应用，二元一次方程组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）①如图，由勾股定理得，， ∴这架云梯的顶端到地面的距离是； ②由题意得，， 由勾股定理得，， ∴， 即云梯底端在水平方向滑动的距离为； （）①设苹果的价格为元，梨的价格为元， 由题意得，， 解得， 答：苹果的价格为元，梨的价格为元； ②设购买苹果，则购买梨，总费用为元， 由题意得，， ∵苹果不多于， ∴， 又∵， ∴当时，总费用最少，最少费用为元，此时， ∴购买苹果，购买梨，能使总费用最少，最少费用为元． 题型九：一次函数与反比例函数的交点综合应用 方法技巧：联立两种函数解析式，求解交点坐标，结合交点的实际意义（如临界状态、平衡点）解答。 33．（24-25九年级下·湖南郴州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点和点的坐标； (3)已知点在第三象限，且为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）先把点代入，求出m的值，再用待定系数法求出k的值即可； （2）对于，分别令和可求出点和点坐标； （3）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，利用得到，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ， 将代入反比例函数， ， 反比例函数的解析式为． （2）解：对于，令，则， 解得 ， 令，则 ； （3）解：由（2）可知， 过点作轴于点，过点作轴于点，连接， 由条件可得， 即， 解得， 点在第三象限， 点的纵坐标为， 将代入得， 点的坐标为． 34．（25-26九年级上·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为 (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 35．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，求a的值； (3)若点P为x轴正半轴上一个动点，在反比例函数图象上是否存在一点M，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一次函数图象的平移，反比例函数比例系数的几何意义等；能利用全等三角形的判定及性质，一次函数图象的平移，反比例函数比例系数的几何意义进行求解是解题的关键． （1）联立两个函数的解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，作轴交于点，作轴交于点，由反比例函数比例系数的几何意义得，由平移得，由即可求解； （3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，由判定，由全等三角形的性质得，，即可求解． 【详解】（1）解：联立得，， 解得，； ，． （2）解：过点作轴交于点，作轴交于点，作轴交于点， ，四边形是矩形， 将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故的值为； （3）解：存在； 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， （）， ，， ， ， ， 即， 在反比例函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， ． 36．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)若点是点关于轴的对称点，求的面积； (3)当函数值时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为， (2)32 (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，再求出点B的坐标，把点A、点B的坐标代入一次函数的解析式中，可得结论； （2）根据（1）一次函数的解析式求得点C的坐标，由轴对称的性质求得点E的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于，当时，， ∴点， ∵点是点关于轴的对称点， ∴点， ∴， ∴； （3）解：观察图象得：当函数值时，的取值范围为或． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $