专题01 反比例函数中 k 的几何意义（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题01 反比例函数中 k 的几何意义 题型一：利用k的几何意义求基础三角形面积 题型二：利用k的几何意义求四边形面积 题型三：利用k的几何意义求阴影部分面积 题型四：反比例函数中图形面积的和差计算 题型五：由直角三角形/矩形面积求反比例函数的k值 题型六：反比例函数中图形面积的大小比较 题型一：利用k的几何意义求基础三角形面积 方法技巧：过双曲线上一点作坐标轴垂线，形成的直角三角形面积为，直接套用公式计算。 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，直线与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)若为轴上一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）根据一次函数解析式求出点B坐标，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点A和点C坐标，再根据列式求解即可； （3）根据（2）所求可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：∵的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或． 2．（2024·宁夏银川·二模）如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：y＝ (2) (3)存在，点E的横坐标或 【分析】（1）由，得，再将代入，得，可得出点B的坐标，代入即可得出反比例函数解析式； （2）求出点A的坐标，再由即可求出的面积； （3）先求出点D坐标，再算出面积，设点，根据列出方程，求出点E坐标即可． 【详解】（1）∵点C在y轴正半轴，，即， 把代入表达式， ∴， ∴一次函数解析式为． 将代入，得， ∴． 将点代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）将代入，得， ∴点D的坐标是， ∴． 将代入，得， 解得，． 当时，， ∴点A的坐标是， ∵点B的纵坐标为3， ∴． （3）在直线中，当时，， ∴ 根据题意可知， 设点， ， 解得或， ∴点E的横坐标或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，数形结合是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；4 (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把点A、B代入反比例函数解析式求出m、n的值，然后根据待定系数法可进行求解； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意易得，然后可分当点P在x轴上和在y轴上，进而分类求解即可 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于 两点． 将A与坐标代入反比例解析式得：， ， 代入一次函数解析式得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 直线与轴、轴的交点坐标为， ； （2）解：， 观察图象可知，不等式的解集是或． （3）解：， ， 设，即， ， 解得：或， 则、， 同理可得、， ∴点P的坐标为或或或． 4．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，A点的纵坐标为4，轴于点C，连接．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是反比例函数图象上的一点，且满足的面积是的面积的2倍，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题： （1）把A点横坐标代入正比例函数解析式可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式； （2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得的面积． （3）根据的面积是的面积的2倍，求得P到的距离为8，进而求得P的横坐标，代入解析式即可求得P的坐标． 【详解】（1）解：把代入中，得： ，解得：， ∴点A坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，点A坐标为， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴B点坐标为， ∴B到的距离为4， ∴； （3）解：∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∵， ∴P到的距离为8， ∴P的横坐标为10或， ∴P点坐标为或． 题型二：利用k的几何意义求四边形面积 方法技巧：结合特殊四边形性质，转化为直角三角形/矩形面积，利用或逐步计算。 5．（23-24九年级上·北京·期末）如图，点M，N在反比例函数的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形是正方形，四边形是矩形，与交于点E，下列说法中不正确的是（　　） A．正方形的面积等于矩形的面积 B．点M的坐标为 C．矩形的面积为6 D．矩形的面积等于矩形的面积 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，坐标与图形； 根据反比例函数系数k的几何意义可判断A、C；根据正方形的面积为6求出边长，可得点M的坐标，然后判断B；根据正方形的面积等于矩形的面积可知矩形的面积等于矩形的面积，进而判断D选项． 【详解】解：A、∵过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即， ∴正方形的面积等于矩形的面积，等于6，此选项正确； B、∵四边形是正方形，面积等于6， ∴， ∴点M的坐标为，此选项错误； C、矩形的面积为6，此选项正确； D、∵正方形的面积等于矩形的面积，等于6， ∴同时减去四边形的面积仍然相等，即矩形的面积等于矩形的面积，此选项正确； 故选：B． 6．（24-25九年级下·吉林四平·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，点A、B在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为，点F的坐标为．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n． (1)求k的值； (2)连接，当与的面积和为矩形面积的一半时，直接写出n的取值范围； (3)连接，当的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质以及三角形面积的计算，解题的关键是利用反比例函数上点的坐标特征求出值，再结合图形的性质和面积公式进行求解． （1）根据反比例函数上点的横纵坐标之积等于，列出关于的方程，进而求出值． （2）通过分析与的面积和与矩形面积的关系，结合点的位置确定的取值范围． （3）根据的面积是矩形面积的一半，设边上高的为h，求出高，分别讨论点在上完下方时和点在上完上方时，求解得到点的坐标． 【详解】（1）解：点，点在反比例函数的图象上， ， ，， ； （2）解： ， ， ∵， ∴当点P在E，F之间的反比例函数图象上时满足条件， ； （3）解：， ， ， ， ，设边上高的为h， ， 点在的下方时， 时， 当时，， 点的坐标为； 点在的上方时， 时， 当时，， 点的坐标为． 7．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，点为反比例函数图象上两点，过点P向坐标轴作垂线，垂足分别为A，B，过点Q向坐标轴作垂线，垂足分别为C，D，且与交于点M，连接，若的面积等于矩形面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，由题意，矩形面积，由的面积等于矩形面积的，得出的面积，利用三角形面积公式求得，则，解方程求得，即可求得P的坐标． 【详解】解：∵点，为反比例函数图象上两点， ∴， ∵过点P向坐标轴作垂线，垂足分别为A，B，过点Q向坐标轴作垂线，垂足分别为C，D， ∴矩形面积， ∵的面积等于矩形面积的， ∴的面积， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，反比例函数（）的图象经过点B与点D，点B的纵坐标为3． （1）k的值为 ； （2）E为该反比例函数图象上的一点，若的面积等于正方形的面积，则点E的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质． （1）依据题意，分别过B、D作轴于E，轴于F，进而可得（），故，，又点B的纵坐标为3，且B在反比例函数上，则，，从而，结合D在反比例函数上， 从而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得，，反比例函数为，则，又，则，则，又设E为，则，进而计算可以得解． 【详解】解：（1）如图，分别过B、D作轴于E，轴于F， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴． ∵，， ∴（）． ∴，． ∵点B的纵坐标为3，且B在反比例函数上， ∴，． 又∵A为， ∴，， ∴． 又∵D在反比例函数上， ∴， ∴． 故答案为：； （2）由题意，结合（1）可得，，反比例函数为， ∴． 又∵， ∴． ∴． 设E为， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 题型三：利用k的几何意义求阴影部分面积 方法技巧：通过割补、平移转化阴影部分为可求的基本图形，消去重叠部分，结合的几何意义计算。 9．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，点是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象的对称性的知识点，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据A在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值． 【详解】解：连接， 设圆的半径是r， 根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：阴影部分的面积等于圆的面积的， ∴， 解得：， ∵点是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，， ∴且， ∴， ∴， 则反比例函数的解析式是：． 故答案为． 10．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图所示，反比例函数（常数）图象经过点，分别过这三个点作轴、轴的平行线．若，图中的“十字形”阴影部分的面积为，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的坐标特征、代数式表示线段长度以及阴影面积的计算方法，同时也涉及利用方程思想解决几何与函数结合的问题首先根据的条件设出，进而得到反比例函数上三点的坐标，再分别求出三点的纵坐标，以此确定“十字形”阴影各部分的边长，通过计算各阴影部分的面积并求和得到面积方程，最后解方程求出的值为． 【详解】解：∵， ∴可以假设， 则 ∴， ∵图中所构成的“十字形”阴影部分面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，点在轴上，正方形的边在上，．反比例函数（）的图像经过点，阴影部分的面积为8，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，反比例函数比例系数k的几何意义．设与交于点M，先证 ，推出，则阴影部分的面积等于，再根据k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设，与交于点M， 四边形是矩形， ，，， 正方形的边在上，， ，， 在和中， ， ， ， 阴影部分的面积， ， 又 在的图象上， ， 故答案为：16． 12．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 题型四：反比例函数中图形面积的和差计算 方法技巧：拆分图形为多个含或的基本图形，分别计算后按题意求面积和或差。 13．（2025·江西赣州·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义．理解反比例函数中的几何意义是解题的关键． 根据中的几何意义来求解即可． 【详解】解：由图可知，点对应的垂线段围成的矩形面积为， 点对应的垂线段围成的矩形面积也为， ． 故答案为：． 14．（2025·湖南娄底·三模）如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，则，可求出． 【详解】解：如图，设阴影部分的面积分别为，， 根据题意得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 15．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 16．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合运用，根据，设，结合图形，分别用含的式子表示的值，由此可得，根据几何图形面积的计算可得，分别算出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，， 如图所示， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点在反比函数的图象上， ∴在点的位置，，即， 同理，在点的位置，，即， 在点的位置，，即， ∵分别过点三个点作轴，轴的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 题型五：由直角三角形/矩形面积求反比例函数的k值 方法技巧：由面积反推（面积为，三角形则，矩形则），结合函数所在象限确定的正负。 17．（2024·吉林长春·一模）如图，平行四边形中点的坐标为，在轴的负半轴上，、两点落在反比例函数上，且点的横坐标为3，四边形的面积是面积的3倍，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先根据四边形的面积是三角形面积的3倍，结合平行四边形的性质得出是的中点，、两点的横坐标互为相反数，设点横坐标为，则点横坐标为．再由平行四边形中点的坐标为，点的横坐标为3，求出．设，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，再利用平行四边形的性质求出，，那么． 【详解】解：四边形的面积是面积的3倍， ， 是的中点， 在轴上，横坐标是0， 、两点的横坐标互为相反数，设点横坐标为，则点横坐标为， 平行四边形中点的坐标为，点的横坐标为3， ，即， 解得， 设， 、两点落在反比例函数上， 点纵坐标为， ， ，，，，且四边形是平行四边形， ，即， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的定义，平行四边形的性质，求出、两点的横坐标是解题的关键． 18．（2025·河南·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得出，根据反比例函数的图象在第一象限，得出 ，即可得出答案； （2）点B，C均在反比例函数的图象上，得出．设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H．得出，，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点B，C均在反比例函数的图象上， ． 如图，设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H． ，， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数比例系数k的意义． 19．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，顶点B在反比例函数（k为常数，）（）的图象上，点P是矩形内的一点，连接、、、，若图中阴影部分的面积是2，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义、矩形的面积性质，熟练掌握反比例函数的几何意义、阴影部分面积与矩形面积的关系是解题的关键． 先设出点的坐标，利用矩形面积与反比例函数的几何意义建立联系；再根据阴影部分面积与矩形面积的关系，推导出的值． 【详解】解：设点的坐标为， ∵ 点在反比例函数上， ∴ ， 由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，顶点在反比例函数的图象上，若菱形的面积为4，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，反比例函数系数的几何意义．根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是菱形，在轴上，， ，， ∴， 解得：， ， ， 故答案为：． 题型六：反比例函数中图形面积的大小比较 方法技巧：紧扣和的核心结论，比较图形面积只需对比或转化后的基本图形面积。 21．（24-25九年级上·广西崇左·月考）如图，过函数 的图像上两点 做轴的垂线，垂足分别为，与相交于，若图中三角形的面积记为 ，图中梯形的面积记为，则和的大小关系是（  ）（图中阴影的面积） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数中比例系数的几何意义，根据比例系数几何意义得，则，即有，从而求解，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵是函数的图象上两点， ∴根据比例系数几何意义得：， ∴， ∴， ∴， 故选：． 22．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【答案】(1)不变化， (2) 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解； 本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴， ∴， ∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于， 故答案为：不变化，； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握“过反比例函数图像上的任意一点分别向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于”． （1）由反比例函数系数的几何意义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形，得出、两点关于原点对称，再根据反比例函数中系数的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得，， ， ， 故答案为：，； （2）“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形， 、两点关于原点对称， 反比例函数的解析式为：， ， ， 故答案为：． 24．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 设，，根据三角形的面积公式和的几何意义，即可求出结果． 【详解】解：设，， 则， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数中 k 的几何意义 题型一：利用k的几何意义求基础三角形面积 题型二：利用k的几何意义求四边形面积 题型三：利用k的几何意义求阴影部分面积 题型四：反比例函数中图形面积的和差计算 题型五：由直角三角形/矩形面积求反比例函数的k值 题型六：反比例函数中图形面积的大小比较 题型一：利用k的几何意义求基础三角形面积 方法技巧：过双曲线上一点作坐标轴垂线，形成的直角三角形面积为，直接套用公式计算。 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，直线与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)若为轴上一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 2．（2024·宁夏银川·二模）如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标． 3．（24-25九年级上·山东淄博·月考）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 4．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，A点的纵坐标为4，轴于点C，连接．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是反比例函数图象上的一点，且满足的面积是的面积的2倍，请直接写出点的坐标． 题型二：利用k的几何意义求四边形面积 方法技巧：结合特殊四边形性质，转化为直角三角形/矩形面积，利用或逐步计算。 5．（23-24九年级上·北京·期末）如图，点M，N在反比例函数的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形是正方形，四边形是矩形，与交于点E，下列说法中不正确的是（　　） A．正方形的面积等于矩形的面积 B．点M的坐标为 C．矩形的面积为6 D．矩形的面积等于矩形的面积 6．（24-25九年级下·吉林四平·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，点A、B在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为，点F的坐标为．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n． (1)求k的值； (2)连接，当与的面积和为矩形面积的一半时，直接写出n的取值范围； (3)连接，当的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标． 7．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，点为反比例函数图象上两点，过点P向坐标轴作垂线，垂足分别为A，B，过点Q向坐标轴作垂线，垂足分别为C，D，且与交于点M，连接，若的面积等于矩形面积的，则点P的坐标为 ． 8．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，反比例函数（）的图象经过点B与点D，点B的纵坐标为3． （1）k的值为 ； （2）E为该反比例函数图象上的一点，若的面积等于正方形的面积，则点E的坐标为 ． 题型三：利用k的几何意义求阴影部分面积 方法技巧：通过割补、平移转化阴影部分为可求的基本图形，消去重叠部分，结合的几何意义计算。 9．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，点是反比例函数的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为 ． 10．（25-26九年级上·广东河源·期末）如图所示，反比例函数（常数）图象经过点，分别过这三个点作轴、轴的平行线．若，图中的“十字形”阴影部分的面积为，则的值为 ．    11．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，点在轴上，正方形的边在上，．反比例函数（）的图像经过点，阴影部分的面积为8，则的值为 ． 12．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则 ． 题型四：反比例函数中图形面积的和差计算 方法技巧：拆分图形为多个含或的基本图形，分别计算后按题意求面积和或差。 13．（2025·江西赣州·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 14．（2025·湖南娄底·三模）如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 15．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 16．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 题型五：由直角三角形/矩形面积求反比例函数的k值 方法技巧：由面积反推（面积为，三角形则，矩形则），结合函数所在象限确定的正负。 17．（2024·吉林长春·一模）如图，平行四边形中点的坐标为，在轴的负半轴上，、两点落在反比例函数上，且点的横坐标为3，四边形的面积是面积的3倍，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（2025·河南·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)求矩形的面积． 19．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，顶点B在反比例函数（k为常数，）（）的图象上，点P是矩形内的一点，连接、、、，若图中阴影部分的面积是2，则k的值为 ． 20．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，顶点在反比例函数的图象上，若菱形的面积为4，则的值为 ． 题型六：反比例函数中图形面积的大小比较 方法技巧：紧扣和的核心结论，比较图形面积只需对比或转化后的基本图形面积。 21．（24-25九年级上·广西崇左·月考）如图，过函数 的图像上两点 做轴的垂线，垂足分别为，与相交于，若图中三角形的面积记为 ，图中梯形的面积记为，则和的大小关系是（  ）（图中阴影的面积） A． B． C． D．不能确定 22．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 24．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接、，的面积记为，的面积记为，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $