专题02 一元一次不等式与一次函数（4大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题02 一元一次不等式与一次函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1 题型二、根据两条直线的交点求不等式的解集 3 题型三、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 5 题型四、一元一次不等式与一次函数实际综合问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握利用函数图象求解不等式的方法是解题的关键． 不等式等价于，观察一次函数图象，找到图象在轴上方时对应的的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点 ∴当时， ∵不等式即为 ∴从图象可知，当函数图象在轴上方时， ∴此时的取值范围是 ∴不等式的解集是 故答案为： ． 2．（25-26八年级上·上海·期中）如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握根据函数图象解不等式的方法．由直线过第二、三、四象限可知，然后画出草图，根据一次函数和一元一次不等式的关系，结合函数图象求不等式的解集． 【详解】解：∵直线过第二、三、四象限， ∴， 又直线与x轴的交点为， ∴草图如下： 不等式表示一次函数图象在x轴下方的部分， 根据图象，当，函数图象在x轴下方， 故不等式的解集是． 故答案是：． 3．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线＝＋与轴交于点，与轴交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴下方部分图象的取值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，直线经过点，则关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 根据一元一次方程的解即为直线与轴交点的横坐标求解；关于x的不等式的解集转化为直线在直线下方时的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点， ∴方程的解是， ∵直线经过点， ∴不等式的解集是， 故答案为：，； 题型二、根据两条直线的交点求不等式的解集 5．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式．求出两函数的交点坐标是解题的关键． 先求得点的坐标值，观察函数图象可知，当时，函数的图象在函数的图象的下方，即当时，． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ， ， ， ∴的解集为． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数和的图像如图所示，其交点为，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数交点与不等式的关系，解题的关键是看懂一次函数图像． 根据一次函数交点与不等式关系直接求解即可得到答案． 【详解】解：由图像可得， 在P点右侧的图像在的下方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答． 【详解】解：不等式组的解集为由图像可知满足且的部分为下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 8．（2025八年级上·重庆·专题练习）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系找出不等式是关键．解不等式，可得出，再根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出不等式的解集，结合二者即可得出结论． 【详解】解：， ； 观察函数图象，发现： 当时，直线的图象在的图象的上方， 不等式的解为． 综上可知：不等式的解集为． 故答案为：． 题型三、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 9．（24-25八年级上·安徽池州·月考）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 即关于的方程的解为； ∵， ∴当时，， ∴不等式的解集为； 故答案为：4； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 10．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点．已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是______；关于的不等式的解集是______． (2)若点坐标为，①关于的不等式的解集是______；②求的面积． (3)根据图象求关于的不等式组的解集． 【答案】(1)； (2)①；②21 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程，数形结合思想是解题的关键． （1）利用直线与轴的交点即为时，对应的的值，进而得出答案； （2）①利用两条直线的交点坐标，结合函数图象求出不等式的解集即可； ②根据点A、B、C的坐标，即可求出答案； （3）利用两直线与轴的交点坐标，结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点坐标为， ∴关于的方程的解是； ∵直线与x轴的交点B的坐标为， ∴关于的不等式的解集是； （2）解：①点， 结合图象可知，不等式的解集是； ②点坐标为，点坐标为， ， 点坐标为， ； （3）解：结合图象可知，不等式①的解集是； 不等式②的解集是； 所以关于的不等式组的解集为． 11．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在y轴上找一点，使得的值最大，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，三角形三边关系的应用，正确利用数形结合解题是解题关键． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴交点横坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可；②记交轴于点，此时最大，再求解直线解析式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，， ∴关于x的方程的解是，关于x的不等式的解集是， 故答案为：， （2）∵关于x的不等式的解集是，关于x的不等式的解集是， ∴关于x的不等式组的解集， 故答案为： （3）①点C的坐标为．, ∴的面积为， 故答案为： ②，记交轴于点，    此时，此时最大， 设直线为， ∴，解得， 直线为， 令，则， 12．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案． 方程的解是______． 方程组的解是______． 不等式的解集是______． 不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 【答案】(1)；；；； (2)； (3)或或或． 【分析】（）根据交点坐标及函数图象即可求解； （）利用待定系数法求出的解析式，再联立函数解析式求出点坐标，最后根据三角形面积公式计算即可求解； （）设点的坐标为，可得，分点分别为顶点三情况解答即可求解； 本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式，一次函数的交点问题，勾股定理，等腰三角形的定义，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点为， ∴方程的解为， 故答案为：； ∵直线与直线的交点为， ∴方程组的解为， 故答案为：； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； 由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：把代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由得，， ∴， ∴； （3）解：设点的坐标为 ∵， ∴， 当点为顶点时，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴点的坐标为； 当点为顶点时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 题型四、一元一次不等式与一次函数实际综合问题 13．（25-26八年级上·河南周口·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A产品需成本100元，利润40元；生产一件B产品需成本80元，利润30元．设生产A产品x件，生产两种产品的总利润为元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若工厂投入的总成本不超过4600元，求最大总利润是多少？ 【答案】(1) (2)1800元 【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的应用，正确列出函数解析式是关键． （1）设生产A产品x件，生产两种产品的总利润为元．根据等于每件产品的利润乘以总数量进行列函数解析式即可； （2）求出自变量的取值范围，根据一次函数的增减性即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 整理得，其中且为整数， （2）解：根据题意可得， 化简得：， 解得 对于， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 此时，（元） 答：最大总利润为1800元． 14．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）某企业拟向县青少年体育集训队捐赠一批训练用球，篮球、足球共计80个，用于保障日常训练损耗．市场上篮球的价格为100元/个，足球的价格为80元/个，设该企业计划捐赠x个篮球，总捐赠支出为y元． (1)求该企业总捐赠支出y与捐赠的篮球个数x的函数表达式． (2)若捐赠的篮球个数不少于足球的个数，求该企业总捐赠支出的最小值． 【答案】(1)（x为0到80之间的整数） (2)当时，y有最小值，最小值为7200元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用．一元一次不等式的应用. （1）根据题意列出y关于x的一元一次函数即可． （2）先根据题意求出x的取值范围，再根据一次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设该企业计划捐赠x个篮球，则捐赠的足球个数为， 根据题意可得（x为0到80之间的整数）． （2）解：根据题意可得， 解得． ∵中的， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值， 最小值为元． 15．（25-26九年级上·山东济南·期末）钢城区为拓宽农产品销售渠道，助力乡村振兴．帮助农户将A、B两种苹果加工包装成礼盒再出售，已知件A种礼盒和2件B种礼盒的成本共元：件A种礼盒和4件B种礼盒的成本共元． (1)求A、B两种礼盒的成本分别为多少元． (2)某客户在展销会上想购买A、B两种苹果礼盒共件，且A种礼盒的数量不少于B种礼盒数量的，问客户购买多少件A礼盒所需费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)A种礼盒每件的成本价是元，B种礼盒每件的成本价是元 (2)客户购买件A礼盒所需费用最低，最低费用是元 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数解决实际问题，读懂题意，理清数量关系是解题的关键； （1）根据件A种礼盒和2件B种礼盒的成本共元：件A种礼盒和4件B种礼盒的成本共元，列方程组即可求解； （2）根据题意列出费用与A礼盒件数的一次函数关系式，找最值即可． 【详解】（1）解：设A种礼盒每件的成本价是元，B种礼盒每件的成本价是元， 根据题意得： 解得： 答：A种礼盒每件的成本价是元，B种礼盒每件的成本价是元 （2）解：设客户购买件A种礼盒，则购买（）件B种礼盒 根据题意得： 解得：， 设客户所需费用为元， 由题意可得：    ∴随着的增大而增大； 当时，最小， 最小为， 答：客户购买件A礼盒所需费用最低，最低费用是元． 16．（25-26八年级上·四川达州·期末）随着2024年巴黎奥运会的火热进行，作为本届奥运会官方吉祥物的“弗里热”也迅速火遍全球．它是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国旗颜色吻合．奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱．尤其是在全国第40个教师节来临之际，“弗里热”的玩偶和“弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元．9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元． (1)求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价； (2)已知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支．进入2024年十月后，这两款商品持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个．为回馈新老客户，旗舰店决定对玩偶降价后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元 (2)“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式． （1）设“弗里热”玩偶的销售单价为x元，“弗里热”钢笔的销售单价为y元，利用销售总额=销售单价×销售数量，结合8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元．9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润=“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值，即可作答． 【详解】（1）解：设“弗里热”玩偶的销售单价为x元，“弗里热”钢笔的销售单价为y元， 依题意得： ， 解得： ， 答：“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元 （2）解：设购进“弗里热”玩偶为m个， 则购进“弗里热”钢笔个，该旗舰店当月销售利润为w元， 依题意得：， 依题意，， 解得：， ∵， ∴当时，w最大，最大值为11600， ∴“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）一次函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数与的图象交点的横坐标为3，利用数形结合思想解答即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】解：根据一次函数与的图象交点的横坐标为3， ∵， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．随x的增大而减小 B． C．方程组的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图像中有效的获取信息，熟练掌握图像法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图像，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图像可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、把代入得，解得， 故方程组的解为， 故选项C正确，不符合题意． D、由图像可知：当时，，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·福建漳州·期末）定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“互逆点”．例如求直线的“互逆点：联立方程，解得，则直线的“互逆点为．给出下列说法：①直线的“互逆点”为；②如果直线没有“互逆点”，那么；③如果直线的互逆点是，则不等式的解集是；④已知直线的“互逆点”为，且点，在直线上，则；其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题需根据“互逆点”的定义，逐一验证每个说法，通过联立方程求解交点、利用直线平行的条件、代入点求参数再解不等式、根据一次函数的增减性比较函数值大小来判断对错． 【详解】解：①联立， ∵， ∴，解得，代入得， ∴交点为，即直线的“互逆点”为，①正确； ②联立，整理得， 若直线无“互逆点”，则方程无解，即， 解得，并非，②错误； ③∵直线的互逆点是，将其代入得，解得， 不等式即， 移项得，解得，并非，③错误； ④∵互逆点在上， ∴，解得， 将、代入得， 解得， 直线为，，随增大而减小， ∵， ∴，并非，④错误； 综上，正确的只有1个， 故选A． 二、填空题 5．（2026九年级·全国·专题练习）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．由图象可知，经过点，然后求出，再代入得，最后解不等式即可． 【详解】解：由图象可知，，经过点， ∴， ∴， 把代入得： ， 即， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）一次函数的图象与的图象相交于点，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定交点坐标，利用数形结合思想，根据，写出范围即可． 本题考查了一次函数的交点，根据交点坐标写不等式的解集，熟练掌握交点的意义是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象相交于点， ∴， 解得， ∴交点， 从函数图象上看，表示的图象在图象的下方， 观察图象可知，在交点A左侧的图象在图象下方， 此时x的取值范围是． 故答案为：． 7．（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式与一次函数，注意以两直线交点作为分界点去解答． 先根据直线求出A点坐标，不等式的解即为直线在直线下方部分对应的x的范围． 【详解】解：∵点在上 ∴ 即 故 ∵即直线在直线下方， ∴由图知，此时． 故答案为： 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得，二元一次方程组的解是 ，的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标可得答案． 【详解】解：∵函数和的图象的交点的坐标为， ∴二元一次方程组的解是； ∵当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴的解为． 故答案为：，． 三、解答题 9．（25-26八年级上·河南郑州·月考）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： (1)关于x的方程的解是 ； (2)关于x的方程的解是 ； (3)当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质， （1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出时对应的自变量的值即可 （3）利用函数图象写出时对应的函数值范围即可． 【详解】（1）利用函数图象可知函数值为0时，， 故答案为：； （2）利用函数图象可知时对应的自变量的值为， 故答案为：； （3）根据图象可知：当时，， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖南湘西·月考）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点，已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是_____，关于的不等式的解集是_____． (2)若点坐标为，关于的不等式的解集是_____． (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程，数形结合思想是解题的关键． （1）由题意可知，从而求得；观察图象可知，当时，的图象在轴的下方，从而求得不等式的解集； （2）利用图象即可求出答案； （3）利用根据三角形面积公式求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与轴交于点， ， ∴关于的方程的解是， 观察图象可知，当时，的图象在轴的下方，即， 关于的不等式的解集是； 故答案为：，； （2）解：由题意可知，两直线交于点，观察图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴不等式的解集是； （3）解：∵点, 点， ， 坐标为， ∴. 11．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）学校为奖励在全校运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元，购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)学校计划购买甲、乙两种奖品共100件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？ 【答案】(1)甲种奖品的单价为40元，乙种奖品的单价为30元 (2)当学校购买34件甲种奖品，66件乙种奖品时，花费最少，最小费用为3340元 【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意，列出方程组求解即可； （2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为w元，先根据题意列出不等式，求出m的取值范围，再求出总费用关于m的函数表达式，根据函数增减性即可进行解答． 【详解】（1）设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 故甲种奖品的单价为40元，乙种奖品的单价为30元； （2）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 依题意可得：， 解得：， ， ， 随的增大而增大， 当时，，（元）， 答：当学校购买34件甲种奖品，66件乙种奖品时，花费最少，最小费用为3340元． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． AI (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可； （2）根据两条直线的交点坐标求出方程组的解即可；根据图象求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是； （2）解：两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是； 根据函数图象可知：当时，一次函数的图象的图象在一次函数的上面， ∴于的不等式的解集为； （3）解：根据函数图象可知：当时，一次函数的图象在x轴的上面， ∴关于的不等式的解集为； 根据函数图象可知：当时，一次函数的函数值小于4， ∴不等式的解集为． 13．（25-26八年级上·重庆·期末）近年来，人形机器人技术在工业与生活服务领域快速发展，其产品主要分为工业制造型与生活服务型两类．某公司准备采购工业制造型和生活服务型两类机器人．已知购进20台工业制造型机器人和60台生活服务型机器人需支付总费用4800万元；购进30台工业制造型机器人和40台生活服务型机器人需支付总费用4400万元． (1)每台工业制造型、生活服务型机器人的单价为多少万元？ (2)该公司计划购进这两类机器人共200台，且生活服务型机器人进货数量不低于工业制造型机器人的3倍．根据市场定价，工业制造型机器人按进价的倍销售，生活服务型机器人按的利润率销售，且两种机器人最后全部售完．设销售总利润为万元，应如何安排进货数量，才能使最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)每台工业制造型机器人单价为72万元，每台生活服务型机器人单价为56万元 (2)应安排进货工业制造型机器人50台，生活服务型机器人150台，才能使W最大，最大利润为3300万元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组和一元一次不等式的应用等知识． （1）设每台工业制造型机器人单价为a万元，每台生活服务型机器人单价为b万元 ,根据题意列出关于a，b的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进工业制造型机器人x台，则生活服务型机器人台，根据题意求出x的取值范围，再分别求出两种机器人的利润，最后列出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台工业制造型机器人单价为a万元，每台生活服务型机器人单价为b万元， 根据题意，得 ， 解得：， ∴每台工业制造型机器人单价为72万元，每台生活服务型机器人单价为56万元． （2）解：设购进工业制造型机器人x台，则生活服务型机器人台， 且， 解得又，故， 工业制造型机器人每台利润为万元 生活服务型机器人每台利润为万元 销售总利润 ∵， ∴W随x增大而增大 ∴当时，W最大，最大值为万元 此时生活服务型机器人数量为台 答：应安排进货工业制造型机器人50台，生活服务型机器人150台，才能使W最大，最大利润为3300万元． 14．（24-25八年级下·山西晋中·期中）【材料阅读】 我们知道：二元一次方程有无数组解，如：，，……如果我们将方程的解（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对，例如是方程的一个解，用一个点来表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示． 【问题探究】 在平面直角坐标系中，方程的图象是图1中的直线m，也可表示为． （1）仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程的解（写出三对整数解）：_______． ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个方程的图象，记为直线n，也可表示为；请你直接写出直线m与直线n的交点M的坐标_______；则方程组的解是_______． ③过点且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B两点，求出的面积． 【问题拓展】 （2）已知关于x，y的二元一次方程组无解，由此你猜想直线与直线这两条直线_______．（填位置关系） （3）如果（2）中有存在符合题意的两条直线恰好相交，且交点坐标为，请你利用图2分析并直接写出不等式中x的取值范围_______． 【答案】（1）①，，；②图象见详解，，；③9；（2）平行；（3） 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一次函数的图象和性质，方程组的解，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握一次函数与方程和不等式的关系． （1）①根据题意写出二元一次方程的三对整数解即可； ②先描出三个点，然后再连接即可得出直线，根据交点位置，得出交点坐标，即可得出方程组的解； ③先求出点的坐标，再求出的面积即可； （2）根据两条直线的交点坐标即为方程组的解，要使方程组无解，即两条直线无交点，根据同一平面内，不相交的两条直线平行，即可得出答案； （3）根据题意得出直线经过点，，画出两条直线，根据图象即可解答． 【详解】解：（1）①二元一次方程的三对整数解为：；（答案不唯一） ②如图，直线即为所求， 根据图象可知：直线与直线的交点的坐标； 则方程组的解是； ③把代入得：，解得：， ， 把代入得：，解得：， ， ． （2）∵两条直线的交点坐标即为方程组的解， ∴要使方程组无解，则需要使两条直线无交点， ∵同一平面内，不相交的两条直线平行， ∴这两条直线平行； （3）∵直线与直线相交，且交点坐标为， 令，则，故直线经过点，， 画出图象如图： 根据图象可得不等式中x的取值范围是． 15．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）八年级数学社团学生在学习了“一次函数与一元一次方程、不等式的关系”后，尝试解决其他函数的类似问题，他们将函数确定为研究对象．请你根据以下探究过程，解答问题． 观察探究： （1）作出函数的图象． ①列表： 0 1 其中，表格中的值为__________． ②描点连线画出该函数的图象． （2）观察函数的图象． ①当__________时，函数有最大值，最大值为__________． ②方程的解是__________． 拓展应用： （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集为__________． 【答案】（1）①1；②见解析；（2）①；；②-4或2；（3） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数形结合是解决本题关键． （1）①把代入解析式即可求得；②描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）解：观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，2；或2； （3）解：画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 16．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下面是小宇同学写的一篇数学日记，请你认真阅读并完成相应学习任务． 用一次函数的观点认识方程（组）、不等式 任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以一元一次方程的解，相当于某个一次函数的图象与轴交点的横坐标．如图，一次函数的图象与轴交点的横坐标为，则方程的解为 任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式，相当于求某个一次函数的函数值大于或小于时，自变量的取值范围．如图，根据图象可知，一次函数，当时，的取值范围是，所以不等式的解集为 ； 任何一个含未知数和的二元一次方程，都可以改写成（，是常数，）的形式．含未知数和的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求自变量为何值时两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．如图，直线与直线的交点的坐标为，则二元一次方程组的解为 ． 任务： (1)上述材料“”处不等式“”的解集为______，“”处二元一次方程组的解为______； (2)上述材料中主要运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．统计思想    C．方程思想 (3)①如图4，直线与直线的交点坐标火，则关于，的二元一次方程组的解为______； ②如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过数形相结合的思想作答即可； （3）①通过观察图象求解即可； ②通过观察图象求解即可． 【详解】（1）解：∵经过， ∴的解集为， ∵直线与直线的交点的坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：，； （2）解：上述材料中主要运用的数学思想是数形相结合的思想， 故选. （3）解：①∵直线与直线的交点坐标火， ∴关于，的二元一次方程组的解为； ②由关于轴的对称点为，在图中作， ∵与轴交于， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题02一元一次不等式与一次函数 ■目录 A题型建模·专项突破 题型一、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集… 题型二、根据两条直线的交点求不等式的解集.3 题型三、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 题型四、一元一次不等式与一次函数实际综合问题.… 5 11 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1.(25-26八年级下·全国·期中)如图，一次函数y=x+b的图象经过点(2,0)与(0,3)，则关于x的不等式 kx+b>0的解集是」 y=kx+b 02八 2.(25-26八年级上·上海期中)如果直线y=kx+bk≠0)过第二、三、四象限，与x轴的交点为(-2,0)，那 么关于x的不等式kx+b<0的解集是 3.(25-26八年级上·吉林长春·开学考试)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x十b与x轴交于点 A(2,0),与y轴交于点B(0,1),则不等式kx+b<0的解集为 0 A 4.(25-26八年级上·广西崇左·月考)如图，直线y=x+b经过点A-3,2),B(1,0),则关于x的方程 kx+b=0的解是x=,关于x的不等式kx+b<2的解集是一， 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型二、根据两条直线的交点求不等式的解集 5.(25-26八年级上浙江台州期末)如图，函数y=3x与y=+1的图象相交于点A(m,3),则关于x的不 等式kx+1<3x的解为 6.(25-26八年级上浙江宁波期末)一次函数y=3x+b和y=ax-3的图像如图所示，其交点为P(-2,-5), 则不等式3x+b>ax-3的解集是 V=3x+b y=x-3 -2 7.(25-26八年级上·安微期末)一次函数y=x+b与y=mx+n的图像如图所示，则不等式组 0<kx+b<mx+n的解集为一· y=mx+n 3- 1/ 0/25 y=kx+b 8.(2025八年级上·重庆，专题练习)如图，直线y=-x+m与y=x+3的交点的横坐标为-2，则关于x的不 等式-x+m>x+3>0的取值范围为 y=x+3 y=-x+m 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 9.(24-25八年级上安徽池州月考)一次函数=c+b和y2= 2+m的图像如图所示，且A-3,0), B(4,0). B /y2 (1)关于x的方程x+b=0的解为x= ；关于的不等式x+m>0的解集》 ②若不等式2x+m<红+b的解集是x<-1,求点C的坐标， 10.(24-25八年级下·山东菏泽·期末)如图所示，在同一个坐标系中一次函数y=kx+b,和y=x+b的图象， 分别与x轴交于点A、B,两直线交于点C,已知点A坐标为(-2,0)，点B坐标为(5,0)，观察图象并回答 下列问题： y=kx+b v=kx+b (I)关于x的方程kx+b=0的解是；关于x的不等式kx+b<0的解集是 (2)若点C坐标为2,6)，①关于x的不等式kx+b>x+b的解集是；②求ABC的面积. G+b>0① (3)根据图象求关于x的不等式组 的解集 kx+b<0② 11.（24-25八年级下·河南南阳·期中)如图所示，在同一个坐标系中，一次函数y=kx+b和y=x+b的图 像分别与x轴交于点A,B,两直线交于点C.己知A-1,0),B(2,0),观察图像并回答下列问题： v-=kx+b B v=kx+b 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)关于x的方程k,x+b,=0的解是_；关于x的不等式kx+b<0的解集是_； kx+b>0 (2)直接写出关于x的不等式组 kx+b>0 的解集_； (3)若点C的坐标为(1,3. ①ABC的面积为_； ②在y轴上找一点P,使得PB-PC的值最大，求P点的坐标 12.(23-24八年级下·广东惠州期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线l:y=kx+b(k≠0)与直线 I,:y=mx+n(m≠0)相交于点P,与x轴、y轴分别交于A、B两点. 备用图 (1)若点A、B、P的坐标分别为1,0)，0,3)，(3，-2).直接写出下列各小题答案. ①方程kx+b=0的解是 y=kx+b ②方程组 y=mx+n 的解是 ③不等式kx+b<mx+n的解集是 ④不等式kx+b≥3的解集是 (2)若点A,B的坐标分别为1,0)0,2)，直线的表达式为y=2x-6,求△B0P的面积； (3)在(2)的基础上，点C是x轴上的一点，且使得ABC是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点 C的坐标， 题型四、一元一次不等式与一次函数实际综合问题 13.(25-26八年级上河南周口期末)某工厂计划生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A产品需成 本100元，利润40元；生产一件B产品需成本80元，利润30元.设生产A产品x件，生产两种产品的总 利润为y元. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若工厂投入的总成本不超过4600元，求最大总利润是多少？ 14.(25-26八年级上·安徽合肥期末)某企业拟向县青少年体育集训队捐赠一批训练用球，篮球、足球共计 80个，用于保障日常训练损耗.市场上篮球的价格为100元/个，足球的价格为80元/个，设该企业计划捐 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 赠x个篮球，总捐赠支出为y元， (1)求该企业总捐赠支出y与捐赠的篮球个数x的函数表达式. (2)若捐赠的篮球个数不少于足球的个数，求该企业总捐赠支出的最小值. 15.(25-26九年级上山东济南期末)钢城区为拓宽农产品销售渠道，助力乡村振兴.帮助农户将A、B两 种苹果加工包装成礼盒再出售，已知3件A种礼盒和2件B种礼盒的成本共220元：5件A种礼盒和4件B 种礼盒的成本共390元， (①)求A、B两种礼盒的成本分别为多少元， (②)某客户在展销会上想购买A、B两种苹果礼盒共600件，且A种礼盒的数量不少于B种礼盒数量的)， 问客户购买多少件A礼盒所需费用最低？最低费用是多少？ 16.(25-26八年级上·四川达州·期末)随着2024年巴黎奥运会的火热进行，作为本届奥运会官方吉祥物的“弗 里热”也迅速火遍全球.它是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国旗颜色吻 合.奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱.尤其是在全国第40个教 师节来临之际，“弗里热”的玩偶和弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了玩偶200个和钢笔 100支，销售总额为32000元.9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元. (1)求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价； (2)己知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支.进入2024年十月后，这两款商品 持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个，为回馈新老客户， 旗舰店决定对玩偶降价10%后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该旗舰 店当月销售利润最大，并求出最大利润. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上江苏宿迁·期末)如图是一次函数y=kx+b的图象，当kx+b≥0时，x的取值范围是() 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.x<3 B.x≥2 C.x≤2 D.x2-2 2.(25-26八年级上江苏盐城期末)一次函数y1=x-1(k≠0)与y2=-x+5的图象如图所示，当y<y2时， x的取值范围是() y2=-x+5 y1=-1(≠0) A.x<1 B.x<3 C.x>3 D.x>5 3.（25-26八年级上安微宿州月考)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=2x+2与为=缸+b(k<0)的 图像如图所示，则下列结论错误的是() ⅓ =2x+2 公+6主 A.2随x的增大而减小 B.b>3 1 y=二x+2 [x=2 C.方程组 2 的解为 D.当x>2时，乃<y2 y=kx+b y=3 4.(25-26八年级上·福建漳州期末)定义：我们把直线y=x+b(k≠0)与直线y=-x的交点称为直线 x=1 四x+bk+0的“互逆点，例如求直线y=2x+1的"互逆点：联立方程2+，解得 [y=-x y=-1’则直 线y=-2x+1的“互逆点为1，-1).给出下列说法：①直线y=x+2的“互逆点”为-1,1；②如果直线 y=-1没有“互逆点”，那么k=1;③如果直线y=-3的互逆点是1，-1)，则不等式kx-3<-x的解集是 x>1;④已知直线y=mx+n的“互逆点”为(2，n-1),且点A(-2,y,),B(0,y2)在直线y=mx+n上，则 ?<;其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 5.(2026九年级全国专题练习)若一次函数y=:+b的图象如图所示，则关于x的不等式：+3b>0的解 2 集为 2 6.(25-26八年级上江苏泰州期末)一次函数y=2x+4的图象与y2=-ax的图象相交于点Am,2),若 <y2,则x的取值范围是 7.(2026八年级上陕西西安.专题练习)如图，直线y=-3x与直线y=kx+b相交于点Aa,3),则关于x的 不等式-3x≤kx+b的解集为 B 3八 8.(25-26八年级上·安徽合肥期中)如图，己知函数y=ax+b和y=c的图象交于点P,根据图象可得， y=ax+b 二元一次方程组 的解是」 ax+b>kx的解为_ y=kx y=ax+b 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 9.(25-26八年级上河南郑州月考)根据一次函数y=x+b的图象，写出下列问题的答案： 2 1 -2-10/234x 2 3 -41 ()关于x的方程kx+b=0的解是_； (2)关于x的方程kx+b=-3的解是_： (3)当x≥0时，y的取值范围是_ 10.(24-25八年级下·湖南湘西·月考)如图所示，在同一坐标系中一次函数y=kx+b和y=c+b的图象， 分别与x轴交于点A、B,两直线交于点C,已知点A坐标为(-1,0)，点B坐标为2,0)，观察图象并回答 下列问题： y=kx+b1 y=kx+b ①)关于x的方程kx+么=0的解是，关于x的不等式+b<0的解集是· (2)若点C坐标为1,3)，关于x的不等式kx+b>x+b的解集是 (3)在(2)的条件下，求ABC的面积. 11.(25-26八年级上·安徽宣城期末)学校为奖励在全校运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖 品.己知购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费260元，购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费300 元 (1)求甲、乙两种奖品的单价： (②)学校计划购买甲、乙两种奖品共100件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分 别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？ 12.(24-25九年级上全国课后作业)如图，一次函数y=ax+b的图象与x、y轴分别交于B,A两点，与正 比例函数y=c交于点P. 8/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AI 1012345& .I (1)关于x的方程ax+b=0的解是 y=ax+b (2)关于x,y的二元一次方程组 y=kx 的解为，关于x的不等式kx>ax+b的解集为 (3)关于x的不等式ax+b>0的解集为 ,不等式ax+b<4的解集为 13.(25-26八年级上·重庆期末)近年来，人形机器人技术在工业与生活服务领域快速发展，其产品主要分 为工业制造型与生活服务型两类.某公司准备采购工业制造型和生活服务型两类机器人.己知购进20台工 业制造型机器人和60台生活服务型机器人需支付总费用4800万元；购进30台工业制造型机器人和40台 生活服务型机器人需支付总费用4400万元. (1)每台工业制造型、生活服务型机器人的单价为多少万元？ (2)该公司计划购进这两类机器人共200台，且生活服务型机器人进货数量不低于工业制造型机器人的3倍. 根据市场定价，工业制造型机器人按进价的头倍销售，生活服务型机器人按25%的利润率销售，且两种机 器人最后全部售完.设销售总利润为W万元，应如何安排进货数量，才能使W最大？最大利润为多少万元？ 14.(24-25八年级下山西晋中.期中)【材料阅读】 x=-1「x=0「x=1 我们知道：二元一次方程x-y=1有无数组解，如： y=一2：y=-y=0如果我们将方程的解令 的值记为横坐标，y的值记为纵坐标)看成一组有序数对，例如 )=2是方程x-y=1的一个解，用一个点 x=3 (3,2)来表示.探究发现：以方程x-y=1的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标 全都是该方程的解.我们把这条直线称为该方程的图象.如图1所示. 9/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 51 4 x-=1 3 3 2 4-3-2-10儿 2345 -5-4-3-2 12 3 45 2 -3 1 图1 图2 【问题探究】 在平面直角坐标系xOy中，方程x-y=1的图象是图1中的直线m,也可表示为y=x-1. (1)仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程x+y=3的解（写出三对整数解）： ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点(x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标)，并画出这个方 程的图象，记为直线n,也可表示为y=-x+3；请你直接写出直线m与直线n的交点M的坐标 则方程组 x-y=1 的解是 x+y=3 ③过点P(-1,0)且垂直于x轴的直线与m,n的交点分别为A、B两点，求出△MAB的面积. 【问题拓展】 x+2y=4① (2)已知关于x,y的二元一次方程组 x-3y=3② 无解，由此你猪想直线y=一 2x+2与直线 y=3x-1这两条直线 (填位置关系) (3)如果(2)中有存在符合题意的两条直线恰好相交，且交点坐标为4,0)，请你利用图2分析并直接写 出不等式之+2<背-1中x的取值范围 15.(25-26八年级上·河南驻马店·期末)八年级数学社团学生在学习了“一次函数与一元一次方程、不等式 的关系”后，尝试解决其他函数的类似问题，他们将函数y=-x++2确定为研究对象.请你根据以下探究 过程，解答问题 观察探究： (1)作出函数y=-x+1+2的图象. ①列表： -3 -2 10/12