第一章 三角形的证明及其应用（必备知识+14题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学复习讲义通过模块化知识点梳理构建三角形证明及应用的知识体系，以【知识点01】至【知识点07】为框架，涵盖三角形内外角定理、等腰三角形性质与判定等核心内容，用逻辑递进的结构呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础角度计算到综合动点问题，如“三角形内角和与外角和综合问题”培养推理意识，“等腰三角形动点问题”发展几何直观。基础巩固与能力提升练习适配不同学生，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

第一章 三角形的证明及其应用（复习讲义） 1. 了解三角形内角和定理及其证明思路，体会利用平行线转化角度、将未知问题转化为已知问题的数学思想。 2. 能运用三角形内角和定理及外角性质求角度大小，能利用多边形内角和公式与外角和定理解决多边形的边数与角度计算问题。 3. 理解并运用等腰三角形“等边对等角”与“三线合一”的性质进行推理与计算，能根据边、角条件判定等腰三角形或等边三角形。 4. 理解并利用角的平分线的性质（点到角两边的距离相等）及其逆定理解决与角平分线相关的几何证明与计算问题。 【知识点01】三角形的内角和定理与外角和定理 1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180°. 2.证明思路（一种经典证法）：过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用同位角、内错角相等的性质，将三个内角转化成一个平角（180°）. 3.三角形外角定义： 三角形每个顶点处，一个内角的两条边中的一条反向延长，与另一条边所夹的角称为该顶点的一个外角.每个顶点有两个外角（它们相等，因为是对顶角），通常我们讨论的是三个顶点各取一个外角（共三个）. 4.三角形外角和定理：三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和等于 360°. 【知识点02】多边形的概念及内外角 1．多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【知识点03】等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【知识点04】等边三角形 1．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【知识点05】线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【知识点06】角的平分线的性质 1．作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 2．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【知识点07】最短路问题 （1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． （2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 题型一 利用三角形的内角和求角度 【例1】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，中，，．若，则的度数为 ． 【变式1-1】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）将一副三角板如图放置，点在上，，如果，那么的度数是 ． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，平分交于点，，交于点．若，则的度数是 ． 【变式1-3】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 题型二 三角形的外角的性质求角 【例2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的外角，若，则 °． 【变式2-1】（25-26八年级上·北京密云·期末）如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E．若，，则 ． 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，，在边上，点在边上，，相交于点，，，则的度数为 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 题型三 三角形内角和与外角和综合问题 【例3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【变式3-1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，满足，平分，P为线段上的一个动点，过点P作交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，试探究与，之间的等量关系，并证明． 【变式3-2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【变式3-3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】 （2）如图2，在同一直线上，，交于点，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点，当为等腰三角形时，直接写出的度数为___________ 题型四 多边形内角和与外角和问题 【例4】（2026七年级下·全国·专题练习）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形． 【变式4-1】（25-26八年级下·全国·周测）将正三角形、正五边形和正八边形按如图所示的位置摆放，则的度数为 ． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为 ． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则 ．    题型五 利用等腰（等边）三角形的性质求解 【例5】（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，在等腰三角形中，，，交于点D， 则的长为 ． 【变式5-1】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边三角形中，，分别是，上的动点（不在端点），且，交于点，则的大小为 ． 【变式5-2】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【变式5-3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，中，，，过点作交于，过点作交的延长线于，若恰为的中点，则的长为 ． 题型六 含30°的直角三角形性质的应用 【例6】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在中，，，，则的长为 ． 【变式6-1】（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，则松树断裂处离地面的距离的长为 米． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，等边中，是的中点，于点，，则 ． 【变式6-3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为 ． 题型七 利用垂直平分线的性质求解 【例7】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点在的垂直平分线上，，若，则的度数为 ． 【变式7-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，是等边三角形，是的高，边的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的长为 ． 【变式7-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E，若，，则的周长为 ． 【变式7-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且，，，连接．的度数为 ． 题型八 利用角平分线的性质求解 【例8】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为 ． 【变式8-1】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【变式8-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点D，于点E，于点F，则CE的长为 　． 【变式8-3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是和的平分线，交于点，于点．若，，则的面积是 ． 题型九 全等的性质和HL综合问题 【例9】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式9-1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，，，，，是上一点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式9-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，，，，，交于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式9-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 题型十 垂直平分线与角平分线的综合问题 【例10】在中，是的平分线，是线段的垂直平分线． (1)求的大小； (2)求证：． 【变式10-1】已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式10-2】如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式10-3】如图，在中，是高，，是角平分线，交于点，，．    (1)______°； (2)若，，求的面积； (3)作图：在线段上求作一点，使得最小（保留作图痕迹）． 题型十一 等腰三角形性质和判定的综合问题 【例11】如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 【变式11-1】如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【变式11-2】（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 题型十二 等边三角形性质和判定的综合问题 【例12】已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 【变式12-1】已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【变式12-2】如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 题型十三 等腰（等边）三角形中的动点问题 【例13】如图，在等边三角形中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边三角形，连接、． (1)如图①，当点在点右侧时，的度数是______； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由； (3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③），，，且，其它条件不变，在点运动的过程中，当时，请直接写出的度数． 【变式13-1】【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，CF． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②直接写出与间的数量关系： ； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 【变式13-2】综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 题型十四 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 【例14】小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【变式14-1】阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 【变式14-2】问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2026·广东中山·模拟预测）若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．12 C．16 D．18 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图所示的三等分角仪由两根有槽的棒， 组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数有（    ） ①是的平分线； ②； ③点在的垂直平分线上； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，为等腰三角形，，点是延长线上的一点，，则的度数为 ． 6．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，，则长为 ． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，为等边三角形，，分别是，上的点，与相交于点．若，则的度数为 ． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时， ． 三、解答题 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分． (2)若，求点到的距离． 10．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边的中点，交于点，交于点，的平分线在内交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，求，满足的关系式． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知为等边三角形，E为延长线上一点，D为边上一点，连，，． (1)如图，若为中点，直接写出，，间的数量关系，不需要说明理由； (2)如图，不是线段中点，先写出线段，，间的数量关系，再说明理由； (3)如图，为中点，连接，求证：． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点D是边上的点，若，的角平分线交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B．点在的平分线上 C． D．若，点到的距离为，则 5．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，，，点是的中点，，交直线于点，于点，于点．则下列结论：①△CBD≌△MFD；②；③；④若，则．其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（25-26七年级上·山东威海·期末）在中，若，则的度数为 ． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知为等腰三角形，，，若，则 ． 8．（25-26八年级上·广东湛江·期末）一个零件的形状如图，按规定，，判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，上有一点，且．过点作的垂线交的延长线于点，则的值为 ． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点．作的平分线交轴于点，点在轴上，点在射线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，点G是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，且，是边上动点（不与，重合），点在边上，连接平分． (1)当为等边三角形时，求的度数； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由． 13．（25-26八年级上·福建漳州·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 【实践探究】 （1）如图1，和均为等腰直角三角形，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （2）如图2，和中，，，D为上的一点，连结并延长交的延长线于M，若，． ①求证： ②试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 14．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【问题情境】如图，在中，，是的中点，点，分别在边，上，连接． 【特例解答】 （1）若，求的度数； （2）在；是的高线；既是的角平分线又是的高线，能使为等边三角形的条件是___________； （3）已知的周长为，，若与全等，求出的长（用含，的式子表示）； 【拓展探究】 （4）当点，分别在射线，射线上（不与点，重合），且满足时，若，，直接写出的度数． 15．（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明及其应用（复习讲义） 1. 了解三角形内角和定理及其证明思路，体会利用平行线转化角度、将未知问题转化为已知问题的数学思想。 2. 能运用三角形内角和定理及外角性质求角度大小，能利用多边形内角和公式与外角和定理解决多边形的边数与角度计算问题。 3. 理解并运用等腰三角形“等边对等角”与“三线合一”的性质进行推理与计算，能根据边、角条件判定等腰三角形或等边三角形。 4. 理解并利用角的平分线的性质（点到角两边的距离相等）及其逆定理解决与角平分线相关的几何证明与计算问题。 【知识点01】三角形的内角和定理与外角和定理 1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180°. 2.证明思路（一种经典证法）：过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用同位角、内错角相等的性质，将三个内角转化成一个平角（180°）. 3.三角形外角定义： 三角形每个顶点处，一个内角的两条边中的一条反向延长，与另一条边所夹的角称为该顶点的一个外角.每个顶点有两个外角（它们相等，因为是对顶角），通常我们讨论的是三个顶点各取一个外角（共三个）. 4.三角形外角和定理：三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和等于 360°. 【知识点02】多边形的概念及内外角 1．多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【知识点03】等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【知识点04】等边三角形 1．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【知识点05】线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【知识点06】角的平分线的性质 1．作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 2．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【知识点07】最短路问题 （1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． （2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 题型一 利用三角形的内角和求角度 【例1】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，中，，．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，由直角三角形的性质求出，由平行线的性质推出． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）将一副三角板如图放置，点在上，，如果，那么的度数是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平行线性质，三角形内角和定理，三角板中的角度计算，根据平行线性质推出，结合三角形内角和定理推出，再利用三角板中各角特点，即可求出． 【详解】解：，， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，平分交于点，，交于点．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，掌握平行线传递角的关系、角平分线对角度的分配，以及三角形内角和的应用是解题的关键． 先利用平行线内错角相等的性质得到，再根据角平分线的定义求出，最后用三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ 在中，，根据三角形内角和为：． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，根据题意得出，，根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形外角的性质求得，进而根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，点的对应点落在靠近的三等分线上，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 题型二 三角形的外角的性质求角 【例2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的外角，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和解答即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·北京密云·期末）如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E．若，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，掌握三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．由角平分线的定义可得，再结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：，是的平分线， ， 是的外角， ，     ， 故答案为： 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，，在边上，点在边上，，相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 先求出，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键． 连接，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，， ， ， ． 故答案为：． 题型三 三角形内角和与外角和综合问题 【例3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又， ， 即． 【变式3-1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，满足，平分，P为线段上的一个动点，过点P作交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，试探究与，之间的等量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是利用角平分线定义和三角形内角与外角的关系，建立与、的联系． （1）先根据三角形内角和求出，再由角平分线得到，结合，利用直角三角形两锐角互余及三角形外角性质求出； （2）设，用表示，结合三角形内角和表示出，再通过直角三角形性质和外角关系推导出与、的等量关系． 【详解】（1）解： ∵平分 答：的度数为． （2）证明：设，则． 即． 【变式3-2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 【变式3-3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】 （2）如图2，在同一直线上，，交于点，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点，当为等腰三角形时，直接写出的度数为___________ 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）①求出，得；②根据，，得； （2）根据．，得，由，，得； （3）设，则，．，．当时，，解得．当时，，解得．即可得出结果． 【详解】（1）解：①在△中，，， ， ， 在△中，， ， 故答案为：； ②在△中，；在△中，， 且，， ． 故答案为：； （2）证明：，交于点， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：的度数为或；理由如下： 设，则由折叠的性质得， ，， ，， ， ， ， ， 分两种情况讨论： 当时， 依题意得：， 解得：， ； 当时， 依题意得：， 解得：， ； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 题型四 多边形内角和与外角和问题 【例4】（2026七年级下·全国·专题练习）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形． 【答案】六/6 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 设多边形的边数为n，利用内角和公式和外角和定理建立方程，求解n的值. 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 根据题意，内角和是外角和的2倍，得， 解得． 故答案为：六. 【变式4-1】（25-26八年级下·全国·周测）将正三角形、正五边形和正八边形按如图所示的位置摆放，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形，掌握正多边形的内角的计算公式是解题的关键． 分别求出正三角形、正五边形和正八边形的每个内角的度数，计算即可． 【详解】解：正三角形的一个内角的度数为， 正五边形的一个内角的度数为， 正八边形的一个内角的度数为， 则的度数为， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查多边形的性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意可知，，结合，求得． 【详解】解：如图所示，延长交于点． 根据题意可知，， 所以． 因为， 所以． 故答案为： 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据四边形内角和为360度和平角的定义，则由角平分线的定义可得从而求出的度数，运用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，分别平分和且相交于点P， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 题型五 利用等腰（等边）三角形的性质求解 【例5】（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，在等腰三角形中，，，交于点D， 则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 先根据等腰三角形的性质得到，再根据直角三角形的性质得到，，利用三角形的外角性质和等角对等边证得，进而利用线段的和与差列方程求解即可． 【详解】解：在等腰三角形中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边三角形中，，分别是，上的动点（不在端点），且，交于点，则的大小为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等的边和角，然后证明，得出，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键． 先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解． 【详解】解：过C作于F，交于，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 即当点三点共线，且时，的最小值为的长， ∴， 即当取得最小值时，． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，中，，，过点作交于，过点作交的延长线于，若恰为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识，由，，则，所以，由三角形内角和定理得，，所以，然后证明，则，，所以，从而得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵恰为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 含30°的直角三角形性质的应用 【例6】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． ∴由勾股定理，得． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，则松树断裂处离地面的距离的长为 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得，再由树高为15米得到米，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在中，，， ∴， ∵树高为15米， ∴米， ∴， ∴米， 故答案为：5． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，等边中，是的中点，于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及线段中点的定义，熟练掌握在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 利用等边三角形的性质，得到，由，在中，求得，从而得到因为是中点，且，所以，进而推出．结合，列方程求出的长度． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式6-3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角直角三角形的性质，过点D作交于点H．先证明，可得，求出，设，则，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点H． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 题型七 利用垂直平分线的性质求解 【例7】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点在的垂直平分线上，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形中等边对等角，垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据，，求出，结合点在的垂直平分线上，以及三角形外角的性质，可求出，最终可得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，是等边三角形，是的高，边的垂直平分线分别交于点E、F，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，线段垂直平分线的性质，连接，由等边三角形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则根据等边对等角和角之间的关系可求出，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是的高， ∴， ∵边的垂直平分线分别交于点E、F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式7-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E，若，，则的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到为的垂直平分线． 根据作法可得，再由垂直平分线的画法可得为的垂直平分线，由此可得，再根据三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D， ∴， ∵以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为：28 ． 【变式7-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且，，，连接．的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角度的和差关系，掌握线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 先连接，利用垂直平分线性质得，再用证明，得，设，根据和列方程求解． 【详解】解：如图，连接，，． ，分别垂直平分，， ，， ． 在和中， ， ． 设，， 则，， ，即． 故答案为：． 题型八 利用角平分线的性质求解 【例8】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，在中，，点是、平分线的交点，且，，则点到边的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线定理，勾股定理和三角形面积公式，掌握角平分线定理是解题关键．连接，过点O分别作、、的垂线，垂足为、、，根据角平分线定理，点O到三角形的三边的距离都相等，即．结合三角形面积公式，可以求出点O到边的距离． 【详解】解：如图，连接，过点O分别作于点D，于点E，于点F， ∵，，， ∴由勾股定理可得，， ∴， ∵点O是、平分线的交点， 又∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点O到边的距离为． 故答案为：2． 【变式8-1】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图画角平分线，角平分线定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，是的平分线，根据角平分线定理可得，结合三角形的面积公式可求出． 【详解】解：如图，作，垂足为， 由作图可知，是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式8-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点D，于点E，于点F，则CE的长为 　． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过D作于H，由角平分线的性质推出，，证明，由勾股定理求出，证得，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 根据平行线间的距离处处相等的性质可得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式8-3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是和的平分线，交于点，于点．若，，则的面积是 ． 【答案】15 【分析】过点作于点，根据角平分线的定义结合平行线的性质可得到，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理得出关于的方程，求出的值，再根据面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分， ． ， ， ， ． ，平分，， ． 又， ， ． 设． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， 解得，即， ， 的面积． 故答案为：． 题型九 全等的性质和HL综合问题 【例9】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及线段长度的计算，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等传递线段关系． （1）由已知通过证明，即可求解； （2）连接，可得，通过证明可得的长，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接， ，， ， 由（1）得：， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式9-1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，，，，，是上一点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可直接利用证明，由全等三角形的性质可证明； （2）由（1）可知，，然后利用证明，由全等三角形的性质可得到，最后通过勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ，， ． ，， ， ． （2）解：由（1）可知，． ，， ， ， ． 在中，． 【变式9-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，，，，，交于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质． （1）根据，直接证明； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， 是的一个外角， ， ． 【变式9-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据于点M，得，根据得，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，，根据勾股定理求出，即可求出线段的长． 【详解】（1）证明：于点M，， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 题型十 垂直平分线与角平分线的综合问题 【例10】在中，是的平分线，是线段的垂直平分线． (1)求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）由角平分线的意义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，可得，再由互余关系即可求得结果； （2）由角平分线的性质定理得，在中，由含角直角三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， 平分， ， 是垂直平分线， ， ， ， 的度数为； （2）证明：在中，， ， 平分，，， ， ， ． 【变式10-1】已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式10-2】如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 【变式10-3】如图，在中，是高，，是角平分线，交于点，，．    (1)______°； (2)若，，求的面积； (3)作图：在线段上求作一点，使得最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)； (2)的面积； (3)见解析图． 【知识点】线段垂直平分线的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（）根据角平分线的定义得出和，进而利用三角形内角和定理解答即可； （）根据三角形外角性质和等腰三角形的三线合一解答即可； （）连接，交于点即可； 此题考查了三角形的角平分线，三角形的高，等腰三角形的性质和轴对称性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵，是角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴, ∵是高， ∴， ∴， ∴的面积； （3）如图，连接，交于点，连接，    由（）得， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则， ∴点即为所求． 题型十一 等腰三角形性质和判定的综合问题 【例11】如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识． （1）证明，则，即可得到结论； （2）由得到， ，即可得到答案； （3）由得到，，则，再求出，根据三角形外角性质得到，则，即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ， ∴； （3）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式11-1】如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)；小 (2) (3)或 【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理得，，由点D从点B向点C运动时，越来越大，即可求解； （2）当时，由可判定，即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； 掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； （3）解：当为或时，是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 【变式11-2】（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等； （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型十二 等边三角形性质和判定的综合问题 【例12】已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 【答案】(1)证明详见解析 (2)12 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到平分，求出的度数，再利用三角形内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求解． （2）由等边三角形的性质易得，过点作交于点，进而得到是等边三角形，然后利用证明，进而得到，最后利用线段的和差来求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． 是的中点， 平分， ． ，点与点重合， ， ， ． （2）解：是等边三角形， ． 是的中点， ． 如图3，过点作交于点． ， 是等边三角形， ， ． ， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． 【变式12-1】已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质、多边形内角和问题 【分析】（1）已知条件结合三角形内角和定理证明即可； （2）先说明为等边三角形，即，设，则，然后根据四边形的内角和用x表示出，进而表示出，最后根据三角形内角和即可解答； （3）如图：作，根据题意说明，进而说明，根据，得到，，利用直角三角形的特征，设，则，然后根据线段的和差列方程解答即可． 【详解】（1）证明：在中有， ∵， ， ， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ， 设，则， 在四边形中有：， ， ， ∵的平分线交于点E， ， ，即， ， 故答案为：； （3）如图，作， ， ， ，平分， ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ∴，，， ， ， ， ， 解得：， ． 【变式12-2】如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)当点D在中点时，，理由见详解． (3)或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据即可证明； （2）D运动到中点时，；利用等腰三角形的三线合一即可证明； （3）分D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上，画出四种图形，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：若， 又∵， ∴平分， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， ∴当点D在中点时，； （3）解：由（1）可知， ∴， 当时，则，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ①如图1：D在线段上时，若， 则． ②如图2，点D在的延长线上，， ③如图3，点D在的延长线上，此时，． ④如图4，． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 题型十三 等腰（等边）三角形中的动点问题 【例13】如图，在等边三角形中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边三角形，连接、． (1)如图①，当点在点右侧时，的度数是______； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由； (3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③），，，且，其它条件不变，在点运动的过程中，当时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【知识点】两直线平行同旁内角互补、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】（1）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得出结果； （2）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得出结果； （3）利用等腰三角形性质可证明，得到，结合垂线性质以及平行线性质即可得出，从而得出结果． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 当点P在点B左侧时，（1）中的结论仍然成立； （3）为等腰三角形，，且， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式13-1】【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，CF． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②直接写出与间的数量关系： ； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】（1）①根据证明即可． ②由等边三角形的性质和角平分线的定义可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，由此可得． （2）若点E在射线上，（1）中与间的数量关系仍然成立，证法同第（1）小题． （3）先根据证明，则可得，又由，得，由可得，进而可得，． 【详解】解：（1）①是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． ②是等边三角形， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴． 故答案为： （2）成立，理由如下： 是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． 平分， ． ． ． （3）在和中 ，， ∴． ． ，， ． ， ． ． ， ． 【变式13-2】综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【答案】（1）①，90； ②，理由见解析；（2）32 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出． （2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴ ∴， 故答案为：，90． ②，理由如下： ∵， ∴ 即， ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴ ∴， （2）如图，过A作交延长线于G， ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 即 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴． 题型十四 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 【例14】小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式14-1】阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 【答案】(1)36，72； (2)； (3)或或或． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数，由题意得出为等腰三角形，即可得解； （2）由等边对等角得出，由题意得出和均为等腰三角形，从而得出，，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （3）由（2）可得：，根据题意得出、是等腰三角形，从而得到，由三角形外角的定义及性质得出，由折叠的性质可得：为等腰三角形，，再由三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵为的完美分割线， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵为的完美分割线，， ∴和均为等腰三角形． ∴，， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． （3）解：由（2）可得：， ∵是它的一条完美分割线，， ∴、是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：为等腰三角形，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴以为边的等腰三角形为或或或． 【变式14-2】问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理． （1）利用题意得，再判定即可得到本题； （2）连接，取的中点，连接，，证明和，再利用三角形内角和即可得到本题答案． 【详解】解：（1）证明：将图中角进行命名： ， 与互为“顶补等腰三角形”， ，， ， 又，， ，，， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）存在． 证明：连接，取的中点，连接，， ， ，， ， ， 是的中点， ，． ， 又，，， ， ， ， 与互为“顶补等腰三角形”． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2026·广东中山·模拟预测）若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，利用正多边形内角公式建立方程求解即可，熟练掌握多边形的内角和公式是解此题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为，则每个内角为， ∵正多边形的一个内角是， ∴， 解得：， 即该多边形的边数是， 故选：D． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图所示的三等分角仪由两根有槽的棒， 组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的定义及性质，由得出，再结合三角形外角的定义及性质得出，由计算得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的长，则可得的长，然后利用的面积计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 4．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数有（    ） ①是的平分线； ②； ③点在的垂直平分线上； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了作图--基本作图，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： 利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含的直角三角形三边的关系得到，则，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：如图， ①根据作图的过程可知，是的平分线．故①正确； ②∵在中，，， ∴． 又∵是的平分线， ∴， ∴，即．故②正确； ③∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上．故③正确； ④∵在直角中，， ∴，又， ∴， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选：D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，为等腰三角形，，点是延长线上的一点，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 先根据平角的性质，求出，再根据等边对等角求出，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵的内角和为， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握角所对的直角边是斜边的一半． 先利用两个直角等量代换得出，再利用角所对的直角边是斜边的一半求出的长度，然后可求的长度． 【详解】解：∵， ， ， ， ∵， ， ． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，为等边三角形，，分别是，上的点，与相交于点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握利用等边三角形的边角性质证明全等，通过角的转化求角度是解题的关键． 利用等边三角形的边角性质，证明，得到对应角相等，再通过角的转化，结合三角形内角和求出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． 在和中 ∴， ∴． ∵， ∴，． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时， ． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在的下方；当点在的上方，分别画图解答即可． 【详解】解：当点在的下方，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的上方，如图，    ∵，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 三、解答题 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分． (2)若，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质的内容是解题的关键； （1）过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，，根据角平分线的性质得到线段相等，再根据线段相等得到角平分线； （2）利用第一问的结论得到角度，得出三角形的形状为等腰直角三角形推导出边相等，利用勾股定理得到点到的距离． 【详解】（1）解：证明：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，． 平分，，， ， 平分，，， ， ， 又，， 平分． （2）解：由（1）可知，平分， ， 为等腰直角三角形， ． 由勾股定理，得， ， ， ∴点到的距离为． 10．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，即可得证； （2）由点F是的中点，，得出为的平分线，从而得出，根据，得出，根据三角形外角的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：为线段的垂直平分线， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ， ∴为等腰三角形． （2）解：∵垂直平分于点F， ∴点F是的中点， ∵， 为的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边的中点，交于点，交于点，的平分线在内交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，求，满足的关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1） 由垂直平分得，推出，再由平分得，从而，最后在中用内角和计算的度数． （2） 设，则，结合，用三角形内角和建立等式，推导与的关系式． 【详解】（1）解：是边的中点，， ， ． 平分， ， ． ，， ， 即， ． （2）解：由（1）知． ，， ， 即， ． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知为等边三角形，E为延长线上一点，D为边上一点，连，，． (1)如图，若为中点，直接写出，，间的数量关系，不需要说明理由； (2)如图，不是线段中点，先写出线段，，间的数量关系，再说明理由； (3)如图，为中点，连接，求证：． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在上截取，过点作于点，可得是等边三角形，，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，进而根据线段的和差关系，即可求解； （）在上截取，过点作于点，可得是等边三角形，，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，进而根据线段的和差关系，即可求解； （）延长至，使得，连接，证明得出，同（2）可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，在上截取，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 如图，在上截取，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）证明：如图，延长至，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同（）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，需分两种情况讨论，即已知的内角为顶角或底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为的性质求解顶角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， ①当的角为等腰三角形的顶角时， ∴该等腰三角形的顶角为， ②当的角为等腰三角形的底角时， ∴顶角 ， 综上，这个等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．根据等腰三角形性质得，进而得，根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点D是边上的点，若，的角平分线交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角，掌握相关知识点是解题的关键． 在上取点F，使得，证，得到，根据等腰三角形的性质，三角形的外角证，求得，即可求解． 【详解】解：如图，在上取点F，使得， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B．点在的平分线上 C． D．若，点到的距离为，则 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 结合平行线的性质以及角平分线的定义得，则，故；连接，过点分别作，结合角平线定理可得，进而可证，得到即可；运用三角形内角和得；结合角平分线的性质以及三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A是正确的，不符合题意； 连接，过点分别作，如图所示： ∵中，和的平分线交于点D， ， ， 又， ， ， ∴平分， 故B是正确的，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C是错误的，符合题意； ∵点D到的距离为n， ∴， 则 故D是正确的，不符合题意； 故选：C ． 5．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，，，点是的中点，，交直线于点，于点，于点．则下列结论：①△CBD≌△MFD；②；③；④若，则．其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的中位线定理，角平分线的性质定理，三角形的面积的性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的中位线定理，角平分线的性质定理，三角形的面积的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴①的结论正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， ∴． ∴②的结论错误； 过点B作于点H，连接，，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点，H为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴， 由①知：， ∴， ∴． ∴③的结论正确； 由①知：， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴．     ∴④的结论正确； 正确结论有：①③④． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级上·山东威海·期末）在中，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、方程组的应用等知识点，根据题意列出方程组是解题的关键． 利用三角形内角和定理与已知条件联立方程组，并用加法消元法求出即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 化简得，即． 故答案为． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知为等腰三角形，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，构造辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，利用等腰三角形的三线合一性质，可得，再根据直角三角形的边角关系求解． 【详解】如图，过点A作于点D， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·广东湛江·期末）一个零件的形状如图，按规定，，判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质，连接并延长是解题的关键． 连接并延长，根据三角形的外角的性质得到，，因此，即可作出判断． 【详解】解：连接并延长，如图： 由三角形的外角性质可得，，， ∴ ， ∵这个零件， ∴这个零件不合格． 故答案为：不合格． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，上有一点，且．过点作的垂线交的延长线于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．过点作于点，证明，得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，，， ∴，， ∵． ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点．作的平分线交轴于点，点在轴上，点在射线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，由一次函数解析式可得，，即得，，得到，再根据角平分线的性质可得，即得到，，再分且点在轴的正半轴上，且点在轴的负半轴上和三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：把代入一次函数，得， ∴， ∴， ∴， 把代入一次函数，得， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，， 当且点在轴的正半轴上时，如图，过点作轴于，则， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入一次函数，得， 解得， ∴； 当且点在轴的负半轴上时，如图，过点作轴于，则， 同理可证， ∴， 把代入一次函数，得， 解得， ∴； 当时，如图，过点作轴于，轴于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，把代入一次函数，得， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，点G是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和判定即可求解； （2）根据线段垂直平分线性质得，，则，进而得为等边三角形，在中，，，进而求解． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，且，是边上动点（不与，重合），点在边上，连接平分． (1)当为等边三角形时，求的度数； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边对等角，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边三角形的性质，得到，角的和差关系得到，角平分线的定义，推出，等边对等角，求出的度数，再利用三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）设，三角形的外角得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义求出的度数，即可． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 又平分， ， ， ， 又 ； （2）解：．理由如下： 设，则， ， ， ， 平分， ， ． 13．（25-26八年级上·福建漳州·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系． 【实践探究】 （1）如图1，和均为等腰直角三角形，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （2）如图2，和中，，，D为上的一点，连结并延长交的延长线于M，若，． ①求证： ②试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析；①证明见解析，②，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． （1）由等腰直角三角形的性质得出，，，从而推导，证明，最终得出结论； （2）①根据已知条件需证出是等腰三角形后，即可得证结论； ②过点作于点，交于点，需证明，再利用等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）， 理由：和均为等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． （2）①证明：，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②， 理由：过点作于点，交于点， ∴， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ． 14．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【问题情境】如图，在中，，是的中点，点，分别在边，上，连接． 【特例解答】 （1）若，求的度数； （2）在；是的高线；既是的角平分线又是的高线，能使为等边三角形的条件是___________； （3）已知的周长为，，若与全等，求出的长（用含，的式子表示）； 【拓展探究】 （4）当点，分别在射线，射线上（不与点，重合），且满足时，若，，直接写出的度数． 【答案】（）；（）；（）的长为 或；（）的度数为或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等腰三角形性质可得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定方法即可求解； （）分当时，当时，两种情况求解即可； （）分当在线段上时，当在线段延长线上时，两种情况求解即可． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴； （）∵，， ∴是等边三角形，符合题意； 如图， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形，符合题意； 如图， 由既是的角平分线又是的高线，不能证明为等边三角形，不符合题意； 故答案为：； （）∵的周长为，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∴，， ∴， ∴， 综上可得：的长为 或； （）∵，， ∴， 如图，当在线段上时， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在线段延长线上时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； 综上可得：的度数为或． 15．（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1），不是；（2）见解析；（3）或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， 或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $