第二章 不等式与不等式组（必备知识+5大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版八年级下册

第二章 不等式与不等式组 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2.一元一次不等式（组）的整数解 （1）解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． （1）一元一次不等式组的整数解 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． ②已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点06 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解． 知识点07 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合. 易错点1 利用不等式(组)的整数解求参数的取值范围 **易错总结** 1. **整数个数误判**：将区间端点值计入整数个数时出错，如x<3的整数解为0,1,2，易漏0或错加3。 2. **边界取等多解**：参数边界值是否取等导致整数解个数变化，常忘检验临界值。 3. **方向对应混乱**：参数增大时整数解范围变化方向判断反了。 **注意事项**： - **画数轴定位**：将整数解在数轴上标出，直观看出参数范围。 - **边界单独验**：参数取边界值时，代入验证整数解个数是否改变。 - **用口诀辅助**：“整数解几个”问题转化为参数在相邻整数之间，再讨论端点。 - **双向检验**：求出范围后，取参数最小最大值验证整数解是否符合要求。 【例1】（25-26八年级下·全国·期中）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先解出不等式组中第二个不等式的解集，再结合得到不等式组的整体解集．根据“恰好有两个整数解”这一条件，确定这两个整数解，进而分析得到实数的取值范围． 【详解】解：解不等式 ： 两边同乘得： ∴不等式组的解集为 ． 由于解集恰好有两个整数解，且 ，整数解最大为，因此整数解只能为和． 为确保包含整数，需 ； 为确保不包含整数，需 ． 故实数 的取值范围是 ． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 易错点2 根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围 **易错总结** 1. **端点取舍混乱**：解集含“≤”或“≥”时，参数端点能否取等判断错误（如解集为x>2，参数a能否等于2）。 2. **方向对应错误**：将解集表示在数轴上时，参数变化方向与不等式组解集范围对应反了。 3. **多种情况遗漏**：解集为“无解”“有解”“整数解几个”时，分类讨论不全（如有解包括无数种情况，但列不等式时漏掉边界）。 **注意事项**： - **画数轴辅助**：将已知解集和参数解集在数轴上标出，直观判断包含关系。 - **口诀记端点**：“同大取大，同小取小”等口诀要熟练，特别注意等号的传递性。 - **逆向检验**：求出参数范围后，取特殊值代入验证是否满足原解集要求。 - **分情况完整**：“无解”要列不等式组相互矛盾，“有唯一整数解”要列整数在区间内的不等式组。 【例2】（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 【变式】（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组无解问题． 分别解不等式组中的两个不等式，得到和．不等式组无解的条件是两个不等式的解集没有公共部分，即，解此不等式即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组无解，则， 即， 所以． 故答案为：． 易错点3 整式方程(组)与不等式(组)结合求参数的问题 **易错总结** 1. **解方程符号错误**：解含参方程时移项、去分母符号出错，导致参数表达式错误。 2. **不等号方向忽略**：将方程解代入不等式时，未注意乘除负数要变号。 3. **整数解条件遗漏**：求整数解时，忽略“整数”这一关键限制，未在范围内筛选。 4. **方程组解的关系误判**：将方程组解的和、积等关系代入不等式时，未先解出各未知数。 **注意事项**： - **先解后代**：先准确解出方程(组)的解(用参数表示)，再代入不等式。 - **注意变号**：不等式两边乘除负数时，牢记改变不等号方向。 - **整数解筛选**：求出参数范围后，根据整数解个数或具体值进一步缩小范围。 - **检验端点**：参数临界值是否取等要代入原题验证。 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，则的值为 ； （2）若方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟知加减消元法是解题的关键． （1）用得到，再根据条件，得到，解方程即可； （2）利用加减消元法求出，再根据建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ①-②，得：， ， ， 解得； （2）， 由①+②，得：， ， ， ， ， 解得． 故答案为：，． 易错点4 不等式与不等式组中的新定义型问题 **易错总结** 1. **定义转化错误**：未将新定义准确翻译为常规不等式(如[a]表示不大于a的最大整数，误作四舍五入)。 2. **多重条件遗漏**：新定义常含多个限制条件(如同时满足范围和整数要求)，顾此失彼。 3. **解集表示不当**：求得解后，未按新定义要求的形式(如特定区间、整数解个数)规范表达。 **注意事项**： - **精确转化**：逐字理解新定义，用数学符号准确表示。 - **分类讨论**：定义域分段时，各段分别求解再取并集。 - **验证边界**：端点值是否符合定义要逐一检验。 - **规范作答**：最终答案按题目要求的形式(集合、区间、列举)呈现。 【例4】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． （1）根据新定义列出不等式，根据一元一次不等式的解法解出不等式即可； （2）根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，然后根据“的解集中有3个整数解”求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， 的解集中有3个整数解， 的整数解为，，， ， ． 【变式】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 易错点5 一元一次不等式与一次函数综合问题 **易错总结** 1. **数形结合错位**：函数图象与不等式对应关系混淆，如将 \(y_1 > y_2\) 理解为图象在上方还是下方判断错误。 2. **交点意义不清**：联立方程求交点后，不能正确根据交点划分区间确定不等式的解集。 3. **实际应用忽略范围**：实际问题中自变量取值范围（如时间、长度非负）被忽略，导致解集无效。 **注意事项**： - **明确不等关系**：根据题意准确建立函数表达式，再转化为不等式。 - **图象辅助分析**：画出草图，标出交点，观察函数值大小对应的图象位置。 - **结合实际背景**：求出解集后，用实际意义检验取舍（如取整数、非负数等）。 【例5】（25-26八年级上·全国·周测）如图，直线分别交x，y轴于，两点，直线分别交y轴、x轴于，B两点，直线，相交于点E，且点E的横坐标为4． (1)方程组的解是________，不等式组的解集是________． (2)求直线，与x，y轴围成的四边形的面积． (3)过点E的直线把三角形的面积平分，则该直线的表达式为________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先分别求出，的解析式，再根据一次函数与方程组和不等式组的关系求解； （2）根据割补法求解； （3）该直线经过的中点和点，通过待定系数法即可求出直线解析式. 【详解】（1）解：（1）由题意得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴， 由图象得：方程组的解是：， 不等式组的解集是：； 故答案为：，. （2）由（1）得：． ∴， （3）由（1）得，点坐标为：， ∵过点的直线把三角形的面积平分， ∴该直线经过的中点：， 设该直线解析式为：， 由题意得：，解得：， ∴该直线的解析式为：， 故答案为：. 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中 ； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ，当时，y随x的增大而 ； (4)进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是 ． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)，减小 (4)①或；②或 【分析】本题为绝对值函数问题，考查了求函数值，画函数图象，一次函数的性质，函数与方程不等式的关系等知识﹒ （1）把代入即可求解； （2）根据（1）表格描点，连线即可； （3）结合函数图象即可求解； （4）①结合函数图象即可得当时，或，问题得解； ②当直线经过点时，，当直线经过点时，，若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒ 【详解】（1）解：当时，﹒ 故答案为：3 （2）解：该函数图象的另一部分如图所示： ； （3）解：由图所得该函数图象的最低点坐标是，当时，y随x的增大而减小﹒ 故答案为：，减小； （4）解：①由图象得的解集是或﹒ 故答案为：或； ②∵当直线经过点时，，当直线经过点时，， ∴若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒ 故答案为：或． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 先解方程求出关于的表达式，再根据解为负数列不等式求解. 【详解】解：解关于的方程得，， ∵ 该方程的解为负数， ，即， 解得：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于，的方程组其中．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程组用t表示x和y，代入得到，再根据t的范围求M的范围． 本题考查了含参不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程组 ② − ①，得 ∴ ， 代入②，得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号，例如：．若关于的不等式组，恰好有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算，求不等式组的解集，先根据新定义将不等式组转化为常规一元一次不等式组，求解解集后，结合恰好有4个整数解的条件，确定k的取值范围即可． 【详解】解：∵定义， ∴第一个不等式转化为：， 化简得：， 即， ， 第二个不等式转化为：， 化简得：， ， ， 则不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有4个整数解，整数解为，0，1，2， ， 不等式两边同乘7得： 解得：． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级下·全国·周测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】先根据已知不等式的解集​，判断出的符号，并得到与的数量关系，再将该关系代入待求不等式，化简后求解． 【详解】解：关于的不等式的解集是， ∴，． ∴． 将代入不等式得： ． ∵，两边同时除以（负数），不等号方向改变： ． 约去后得到：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质和含参数不等式的解法，解题关键是：通过已知解集判断系数的符号，建立参数间的关系，再代入目标不等式求解． 6．（25-26八年级上·重庆·期末）关于的不等式组有且只有个整数解，则满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有三个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， ∴ 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有三个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为 故答案为：． 7．（2026八年级·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得， ∴ ∴， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得， ∴整数，，，，和为． 故答案为：19． 三、解答题 9．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： (1)若方程组的解满足，求a的取值范围． (2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与不等式（组）的应用，掌握整体代入求、解方程组后根据解的正负列不等式组是解题的关键． （1）将两个方程相加，整体求出的表达式，代入不等式求解的范围； （2）先解方程组得到的表达式，再根据解为正数列不等式组求解的范围． 【详解】（1）解： ，得，③ ，得． ∵， ∴， 解不等式，得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）可知，．④ ，得． 将代入④中， 解得， ∴方程组的解是 ∵方程组的解均为正数， ∴ 解不等式组，得， ∴的取值范围为． 11．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 12．（20-21八年级下·重庆北碚·开学考试）小张根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小张的探究过程，请你补充完整： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 2 1 0 －1 0 k 2 … (1)表中的______； (2)在图中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质______； (3)已知直线与函数的图象相交，则当时，的取值范围是______； 【答案】(1) (2)见解析，函数的最小值为 (3)或 【分析】本题考查函数图象与性质，熟练掌握描点法作函数图象，数形结合是解决问题的关键． （1）把代入，得，即可得到答案； （2）利用描点法画出函数图象，由图象即可得到答案； （3）在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，由图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 故答案为：； （2）解：该函数的图象如图所示： 由图象可知，函数的最小值为， 故答案为：函数的最小值为； （3）解：在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，如图所示： 由图象可知，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2.一元一次不等式（组）的整数解 （1）解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． （1）一元一次不等式组的整数解 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． ②已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点06 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解． 知识点07 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合. 易错点1 利用不等式(组)的整数解求参数的取值范围 **易错总结** 1. **整数个数误判**：将区间端点值计入整数个数时出错，如x<3的整数解为0,1,2，易漏0或错加3。 2. **边界取等多解**：参数边界值是否取等导致整数解个数变化，常忘检验临界值。 3. **方向对应混乱**：参数增大时整数解范围变化方向判断反了。 **注意事项**： - **画数轴定位**：将整数解在数轴上标出，直观看出参数范围。 - **边界单独验**：参数取边界值时，代入验证整数解个数是否改变。 - **用口诀辅助**：“整数解几个”问题转化为参数在相邻整数之间，再讨论端点。 - **双向检验**：求出范围后，取参数最小最大值验证整数解是否符合要求。 【例1】（25-26八年级下·全国·期中）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【变式】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 易错点2 根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围 **易错总结** 1. **端点取舍混乱**：解集含“≤”或“≥”时，参数端点能否取等判断错误（如解集为x>2，参数a能否等于2）。 2. **方向对应错误**：将解集表示在数轴上时，参数变化方向与不等式组解集范围对应反了。 3. **多种情况遗漏**：解集为“无解”“有解”“整数解几个”时，分类讨论不全（如有解包括无数种情况，但列不等式时漏掉边界）。 **注意事项**： - **画数轴辅助**：将已知解集和参数解集在数轴上标出，直观判断包含关系。 - **口诀记端点**：“同大取大，同小取小”等口诀要熟练，特别注意等号的传递性。 - **逆向检验**：求出参数范围后，取特殊值代入验证是否满足原解集要求。 - **分情况完整**：“无解”要列不等式组相互矛盾，“有唯一整数解”要列整数在区间内的不等式组。 【例2】（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【变式】（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 易错点3 整式方程(组)与不等式(组)结合求参数的问题 **易错总结** 1. **解方程符号错误**：解含参方程时移项、去分母符号出错，导致参数表达式错误。 2. **不等号方向忽略**：将方程解代入不等式时，未注意乘除负数要变号。 3. **整数解条件遗漏**：求整数解时，忽略“整数”这一关键限制，未在范围内筛选。 4. **方程组解的关系误判**：将方程组解的和、积等关系代入不等式时，未先解出各未知数。 **注意事项**： - **先解后代**：先准确解出方程(组)的解(用参数表示)，再代入不等式。 - **注意变号**：不等式两边乘除负数时，牢记改变不等号方向。 - **整数解筛选**：求出参数范围后，根据整数解个数或具体值进一步缩小范围。 - **检验端点**：参数临界值是否取等要代入原题验证。 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，则的值为 ； （2）若方程组的解满足，则的取值范围为 ． 易错点4 不等式与不等式组中的新定义型问题 **易错总结** 1. **定义转化错误**：未将新定义准确翻译为常规不等式(如[a]表示不大于a的最大整数，误作四舍五入)。 2. **多重条件遗漏**：新定义常含多个限制条件(如同时满足范围和整数要求)，顾此失彼。 3. **解集表示不当**：求得解后，未按新定义要求的形式(如特定区间、整数解个数)规范表达。 **注意事项**： - **精确转化**：逐字理解新定义，用数学符号准确表示。 - **分类讨论**：定义域分段时，各段分别求解再取并集。 - **验证边界**：端点值是否符合定义要逐一检验。 - **规范作答**：最终答案按题目要求的形式(集合、区间、列举)呈现。 【例4】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 【变式】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 易错点5 一元一次不等式与一次函数综合问题 **易错总结** 1. **数形结合错位**：函数图象与不等式对应关系混淆，如将 \(y_1 > y_2\) 理解为图象在上方还是下方判断错误。 2. **交点意义不清**：联立方程求交点后，不能正确根据交点划分区间确定不等式的解集。 3. **实际应用忽略范围**：实际问题中自变量取值范围（如时间、长度非负）被忽略，导致解集无效。 **注意事项**： - **明确不等关系**：根据题意准确建立函数表达式，再转化为不等式。 - **图象辅助分析**：画出草图，标出交点，观察函数值大小对应的图象位置。 - **结合实际背景**：求出解集后，用实际意义检验取舍（如取整数、非负数等）。 【例5】（25-26八年级上·全国·周测）如图，直线分别交x，y轴于，两点，直线分别交y轴、x轴于，B两点，直线，相交于点E，且点E的横坐标为4． (1)方程组的解是________，不等式组的解集是________． (2)求直线，与x，y轴围成的四边形的面积． (3)过点E的直线把三角形的面积平分，则该直线的表达式为________． 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中 ； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ，当时，y随x的增大而 ； (4)进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是 ． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于，的方程组其中．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号，例如：．若关于的不等式组，恰好有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级下·全国·周测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ． 6．（25-26八年级上·重庆·期末）关于的不等式组有且只有个整数解，则满足条件的整数的和为 ． 7．（2026八年级·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为 ． 8．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 三、解答题 9．（25-26七年级下·全国·周测）已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 10．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： (1)若方程组的解满足，求a的取值范围． (2)若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 11．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 12．（20-21八年级下·重庆北碚·开学考试）小张根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小张的探究过程，请你补充完整： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 2 1 0 －1 0 k 2 … (1)表中的______； (2)在图中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质______； (3)已知直线与函数的图象相交，则当时，的取值范围是______； 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $