专题02 不等式与不等式组（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材北师大版

专题02 不等式与不等式组 思维导图 串 考点清单 理 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向 ． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向 ． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向 ． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的 ，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的 组成这个不等式的解集． 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式的定义：含有 ，未知数的次数是 的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的 ，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的 叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的 ；②利用数轴求 ． 解集的规律：同大 ；同小 ；大小小大 ；大大小小 ． 2.一元一次不等式（组）的整数解 （1）解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的 ．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． （1）一元一次不等式组的整数解 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． ②已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“ ”、“ ”、“ ”、“ ”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中 ，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系 ．③ ，求出解集．④写出 ． 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的 所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的 所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象 所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象 所组成的集合. 题型清单 解 不等式的基本性质（共4小题） 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 解一元一次不等式（组）（共4小题） 【例2】（24-25七年级下·吉林松原·期末）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解不等式（组） (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2) 【变式2-3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题（共4小题） 【例3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)第______步出现错误，错误的原因是______； (2)该不等式的正确解集为：______， 在下面的数轴上表示这个解集； (3)直接写出不等式组的解集． 【变式3-1】（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式3-2】（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）如图是小波同学在解不等式组时草稿纸上演算的部分过程： 解不等式①： 解不等式②： (1)小波的解答是在解不等式______（填序号）时出现错误；错误的原因是____________； (2)请完善正确解答过程： 解：解不等式①，得____________， 解不等式②，得____________， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以原不等式组解集为：______． 【变式3-3】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）（1）下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式． 解：去分母，得………第一步 去括号，得………第二步 移项，合并同类项，得………第三步 两边都除以，得………第四步 所以，原不等式的解集为 任务： ①上述求解过程中，第一步变形的依据是 ； ②上述求解过程中，从第 步发生错误，具体错误是 ； ③直接写出该不等式的解集 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围（共4小题） 【例4】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）若关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围______． 【变式4-1】（24-25八年级下·福建漳州·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围是______． 【变式4-2】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和是7，则的取值范围是_____． 【变式4-3】（24-25七年级下·四川德阳·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和大于且小于，则的取值范围是________． 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围（共4小题） 【例5】（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【变式5-1】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的不等式组无解，实数a的取值范围为 _________ ． 【变式5-2】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）若关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为________． 【变式5-3】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如果关于的不等式组的解集为，那么等于________． 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题（共4小题） 【例6】（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．不等式的解集是 C．当时， D．当时， 【变式6-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【变式6-2】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小聪根据图象得到下列结论，其中结论不正确的是（      ） A． B．关于x的方程的解为 C．关于，的方程组的解为 D．关于的不等式的解为 【变式6-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题（共4小题） 【例7】（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【变式7-1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）综合与实践 项目背景 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售． 项目素材 素材1 该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，进货价和销售价如表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 素材2第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变）、且第二次进货总价不高于16800元． 项目任务 任务1 求两款服装分别购进的件数． 任务2 该服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，并求出最大销售利润． 【变式7-2】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）端午节前期，某商店决定购进、两种类型的粽子，若购进种粽子包，种粽子包，需要花费元；若购进种粽子包，种粽子6包，需要花费元． (1)求购进、两种粽子每包各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种粽子共包，考虑到市场需求，购进种粽子的数量不超过种粽子数量的倍，那么该商店最多可以购买种粽子多少包？ (3)在（2）条件下，由于资金周转，该商店购买包粽子的资金不超过元，该商店有哪几种购进方案？ 【变式7-3】（23-24七年级下·广西桂林·期末）疫情期间，七（1）班防疫小组为班级购置防护用品的收据如表，有部分数据因污损无法识别．根据如表，解决下列问题： 商品名 单价（元） 数量（件） 金额（元） 消毒水 2 90 医用口罩 50 消毒纸巾 20 免洗手液 6 96 温度计 168 1 合计 19 674 (1)此次购买的医用口罩和消毒纸巾各多少件？ (2)计划再次购买消毒水和免洗手液共10件，且总价不超过360元，则消毒水最多可购买多少件？ (3)随着疫情的发展，七（1）班准备用270元购买医用口罩和消毒纸巾，在270元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？ 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与不等式组 思维导图 串 考点清单 理 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2.一元一次不等式（组）的整数解 （1）解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． （1）一元一次不等式组的整数解 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． ②已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解． 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合. 题型清单 解 不等式的基本性质（共4小题） 【例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质逐一分析各选项即可求解． 【详解】∵ A选项：不等式两边同乘，不等号方向改变，得，故A错误． B选项：不等式两边同时减1，不等号方向不变，得，故B正确． C选项：当a、b异号或其中一个为0时，该结论不成立，例如，时，，故C错误． D选项：不等式两边同乘2（正数），不等号方向不变，得，故D错误． 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．若取，，则，， 此时，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意； C．∵，， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．∵，， ∴， ∴，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质变换是解题的关键． 根据不等式的基本性质，结合已知条件逐一分析选项，判断正误即可． 【详解】解：∵，， ∴根据不等式性质1，不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变， 可得，，故A、B选项错误； ∵， ∴（负数的平方是正数）， 又∵， ∴根据不等式性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得，故C选项正确； ∵，， ∴根据不等式性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得，故D选项错误； 故选C． 【变式1-3】（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】本题考查不等式性质与正负数大小比较．结合各选项中a、b的正负条件，通过举反例或正负数性质判断推理是否恒成立． 【详解】解：A、取，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，又∵，正数大于负数，∴，故该选项符合题意； C、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 解一元一次不等式（组）（共4小题） 【例2】（24-25七年级下·吉林松原·期末）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 【分析】（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1求解不等式，并在数轴上表示即可． （2）先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上为： （2）解：， 解不等式①得 解不等式②得， 故不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解不等式（组） (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2) ，数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式及不等式组的解法，关键是熟练应用运算方法进行计算； （1）根据解不等式的方法计算即可； （2）分别解出两个不等式的解集，并求其公共部分，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， 解①得：； 解②得：； ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： ． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得出，再在数轴上表示出来，即可作答． （2）分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 这个不等式的解集在数轴上的表示如图： （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集是， 在同一数轴上分别表示不等式组的解集： 【变式2-3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是在去分母、系数化为1时，若两边乘（或除以）负数，不等号方向要改变； （1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （2）分别解两个不等式，再取它们的公共解集，并在数轴上表示． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 解不等式 ， 去括号，得， 移项，得， 即， ∴． 解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得． ∴ 不等式组的解集为 ． 不等式组的解集在数轴上表示为： 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题（共4小题） 【例3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)第______步出现错误，错误的原因是______； (2)该不等式的正确解集为：______， 在下面的数轴上表示这个解集； (3)直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)五，不等式两边除以时，不等号的方向没改变 (2)，画图见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）根据不等式的性质判断求解即可； （2）根据不等式的性质可得解集，再画图即可； （3）先分别求解两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：∵第五步中，不等式两边都除以，不等式的方向没有改变， ∴第五步出现错误；错误原因是：不等式的方向没有改变； （2）解：该不等式的正确解集为； 在数轴上表示其解集如下： ； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：. 【变式3-1】（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)任务一：①不等式的性质2∶不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②一；任务二：；任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变（答案不唯一）； (2)；数轴见解析． 【分析】（1）任务一根据不等式的性质即可得出答案； 根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出一条即可； （2）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】（1）解：任务一由解题过程可得去分母的依据是不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； 由解题步骤可得从第一步开始出错； 任务二：原不等式去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边都除以得； 任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变； （2）解不等式得， 解不等式得， 故原不等式组的解集为， 在数轴上表示其解集如下图所示： ． 【变式3-2】（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）如图是小波同学在解不等式组时草稿纸上演算的部分过程： 解不等式①： 解不等式②： (1)小波的解答是在解不等式______（填序号）时出现错误；错误的原因是____________； (2)请完善正确解答过程： 解：解不等式①，得____________， 解不等式②，得____________， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以原不等式组解集为：______． 【答案】(1)②； 不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3 ； (2)，， ， 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）解不等式②，去分母时出现错误； （2）求出每一个不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，进而求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：小波的解答是在解不等式②时出现错误；错误的原因是不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3； 故答案为：②； 不等式两边同时乘3时，未在右侧1处乘3 （2）解：解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以原不等式组解集为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）（1）下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式． 解：去分母，得………第一步 去括号，得………第二步 移项，合并同类项，得………第三步 两边都除以，得………第四步 所以，原不等式的解集为 任务： ①上述求解过程中，第一步变形的依据是 ； ②上述求解过程中，从第 步发生错误，具体错误是 ； ③直接写出该不等式的解集 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）①不等式的性质2；②四；不等式两边除以，不等号方向没有改变；③；（2），见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． （1）①去分母的依据是不等式的性质，由此解答即可；②根据解不等式的步骤判断即可；③写出正确的解答过程即可． （2）按照解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后把各个解集表示在数轴上，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）①第一步变形的依据是不等式的性质， 故答案为：不等式的性质； ②从第四步开始出错，具体错误是不等式两边除以，不等号方向没有改变， 故答案为：四，不等式两边除以，不等号方向没有改变； ③， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得，两边都除以，得， 原不等式的解集为． 故答案为：． （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上，如图所示： ． 利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围（共4小题） 【例4】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）若关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围______． 【答案】 【分析】本题考查不等式组解集的求法，熟练掌握概念是解题的关键． 先确定不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解这一条件来确定的取值范围． 【详解】解：已知不等式组，因为不等式组有解， 可得不等式组的解集为， 因为不等式组有4个整数解， 所以这4个整数解为，，，， 那么需要满足， 这样才能保证不等式组的整数解恰好为，，，． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级下·福建漳州·期末）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求出参数的取值范围，先求出不等式的解集为，结合题意得出整数解为、、，从而即可得出a的取值范围． 【详解】解：解得：， ∵关于x的不等式组恰好有3个整数解， ∴整数解为、、， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和是7，则的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为12，可以确定整数解为①4，3或②4，3，2，1，0，，，再根据解集确定a的取值范围即可． 【详解】解：解不等式组，得， ∵原不等式组有解集， ∴， ∵所有整数解的和是7，且， ∴不等式组的整数解为：①4，3或②4，3，2，1，0，，， ∴或； 故答案为：或． 【变式4-3】（24-25七年级下·四川德阳·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和大于且小于，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组的所有整数解的和大于且小于，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围． 【详解】解：由得：， 由得：． 则不等式组的解集是：． 不等式组的所有整数解的和大于且小于， 则不等式组的整数解，是和，，． ∴． 解得： ． 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围（共4小题） 【例5】（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 【变式5-1】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的不等式组无解，实数a的取值范围为 _________ ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组解集的情况求参数，能得出关于a的不等式是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）若关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求字母的取值范围， 先求出不等式组的解集，再根据解集确定答案即可. 【详解】解：， 解不等式组①，得； 解不等式②，得. ∵不等式组的解集是， ∴. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如果关于的不等式组的解集为，那么等于________． 【答案】0 【分析】主要考查了一元一次不等式组的解的定义，解此类题是要先用字母a，b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母a，b的一元一次方程求出字母a，b的值，再代入所求代数式中即可求解． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， ， ， 故答案为：0． 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题（共4小题） 【例6】（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．不等式的解集是 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，看懂函数图象是解题的关键． 根据函数图象逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，， 所以方程的解是，原选项说法错误，不合题意； B、由函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集是，该选项说法正确，符合题意； C、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； D、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意． 故选：B． 【变式6-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图像，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据函数的图像直接进行解答即可． 【详解】解：由函数的图像可知， 当时，，故A选项错误，不符合题意； 方程的解是，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C正确，符合题意； 不等式的解集是，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式6-2】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小聪根据图象得到下列结论，其中结论不正确的是（      ） A． B．关于x的方程的解为 C．关于，的方程组的解为 D．关于的不等式的解为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式的关系． 根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 【详解】解：∵由图象可知：一次函数与x轴的交点为， ∴当时，，即， 故结论A正确； ∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点， ∴关于x的方程的解为， 故结论B正确； ∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为， 故结论C正确； ∵由图象可知：一次函数图象不在（）的图象上方时， ∴的解为 故结论D错误； 故选：D． 【变式6-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题（共4小题） 【例7】（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元； (2)最多可以购买个篮球． 【分析】设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元，根据购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买个篮球，则购买足球个，根据学校购买篮球和足球的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元， 依题意得， 解得， 答：购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元． （2）解：设购买个篮球，则购买足球个， 依题意得， 解得：， 答：最多可以购买个篮球． 【变式7-1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）综合与实践 项目背景 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售． 项目素材 素材1 该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，进货价和销售价如表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 素材2第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变）、且第二次进货总价不高于16800元． 项目任务 任务1 求两款服装分别购进的件数． 任务2 该服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，并求出最大销售利润． 【答案】任务1：短款服装购进20件，长款服装购进30件；任务2：当购进120件短款服装，80件长款服装时获得最大销售利润，最大销售利润是4800元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质等知识，理解题意，列出方程和不等式是解题关键． 任务1：设短款服装购进x件，长款服装购进件，根据题意列出方程求解即可； 任务2：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据题意列出不等式得出，设利润为w元，则，再由一次函数的性质求解即可 【详解】解：任务1：设短款服装购进x件，长款服装购进件， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴短款服装购进20件，长款服装购进30件； 任务2：解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元， 根据题意得：， 当时，把代入（元） ∵， ∴w随m的增大而减小， 当时， （元）， ∴当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【变式7-2】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）端午节前期，某商店决定购进、两种类型的粽子，若购进种粽子包，种粽子包，需要花费元；若购进种粽子包，种粽子6包，需要花费元． (1)求购进、两种粽子每包各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种粽子共包，考虑到市场需求，购进种粽子的数量不超过种粽子数量的倍，那么该商店最多可以购买种粽子多少包？ (3)在（2）条件下，由于资金周转，该商店购买包粽子的资金不超过元，该商店有哪几种购进方案？ 【答案】(1)种粽子每包元，种粽子每包元 (2)该商店最多可以购买包种粽子 (3)该商店共有种购进方案：方案①：购进种粽子包，种粽子包；方案②：购进种粽子包，种粽子包；方案③：购进种粽子包，种粽子包；方案④：购进种粽子包，种粽子包 【分析】（1）设种粽子每包元，种粽子每包元，根据购进种粽子包，种粽子包，需要花费元；若购进种粽子包，种粽子6包，需要花费元，列方程组求解即可； （2）设该商店购进包种粽子，购进种粽子的数量不超过种粽子数量的倍，列不等式求解即可； （3）根据商店购买包粽子的资金不超过元，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种粽子每包元，种粽子每包元， 根据题意可得：， 解得：， 种粽子每包元，种粽子每包元； （2）解：设该商店购进包种粽子，则， 解得：， 是整数， 该商店最多可以购买包种粽子； （3）解：由题意可得：， 解得：， 又，且是整数， ， 的值为：，，，， 该商店共有种购进方案： 方案①：购进种粽子包，种粽子包； 方案②：购进种粽子包，种粽子包； 方案③：购进种粽子包，种粽子包； 方案④：购进种粽子包，种粽子包． 【变式7-3】（23-24七年级下·广西桂林·期末）疫情期间，七（1）班防疫小组为班级购置防护用品的收据如表，有部分数据因污损无法识别．根据如表，解决下列问题： 商品名 单价（元） 数量（件） 金额（元） 消毒水 2 90 医用口罩 50 消毒纸巾 20 免洗手液 6 96 温度计 168 1 合计 19 674 (1)此次购买的医用口罩和消毒纸巾各多少件？ (2)计划再次购买消毒水和免洗手液共10件，且总价不超过360元，则消毒水最多可购买多少件？ (3)随着疫情的发展，七（1）班准备用270元购买医用口罩和消毒纸巾，在270元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？ 【答案】(1)购买的医用口罩件，消毒纸巾件 (2)6 (3)方案一：购买1件医用口罩，11件消毒纸巾；方案二：购买3件医用口罩，6件消毒纸巾；方案三：购买5件医用口罩，1件消毒纸巾 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组或不等式是解题的关键． （1）设此次购买的医用口罩件，消毒纸巾件，由题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买消毒水件，则购买免洗手液件，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可； （3）设购买的医用口罩件，消毒纸巾件，由题意得，化简得，由于，即，由于、都为正整数，则的可能值为1、2、3、4、5， 得到有效解即可． 【详解】（1）解：设此次购买的医用口罩件，消毒纸巾件，由题意得： 解得 答：此次购买的医用口罩件，消毒纸巾件； （2）解：设购买消毒水件，则购买免洗手液件，由题意得： 解得 由于为整数， 则最大为， 即消毒水最多可购买6件； （3）解：设购买的医用口罩件，消毒纸巾件，由题意得： ， 即， 由于，即， 由于、都为正整数， 则的可能值为1、2、3、4、5， 当时，， 当时，，不是整数， 当时，， 当时，，不是整数， 当时，， 因此，有效的解为、、， 答：在270元恰好用完的条件下，有三种购买方案： 方案一：购买1件医用口罩，11件消毒纸巾； 方案二：购买3件医用口罩，6件消毒纸巾； 方案三：购买5件医用口罩，1件消毒纸巾． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $