专题16.5 实践与探究（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题16.5 实践与探究 教学目标 1.理解一次函数与方程、不等式的关系，能利用图象解决相关问题。 2.会用待定系数法确定近似函数关系式，解决简单实际问题。 3.能建立分段函数、方案最优等模型，解决实际决策问题。 4.体会数形结合、分类讨论思想，提升数学建模能力。 教学重难点 重点 （1）一次函数与一元一次方程、不等式及二元一次方程组的关系。 （2）利用函数图象求方程（组）的解和不等式的解集。 （3）实际问题中函数关系式的建立（含分段函数）。 （4）方案最优问题的求解方法。 难点 （1）数形结合思想的灵活运用（如由“数”思“形”、由“形”解“数”）。 （2）复杂实际问题中等量关系的挖掘与函数建模。 （3）几何动点问题中函数关系式的建立与自变量取值范围的确定。 （4）分段函数中不同区间的衔接与实际意义的解读。 知识点01：一次函数与一元一次方程的关系 维度 具体内容 数的角度 一次函数中，当时，的值即为方程的解；方程的解为直线与直线交点的横坐标。 形的角度 直线与轴交点的横坐标，即为方程的解；直线与直线交点的横坐标，即为方程的解。 【即学即练】 1. （24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 知识点02：一次函数与一元一次不等式的关系 维度 具体内容 数的角度 一次函数中，时的取值范围为不等式的解集；时的取值范围为不等式的解集。 形的角度 直线在轴上方部分对应的取值，为的解集；在轴下方部分对应的取值，为的解集。 拓展延伸 直线在直线上方部分对应的取值，为的解集；下方部分对应的解集。 【即学即练】 1. （25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由直线与直线的图象可知，直线与直线的交点为，，根据图形即可求得不等式的解集． 【详解】解：如图所示： 观察图象可知直线与直线的交点为，， ∴由图象可知不等式的解集为或， 故答案为：或 知识点03：一次函数与二元一次方程（组）的关系 二元一次方程可变形为一次函数，直线上所有点的坐标均为方程的解。 二元一次方程组的解，即为直线与交点的坐标： 若，两直线相交，方程组有唯一解； 若且，两直线平行，方程组无解； 若且，两直线重合，方程组有无数解。 【即学即练】 1. （25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数与的图像，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答． 【详解】解：由题图得一次函数与的图象交于点， 二元一次方程组的解是 ． 故选：B． 知识点04：函数的实际应用模型 1.分段函数模型：自变量不同取值范围对应不同函数关系式（如阶梯收费、优惠活动），需注明各段自变量取值范围。 2.方案最优模型：通过建立两个函数关系式，比较函数值大小，确定最优方案（如购物优惠、租车方案）。 3.几何关联模型：动点问题中，线段长度、图形面积等与运动时间/距离的函数关系（如三角形面积随动点移动的变化）。 【即学即练】 1. （25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某滤水壶有净水区和蓄水区．现给空壶的净水区加满水，净水区中水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（ 不计补水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离与水流时间的函数图象如图①所示． (1)点B的坐标的实际意义是 ； (2)求线段的函数表达式； (3)设滤水壶净水区水面、蓄水区水面距滤水壶底的高度分别为、 ，请在图②中分别画出、与水流时间的函数图象，并标注出关键点的坐标． 【答案】(1)3分钟时净水区水面与蓄水区水面的距离为9厘米 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了分段函数的实际应用，解题的关键是结合水流过程分析距离的分段变化规律． （1）结合题意分析时间节点的水流状态，明确点对应的实际情景，即3分钟时净水区停止向蓄水区流水，此时两区水面距离为9厘米． （2）先利用、两点求出段的函数解析式；再根据水匀速流动得出，代入点求出的函数表达式． （3）根据水流的分段过程，分析（净水区高度）和（蓄水区高度）的变化规律：先匀速下降、再瞬间跳回初始高度、再匀速下降；则持续匀速上升，据此绘制函数图象并标注关键点坐标． 【详解】（1）解：点B坐标的实际意义是：经过3分钟又将净水区补满水，此时净水区水面与蓄水区水面的距离为9厘米， 故答案为：3分钟时净水区水面与蓄水区水面的距离为9厘米； （2）解；设为， 则：， 解得：， ∴； 又∵，且， ∴可设为， ∴， 解得：， ∴为； （3）由题意可得，作图如下： 其中实线是，虚线是． 题型01利用一次函数图象解一元一次方程 方法技巧：找到直线与轴（或直线）的交点横坐标，即为方程的解。 【典例1】. （24-25八年级上·山东济南·月考）如图，一次函数的图象经过点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握两者之间的联系是解题关键． 观察图象得知的图象经过点，即可求解． 【详解】解：观察函数的图象知： 的图象经过点， 即当时，， 所以关于的方程的解为． 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·山东青岛·周测）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是 ； （2）关于x的方程的解是 ； 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象； （1）利用函数图象写出函数值为时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出函数值时对应的自变量的值即可 【详解】（1）根据函数图象可得，当时，， 所以方程的解为； 故答案为：． （2）根据函数图象可得，当时，， ∴关于x的方程的解是 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，已知是一次函数的图象上的一点，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的图象解一元一次方程即可． 【详解】解： 是一次函数的图象上的一点， 当时，， 方程的解是． 故答案为：． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 题型02利用一次函数图象解二元一次方程组 方法技巧：求出两个一次函数图象的交点坐标，横、纵坐标分别为方程组中、的解。 【典例2】. （25-26八年级上·福建三明·期末）直线和直线相交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组的关系． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两条直线交点的坐标． 【详解】解：∵直线和直线相交于点， ∴该点的坐标同时满足两个方程， 因此方程组的解是． 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象进行求解即可． 【详解】解：把点代入直线：得：， ∴， ∴由图象可知：关于，的方程组的解为； 故答案为． 【变式2】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）如图所示为直线和的图像，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 由函数和函数的图象的交点的横、纵坐标就是二元一次方程组的解，即可求解． 【详解】解：由图象可得直线和的交点为， 所以方程组的解是． 故答案为：． 【变式3】. （25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出a的值，进而得到点P的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴, ∴关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 题型03利用一次函数图象解一元一次不等式（组） 方法技巧：根据直线在轴上下方（或两直线的上下位置），确定对应自变量的取值范围，注意区间端点的取舍。 【典例3】. （25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数图象求不等式组的解集． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为． 故选：B． 【变式1】. （25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，理解题意，结合函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，运用数形结合思想得出满足的的取值范围为，即可作答． 【详解】解：∵函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1， ∴满足的的取值范围为， 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，和的图象相交于，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，先求出交点的坐标，再找到直线的函数图象在直线的函数图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：将代入得，， ∴，即， ∴由函数图象可知，不等式的解集为． 故答案为：． 【变式3】. （25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求，，的值； (2)不等式的解集为：______． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：根据函数图象可知：不等式的解集为． 故答案为：． 题型04分段函数的实际应用 方法技巧：按自变量的取值范围分段建立关系式，注明各段取值范围；代入求值时需先判断自变量所属区间。 【典例4】. （25-26七年级下·全国·周测）星期天，玲玲骑自行车到郊外公园游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)玲玲在什么时刻到达郊外公园？此时离家多远？ (2)如果从10时至第一次休息和11时至12时，玲玲骑行的速度都是，那么玲玲第一次休息了多长时间？ 【答案】(1)玲玲在12时到达郊外公园，此时离家 (2) 【分析】（1）利用图中的点的横坐标表示时间，纵坐标表示离家的距离，进而得出答案； （2）休息是指随着时间的变化路程不发生变化的部分． 【详解】（1）解：观察图象可知： 玲玲在12时到达郊外公园，此时离家． （2）解：由图可知， 玲玲第一次休息了． 【点睛】本题是一道函数图象的基础题，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息，因此本题实际上是考查同学们的识图能力． 【变式1】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用分钟追上甲 B．乙的速度为米/分 C．乙追上甲后，再跑米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的应用，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴ 乙用分钟追上甲，该选项说法正确，不符合题意； 、由图可得，甲的速度为米/分钟， ∴乙的速度为米/分，该选项说法正确，不符合题意； 、乙追上甲时，二人离终点的距离为米， ∴乙追上甲后，再跑米才到达终点， 该选项说法正确，不符合题意； 、乙到达终点所用的时间为分钟， 当乙到达终点时甲走的路程为米， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟，该选项说法错误，符合题意； 故选：． 【变式2】. （25-26八年级上·四川达州·期末）甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：m）与甲骑行的时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中正确的有（   ）个 ①甲的骑行速度是，乙的原速度是；②A，B两地的总路程为；③乙出发后追上甲；④甲比乙晚到达B地． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．根据函数与图象的关系依次计算即可判断． 【详解】解：①甲骑行，故速度为， 设乙的速度为，则有， 解得， ∴乙原来的速度为，故①正确； ②甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍，即继续骑行， ∵乙先到达B地， ∴由题意可得两地的总路程为，故②错误； ③依题意可得， ∴乙出发后追上甲，故③正确； ④甲的路程为， ∴甲比乙晚到达B地，故④正确； ∴正确的结论有①③④共3个． 故选：B． 【变式3】. （25-26八年级上·贵州贵阳·期末）一列快车从甲地匀速驶往乙地，速度为，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，速度为．两车同时出发且行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，根据图象解决以下问题： (1)解释图中点的实际意义是什么？ (2)求出点的坐标； (3)求为多少时，两车之间的距离等于快车行驶距离与慢车行驶距离之和的． 【答案】(1)图中点的实际意义为两车出发2小时后相遇 (2) (3)或4 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）点M的横坐标为0，则表示两车此时的距离为0，即此时两车相遇，据此可得答案； （2）根据函数图象可知甲、乙两地的距离，则可求出快车到达乙地的时间，再求出此时两车的距离即可得到答案； （3）分三种情况：两车相遇前，两车相遇后，且快车没有到达终点和车相遇后，且快车到达终点，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：图中点的实际意义为两车出发2小时后相遇； （2）解：由函数图象可知，甲、乙两地的距离为， ∴快车到达乙地的时间为， ∴快车到达乙地时两车的距离为， ∴点N的坐标为； （3）解：当两车相遇前，则， 解得； 当两车相遇后，且快车没有到达终点，则， 解得（舍去） 当两车相遇后，且快车到达终点后，则， 解得 综上所述，当为或4时，两车之间的距离等于快车行驶距离与慢车行驶距离之和的． 题型05方案最优问题 方法技巧：建立两种方案的函数关系式，求出两函数交点横坐标，根据交点两侧函数值大小，确定不同取值范围内的最优方案。 【典例5】. （25-26八年级上·福建漳州·月考）某市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树树苗．某苗木种植公司给出以下收费方案： 方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折出售； 方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折出售． 设该市购买的景观树树苗为棵，方案一所需费用方案二所需费用，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题． (1)________；_______． (2)求按照方案二购买所需费用的函数关系式，并说明的实际意义． (3)若该市需要购买景观树树苗600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由． 【答案】(1)21，3000 (2)，的实际意义是每棵树苗按九折出售的价格 (3)方案一购买所需费用更少．理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到和的值； （2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出每棵树苗的原价； 根据函数图象中的数据和题意，可以得到函数关系式,并说明的实际意义； （3）将代入和，然后比较大小，即可解答本题． 【详解】（1）解：由图象可得，函数, 过点， 则， 解得： 故答案为：21，3000； （2）解：由（1）可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元， 每棵树苗的原价是（元）， 即每棵树苗的原价30元： 方案二中的树苗打九折优惠， 按照方案二购买的每棵树苗的价格为（元）， 方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠，当时，， ， 的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格； （3）解：该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少， 理由：由（1）（2）可知，， 当时， ， ， 该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少． 【变式1】. （24-25八年级下·河南开封·期中）三八妇女节期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满100送100”（如：购买199元服装，赠100元购物券；购买200元服装，赠200元购物券） 方案三 “满100减50”（如：购买199元服装，只需付149元；购买200元服装，只需付100元） （注：一人只能选择一种方案） (1)小明想为自己的妈妈买一件上衣和一条裤子，上衣和裤子的价格均在两百元以上．已知上衣的标价为290元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． ①求裤子的标价； ②请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______；当时，关于的函数表达式为______；当时，关于的函数表达式为______； (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 【答案】(1)①210元；②选择方案三，理由见解析 (2)；； (3)当时，用方案三购买更合算 【分析】（1）①设裤子的标价为x元，根据题意列出方程解答即可求解；②分别算出每一种方案的花费即可判断求解； （2）根据题意列出函数解析式即可； （3）分和两种情况讨论即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，函数解析式，根据题意，正确列出一元一次方程和函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：①设裤子的标价为x元，根据题意得： ， 解得：， 答：裤子的标价为210元； ②选择方案三，理由如下： 方案一的花费为：元， 方案二的花费为元， 方案三的花费为元， ∵， ∴应选择方案三； （2）解：当时，关于的函数表达式为； 当时，关于的函数表达式为； 当时，关于的函数表达式为； 故答案为：；；； （3）解：当时， 方案一购买需花费元， 方案三购买需花费x元， ∵， ∴按方案一购买更合算； 当时， 方案一购买需花费元， 方案三购买需花费元， 当，即时，两种方案购买花费一样多； 当，即时，用方案三购买更合算； 当，即时，用方案一购买更合算； 综上所述，当时，用方案三购买更合算． 【变式2】. （25-26八年级上·四川成都·期中）学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种购买方案： 方案一：原价购买； 方案二：办理一张成本价为100元的会员卡，所有商品按原价8折出售； 若学校需要购买原价为x元的体育用品，按方案一购买需付款元，按方案二购买需付款元，已知，关于x的函数图象如图所示． (1)直接写出、的表达式． (2)当学校购买原价为多少的体育用品时，方案一与方案二的实际付款相同． (3)当学校购买原价为多少的体育用品时，方案一与方案二的实际付款金额相差40元． 【答案】(1)，； (2)元； (3)元或元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据两种方案分别求解表达式即可； （2）结合（1）所得表达式去，求出时的值即可得解； （3）根据实际付款金额相差40元分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ；解：由题意可知， （2）解：由题意可知，当方案一与方案二的实际付款相同时，， 则， 解得：， 即当学校购买原价为元的体育用品时，方案一与方案二的实际付款相同． （3）解：①当方案一比方案二多元时， 则，解得； ②当方案二比方案一多元时， 则，解得， 综上可知，当学校购买原价为元或元的体育用品时，方案一与方案二的实际付款金额相差40元． 【变式3】. （25-26八年级上·河南郑州·期中）某文具店售卖有钢笔和笔记本，钢笔每支定价30元，笔记本每本定价4元．在促销期间，店方向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一支钢笔就赠送一本笔记本； 方案二：钢笔和笔记本都按定价的付款． 某班级计划购进50支钢笔和本笔记本（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)当时， ①请通过计算说明该班级选择上面哪种方案更省钱； ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明购买方案，并计算出该方案所需费用；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①选择方案一更省钱；②有更省钱的购买方案，先按方案一购买50支钢笔，再按方案二购买50本笔记本，所需费用为1680元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买50支钢笔，再按方案二购买50本笔记本，最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ； （2）解：①当时，． ∵， ∴选择方案一更省钱． ②有更省钱的购买方案： 先按方案一购买50支钢笔，再按方案二购买50本笔记本， 该方案所需费用为（元）． 题型06一次函数与反比例函数综合应用 方法技巧：先求两函数交点坐标，再根据图象上下位置确定不等式解集，结合面积公式求解几何问题。 【典例6】. （24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合运用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先把点的横坐标为1代入，求出，再用待定系数法求出的值； （2）由可得是以为底，到距离为高的三角形面积，故把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点，对应直线间距离都与到距离相等，分别联立方程组，由此可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，且点在函数图象上， ∴， 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直线与轴交点为，而， ∴把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点， 即，解得：，（舍去） 或，解得：，（舍去） ∴点的坐标为或． 【变式1】. （2025·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点． (1)m的值为____________． (2)求反比例函数的解析式． (3)直线与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，请直接写出的面积． 【答案】(1)1 (2) (3)3 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入一次函数解析式，即可求出的值． （2）将点坐标代入反比例函数的解析式即可解决问题． （3）分别求出点和点的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：将点坐标代入得，， 故答案为：1． （2）解：由（1）知，点的坐标为． 将点坐标代入得，， 则反比例函数的解析式为． （3）解：将代入得，， 所以点的坐标为． 将代入得，， 所以点的坐标为， 所以的面积为：． 【变式2】. （25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点 P 是y 轴上的一点，且，求点 P 的坐标； (3)请直接写出在第二象限中，当时x 的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，再求出一次函数的解析式即可； （2）利用勾股定理求得，进而即可求得点的坐标； （3）根据函数的图象和点的坐标得出答案即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 即反比例函数的表达式是， 把点，与代入， 得， 解得， 一次函数的表达式是． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点 P 是y 轴上的一点， ∴或． （3）解：根据图象可知：在第二象限中，当时x 的取值范围为： ． 【变式3】. （25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点和点，已知，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，求反比例函数的解析式，掌握待定系数法求解析式，图象法求不等式的解集是关键． （1）将代入，可求出反比例函数表达式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，即可求解； （2）观察图象得到一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围，即可求解； （3）由题意可知，点N坐标为点M的坐标为，再由且，可得，即可求解． 【详解】（1）解：（1）∵反比例函数的图象过点, ∴, ∴反比例函数关系式为：． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴点B坐标为． ∵一次函数的图象过点和， ∴， ∴， ∴一次函数关系式为． （2）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和， ∴不等式的解集为或． （3）解：设点N坐标为点M的坐标为， ∵且， ∴， 解得（不合题意），． 经检验，为方程的解， ∴． 题型07几何动点中的函数问题 方法技巧：用自变量表示动点移动的线段长度，结合几何面积公式（如三角形面积=底×高÷2）建立函数关系式，注明自变量的几何限制范围。 【典例7】. （24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或； (3)． 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答． （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答． （3）连接，设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证得，得到点Q的坐标为，求出直线的函数表达式为把点代入即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将点，代入， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． （2）存在．当时，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得． （3）点Q的坐标为． 如图，连接， 设点P的坐标为． ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小． 过点Q作轴于点H， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴点Q的坐标为． ∵点，， ∴易求得直线的函数表达式为． 把点代入，得， 解得， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形面积，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 【变式1】. （24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发：若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，求出此时、所在位置的坐标． 【答案】(1)， (2)时，、两点相遇，此时，两点的坐标为 (3)时，P坐标为，Q坐标为 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据路程之和等于矩形的周长构建方程即可解决问题； （3）根据题意得到两点的位置关于原点O对称，进而求解即可． 本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的非负数的性质，相遇问题等知识，解题的关键是理解题意，利用参数构建方程解决问题． 【详解】（1）解：∵． 又∵． ∴，． （2）由题意可得：点P运动路程为t，点Q运动路程为，长方形的周长为， 根据题意得， ， 即时，、两点相遇． 此时点P所走路程：， ∵， ∴在边相遇， ∵，，点A的坐标为 ∴点D的坐标为 ∴相遇时横坐标为：，纵坐标为：， 此时，两点的坐标为． （3）由题意：、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数 ∴两点的位置关于原点O对称， 当时，此时点P所走的路程4，坐标为 此时Q坐标为，满足条件， 所以此时P坐标为，Q坐标为． 【变式2】. （24-25七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点、的坐标； (2)若点、分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动若两点同时出发，则几秒后轴？ (3)若点是轴上一动点，当三角形的面积小于时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)秒 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 利用平移变换的性质求解； 设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； 分两种情况分析：当点H在y轴负半轴时，当点H在y轴正半轴时，根据三角形的面积公式列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意点，的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段， ，； （2）设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点，同时出发，秒后轴； （3）当点H在y轴负半轴时，如图， ，，， 三角形的面积， ； 当点H在y轴正半轴时，如图， 过点H作轴， ∴， 三角形的面积， 解得：，不符合题意； 综上所述，的取值范围为． 【变式3】. （25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点与点关于轴对称，点为线段上一点，，直线与交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图，点是射线上一动点，连接，满足，点、是轴上的两个动点（点在点的上方），且，连接，求的最小值； (3)在（）的条件下，将点沿射线方向平移个单位得到点，若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，则当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）先求出点坐标，再根据求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，过点作，过点作轴，则，，可得，利用勾股定理解答即可求解； （）由平移得，设，分，点在轴正半轴；，点在轴负半轴；，点在点左侧；，点在点右侧四种情况解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入直线，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入直线，得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由，解得， ∴， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，过点作，过点作轴，则，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵点沿射线方向平移个单位， ∴点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴， 设， 当，点在轴正半轴时，过点作轴于，过点作轴于，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴解得， ∴； 当，点在轴负半轴时，过点作轴，过点作于，过点作于，如图， 同理可得，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴； 当，点在点左侧时，过点作轴于，过点作于，如图， 同理可得，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴； 当，点在点右侧时，过点作轴于，过点作于， 同理可得，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，点坐标为或或或． 题型08函数与几何存在性问题 方法技巧：假设存在符合条件的点，结合全等、等腰等几何性质列出方程，求解后检验点是否在指定范围内（如线段、象限内）。 【典例8】. （25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，理由见解析 (3)存在，或，理由见解析 【分析】（1）根据非负数的性质，解方程，求出a和b，再用待定系数法求直线的解析式； （2）设，由将的面积分为两部分，得到或，再列方程求解即可； （3）先进行分类讨论，当点M在y轴右侧时，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为．不难得出，是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质，可以证出，由全等的性质，计算出点E的坐标，直线与的交点即为点M，利用一次函数计算即可．当点M在y轴左侧时，容易得出此时直线与直线关于y轴对称，利用对称性算出点M的坐标． 【详解】（1）解：， ∴，， ，， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 设，则， ， ， 若将的面积分为两部分，则或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：存在，理由如下： ①当点M在y轴右侧时， 如图，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为． 由题意可知，直线与的交点即为所求的点M． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E坐标为，点F坐标为，点B坐标为 ∴，，，， ∴， 解得，， ∴点E坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，， ∴点M坐标为， ②当点M在y轴左侧时， 如图，作点E关于y轴的对称点H，连接， 由对称的性质可得，，点H坐标为， 由①可知，， ∴， ∴直线与与的交点即为所求的点M． 设直线的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，， ∴点M坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与角度相关的综合问题，一次函数与面积的相关问题，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造等腰直角三角形解题是关键． 【变式1】. （25-26八年级上·山东济南·期中）平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，a、b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)在射线上是否存在点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作交直线于点N，是否存在点M，使，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，熟练运用坐标运算、分类讨论思想和相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的被开方数非负性求出，的值，进而确定A、B两点的坐标； （2）设出点D的坐标，根据等腰三角形的三种分类（、、），结合两点间距离公式求解； （3）先求出直线的解析式，设出点M的坐标，通过证明三角形全等得到线段关系，再结合三角形面积公式列出方程求解． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：存在点D，使为等腰三角形． ∵，， ∴在中，由勾股定理可得， ∵在射线上存在点D，使为等腰三角形， ①若， ∴， ∵此时点D在轴负半轴， ∴； ②若，则点D与点重合， ∴； ③若，则， ∴； 综上所述，或或． （3）解：存在，理由如下： 过点作轴，交轴于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵点、关于轴对称， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，直线：与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4；2 (2)存在一点，使的周长最短 (3)存在的值，使和的面积比为，t的值为或． 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题； （1）利用待定系数法即可求解． （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则此时的周长最小，，求出直线的解析式，即可解决问题． （3）分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，由和的面积比为，即可求解． 【详解】（1）解：直线经过定点， ∴， ， 直线为， 直线经过点， ， 点的坐标为， 直线经过点， ． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则的周长最小． ∵，， 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， 存在一点，使的周长最短； （3）解：直线为 点的坐标为， ， ， 点的运动时间为秒，速度为每秒1个单位， ， 分两种情况： ①如图，点在线段上， 和的面积比为， ， ， ， ； ②如图，点在线段的延长线上． 和的面积比为， ， ， ， ； 综上，存在的值，使和的面积比为，值为或； 【变式3】. （25-26八年级上·全国·期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：________，________，________． (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4；2 (2)存在，点的坐标为 (3)存在的值，使和的面积比为的值为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则此时的周长最小，，求出直线的解析式，即可解决问题； （3）分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，由和的面积比为，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过定点 ∴直线 ∵直线经过点， ∴把代入， 得： 解得：， 故答案为：， （2）解：存在． 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则的周长最短． 设直线的表达式为． 把代入， 得，解得， ∴直线的表达式为． 令，解得， ∴． 故在轴上存在一点，使的周长最短，点的坐标为． （3）存在． ∵点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，直线， ∴． ∵，∴． ∵点的运动时间为，所以． 分两种情况；①当点在线段上时，因为和的面积比为， ∴，所以， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时， ∵和的面积比为， ∴，所以， ∴， ∴． 综上，存在的值，使和的面积比为的值为或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 一、单选题 1．下列关于一次函数的说法中，正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于负半轴 C．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2 D．y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 【详解】解：A、，， 直线经过第一、三、四象限，故不符合题意； B、当时，，解得：， 直线与轴交点的坐标是，故图象与x轴交于正半轴，不符合题意； C、当时，， 直线与轴交点的坐标为， 直线与坐标轴围成的三角形面积，故不符合题意； D、， 随的增大而增大，符合题意； 故选：D． 2．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶．该材料导热率K与温度T的关系如下表： 温度T/℃ 100 150 200 250 300 350 400 导热率K/[W/（m·K）] 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.5W/（m·K），则温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数实际应用问题，认真分析表中数据，提取正确信息是求解本题的关键． 根据表格数据，导热率与温度呈线性关系，利用待定系数法求出函数解析式，令，求出函数值即可解决问题． 【详解】解：设 由题意得： 解得： ， 当时， 解得：. 故选：B． 3．一次函数和的图象交点的坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：∵一次函数和的图象交点的坐标为， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：A． 4．如图，一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． 先将点A的坐标代入一次函数解析式求出参数，再求函数与轴交点的坐标． 【详解】解：点在上， ， ， ， 一次函数解析式为， 点在轴上令，则， ， 故选：A． 5．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 二、填空题 6．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点问题．理解题意，熟练掌握两直线交点是解题的关键． 联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可． 【详解】解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得，， ∴一次函数的“亮点”为． 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据由两个一次函数的解析式组成的二元一次方程组的解为两条直线交点的横纵坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 8．直线过点，与y轴正半轴交于点B，且，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，坐标与图形，求一次函数解析式，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的知识． 由点B在y轴正半轴可得，再根据三角形面积公式求出b的值，然后将点A坐标代入直线解析式求出k的值． 【详解】解：直线与y轴正半轴交于点B， ，且， ∵点， ， 又， ， 解得， 将点代入，得，解得， ∴直线解析式为． 故答案为：． 9．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，根据题意，得出的值，再据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为函数与的图象相交于点， 所以，， 两式相减得，， 则， 所以不等式可化为， 解得． 故答案为：． 10．如图，点在直线：上，经过点A的一次函数图象：与x轴相交于，若时，，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，不等式的性质，先求出一次函数：，再结合若时，，得出，，分别求解即可得出结果，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在一次函数：上， ∴， 解得：， ∴一次函数：， ∵若时，，直线：， ∴，， 解可得， 解，整理可得， ∵， ∴， ∴， 综上所述，， 故答案为：． 三、解答题 11．为改善生态环境，某市开展植树造林活动．现甲、乙两家林场有相同的树苗可供选择，具体销售方案如下： 甲林场每棵树苗都是1.8元；乙林场树苗售价：当购买树苗的数量不超过1000棵时，每棵2元；当购买树苗的数量超过1000棵时，超过1000棵的部分，每棵1.6元．设购买树苗棵，到两家林场购买所需费用分别为元、元． (1)现需购买1500棵树苗，如果都在甲林场购买，那么所需费用为____________元；如果都在乙林场购买，那么所需费用为____________元； (2)求出，与之间的函数关系式； (3)当购买树苗超过1000棵时，选择哪个林场合算？ 【答案】(1)2700，2800； (2)，； (3)当时，选择甲林场合算；当时，甲、乙林场所需费用一样；当时，选择乙林场合算． 【分析】（1）根据题意，可以计算出购买1500棵树苗时，在两家林场的花费； （2）根据题意，可以分别写出，与x之间的函数关系式； （3）根据题意，利用分类讨论的方法，可以得到应该选择到哪家林场购买树苗合算． 【详解】（1）解：由题意可得， 当购买1500棵树苗时， 在甲林场需要花费：（元）， 在乙林场需要花费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时，，． 当时，，． 综上所述，，； （3）解：当时，令，解得． 故当时，选择甲林场合算；当时，甲、乙林场所需费用一样；当时，选择乙林场合算． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的思想解答． 12．某商店销售A、B两种型号水笔共200支，每支的成本和售价如表： A B 成本/（ 元/支） 3 5 售价/（ 元/支） 4 8 (1)设该商店销售A型号水笔x支，则销售B型号水笔 支，共获得利润 元（ 用含x的代数式表示，结果需化简）； (2)若购进两种型号水笔总成本不超过800元，则该商店如何安排购进A，B两种型号水笔的数量，使得销售完这些水笔后获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)， (2)该商店购进A型号水笔100支，B型号水笔100支，使得销售完这些水笔后获利最大，最大利润为400元 【分析】本题考查根据实际问题列代数式，一元一次不等式的应用； （1）根据数量关系列代数式即可； （2）根据两种型号水笔总成本不超过800元列不等式，求出x的范围，再结合利润的表达式求解即可． 【详解】（1）解：设该商店销售A型号水笔x支， ∵某商店销售A、B两种型号水笔共200支， ∴销售B型号水笔支， ∴共获得利润为（ 元）， （2）解：设该商店购进A型号水笔x支，则购进B型号水笔支， 根据题意得：， 解得：， 设共获得利润为y元， 由（1）可知，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 此时，， 答：该商店购进A型号水笔100支，B型号水笔100支，使得销售完这些水笔后获利最大，最大利润为400元． 13．如图，已知直线：与直线交于点A，且直线分别与x轴，y轴交于点C，点B． (1)若点P在直线上，且，求点P的横坐标． (2)根据图象，求出当时，x的取值范围是什么？ 【答案】(1)点P的横坐标为6或2 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据三角形的面积求点的坐标，一次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）先根据函数解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，设，根据三角形面积关系列出方程，然后进行求解即可； （2）联立解析式，求出交点坐标，然后根据函数图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∴； 设， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点P的横坐标为6或2； （2）解：联立解析式得， 解得：， ， 由图象得：时，直线：的图象在直线：的图象上方， ∴． 14．现有，两种食品，每份食品的质量为50g，其核心营养成分及能量如下表： 食品类别 能量/kcal 蛋白质/g 脂肪/g 碳水化合物/g 240 12 7.5 29.8 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入1280kcal能量和蛋白质，应选用，两种食品分别多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从，两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，且总能量最低，则应选用，两种食品分别多少份？ 【答案】(1)应选用，两种食品分别为3份和2份； (2)应选用，两种食品分别为2份和4份． 【分析】（1）设应选用种食品份，种食品份，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设应选用种食品份，则选用B种食品份，根据从两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，列出一元一次不等式，解得，再设每份午餐的能量为，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设选用，两种食品分别为份和份． 由题意，得 ∴应选用，两种食品分别为3份和2份； （2）解：设选用种食品份． 依题意，得， ∴选用种食品份， 则， 解得． 设从这两种食品中摄入的总能量为， 则． ， 随的增大而减小， ∴当时总能量最低， 此时， ∴应选用，两种食品分别为2份和4份． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 15．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为，的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)结合图象直接写出的解集． (3)在轴上取一点，当取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、反比例函数的几何意义、不等式与函数图象的关系以及利用轴对称求线段差的最值，熟练掌握函数图象上点的坐标特征、函数解析式的求法和几何最值的转化方法是解题的关键． （1）先利用的面积和反比例函数的几何意义求出反比例函数的值，确定其解析式；再将、两点坐标代入反比例函数求出、的值；最后将、坐标代入一次函数解析式，通过解方程组求出、，得到一次函数解析式． （2）将不等式转化为一次函数值小于等于反比例函数值的情况，结合函数图象的交点，直接写出满足条件的的取值范围． （3）利用三角形两边之差小于第三边的几何原理，作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于点，此时取得最大值；再求出直线的解析式，计算其与轴交点的坐标，即为点的坐标． 【详解】（1）解：轴，点在反比例函数图象上，且的面积为． ， 反比例函数图象分布在第二、四象限， ， 反比例函数解析式为，把点和点坐标代入反比例函数解析式得：， 将代入得， ， 解得， 一次函数解析式为． （2）解：∵，即，， ∴不等式的解集为：或． （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接延长交轴于点，此时点满足取得最大值，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 当时， ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.5 实践与探究 教学目标 1.理解一次函数与方程、不等式的关系，能利用图象解决相关问题。 2.会用待定系数法确定近似函数关系式，解决简单实际问题。 3.能建立分段函数、方案最优等模型，解决实际决策问题。 4.体会数形结合、分类讨论思想，提升数学建模能力。 教学重难点 重点 （1）一次函数与一元一次方程、不等式及二元一次方程组的关系。 （2）利用函数图象求方程（组）的解和不等式的解集。 （3）实际问题中函数关系式的建立（含分段函数）。 （4）方案最优问题的求解方法。 难点 （1）数形结合思想的灵活运用（如由“数”思“形”、由“形”解“数”）。 （2）复杂实际问题中等量关系的挖掘与函数建模。 （3）几何动点问题中函数关系式的建立与自变量取值范围的确定。 （4）分段函数中不同区间的衔接与实际意义的解读。 知识点01：一次函数与一元一次方程的关系 维度 具体内容 数的角度 一次函数中，当 时，的值即为方程的解；方程的解为直线与直线 的 。 形的角度 直线与轴交点的横坐标，即为方程 ；直线与直线交点的 ，即为方程的解。 【即学即练】 1. （24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 知识点02：一次函数与一元一次不等式的关系 维度 具体内容 数的角度 一次函数中， 时的取值范围为不等式的解集； 时的取值范围为不等式的解集。 形的角度 直线在轴 的取值，为的解集；在轴 对应的取值，为的解集。 拓展延伸 直线在直线上方部分对应的取值，为的解集；下方部分对应的解集。 【即学即练】 1. （25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为 ． 知识点03：一次函数与二元一次方程（组）的关系 二元一次方程可变形为一次函数，直线上所有点的坐标均为 。 二元一次方程组的解，即为直线与 ： 若，两直线相交，方程组有 ； 若且，两直线平行，方程组 ； 若且，两直线重合，方程组有 。 【即学即练】 1. （25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数与的图像，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 知识点04：函数的实际应用模型 1.分段函数模型：自变量不同取值范围对应不同函数关系式（如阶梯收费、优惠活动），需注明各段自变量 。 2.方案最优模型：通过建立两个函数关系式，比较函数值大小，确定最优方案（如购物优惠、租车方案）。 3.几何关联模型：动点问题中，线段长度、图形面积等与运动时间/距离的函数关系（如三角形面积随动点移动的变化）。 【即学即练】 1. （25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某滤水壶有净水区和蓄水区．现给空壶的净水区加满水，净水区中水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（ 不计补水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离与水流时间的函数图象如图①所示． (1)点B的坐标的实际意义是 ； (2)求线段的函数表达式； (3)设滤水壶净水区水面、蓄水区水面距滤水壶底的高度分别为、 ，请在图②中分别画出、与水流时间的函数图象，并标注出关键点的坐标． 题型01利用一次函数图象解一元一次方程 方法技巧：找到直线与轴（或直线）的交点横坐标，即为方程的解。 【典例1】. （24-25八年级上·山东济南·月考）如图，一次函数的图象经过点，则关于的方程的解是 ． 【变式1】. （25-26八年级上·山东青岛·周测）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是 ； （2）关于x的方程的解是 ； 【变式2】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，已知是一次函数的图象上的一点，则方程的解是 ． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型02利用一次函数图象解二元一次方程组 方法技巧：求出两个一次函数图象的交点坐标，横、纵坐标分别为方程组中、的解。 【典例2】. （25-26八年级上·福建三明·期末）直线和直线相交于点，则关于的方程组的解是 ． 【变式1】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【变式2】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）如图所示为直线和的图像，则方程组的解是 ． 【变式3】. （25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 题型03利用一次函数图象解一元一次不等式（组） 方法技巧：根据直线在轴上下方（或两直线的上下位置），确定对应自变量的取值范围，注意区间端点的取舍。 【典例3】. （25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，则满足的的取值范围为 ． 【变式2】. （25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，和的图象相交于，则不等式的解集为 ． 【变式3】. （25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求，，的值； (2)不等式的解集为：______． 题型04分段函数的实际应用 方法技巧：按自变量的取值范围分段建立关系式，注明各段取值范围；代入求值时需先判断自变量所属区间。 【典例4】. （25-26七年级下·全国·周测）星期天，玲玲骑自行车到郊外公园游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)玲玲在什么时刻到达郊外公园？此时离家多远？ (2)如果从10时至第一次休息和11时至12时，玲玲骑行的速度都是，那么玲玲第一次休息了多长时间？ 【变式1】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用分钟追上甲 B．乙的速度为米/分 C．乙追上甲后，再跑米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 【变式2】. （25-26八年级上·四川达州·期末）甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：m）与甲骑行的时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中正确的有（   ）个 ①甲的骑行速度是，乙的原速度是；②A，B两地的总路程为；③乙出发后追上甲；④甲比乙晚到达B地． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】. （25-26八年级上·贵州贵阳·期末）一列快车从甲地匀速驶往乙地，速度为，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，速度为．两车同时出发且行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，根据图象解决以下问题： (1)解释图中点的实际意义是什么？ (2)求出点的坐标； (3)求为多少时，两车之间的距离等于快车行驶距离与慢车行驶距离之和的． 题型05方案最优问题 方法技巧：建立两种方案的函数关系式，求出两函数交点横坐标，根据交点两侧函数值大小，确定不同取值范围内的最优方案。 【典例5】. （25-26八年级上·福建漳州·月考）某市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树树苗．某苗木种植公司给出以下收费方案： 方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折出售； 方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折出售． 设该市购买的景观树树苗为棵，方案一所需费用方案二所需费用，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题． (1)________；_______． (2)求按照方案二购买所需费用的函数关系式，并说明的实际意义． (3)若该市需要购买景观树树苗600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由． 【变式1】. （24-25八年级下·河南开封·期中）三八妇女节期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满100送100”（如：购买199元服装，赠100元购物券；购买200元服装，赠200元购物券） 方案三 “满100减50”（如：购买199元服装，只需付149元；购买200元服装，只需付100元） （注：一人只能选择一种方案） (1)小明想为自己的妈妈买一件上衣和一条裤子，上衣和裤子的价格均在两百元以上．已知上衣的标价为290元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． ①求裤子的标价； ②请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______；当时，关于的函数表达式为______；当时，关于的函数表达式为______； (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 【变式2】. （25-26八年级上·四川成都·期中）学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种购买方案： 方案一：原价购买； 方案二：办理一张成本价为100元的会员卡，所有商品按原价8折出售； 若学校需要购买原价为x元的体育用品，按方案一购买需付款元，按方案二购买需付款元，已知，关于x的函数图象如图所示． (1)直接写出、的表达式． (2)当学校购买原价为多少的体育用品时，方案一与方案二的实际付款相同． (3)当学校购买原价为多少的体育用品时，方案一与方案二的实际付款金额相差40元． 【变式3】. （25-26八年级上·河南郑州·期中）某文具店售卖有钢笔和笔记本，钢笔每支定价30元，笔记本每本定价4元．在促销期间，店方向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一支钢笔就赠送一本笔记本； 方案二：钢笔和笔记本都按定价的付款． 某班级计划购进50支钢笔和本笔记本（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)当时， ①请通过计算说明该班级选择上面哪种方案更省钱； ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明购买方案，并计算出该方案所需费用；若没有，请说明理由． 题型06一次函数与反比例函数综合应用 方法技巧：先求两函数交点坐标，再根据图象上下位置确定不等式解集，结合面积公式求解几何问题。 【典例6】. （24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【变式1】. （2025·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点． (1)m的值为____________． (2)求反比例函数的解析式． (3)直线与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，请直接写出的面积． 【变式2】. （25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点 P 是y 轴上的一点，且，求点 P 的坐标； (3)请直接写出在第二象限中，当时x 的取值范围． 【变式3】. （25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点和点，已知，求的值． 题型07几何动点中的函数问题 方法技巧：用自变量表示动点移动的线段长度，结合几何面积公式（如三角形面积=底×高÷2）建立函数关系式，注明自变量的几何限制范围。 【典例7】. （24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 【变式1】. （24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发：若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，求出此时、所在位置的坐标． 【变式2】. （24-25七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点、的坐标； (2)若点、分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动若两点同时出发，则几秒后轴？ (3)若点是轴上一动点，当三角形的面积小于时，求的取值范围． 【变式3】. （25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点与点关于轴对称，点为线段上一点，，直线与交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图，点是射线上一动点，连接，满足，点、是轴上的两个动点（点在点的上方），且，连接，求的最小值； (3)在（）的条件下，将点沿射线方向平移个单位得到点，若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，则当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 题型08函数与几何存在性问题 方法技巧：假设存在符合条件的点，结合全等、等腰等几何性质列出方程，求解后检验点是否在指定范围内（如线段、象限内）。 【典例8】. （25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】. （25-26八年级上·山东济南·期中）平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，a、b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)在射线上是否存在点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作交直线于点N，是否存在点M，使，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2】. （25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，直线：与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：________，________，________． (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 设直线的表达式为． 把代入， 得，解得， ∴直线的表达式为． 令，解得， ∴． 故在轴上存在一点，使的周长最短，点的坐标为． 一、单选题 1．下列关于一次函数的说法中，正确的是（   ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于负半轴 C．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为2 D．y的值随x值的增大而增大 2．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶．该材料导热率K与温度T的关系如下表： 温度T/℃ 100 150 200 250 300 350 400 导热率K/[W/（m·K）] 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.5W/（m·K），则温度为（    ） A． B． C． D． 3．一次函数和的图象交点的坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 4．如图，一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 8．直线过点，与y轴正半轴交于点B，且，则其解析式为 ． 9．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 10．如图，点在直线：上，经过点A的一次函数图象：与x轴相交于，若时，，则t的取值范围是 ． 三、解答题 11．为改善生态环境，某市开展植树造林活动．现甲、乙两家林场有相同的树苗可供选择，具体销售方案如下： 甲林场每棵树苗都是1.8元；乙林场树苗售价：当购买树苗的数量不超过1000棵时，每棵2元；当购买树苗的数量超过1000棵时，超过1000棵的部分，每棵1.6元．设购买树苗棵，到两家林场购买所需费用分别为元、元． (1)现需购买1500棵树苗，如果都在甲林场购买，那么所需费用为____________元；如果都在乙林场购买，那么所需费用为____________元； (2)求出，与之间的函数关系式； (3)当购买树苗超过1000棵时，选择哪个林场合算？ 12．某商店销售A、B两种型号水笔共200支，每支的成本和售价如表： A B 成本/（ 元/支） 3 5 售价/（ 元/支） 4 8 (1)设该商店销售A型号水笔x支，则销售B型号水笔 支，共获得利润 元（ 用含x的代数式表示，结果需化简）； (2)若购进两种型号水笔总成本不超过800元，则该商店如何安排购进A，B两种型号水笔的数量，使得销售完这些水笔后获利最大？并求出最大利润． 13．如图，已知直线：与直线交于点A，且直线分别与x轴，y轴交于点C，点B． (1)若点P在直线上，且，求点P的横坐标． (2)根据图象，求出当时，x的取值范围是什么？ 14．现有，两种食品，每份食品的质量为50g，其核心营养成分及能量如下表： 食品类别 能量/kcal 蛋白质/g 脂肪/g 碳水化合物/g 240 12 7.5 29.8 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入1280kcal能量和蛋白质，应选用，两种食品分别多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从，两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，且总能量最低，则应选用，两种食品分别多少份？ 15．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为，的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)结合图象直接写出的解集． (3)在轴上取一点，当取得最大值时，求出点的坐标． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $