专题16.4 反比例函数（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题16.4 反比例函数 教学目标 1.理解反比例函数的概念，能准确识别反比例函数，掌握其三种表达形式。 2.会用描点法画出反比例函数的图象，掌握双曲线的基本特征和对称性。 3.理解反比例函数的性质，能根据的符号判断图象所在象限和增减性。 4.理解反比例函数中的几何意义，能利用其求图形面积或的值。 5.会用待定系数法求反比例函数的表达式，能运用反比例函数解决简单的实际问题。 教学重难点 重点 1.反比例函数的概念及三种表达形式。 2.反比例函数的图象特征和性质（根据判断象限、增减性）。 3.反比例函数中的几何意义及其简单应用。 4.用待定系数法求反比例函数的表达式。 难点 1.理解反比例函数增减性的前提条件（分象限讨论，不能跨象限）。 2.反比例函数中的几何意义在几何图形综合题中的应用。 3.反比例函数与一次函数的图象共存判断及交点问题求解。 4.将实际问题转化为反比例函数模型，确定自变量的实际取值范围。 知识点01：反比例函数的概念 1.定义：一般地，形如（是常数，）的函数叫作反比例函数，为比例系数。 2.自变量取值范围：自变量的取值范围是不等于0的一切实数，因变量也不为0。 3.三种表达形式（为常数，）： 分式形式：； 乘积形式：； 负指数形式：。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·陕西延安·期末）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 知识点02：反比例函数的图象 1.图象名称：反比例函数（）的图象是双曲线，有两个分支。 2.图象画法（描点法）： (1)列表：在原点两侧取三对及以上互为相反数的值，求出对应值； (2)描点：以表中、对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出对应点； (3)连线：用光滑的曲线依次连接各点并延伸，曲线无限接近坐标轴但永不相交。 3.图象的核心特征： (1)对称性：既是中心对称图形（对称中心为坐标原点），也是轴对称图形（对称轴为直线和）； (2)分支特征：两个分支相互断开，关于原点对称； (3)与坐标轴关系：因、均不为0，图象与轴、轴无交点； (4)实际问题中：受自变量取值范围限制，图象可能仅为双曲线的一个分支。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·河北张家口·月考）反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键； 根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】解：由知，， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． 知识点03：反比例函数的性质 反比例函数的性质由比例系数的符号决定，核心性质如下表（）： 的符号 图象所在象限 函数增减性 第一、三象限 在每一个象限内，随的增大而减小 第二、四象限 在每一个象限内，随的增大而增大 注意：描述增减性时，必须注明“在每一个象限内”，不能笼统表述。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·广东茂名·期末）关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时， D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数，当时，图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大；当时，图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小． 根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴ A．∵当时，，∴点在它的图象上，A选项说法正确； B．∵，∴该反比例函数的图象在第二、四象限，而非第一、三象限，B选项说法错误； C．∵，当时，随的增大而增大，又∵当时，且时，∴当时，，C选项说法正确； D．∵，当时，函数图象在第四象限，在该象限内随的增大而增大，D选项说法正确； 故选：B． 知识点04：反比例函数中的几何意义 过双曲线（）上任意一点作轴于，轴于，核心结论： 矩形的面积：； 三角形（或）的面积：； 注意事项：利用面积求时，需结合图象所在象限确定的正负；若已知面积为，则（三角形）或（矩形）。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，已知点C为反比例函数图象上的一点，过点C向坐标轴引垂线，轴，轴，垂足分别为A、B，如果四边形的面积为12，则k的值为 ． 【答案】 【分析】根据中，k的几何意义，得，解答即可． 本题考查了中，k的几何意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：根据中，k的几何意义，得， 又四边形的面积为12， 故， 解得或， 又图象分布在第二，第四象限， 故， 故答案为：． 知识点05：用待定系数法求反比例函数的表达式 反比例函数仅有一个待定系数，故只需一组、的对应值即可求解，步骤为： 设：根据题意，设反比例函数的表达式为（为常数，）； 列：将一组满足条件的、对应值代入表达式，得到关于的一元一次方程； 解：解方程，求出比例系数 的值； 写：将的值代入所设表达式，写出最终的反比例函数表达式。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·陕西延安·期末）已知反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式．把代入，求出k的值，即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， 该反比例函数的解析式为． 题型01：识别反比例函数 方法技巧：紧扣反比例函数的定义和三种表达形式，关键验证两点：①比例系数；②自变量的次数为（或与的乘积为非零常数），排除含的多项式作分母的情况。 【典例1】. （25-26九年级上·河南周口·期末）下列函数中，属于反比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：反比例函数的解析式的形式为：且k为常数，， ，为一次函数，为二次函数，为反比例函数， 因而可知选项D是反比例函数，其余选项均不是反比例函数． 故选：D． 【变式1】. （25-26九年级上·陕西安康·期末）下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫作反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．为一次函数，不符合题意； B．为二次函数，不符合题意； C．是反比例函数，符合题意； D．为正比例函数，不符合题意． 故选C． 【变式2】. （25-26九年级上·山东日照·月考）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的识别，根据形如（为常数，且）的函数是反比例函数进行判断即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：① 是反比例函数； ② ，是反比例函数； ③ ，是反比例函数； ④，即，是反比例函数； ⑤ 不是反比例函数； ⑥不是反比例函数； ∴是的反比例函数的有①②③④，共个， 故选：． 【变式3】. （25-26九年级上·四川成都·月考）下列各函数中，反比例函数有（ ） ①，②，③，④，⑤，⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；反比例函数定义为形如（k为常数且）的函数，逐一判断各函数是否符合此形式． 【详解】解：∵反比例函数形式为（k为常数且）， ①为常数函数，不符合； ②是反比例函数，符合； ③是反比例函数，符合； ④含常数项，不符合； ⑤指数不为1，不符合； ⑥由可变形为，是反比例函数，符合； ∴反比例函数有②、③、⑥，共3个； 故选C． 题型02：利用反比例函数定义求参数 方法技巧：根据定义列双重条件：①自变量的指数满足（形如）；②比例系数，联立求解并验证。 【典例2】. （25-26九年级上·河南安阳·月考）若是反比例函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是做题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：3． 【变式1】. （25-26九年级上·广东佛山·期中）反比例函数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数解析式的一般步骤是解题的关键．根据反比例函数的定义，函数中的为比例系数，据此求解． 【详解】解：反比例函数可化为， 因此比例系数． 故答案为． 【变式2】. （25-26九年级上·河南安阳·期末）若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键． 反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，据此对选项进行判断． 【详解】解：反比例函数的标准形式为或，其中为常数且， ∵是反比例函数，， ∴． 故选：． 【变式3】. （25-26九年级上·内蒙古包头·月考）已知函数是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义：一般形式转化为的形式．根据反比例函数的定义，则且即可求解． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 题型03：判断反比例函数图象所在象限 方法技巧：直接根据比例系数的符号判断：时，图象在第一、三象限；时，图象在第二、四象限；若含参数，先根据条件求参数范围，再判断的符号。 【典例3】. （25-26九年级上·广东江门·期末）当时，反比例函数的图象在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据比例系数的正负判断函数图象所在的象限，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数的图象位于第一、三象限， ∵， ∴ 当时，，因此图象在第一象限． 故选：A． 【变式1】. （25-26九年级上·河南周口·期末）写出一个图象经过第一、三象限的反比例函数解析式： （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．熟悉反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，当反比例函数，时，图象经过第一、三象限． 【详解】解：反比例函数的一般形式为（），其图象是双曲线， 当时，双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限， ∴只需令，如，则函数解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】. （25-26九年级上·四川广安·月考）反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：C． 【变式3】. （25-26九年级上·甘肃武威·月考）反比例函数（为常数，且）的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限； 故选C． 题型04：利用反比例函数的增减性比较函数值大小 方法技巧：①先判断点是否在同一象限，同一象限根据的符号用增减性比较；②不同象限先判断函数值的正负（第一、三象限与同号，第二、四象限异号），再比较大小；也可直接代入求值比较。 【典例4】. （25-26九年级上·广东惠州·期末）已知点均在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的性质．分别把各点的横坐标代入反比例函数求出、、的值，再比较出其大小即可． 【详解】解：∵点均在反比例函数的图象上， ∴ 故选：C． 【变式1】. （25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知、均在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 首先判断出反比例函数图象在第二，四象限，然后由得到，进而求解即可． 【详解】解：∵点，是反比例函数的图像上的两点， ∵ ∴反比例函数图象在第二，四象限 ∵ ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴的值不确定，． 故选：D． 【变式2】. （25-26九年级上·河南周口·期末）若点、、都在反比例函数 的图象上，则、、的大小关系为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当时，函数图象在第二象限和第四象限，在每个象限y随x的增大而增大，点 在第二象限，；点和在第四象限，，则，即可得解． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象在第二象限和第四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵、、，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】. （25-26九年级上·湖北襄阳·期末）若反比例函数的图象经过点，则下列各点在它的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 先将已知点代入反比例函数解析式求出的值，再根据反比例函数的性质，判断各选项点的横纵坐标乘积是否等于，进而选出正确选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将点代入解析式得， ∴， ∴该反比例函数满足． A．： ，点不在该函数图象上； B．：，点在该函数图象上； C．：，点不在该函数图象上； D．：，点不在该函数图象上； 故选：B． 题型05：用待定系数法求反比例函数的表达式 方法技巧：①若已知图象上一点，直接代入得；②若已知、的一组对应值，用乘积形式求更简便，最后写成规范形式。 【典例5】. （24-25八年级上·上海·期末）正比例函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，解题关键是掌握待定系数法求解函数解析式． 依据题意，将A代入，求出a，再通过待定系数法可以得解． 【详解】解：将代入得， ∴点A坐标为． 将代入得， ∴反比例函数解析式为． 【变式1】. （25-26九年级上·陕西咸阳·月考）若反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的解析式求解，用待定系数法求未知参数是解题关键． 将点的坐标代入反比例函数解析式，求出参数的值，从而得到函数表达式． 【详解】解：将点代入， 可得：， 解得，则， 故反比例函数的表达式为． 故答案为：． 【变式2】. （25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知反比例函数（m为常数）的图象经过点，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．根据题意，把点代入反比例函数解析式，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 【变式3】. （2025·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握相关方法和性质． （1）将已知点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，进而得到函数表达式； （2）根据反比例函数性质判断函数在不同象限的增减性，再比较各点纵坐标大小． 【详解】（1）解：把点代入， 得， 解得． 所以反比例函数表达式为． （2）解：对于反比例函数， ∵， 所以在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点在第三象限， 所以； 点，在第一象限，，所以． 所以． 题型06：利用的几何意义求图形面积 方法技巧：紧扣核心结论：过双曲线上一点作坐标轴的垂线，所得矩形面积为，所得直角三角形面积为；若为组合图形，利用割补法转化为矩形或三角形求解。 【典例6】. （25-26九年级上·福建三明·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点在反比例函数的图象上，则矩形的面积为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．设，则，根据反比例函数的定义得，根据矩形的性质即可求出面积． 【详解】解：设，则， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为：3 【变式1】. （25-26九年级上·北京平谷·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的判定和性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，矩形的判定和性质是解决问题的关键．过点作轴于点，设与轴相交于点，证明四边形，四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义得，，进而得，由此即可得出的面积． 【详解】解：过点作轴于点，设与轴相交于点，如图所示： ， 轴， ， ， ， ，， 四边形，四边形和四边形都是矩形， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， ， ． 故答案为：． 【变式2】. （25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，是反比例函数在第三象限图象上一点，过点向轴作垂线，垂足为B，C为轴正半轴上一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，即可得到结果． 【详解】解：连接，如图， ∵轴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式3】. （25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为．若，则的值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求各个阴影的面积表达式是解题的关键．由点，，，它们的横坐标依次为1，3，6，得，，，由，可求出k的值，进而求出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 题型07：利用的几何意义求的值 方法技巧：先根据几何图形面积求出，再结合双曲线所在的象限确定的正负；若图象在第一、三象限，；在第二、四象限，。 【典例7】. （25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点与轴垂直的直线交轴于点，点，在轴上，且．若四边形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义；关键是四边形面积的转换；作于，可得，则可求． 【详解】解：作于， ∵， ∴ ∵ ∴四边形、是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是函数图象上的点， ∴， 即：， ∵， ∴． 故答案为： ． 【变式1】. （24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数中比例系数k的几何意义得到，再结合反比例函数图象所在象限，得到，即可确定 k的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为2， ， 反比例函数图象在第二、四象限， ， ， 故答案为： 【变式2】. （25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，点在反比例函数（为常数，且）的图象上，过点作轴于点，点为的中点，连接、，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的结合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征及三角形面积公式是解题的关键． 先设点的坐标，利用点是中点表示出的长度，再结合三角形面积公式求出的值，最后根据反比例函数的几何意义（结合的符号）确定的值． 【详解】解：设点的坐标为（，）， ∵ 轴于点， ∴ ，， ∵ 点为的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ 点在反比例函数上， ∴ ， ∴ ， 故答案为： 【变式3】. （25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，且的面积是2，则 ． 【答案】4 【分析】根据中点的意义，三角形面积，反比例函数k的几何意义，解答即可． 本题考查了三角形中线的性质、反比例函数的几何意义等知识点，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：由点是的中点， 得， 故， 故， 由的面积是2， 故， 故， 解得或（舍去）， 故， 故答案为：4． 题型08：反比例函数与一次函数的图象共存问题 方法技巧：①先根据一次函数的图象确定、的符号（如直线过一、三、四象限，则，）；②计算反比例函数的比例系数（如），判断其符号；③匹配两者的图象特征，符号一致则为正确选项。 【典例8】. （25-26九年级上·山东淄博·期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数及反比例函数结合问题，一次函数和反比例函数图象及性质等．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A、由函数的图象得：，由函数的图象得：，符合，故本选项符合题意； B、由函数的图象得：，由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； D、由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：A 【变式1】. （24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的综合判断，根据反比例函数与一次函数的图象，进行判断即可． 【详解】解：当时，则：，故双曲线过一，三象限，直线过一，三，四象限； 当时，则：，故双曲线过二，四象限，直线过一，二，四象限； 故符合题意是只有选项D； 故选D． 【变式2】. （25-26九年级上·广东清远·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数、反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：若，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限； 若，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限． 故选：A． 【变式3】. （25-26九年级上·广东江门·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象及性质和一次函数图象及性质，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； C．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意； D．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型09：反比例函数与不等式（含与一次函数结合） 方法技巧：与一次函数结合：先求两函数交点横坐标，数形结合“图象在上方的函数值大”，划分的取值区间（含的限制）。 【典例9】. （25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)和 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴ 把代入中得，解得； ∴， 把A、代入到中得：，解得：， ∴； （2）解：由图象可知，不等式的解集为：和． 【变式1】. （25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．则满足不等式的的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，直接利用图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，不等式的的取值范围是或； 故答案为：或 【变式2】. （25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知反比例函数 与一次函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式 的解集 ． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查的是反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式和数形结合是解题的关键． （1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，然后利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）求解，结合，，，再进一步求解即可. （3）不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：， ∴， 把，代入得：， ∴， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵记的图象与轴的交点为， 当时，， ∴， ∵，， ∴. （3）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 【变式3】. （25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与轴的交点的坐标及的面积； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． (4)点为轴上的一点，连接，若，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)点；6 (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，把的坐标代入反比例函数解析式求得的值，从而求得反比例函数解析式，然后把的坐标代入的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）依据题意，求得与轴的交点，然后根据三角形的面积公式求解； （3）依据题意，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围就是一次函数的图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围； （4）依据题意，设，结合，及，从而，再由，从而可得，进而计算可以判断得解． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的解析式为． 在反比例函数的图象上， ． ． 经过，， ． ． 一次函数的解析式为； （2）解：是直线与轴的交点， 当时，． 点． ． ； （3）解：由图象可得：不等式的解集为：或； （4）解：设， 又， ． 又， ． 又， ． ． 或． 或． 题型10：反比例函数与一次函数的交点综合问题 方法技巧： ①求交点：联立解析式，解方程组得坐标； ②求面积：割补法，结合交点与坐标轴交点计算； ③参数探究：数形结合+分类讨论，据条件定参数范围。 【典例10】. （25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为，，与双曲线交于，两点． (1)求和的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用． （1）将代入可求得，得到，再利用待定系数法即可求得； （2）联立求得，根据列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ， 将代入得，； （2）解：解方程组， 得，， ， 对于直线，令，则， ， ． 【变式1】. （25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图象上的一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接． (1)_____，_____． (2)当时，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，准确求出函数解析式和数形结合是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点， ∴，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知反比例函数为，一次函数为， 当时，即点的横坐标为， 当时，，， ∴，， ∴的面积． 【变式2】. （25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且一次函数与轴，轴分别交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)①填空：____，_____； ②在反比例函数图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形面积的计算、函数表达式的求解，熟练掌握函数图象上点的坐标特征及利用面积公式建立方程是解题的关键． （1）先将点代入反比例函数求出，再代入点求出，最后将、两点代入一次函数求出、，从而得到两个函数的表达式． （2）①由一次函数表达式求出与轴、轴的交点、的坐标，进而得到、的长度．②先计算的面积，再根据列出关于点纵坐标的方程，结合反比例函数表达式求出点的坐标． 【详解】（1）解：， ， 解得， 反比例函数表达式为， 在上， ， ∴ ，在上， ， 解得，， 一次函数表达式为； （2）解：①一次函数与轴交于 ∴令，则 ， 解得， ∴ ， 一次函数与轴交于， 令，， ∴， ； ②，，， ， ， ， ，， ， ， 或， 在上， 当时，则， 解得， ， 当时，， 解得， ， 答：存在点，坐标为或． 【变式3】. （25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与该反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的有整点__________个； ②若区域内恰有3个整点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)①4；②或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据新定义，画出图象进行判断即可； ②分直线在上方和直线在下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∴； （2）①当时，如图 有，共4个整点； ②当直线在上方时，如图： 当过点时，此时有2个整点，此时，解得； 当过点时，此时有3个整点，此时，解得； 故当时，满足题意； 当直线在下方时，如图： 当过点时，此时有3个整点，此时，解得； 当过点时，此时有2个整点，此时，解得； 故当时，满足题意； 综上：或． 题型11：反比例函数的实际应用 方法技巧：①找出问题中的常量和变量，确定两者成反比例关系；②设出函数表达式，根据已知条件求出；③根据函数表达式解决实际问题，注意自变量的取值范围需符合实际意义。 【典例11】. （25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 （1）．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． （2）．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． （3）．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 【变式1】. （2025·重庆永川·模拟预测）如图， 在矩形中，， 点P从点 C 出发， 沿折线运动， 当它到达点 A时停止运动．点E为射线上一动点， 点F为边上一动点，的长度为点 P 运动路程的一半且， 的面积为2，设点 P的运动路程为，的面积记为， BE的长记为 (1)请直接写出分别关于x的函数表达式， 并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中，画出， 的图象， 并写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出不等式成立时x的取值范围 【答案】(1)； (2)见解析，当时，取到最大值4 (3) 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数与不等式之间的关系：准确画出图象是解答本题的关键． （1）根据题意得到，利用求解即可得到，根据的长度为点P运动路程的一半且的面积为2列式即可得到； （2）填表，描点，连线即可得到答案；根据（1）的解析式及函数的性质写性质即可得到答案； （3）根据图象上下位置关系及交点直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵点P运动路程为x， ∴， 当点P在上时，即：， ， 当点P在上时，即：， ， ∵的面积为2， ∴， ∴；； （2）解：列表得 x … 1 2 3 4 5 … … 2 4 3 2 1 … … 8 4 2 1.6 … 描点，连线得， ； 性质1：当时，取到最大值4； 性质2：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； （3）解：由图象可得，在时，的图象在上方， ∴不等式成立时x的取值范围为：． 【变式2】. （2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 【变式3】. （24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 题型12：反比例函数的综合计算 方法技巧：①用割补法将不规则图形的面积转化为几个规则图形（三角形、矩形）的面积和/差；②结合反比例函数的性质和的几何意义，列方程求解参数；③验证结果是否符合图象特征和实际条件。 【典例12】. （25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ）①②③ A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数与一次函数图象交点问题．过点A作轴，过点B作轴，得到矩形，将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ， ， 点，在函数图象上， ， ， 故选：B． 【变式1】. （25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、 点． (1)求一次函数的解析式及 面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点 坐标轴上的一点，且满足的面积等于 面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，4 (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点、的坐标代入反比例函数解析式，即可得出、的值，从而得出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析会，计算出直线与轴、轴的交点坐标为、，再由三角形的面积公式即可得解； （2）由，，再结合函数图象即可得解； （3）由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， 将与坐标代入反比例解析式得：，， 、， 代入一次函数解析式得： ， 解得：，， 则一次函数的解析式为， 当时，，当时，则， 解得， ∴直线与轴、轴的交点坐标为、， ∴； （2）解：∵，， ∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或； （3）解：∵， ∴， 设，即， ， ∴， 解得：或， ∴，， 同理可得：，， 综上所述，点的坐标为，，，． 【变式2】. （25-26九年级上·宁夏银川·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）将反比例函数图象上的点的坐标代入其解析式即可； （2）先求出一次函数的解析式，再进而得到与轴的交点坐标，最后通过三角形的面积公式即可求出答案； （3）先设，再根据等腰三角形的判定与性质，分情况讨论即可求值． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点， 将代入得，， 解得，， 反比例函数的解析式为． （2）解：根据题意将代入得，， ． 将和分别代入得， ， 解得，， 一次函数的解析式为， 当时，即， 解得，， ， ， ． （3）解：存在． 设， ， ，，， 当时，， ， 解得，或， ，； 当时，， ， 解得，或（不符合题意，舍去）， ； 当时， ， 解得，， ． 综上，在轴上存在一点P，使得是等腰三角形；点P的坐标为，，，． 【变式3】. （25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）【概念感知】 定义：已知是关于自变量x的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”；函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”． 【概念理解】 （1）求函数的“倍差函数”的函数表达式； （2）在（1）的条件下，求函数的等距点的坐标； 【概念应用】 （3）如图1，点，在反比例函数和的“倍差函数”上，点C是函数的“等距点”，直线交坐标轴于点M、N．连接． ①求函数和的函数表达式； ②求的面积； ③如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【答案】（1）；（2）函数的等距点的坐标为；（3）①，；②；③点E的坐标为或． 【分析】（1）根据“倍差函数”的定义求解即可； （2）根据“等距点”的定义列式，据此求解即可； （3）①根据“倍差函数”的定义即可求得；根据题意得到，解方程组即可求解； ②先求得点的坐标和点M的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； ③设点E的坐标为，用含m的式子表示出，然后利用建立关于m的方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：（1）由题意得，； （2）由题意得，，解得， ∴函数的等距点的坐标为； （3）①∵的“倍差函数”为， ∴， ∵点，在反比例函数和的“倍差函数”上， ∴， ∴，，即， 解得或（舍去）， ∴点，， ∴； ②∵直线的解析式为， ∴直线与y轴的交点M的坐标为， ∴的面积； ③设点E的坐标为，则点F的坐标为 ， ∴， ∵，则当时， ∴， 解这个方程，得：， ∴点E的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 一、单选题 1．已知点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则的值是（   ） A．－5 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，理解其性质是解题的关键． 将点代入反比例函数即可求解． 【详解】解：由题意知，， 解得． 故选：B． 2．若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（    ） A．图像在第二、四象限 B．图象经过点 C．函数值随着的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 【答案】C 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图像与性质，把点代入反比例函数求出，得到函数解析式，再逐一判断选项是否正确． 【详解】解：反比例函数的图像经过点， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， A选项：， 反比例函数的图像在第二、四象限， 故A选项正确； B选项：当时，， 反比例函数的图像经过点， 故B选项正确； C选项：反比例函数中，， 函数图像经过第二、四象限，且在每个象限内数值随着的增大而增大， 故C选项不正确； D选项：反比例函数图像关于原点中心对称，故D选项正确． 故选：C． 3．如图，点是反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，则的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解此题的关键．由题意得，再根据反比例函数的图象在第二象限，即可得出． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：． 4．在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的解析式． 将点 代入即可得到答案． 【详解】解：设电流与电阻的函数解析式为， 将 代入得，， ． 故选：D． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式 的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数、一次函数的交点坐标与不等式解集之间的关系，先求出反比例函数解析式，进而求出点M的横坐标，然后结合图象进行判断即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， 把代入得， 解得， ∴不等式 的解集为或， 故选：A． 二、填空题 6．已知点在反比例函数上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，正确运用待定系数法是解决问题的关键．由点在反比例函数图象上，可求出比例系数，再代入点坐标求即可． 【详解】∵点在反比例函数上， ∴，解得． ∴反比例函数解析式为． ∵点在函数图象上， ∴． 故答案为：． 7．已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，若，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，求反比例函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 由点在反比例函数图象上，求得，再根据反比例函数的增减性求解． 【详解】解：将点代入反比例函数， 得， 解得：， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：>． 8．已知反比例函数的图象经过点，则其图象在 象限． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，，当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，正确掌握该性质是解题的关键．用待定系数法求出k的值，根据反比例函数的性质判断其图象所在的象限即可． 【详解】解：将点代入得，解得：， 因为，所以的图象在二、四象限． 故答案为：二、四． 9．已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，反比例函数的性质，根据题意可得函数图象分别在第二、四象限，则在每个象限内y随x增大而增大，据此可得当时，，利用待定系数法求出函数解析式，再根据增减性可得当时，且当时，函数有最小值，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，y的最大值是6， ∴，即函数图象分别在第二、四象限， ∴在每个象限内y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，则当时，函数有最小值，最小值为， 故答案为：． 10．如图，已知A，B两点在双曲线上，A、B两点关于O点对称，垂直于y轴于C点，若的面积为6，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，利用面积求反比例函数参数，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 关于原点对称得出相等的线段，求出，然后根据直角三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵A、B两点关于O点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∵垂直于y轴， ∴， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．已知反比例函数的图像位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若图像经过点，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． （1）根据函数图象在第二、四象限，可得，求出k的取值范围即可； （2）根据图象经过点，求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， ； （2）解：图象经过点， ， ， ， 当时，， 而当时随的增大而增大， 的取值范围是：． 12．如图，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点，，且点的横坐标为2，点的纵坐标为，过点作轴于点，的面积为4． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与轴交于点，求的度数． 【答案】(1)反比例函数为；一次函数的解析式为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的性质； （1）由的面积为，点的横坐标为，求点的纵坐标，确定反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求点坐标，待定系数法求一次函数解析式； （2）由一次函数解析式求点坐标，进而得出是等腰直角三角形，求的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵点的横坐标为2，轴于点，则， ∴，即， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴， 设直线解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴； （2）由直线可知，， 则， 又∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴． 13．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求的值及点B的坐标； (2)结合图象，请直接写出当时，不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，反比例函数与不等式问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数与不等式问题是关键． （1）点代入求解，即可求出的值；由反比例函数的图象关于原点中心对称，即可求得点B的坐标； （2）根据点A的坐标，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图像过点， ， 解得， 反比例函数的图象关于原点中心对称， 点A与点B关于原点对称， ； （2）解：结合函数图象可知，此时． 14．一场暴雨过后，一水池存有一定量的雨水，全部排完雨水所需时间（分钟）与排水量（立方米/分）之间成反比例函数关系，已知当排完全部雨水所需时间为8分钟时，每分钟的排水量为立方米． (1)求全部排完雨水所需时间与排水量之间的函数解析式； (2)当排水量为4立方米/分时，全部排完雨水所需的时间为多少分钟？ 【答案】(1)（）； (2)5 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的定义、解析式的确定及代入求值是解题的关键． （1）根据题意，时间与排水量成反比例函数关系，可设函数解析式为（）．将已知的、代入解析式，即可求出的值，进而确定函数解析式． （2）将代入（1）中求得的函数解析式，计算对应的值即可． 【详解】（1）解：设（）， ∵当时，， ∴， ∴， ∴（）； （2）解：∵，， ∴， 答：全部排完雨水所需的时间为分钟． 15．综合与实践 【知识背景】（杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】 第一步：在一根长度为50cm的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为的长为． （1）关于的函数解析式是___________； （2）若，则的取值范围是___________． 任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为的长为，完成下列问题： （3）求关于的函数解析式； 任务三：如图4，在离左侧末端5cm处确定第二个支点，现有两个秤砣分别为、可用，现有重物约，小明该如何选用支点、支点和秤砣来称量重物是否正好为． 【答案】任务一：（1）；（2）；任务二：（3）；任务三：选择支点Q和秤砣来秤重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是 【分析】（1）设重物的质量为的长为．由题意可得，，即可得到答案； （2）根据y的范围即可求得x的范围； （3）由题意可得，，即可求出关系式； 任务三：根据题意分别选择支点O和Q计算，然后求解即可． 【详解】（1）设重物的质量为的长为． 由题意可得，， 则 ∴； （2）∵ ∴ ∴； （3）由题意可得，， 则 ∴ ∴； 任务三：如图所示， ∵在离左侧末端5cm处确定第二个支点， ∴ ∵， ∴， ∵现有重物约 ∴如果用支点O，则 如果用支点Q，则 ∴可以向左移动点B， ∴ ∴ ∴选择支点Q和秤砣来称重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.4 反比例函数 教学目标 1.理解反比例函数的概念，能准确识别反比例函数，掌握其三种表达形式。 2.会用描点法画出反比例函数的图象，掌握双曲线的基本特征和对称性。 3.理解反比例函数的性质，能根据的符号判断图象所在象限和增减性。 4.理解反比例函数中的几何意义，能利用其求图形面积或的值。 5.会用待定系数法求反比例函数的表达式，能运用反比例函数解决简单的实际问题。 教学重难点 重点 1.反比例函数的概念及三种表达形式。 2.反比例函数的图象特征和性质（根据判断象限、增减性）。 3.反比例函数中的几何意义及其简单应用。 4.用待定系数法求反比例函数的表达式。 难点 1.理解反比例函数增减性的前提条件（分象限讨论，不能跨象限）。 2.反比例函数中的几何意义在几何图形综合题中的应用。 3.反比例函数与一次函数的图象共存判断及交点问题求解。 4.将实际问题转化为反比例函数模型，确定自变量的实际取值范围。 知识点01：反比例函数的概念 1.定义：一般地，形如 （是常数，）的函数叫作反比例函数，为 。 2.自变量取值范围：自变量的取值范围是不等于0的一切实数，因变量也不为0。 3.三种表达形式（为常数，）： 分式形式：； 乘积形式：； 负指数形式：。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·陕西延安·期末）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点02：反比例函数的图象 1.图象名称：反比例函数（）的图象是 ，有两个分支。 2.图象画法（描点法）： (1)列表：在原点两侧取三对及以上 的值，求出对应值； (2)描点：以表中、对应值为坐标，在平面直角坐标系中 ； (3)连线：用光滑的曲线依次连接各点并延伸，曲线无限接近坐标轴但 。 3.图象的核心特征： (1)对称性：既是中 （对称中心为坐标原点），也是 （对称轴为直线和）； (2)分支特征：两个分支相互断开，关于 ； (3)与坐标轴关系：因、均不为0，图象与轴、轴无交点； (4)实际问题中：受自变量取值范围限制，图象可能仅为双曲线的一个分支。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·河北张家口·月考）反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 知识点03：反比例函数的性质 反比例函数的性质由比例系数的符号决定，核心性质如下表（）： 的符号 图象所在象限 函数增减性 第一、三象限 在每一个象限内，随的 第二、四象限 在每一个象限内，随的 注意：描述增减性时，必须注明“ ”，不能笼统表述。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·广东茂名·期末）关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时， D．当时，随的增大而增大 知识点04：反比例函数中的几何意义 过双曲线（）上任意一点作轴于，轴于，核心结论： 矩形的面积：； 三角形（或）的面积：； 注意事项：利用面积求时，需结合图象所在象限确定的 ；若已知面积为，则 （三角形）或 （矩形）。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，已知点C为反比例函数图象上的一点，过点C向坐标轴引垂线，轴，轴，垂足分别为A、B，如果四边形的面积为12，则k的值为 ． 知识点05：用待定系数法求反比例函数的表达式 反比例函数仅有一个待定系数，故只需一组、的对应值即可求解，步骤为： 设：根据题意，设反比例函数的表达式为（为常数，）； 列：将一组满足条件的、对应值代入表达式，得到关于的一元一次方程； 解：解方程，求出比例系数 的值； 写：将的值代入所设表达式，写出最终的反比例函数表达式。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·陕西延安·期末）已知反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的解析式． 题型01：识别反比例函数 方法技巧：紧扣反比例函数的定义和三种表达形式，关键验证两点：①比例系数；②自变量的次数为（或与的乘积为非零常数），排除含的多项式作分母的情况。 【典例1】. （25-26九年级上·河南周口·期末）下列函数中，属于反比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26九年级上·陕西安康·期末）下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26九年级上·山东日照·月考）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】. （25-26九年级上·四川成都·月考）下列各函数中，反比例函数有（ ） ①，②，③，④，⑤，⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02：利用反比例函数定义求参数 方法技巧：根据定义列双重条件：①自变量的指数满足（形如）；②比例系数，联立求解并验证。 【典例2】. （25-26九年级上·河南安阳·月考）若是反比例函数，则 ． 【变式1】. （25-26九年级上·广东佛山·期中）反比例函数的值是 ． 【变式2】. （25-26九年级上·河南安阳·期末）若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26九年级上·内蒙古包头·月考）已知函数是反比例函数，则的值为 ． 题型03：判断反比例函数图象所在象限 方法技巧：直接根据比例系数的符号判断：时，图象在第一、三象限；时，图象在第二、四象限；若含参数，先根据条件求参数范围，再判断的符号。 【典例3】. （25-26九年级上·广东江门·期末）当时，反比例函数的图象在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】. （25-26九年级上·河南周口·期末）写出一个图象经过第一、三象限的反比例函数解析式： （写一个即可）． 【变式2】. （25-26九年级上·四川广安·月考）反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．无法判断 【变式3】. （25-26九年级上·甘肃武威·月考）反比例函数（为常数，且）的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 题型04：利用反比例函数的增减性比较函数值大小 方法技巧：①先判断点是否在同一象限，同一象限根据的符号用增减性比较；②不同象限先判断函数值的正负（第一、三象限与同号，第二、四象限异号），再比较大小；也可直接代入求值比较。 【典例4】. （25-26九年级上·广东惠州·期末）已知点均在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】. （25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知、均在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26九年级上·河南周口·期末）若点、、都在反比例函数 的图象上，则、、的大小关系为 ． 【变式3】. （25-26九年级上·湖北襄阳·期末）若反比例函数的图象经过点，则下列各点在它的图象上的是（    ） A． B． C． D． 题型05：用待定系数法求反比例函数的表达式 方法技巧：①若已知图象上一点，直接代入得；②若已知、的一组对应值，用乘积形式求更简便，最后写成规范形式。 【典例5】. （24-25八年级上·上海·期末）正比例函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 【变式1】. （25-26九年级上·陕西咸阳·月考）若反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的表达式为 ． 【变式2】. （25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知反比例函数（m为常数）的图象经过点，求m的值． 【变式3】. （2025·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由． 题型06：利用的几何意义求图形面积 方法技巧：紧扣核心结论：过双曲线上一点作坐标轴的垂线，所得矩形面积为，所得直角三角形面积为；若为组合图形，利用割补法转化为矩形或三角形求解。 【典例6】. （25-26九年级上·福建三明·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点在反比例函数的图象上，则矩形的面积为 ． 【变式1】. （25-26九年级上·北京平谷·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点，则的面积为 ． 【变式2】. （25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，是反比例函数在第三象限图象上一点，过点向轴作垂线，垂足为B，C为轴正半轴上一点，连接，，则的面积为 ． 【变式3】. （25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为．若，则的值为 ． 题型07：利用的几何意义求的值 方法技巧：先根据几何图形面积求出，再结合双曲线所在的象限确定的正负；若图象在第一、三象限，；在第二、四象限，。 【典例7】. （25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点与轴垂直的直线交轴于点，点，在轴上，且．若四边形的面积为，则的值为 ． 【变式1】. （24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为2，则的值为 ． 【变式2】. （25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，点在反比例函数（为常数，且）的图象上，过点作轴于点，点为的中点，连接、，若，则的值为 ． 【变式3】. （25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，且的面积是2，则 ． 题型08：反比例函数与一次函数的图象共存问题 方法技巧：①先根据一次函数的图象确定、的符号（如直线过一、三、四象限，则，）；②计算反比例函数的比例系数（如），判断其符号；③匹配两者的图象特征，符号一致则为正确选项。 【典例8】. （25-26九年级上·山东淄博·期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26九年级上·广东清远·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26九年级上·广东江门·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型09：反比例函数与不等式（含与一次函数结合） 方法技巧：与一次函数结合：先求两函数交点横坐标，数形结合“图象在上方的函数值大”，划分的取值区间（含的限制）。 【典例9】. （25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【变式1】. （25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．则满足不等式的的取值范围是 ． 【变式2】. （25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知反比例函数 与一次函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式 的解集 ． 【变式3】. （25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与轴的交点的坐标及的面积； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． (4)点为轴上的一点，连接，若，请求出点的坐标． 或． 题型10：反比例函数与一次函数的交点综合问题 方法技巧： ①求交点：联立解析式，解方程组得坐标； ②求面积：割补法，结合交点与坐标轴交点计算； ③参数探究：数形结合+分类讨论，据条件定参数范围。 【典例10】. （25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为，，与双曲线交于，两点． (1)求和的值； (2)求的面积． 【变式1】. （25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图象上的一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接． (1)_____，_____． (2)当时，求的面积． 【变式2】. （25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且一次函数与轴，轴分别交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)①填空：____，_____； ②在反比例函数图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3】. （25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与该反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的有整点__________个； ②若区域内恰有3个整点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 题型11：反比例函数的实际应用 方法技巧：①找出问题中的常量和变量，确定两者成反比例关系；②设出函数表达式，根据已知条件求出；③根据函数表达式解决实际问题，注意自变量的取值范围需符合实际意义。 【典例11】. （25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 （1）．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． （2）．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． （3）．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【变式1】. （2025·重庆永川·模拟预测）如图， 在矩形中，， 点P从点 C 出发， 沿折线运动， 当它到达点 A时停止运动．点E为射线上一动点， 点F为边上一动点，的长度为点 P 运动路程的一半且， 的面积为2，设点 P的运动路程为，的面积记为， BE的长记为 (1)请直接写出分别关于x的函数表达式， 并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中，画出， 的图象， 并写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出不等式成立时x的取值范围 x … 1 2 3 4 5 … … 2 4 3 2 1 … … 8 4 2 1.6 … 【变式2】. （2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【变式3】. （24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 题型12：反比例函数的综合计算 方法技巧：①用割补法将不规则图形的面积转化为几个规则图形（三角形、矩形）的面积和/差；②结合反比例函数的性质和的几何意义，列方程求解参数；③验证结果是否符合图象特征和实际条件。 【典例12】. （25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ） A． B．3 C． D．4 【变式1】. （25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、 点． (1)求一次函数的解析式及 面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点 坐标轴上的一点，且满足的面积等于 面积的倍，直接写出点的坐标． 【变式2】. （25-26九年级上·宁夏银川·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3】. （25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）【概念感知】 定义：已知是关于自变量x的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”；函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”． 【概念理解】 （1）求函数的“倍差函数”的函数表达式； （2）在（1）的条件下，求函数的等距点的坐标； 【概念应用】 （3）如图1，点，在反比例函数和的“倍差函数”上，点C是函数的“等距点”，直线交坐标轴于点M、N．连接． ①求函数和的函数表达式； ②求的面积； ③如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 一、单选题 1．已知点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则的值是（   ） A．－5 B．5 C． D． 2．若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（    ） A．图像在第二、四象限 B．图象经过点 C．函数值随着的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 3．如图，点是反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，则的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 4．在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（　　） A． B． C． D． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式 的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 二、填空题 6．已知点在反比例函数上，则 ． 7．已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，若，则 ．（填“”“”或“”） 8．已知反比例函数的图象经过点，则其图象在 象限． 9．已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为 ． 10．如图，已知A，B两点在双曲线上，A、B两点关于O点对称，垂直于y轴于C点，若的面积为6，则 ． 三、解答题 11．已知反比例函数的图像位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若图像经过点，当时，求的取值范围． 12．如图，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点，，且点的横坐标为2，点的纵坐标为，过点作轴于点，的面积为4． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与轴交于点，求的度数． 13．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求的值及点B的坐标； (2)结合图象，请直接写出当时，不等式的解集． 14．一场暴雨过后，一水池存有一定量的雨水，全部排完雨水所需时间（分钟）与排水量（立方米/分）之间成反比例函数关系，已知当排完全部雨水所需时间为8分钟时，每分钟的排水量为立方米． (1)求全部排完雨水所需时间与排水量之间的函数解析式； (2)当排水量为4立方米/分时，全部排完雨水所需的时间为多少分钟？ 15．综合与实践 【知识背景】（杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】 第一步：在一根长度为50cm的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为的长为． （1）关于的函数解析式是___________； （2）若，则的取值范围是___________． 任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为的长为，完成下列问题： （3）求关于的函数解析式； 任务三：如图4，在离左侧末端5cm处确定第二个支点，现有两个秤砣分别为、可用，现有重物约，小明该如何选用支点、支点和秤砣来称量重物是否正好为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $