专题07反比例函数同步讲义（知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题07反比例函数同步讲义 【题型01 用反比例函数描述数量关系】..............................4 【题型02 由定义判断是否是反比例函数】............................5 【题型03 由反比例函数的定义求参数】..............................7 【题型04 求反比例函数值】........................................9 【题型05 已知反比例函数的图象.判断其解析式】.....................11 【题型06 由反比例函数对称性求点坐标】...........................14 【题型07 由双曲线象限分布求参数范围】...........................16 【题型08 判断反比例函数增减性】.................................18 【题型09判断反比例函数图象所在象限】........................20 【题型10 由反比例函数增减性求参数】.............................22 【题型11 比较反比例函数值或自变量大小】.........................24 【题型12 由比例系数求特殊图形面积】.............................26 【题型13 由图形面积求比例系数】.................................28 【题型14 求反比例函数解析式】...................................32 【题型15 一次函数与反比例函数图象综合判断】.....................35 【题型16 一次函数与反比例函数交点问题】.........................37 【题型17 一次函数与反比例函数其他综合应用】.....................40 【解答题6题】...................................................44 ★知识梳理★ 知识点01:反比例函数的概念 1.定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数。 2.等价表达式（核心变形，判断依据） y=kx−1（自变量 x 的指数为 −1，k0） xy=k（x 与 y 的乘积为定值 k，k0） 3.取值范围 自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 4.判断方法 紧扣定义：① 形式为 ​；② k0；③ 自变量 x 次数为 −1。 知识点02:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） (1)列表：选取 x0 的多组对应值，正负值均取，计算 y。 (2)描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 (3)连线：用平滑曲线连接各点，注意两个分支不相连，且无限靠近坐标轴但永不相交。 知识点03:反比例函数的性质（核心考点） 比例系数 k 的符号 图象所在象限 增减性（关键：在每个象限内） 对称性 k>0 第一、三象限 y 随 x 的增大而减小 1. 中心对称：关于原点对称；2. 轴对称：关于直线 y=x、y=−x 对称 k<0 第二、四象限 y 随 x 的增大而增大 1. 中心对称：关于原点对称；2. 轴对称：关于直线 y=x、y=−x 对称 易错提醒：增减性必须强调 “在每个象限内”，跨象限不成立。 知识点04:比例系数 k 的几何意义（难点 + 高频考点） 过反比例函数 y= 图象上任意一点 P(x,y)，分别作 x 轴、y 轴的垂线： 1.与坐标轴围成的矩形面积 S=∣xy∣=∣k∣ 2.与坐标轴围成的直角三角形面积 S=∣k∣ 结论：面积只与 ∣k∣ 有关，与点的位置、k 正负无关。 知识点05:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 (1)设解析式：y=(k0) (2)代入：将已知点 (x0​,y0​) 代入，得 k=x0y0​ (3)回代：写出确定的解析式 知识点06:实际应用（建模） 从实际问题中抽象出反比例函数模型， 步骤： 1.分析变量，确定自变量与函数 2.依据题意列等量关系，转化为 y= 形式 3.确定 k 值，明确自变量取值范围 4.利用图象与性质解决实际问题（如最值、方案选择） 【题型1.用反比例函数描述数量关系】 【典例】王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．正确求出反比例函数解析式是解题关键． 根据糖果的总数不变来列式． 【详解】解：由题意得：，即． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 【跟踪专练3】已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点， ∴ k =3×1=3， A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； B 、1×=≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； C 、×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； D 、6×=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确， 故选： D． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 【题型2.由定义判断是否式反比例函数】 【典例】水池内有水，水流经过排水管的时间与水池每小时流出的水量之间的关系是______比例关系．（填“正”或“反”） 【答案】反 【分析】本题主要考查了了反比例函数的定义， 根据题意得出关系式，再根据关系式得出答案. 【详解】解：根据题意，得，即， 所以水流经过排水管的时间与水池每小时流出的水量之间的关系是反比例函数关系. 故答案为：反. 【跟踪专练1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A．，y是的反比例函数，故此选项不合题意； B．，得，y是x的反比例函数，故此选项符合题意． C．，不是的反比例函数，故此选项不合题意； D．，则，y不是x的反比例函数，故此选项不合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 【跟踪专练3】下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C．y＝5x+6 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义判断即可； 【详解】中，的次数是2，不符合题意，故A错误； 是正比例函数，故B不符合题意； y＝5x+6是一次函数，故C不符合题意； 是反比例函数，故D正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。准确分析判断是解题的关键． 【题型3.由反比例函数的定义求参数】 【典例】若是反比例函数，则_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是做题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：3． 【跟踪专练1】若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键． 反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，据此对选项进行判断． 【详解】解：反比例函数的标准形式为或，其中为常数且， ∵是反比例函数，， ∴． 故选：． 【跟踪专练2】点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标乘积相等，列出方程求解，即可解题． 【详解】解：点和点是同一个反比例函数图象上的两点， 则． 化简得， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，点是反比例函数图象上一点，则，故有反比例函数解析式为，然后逐项代入即可求解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点不在该反比例函数的图象上，符合题意； 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：． 【题型4.求反比例函数值】 【典例】点在反比例函数的图像上，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，将点代入反比例函数解析式，求解m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴代入解析式得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，即反比例函数中，为定值依此判断即可． 【详解】解：反比例函数中，， A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的平行线．已知点A坐标为，结合函数图象可知，当时，的取值范围是________________．      【答案】或 【分析】根据题意，求对应直线l左侧图象函数值的取值范围． 【详解】时，对应函数图象在直线l左侧，两部分，或 故答案为：或 【点睛】本题考查反比例函数的图象，确定自变量取值范围对应的函数图象部分是解题的关键． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“可控变点”．若点是反比例函数图象上点的“可控变点”，则点的坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数上点的特征，解题关键是掌握新定义材料所讲内容，根据定义区分点P和点．分及两种情况求解． 【详解】解：点的“可控变点”所在函数解析式为：， ①当时，将代入得，， 解得， ∴， 把代入点所在解析式，得， ∴； ②当时，将代入得，， 解得． 把代入点所在解析式，得， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 故选：A 【题型5.已知反比例函数的图象,判断其解析式】 【典例】.若某个函数的图像关于原点对称，请写出一个符合上述条件的函数表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了函数的图像，解题的关键是根据所学函数的基本图像特征解答． 【详解】解：∵函数的图像关于原点对称， ∴该函数可以为反比例函数， ∴表达式可以为： 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 .D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 【跟踪专练2】如图，反比例函数的图象上有一点C，作轴，轴，交函数图象上点A，B，且，，则_____． 【答案】4 【分析】设，由，，则，，，，然后根据建立方程，得出C的横坐标和纵坐标的关系，再根据C在反比例函数，即可求出C的坐标，代入即可求得k的值． 【详解】解：设， 则，，，， ∵， ∴， ∴， 又∵C在反比例函数，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的特征，根据反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标之积为常数，列出方程是解答本题的关键． 【跟踪专练3】一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，掌握函数图象在哪个象限内与相关参数的关系是解题的关键． 先判断出一次函数与反比例函数的图象在哪个象限内，再判断出k、b的大小即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上． ∴. ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 综上所述， ． 故选C． 【题型6.由反比例函数对称性求点坐标】 【典例】若一次函数y=mx与反比例函数的图象相交于点（，2），那么该直线与双曲线的另一交点为_______． 【答案】（-，-2）/（-0.5，-2） 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（，2）， ∴另一个交点的坐标是（-，-2）， 故答案为：（-，-2）． 【点睛】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键． 【跟踪专练1】已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 【跟踪专练2】已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为_________． 【答案】（2，1） 【分析】根据点A，B关于y=x（y-x=0）的对称，求解即可 【详解】解：∵点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，OA=OB， ∴点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称， 设点（1，2）关于直线y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b） 由两点中点在直线y=x上及过两点的直线垂直直线y=x（斜率之积为-1） 可以得到：， 解得：a=2，b=1， ∴点B的坐标为（2,1） 故答案为：（2，1） 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称是解题的关键． 【跟踪专练3】反比例函数（，k为常数）的图象经过点，则它的图象还经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵，则不经过， ∵，则不经过， ∵，则经过， ∵，则不经过． 故选：C． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【题型7.由双曲线象限分布求参数范围】 【典例】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是_______（写出一个即可）． 【答案】（不唯一，满足即可） 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，理解反比例函数的图像和性质是解题的关键． 根据函数图象所在象限确定的取值范围，再取值即可． 【详解】时函数图象位于第四象限， ， 可取， 故答案为：（不唯一，满足即可）． 【跟踪专练1】已知点，都在反比例函数的图像上，且当时，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．由反比例函数的图象和性质，可得，解不等式即可得的取值范围． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，且当时，， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先根据反比例函数的增减性，判断其图象在二、四象限，得到不等式，再解不等式即可． 【详解】，， 反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得． 故选：D． 【题型8.判断反比例函数增减性】 【典例】函数的图像在每一象限内，y的值随x的增大而__________． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，图像在每一象限内，y随x增大而减小，当时，图像在每一象限内，y随x增大而增大．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的图像在每一象限内，y的值随x的增大而增大， 故答案为：增大． 【跟踪专练1】如图，反比例函数的图象经过，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴由图象可得，当时，或． 故选：B． 【跟踪专练2】对于反比例函数，以下四个结论：①函数的图象在第一、三象限；②函数的图象经过点；③y随x的增大而减小；④当时，．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①② 【分析】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数， 该函数的图象在第一、三象限， 故①正确，符合题意； 当时，，即函数的图象经过点， 故②正确，符合题意； 在每个象限内，y随x的增大而减小， 故③错误，不符合题意； 当时，，当时，， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②． 【跟踪专练3】已知点，在反比例函数（，k为常数）的图象上，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，分和两种情况，根据反比例函数的图象和性质解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时， ∵，且， ∴当时，，则； 当时，，则， ∴，则， ∴； 当，反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时， ∵，且， ∴当时，，则， 当时，，则， ∴，则； ∴； 综上，， 故选：． 【题型9.判断反比例函数图象所在象限】 【典例】写出一个图象经过第一、三象限的反比例函数解析式：______（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．熟悉反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，当反比例函数，时，图象经过第一、三象限． 【详解】解：反比例函数的一般形式为（），其图象是双曲线， 当时，双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限， ∴只需令，如，则函数解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：C． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是________________． 【答案】 【分析】时，反比例函数的图象在第一、三象限，时，反比例函数的图象在第二、四象限，再利用确定点，的位置即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 【跟踪专练3】定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 【题型10.由反比例函数增减性求参数】 【典例】已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握比例系数的符号与增减性的关系是关键．根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，函数图象在每一象限内y随x的增大而增大，由此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练2】已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质和定义，熟练掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义，指数需为，且系数需大于0以保证函数在每一象限内y随x的增大而减小． 【详解】解：由反比例函数的定义，得， 解得或， ∵图象在每一个象限内y随x的增大而减小， ∴， 当时，，满足条件， 当时， ，不满足条件， ∴， ∴函数的表达式为． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 【题型11.比较反比例函数值或自变量大小】 【典例】若点在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把两个点的坐标分别代入解析式计算出、的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知、均在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 首先判断出反比例函数图象在第二，四象限，然后由得到，进而求解即可． 【详解】解：∵点，是反比例函数的图像上的两点， ∵ ∴反比例函数图象在第二，四象限 ∵ ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴的值不确定，． 故选：D． 【跟踪专练2】已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，及0，从小到大的关系是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 由反比例函数（）的性质可知，当时，；当时，，且函数在时单调递增，根据已知条件，可判断、、与的大小关系及顺序． 【详解】解：， 当时，；当时，， 由，得，而，， 又函数在时单调递增，且， ， ． 故答案为． 【跟踪专练3】若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ， 故选：A． 【题型12.由比例系数求特殊图形面积】 【典例】如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为______． 【答案】7 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点A， 矩形的面积为 故答案为： 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点P位于第一象限，且在反比例函数的图象上．过点P作x轴垂线，垂足为Q，则的面积是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键，根据反比例函数解析式，得到，结合即可得到答案． 【详解】解：在反比例函数中， ∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点为反比例函数的图像上的一点，轴，轴，垂足分别为，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义求解即可，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为是解题的关键． 【详解】解：∵轴，轴，垂足分别为， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解： A、如图所示，分别过点M和N作轴，轴，则； B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； C、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以． ∵， ∴A中阴影部分的面积最小． 故选：A． 【题型13.由图形面积求比例系数】 【典例】如图，一条直线经过原点O，且与反比例函数相交于点A，B，过点A作轴，垂足为点C，连接．若的面积为6，则_____． 【答案】6 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即．首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段的中点，故的面积等于的面积，都等于3，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知的面积等于，从而求出k的值． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∴， ∴的面积的面积， 又∵A是反比例函数图象上的点，且轴于点C， ∴的面积|k|， ∴， ∵， ∴． 故答案为6． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图像于C，B两点，若的面积是6，则k的值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即，可求出的值． 【详解】解：如图所示：连接、， 轴， ， ， 又的面积是6， ， ， 又图像在第二象限， ． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点A在函数的图像上，点B在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，过点A作轴，设点，可得出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：过点A作轴，设点， ∵， ∴， ∴点， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵的面积为6， ∴， 即， ∴， 即． ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点，是双曲线上的点，分别过点，作轴和轴的垂线段，已知图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，那么值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上的点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积．根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， ∴， ∵图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8， ∴， ∴． 故选：C． 【题型14.求反比例函数解析式】 【典例】若反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． 利用待定系数法即可求出的值，可得答案． 【详解】解：将代入解析式中得， ， 即， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知反比例函数的图象经过，那么下列各点中，在此函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例的函数解析式，反比例函数的性质，利用待定系数法求出反比例函数比例系数k，再根据“反比例函数图象上任意一点的横纵坐标之积等于k”，验证选项中点的横纵坐标乘积是否等于k，即可判断该点是否在函数图象上． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， ∵该函数图象经过点， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为， ∴在该反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积一定为， ∵，， ，， ∴在此函数图象上的点是选项C中的点， 故选：C． 【跟踪专练2】已知反比例函数的图像经过点，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，先由函数图象经过点求出的值，结合反比例函数的增减性可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式 的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数、一次函数的交点坐标与不等式解集之间的关系，先求出反比例函数解析式，进而求出点M的横坐标，然后结合图象进行判断即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， 把代入得， 解得， ∴不等式 的解集为或， 故选：A． 【题型15.一次函数与反比例函数图形综合判断】 【典例】已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象经过第_______象限．    【答案】一、三 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象限得出a的符号，进而结合反比例函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，第三象限， ∴， ∴反比例函数的图象经过第经过一、三象限， 故答案为：一、三． 【跟踪专练1】在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关键．根据函数解析式分别讨论正比例函数与反比例函数图象所经过的象限即可解答． 【详解】解：函数中，，则函数图象经过一、三象限， 函数中，，则函数图象经过二、四象限， 可见，符合条件的只有A． 故选：A． 【跟踪专练2】已知一次函数（为常数，且）的图象不经过第二象限，且点在反比例函数的图象上，若，则的值可能是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象与性质．根据题意，先确定发符号，再确定的符号即可． 【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象不经过第二象限 点在反比例函数的图象上 则可取． 故答案为：． 【跟踪专练3】在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合； 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 【题型16.一次函数与反比例函数交点问题】 【典例】在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧用整体思想是解题的关键． 根据题意，将点P坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式得， ， 又∵， ， 则， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，直线与双曲线相交于两点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，先求出反比例函数解析式，再联立解方程即可． 【详解】解：把代入得，解得， ∴双曲线的解析式为， 联立，解得或， ∴点坐标为 故选：D． 【跟踪专练2】如图，直线与双曲线交于两点，则不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：直线关于原点对称的直线的解析式为，即， ∵直线与双曲线交于两点， ∴直线与双曲线交于点两点， 如图， 观察图象得：当或时，直线在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为是或． 故答案为：或 【跟踪专练3】如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或 故选：B． 【题型17.一次函数与反比例函数其他综合应用】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得：，代入代数式，根据完全平方公式变形，即可求解； 【详解】函数与的图象交于点 故答案为：． 【跟踪专练1】函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数的特点解答． 【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合； 当时，， ∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无选项符合． 故选：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，先利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再根据题意得到，则点B和点D的纵坐标都为1，据此求出B、D的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴， ∵轴于点C， ∴点B和点D的纵坐标都为1， 在中，当时，， 在中，当，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为4，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为4，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（    ） A．10 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， 点， ∴， 依题意由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．且结合图象： 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， 又，，且 即， ， ，，且 ∴ ， 依题意， ， 故选：B． 【解答题】 1．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 (3) 【分析】本题考查列函数关系式，判断是否是反比例函数，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每天的数量乘以天数等于总量，列出函数关系式，进行判断即可； （2）根据菱形的面积公式，列出函数关系式，进行判断即可； （3）根据路程等于速度乘以时间，列出函数关系式，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，是反比例函数； （2）由题意，得：； ∴，是反比例函数； （3）由题意，得：；不是反比例函数． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，包括利用待定系数法求函数解析式以及坐标系中三角形面积的求解；解题的关键是利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质，通过已知交点坐标求出未知参数． （1）先将点代入反比例函数解析式求出系数，得到反比例函数；再将点的横坐标代入反比例函数求出其纵坐标；最后将两点坐标代入一次函数解析式，解方程组求出和． （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象相交于两点， ， 将坐标代入一次函数得： ， 解得：， 故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）设直线与轴的交点为，如图， ， ， ， ， ． 3．我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 4．如图，过点的直线：与反比例函数：的图象交于点B，与反比例函数：的图象交于点． (1)求b，的值． (2)过点C作y轴，交反比例函数的图象于点D，连接．若B是的中点，求的面积 【答案】(1)． (2)2 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐标是解题的关键． （1）把点A代入正比例函数、反比例函数关系式可求出b，的值； （2）先求出点坐标为，把代入， 求出反比例函数．继而求出D点坐标为，再求出，点到的距离，即可解答． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得． 把代入， 得， ∴， 把代入，得， 解得． （2）∵是的中点，，， ∴点坐标为，即． 把代入，得， 解得， ∴反比例函数． ∵轴，， 把代入，得， ∴． ∴， 点到的距离为， ∴． 5．如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图像上的两个交点．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与y轴的交点C的坐标及的面积． 【答案】(1)，； (2)6； 【分析】（1）将点代入两个解析式中求出待定系数即可得到答案； （2）求出直线与坐标轴的交点，根据求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将将点、代入，点代入得， ，， 解得：，， ∴，； （2）解：当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴；    【点睛】本题考查一次函数与反比例函数结合题，解题的关键得到解析式，求出函数图象与坐标轴的交点． 6．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，中的符号对图象位置和增减性的影响． （1）根据反比例函数图象位于第二、四象限时，列不等式求解； （2）根据时随增大而减小，可知，列不等式求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， 则比例系数， 解不等式得， 即； （2）解：当时，随值的增大而减小， 则比例系数， 解不等式得， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07反比例函数同步讲义 【题型01 用反比例函数描述数量关系】..............................4 【题型02 由定义判断是否是反比例函数】............................4 【题型03 由反比例函数的定义求参数】..............................5 【题型04 求反比例函数值】........................................5 【题型05 已知反比例函数的图象.判断其解析式】......................6 【题型06 由反比例函数对称性求点坐标】............................7 【题型07 由双曲线象限分布求参数范围】............................7 【题型08 判断反比例函数增减性】..................................8 【题型09判断反比例函数图象所在象限】.........................8 【题型10 由反比例函数增减性求参数】..............................9 【题型11 比较反比例函数值或自变量大小】..........................9 【题型12 由比例系数求特殊图形面积】.............................10 【题型13 由图形面积求比例系数】.................................11 【题型14 求反比例函数解析式】...................................12 【题型15 一次函数与反比例函数图象综合判断】.....................13 【题型16 一次函数与反比例函数交点问题】.........................14 【题型17 一次函数与反比例函数其他综合应用】.....................15 【解答题6题】...................................................16 ★知识梳理★ 知识点01:反比例函数的概念 1.定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数。 2.等价表达式（核心变形，判断依据） y=kx−1（自变量 x 的指数为 −1，k0） xy=k（x 与 y 的乘积为定值 k，k0） 3.取值范围 自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 4.判断方法 紧扣定义：① 形式为 ​；② k0；③ 自变量 x 次数为 −1。 知识点02:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） (1)列表：选取 x0 的多组对应值，正负值均取，计算 y。 (2)描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 (3)连线：用平滑曲线连接各点，注意两个分支不相连，且无限靠近坐标轴但永不相交。 知识点03:反比例函数的性质（核心考点） 比例系数 k 的符号 图象所在象限 增减性（关键：在每个象限内） 对称性 k>0 第一、三象限 y 随 x 的增大而减小 1. 中心对称：关于原点对称；2. 轴对称：关于直线 y=x、y=−x 对称 k<0 第二、四象限 y 随 x 的增大而增大 1. 中心对称：关于原点对称；2. 轴对称：关于直线 y=x、y=−x 对称 易错提醒：增减性必须强调 “在每个象限内”，跨象限不成立。 知识点04:比例系数 k 的几何意义（难点 + 高频考点） 过反比例函数 y= 图象上任意一点 P(x,y)，分别作 x 轴、y 轴的垂线： 1.与坐标轴围成的矩形面积 S=∣xy∣=∣k∣ 2.与坐标轴围成的直角三角形面积 S=∣k∣ 结论：面积只与 ∣k∣ 有关，与点的位置、k 正负无关。 知识点05:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 (1)设解析式：y=(k0) (2)代入：将已知点 (x0​,y0​) 代入，得 k=x0y0​ (3)回代：写出确定的解析式 知识点06:实际应用（建模） 从实际问题中抽象出反比例函数模型， 步骤： 1.分析变量，确定自变量与函数 2.依据题意列等量关系，转化为 y= 形式 3.确定 k 值，明确自变量取值范围 4.利用图象与性质解决实际问题（如最值、方案选择） 【题型1.用反比例函数描述数量关系】 【典例】王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 【跟踪专练1】下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【跟踪专练2】如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【跟踪专练3】已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【题型2.由定义判断是否式反比例函数】 【典例】水池内有水，水流经过排水管的时间与水池每小时流出的水量之间的关系是______比例关系．（填“正”或“反”） 【跟踪专练1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【跟踪专练3】下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C．y＝5x+6 D． 【题型3.由反比例函数的定义求参数】 【典例】若是反比例函数，则_____． 【跟踪专练1】若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为________． 【跟踪专练3】若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【题型4.求反比例函数值】 【典例】点在反比例函数的图像上，则的值是_______． 【跟踪专练1】反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的平行线．已知点A坐标为，结合函数图象可知，当时，的取值范围是________________．      【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“可控变点”．若点是反比例函数图象上点的“可控变点”，则点的坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型5.已知反比例函数的图象,判断其解析式】 【典例】.若某个函数的图像关于原点对称，请写出一个符合上述条件的函数表达式：_________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 .D．6 【跟踪专练2】如图，反比例函数的图象上有一点C，作轴，轴，交函数图象上点A，B，且，，则_____． 【跟踪专练3】一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【题型6.由反比例函数对称性求点坐标】 【典例】若一次函数y=mx与反比例函数的图象相交于点（，2），那么该直线与双曲线的另一交点为_______． 【跟踪专练1】已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为_________． 【跟踪专练3】反比例函数（，k为常数）的图象经过点，则它的图象还经过点（    ） A． B． C． D． 【题型7.由双曲线象限分布求参数范围】 【典例】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是_______（写出一个即可）． 【跟踪专练1】已知点，都在反比例函数的图像上，且当时，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 【跟踪专练3】已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型8.判断反比例函数增减性】 【典例】函数的图像在每一象限内，y的值随x的增大而__________． 【跟踪专练1】如图，反比例函数的图象经过，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【跟踪专练2】对于反比例函数，以下四个结论：①函数的图象在第一、三象限；②函数的图象经过点；③y随x的增大而减小；④当时，．其中所有正确结论的序号是______． 【跟踪专练3】已知点，在反比例函数（，k为常数）的图象上，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型9.判断反比例函数图象所在象限】 【典例】写出一个图象经过第一、三象限的反比例函数解析式：______（写一个即可）． 【跟踪专练1】反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．无法判断 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是________________． 【跟踪专练3】定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【题型10.由反比例函数增减性求参数】 【典例】已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是______． 【跟踪专练1】若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为___________． 【跟踪专练3】已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【题型11.比较反比例函数值或自变量大小】 【典例】若点在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 【跟踪专练1】已知、均在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，及0，从小到大的关系是______． 【跟踪专练3】若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型12.由比例系数求特殊图形面积】 【典例】如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点P位于第一象限，且在反比例函数的图象上．过点P作x轴垂线，垂足为Q，则的面积是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【跟踪专练2】如图，点为反比例函数的图像上的一点，轴，轴，垂足分别为，则四边形的面积为______． 【跟踪专练3】下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【题型13.由图形面积求比例系数】 【典例】如图，一条直线经过原点O，且与反比例函数相交于点A，B，过点A作轴，垂足为点C，连接．若的面积为6，则_____． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图像于C，B两点，若的面积是6，则k的值是（    ） A． B． C．3 D． 【跟踪专练2】如图，点A在函数的图像上，点B在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为______． 【跟踪专练3】如图，点，是双曲线上的点，分别过点，作轴和轴的垂线段，已知图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，那么值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型14.求反比例函数解析式】 【典例】若反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是__________． 【跟踪专练1】已知反比例函数的图象经过，那么下列各点中，在此函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知反比例函数的图像经过点，当时，y的取值范围是________． 【跟踪专练3】如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式 的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【题型15.一次函数与反比例函数图形综合判断】 【典例】已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象经过第_______象限．    【跟踪专练1】在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知一次函数（为常数，且）的图象不经过第二象限，且点在反比例函数的图象上，若，则的值可能是______．（写出一个即可） 【跟踪专练3】在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【题型16.一次函数与反比例函数交点问题】 【典例】在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，，则的值为_______． 【跟踪专练1】如图，直线与双曲线相交于两点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线与双曲线交于两点，则不等式的解集为______． 【跟踪专练3】如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【题型17.一次函数与反比例函数其他综合应用】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________． 【跟踪专练1】函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为_______． 【跟踪专练3】如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为4，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为4，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（    ） A．10 B． C． D．15 【解答题】 1．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求面积． 3．我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 4．如图，过点的直线：与反比例函数：的图象交于点B，与反比例函数：的图象交于点． (1)求b，的值． (2)过点C作y轴，交反比例函数的图象于点D，连接．若B是的中点，求的面积 5．如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图像上的两个交点．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与y轴的交点C的坐标及的面积． 6．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $