第16章 函数及其图象（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

第16章 函数及其图象 教学目标 1.理解常量、变量、函数的定义，能准确判断一个变化过程是否为函数关系。 2.掌握一次函数（含正比例函数）、反比例函数的概念，能熟练判断函数类型。 3.掌握一次函数和反比例函数的图象与性质，能根据解析式判断图象象限、根据性质比较函数值大小。 4.会用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，会用描点法画函数图象。 5.理解函数与方程、不等式的联系，能运用函数知识解决几何综合、实际应用问题，体会数形结合思想。 教学重难点 重点 1.一次函数、反比例函数的概念、图象与基本性质。 2.用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式。 3.反比例函数比例系数的几何意义及应用。 4.一次函数与方程、不等式、方程组的内在联系。 5.运用一次函数、反比例函数模型解决简单的实际问题。 难点 1.一次函数与反比例函数的图象、性质的综合运用。 2.函数与几何图形（三角形、四边形）的综合问题（面积计算、图形变换）。 3.数形结合思想在函数问题中的灵活运用（如利用图象解不等式、求最值）。 4.根据实际问题建立函数模型，并结合自变量的实际意义求解。 5.一次函数、反比例函数与几何变换（平移、轴对称）的综合问题。 知识点01：常量与变量 1.在某一变化过程中，取值始终保持不变的量称为常量；可以取不同数值的量称为变量。 2.变量分为自变量和因变量，因变量随自变量的变化而变化，二者是相对的，可根据研究过程相互转换。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 【答案】D 【分析】本题考查了常量和变量，理解定义是解题的关键； 根据常量和变量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量．本题中，通话费率和初始话费为常量，通话时间和余额为变量即可解答． 【详解】解：手机通话费为元/分钟，小明存入的50元话费，这两个数值在问题中固定不变，所以，，50是常量． 通话时间和话费余额会随着通话的进行而变化．具体来说，是自变量，是因变量，满足关系式． 所以，和均为变量． 故选：D． 知识点02：函数的定义 1 一般地，在一个变化过程中有两个变量和，对于的每一个值，都有唯一的值与之对应，称是的函数，是自变量，是因变量。 2 函数的核心特征：两个变量、一一对应、变量间存在确定的变化关系。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）下列各曲线中不能表示是的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，掌握函数中对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应是关键． 根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意； B、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意； C、对于一定范围内x取值时，y可能有2个值与之相对应，所以y不是x的函数，符合题意； D、对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，不符合题意． 故选：C． 知识点03：平面直角坐标系 平面内画两条原点重合、互相垂直、单位长度相同的数轴，建立平面直角坐标系，水平数轴为 轴（横轴），竖直数轴为轴（纵轴）。 平面内的点与有序实数对一一对应，点的坐标特征可用于判断点所在象限或坐标轴位置。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列平面直角坐标系的画法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系的正确画法，理解平面直角坐标系的概念和基本构成是解题的关键． 根据平面直角坐标系的概念“平面直角坐标系由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，水平的数轴叫轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫轴（纵轴），向上为正方向”逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、轴与轴不是互相垂直的，故A错误； B、轴与轴的交点是坐标原点，B的坐标原点标记错误，故B错误； C、轴与轴是互相垂直的，轴向右为正方向，轴向上为正方向，轴与轴的交点是坐标原点，符合平面直角坐标系的概念和要求；故C正确； D、没有标注正方向和数值，故D错误． 故选：C． 知识点04：函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 解析法 用数学表达式表示两个变量的函数关系（如） 准确反映变量间的数量关系 部分函数无法用表达式表示 列表法 用表格列出自变量与对应因变量的值 直接找出自变量和函数值的对应关系 对应值有限，无法体现整体变化规律 图象法 用平面直角坐标系中的图形表示函数关系 直观、形象体现变量的变化趋势 图象为近似图形，函数值读取不够精准 【即学即练】 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是 ． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格数据的特点，即可得到变量间的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵观察表格可知：平均每小时蜡烛烧掉3厘米， ∴x小时燃烧了厘米， ∵蜡烛总长为20厘米， ∴剩余的高度 总长度燃烧的长度， 即， 故答案为：． 知识点05：一次函数的概念 1 一般地，形如（，为常数，且）的函数，称为一次函数，是自变量，为一次项系数，为常数项。 2. 一次函数的自变量取值范围为全体实数。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·浙江温州·月考）在下列函数中，不属于y关于x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，掌握定义是关键；根据一次函数的定义，形如的函数是一次函数，其中 x 的次数必须为 1. 分别对各选项判断即可． 【详解】解：∵一次函数的一般形式为， 对于选项 A：，表达式是分式，不是整式，故不符合定义； 对于选项 B：，即，符合定义； 对于选项 C：，即，符合定义； 对于选项 D：，即，符合定义． ∴不属于一次函数的是 A． 故选：A． 知识点06：正比例函数（一次函数的特殊形式） 当一次函数中时，函数变为（为常数，且），称为正比例函数，是特殊的一次函数。 正比例函数的自变量取值范围为全体实数，图象必过坐标原点。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·四川巴中·期中）当 时，函数是正比例函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义，是解题的关键．根据正比例函数的定义，函数需满足指数为1且系数不为零． 【详解】解：由正比例函数的定义得：且， 由得， 解得：或， 当时，，不符合系数不为零的条件； 当时，，符合条件； 故． 故答案为：． 知识点07：一次函数与正比例函数的图象和性质 函数类型 表达式 图象 图象经过象限 函数性质 一次函数 一条直线 ：一、二、三象限 ：一、三、四象限 ：一、二、四象限 ：二、三、四象限 ：随的增大而增大 ：随的增大而减小 正比例函数 过原点的直线 ：一、三象限 ：二、四象限 ：随的增大而增大 ：随的增大而减小 一次函数图象的特殊点：必过（轴交点）和（轴交点）；正比例函数必过和。 一次函数图象平移规律：沿轴向上平移个单位得，向下平移个单位得。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．它的图象经过第一、二、三象限 D．它的图象与直线平行 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、当时，， ∴它的图象与轴交于点，该选项结论正确，不符合题意； 、∵， ∴随的增大而增大，该选项结论正确，不符合题意； 、∵，， ∴它的图象经过第一、三、四象限，该选项结论错误，符合题意； 、∵直线与直线的值相同，值不同， ∴两条直线平行，该选项结论正确，不符合题意； 故选：． 知识点08：反比例函数的概念 一般地，形如（为常数，且）的函数，称为反比例函数，也可表示为或。 反比例函数的自变量取值范围为的全体实数，因变量取值范围为的全体实数。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·河南新乡·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A．，y是的反比例函数，故此选项不合题意； B．，得，y是x的反比例函数，故此选项符合题意． C．，不是的反比例函数，故此选项不合题意； D．，则，y不是x的反比例函数，故此选项不合题意； 故选：B． 知识点09：反比例函数的图象和性质 表达式 图象 图象经过象限 函数性质 双曲线（两个分支） 第一、三象限 在每个象限内，随的增大而减小 双曲线（两个分支） 第二、四象限 在每个象限内，随的增大而增大 反比例函数的图象关于原点中心对称，双曲线的两个分支无限靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·河南信阳·期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．图象在第一、三象限 C．图象经过点 D．当时， 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：，反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，，故图象经过点， 当时，， 观察选项，选项A符合题意， 故选：A． 知识点10：反比例函数比例系数的几何意义 过反比例函数图象上任意一点，向轴、轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为。 连接反比例函数图象上任意一点与原点，该点向坐标轴作垂线，围成的直角三角形面积为。 若已知上述矩形或三角形的面积，可直接求得，结合图象所在象限确定的正负。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于，两点，过点作轴于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正比例函数与反比例函数的图像性质、中心对称性以及三角形面积的计算，理解反比例函数中的几何意义是解题的关键． 根据题意得点与点关于原点对称，进而得到，再利用反比例函数中的几何意义得到，最后由即可得出答案． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图像交于，两点， 点与点关于原点对称， ， 反比例函数中， ， ． 故答案为：． 题型01确定函数自变量的取值范围 方法技巧：1.整式型函数（如一次函数）：自变量取全体实数；2.分式型函数（如反比例函数）：分母≠0；3.二次根式型：被开方数≥0；4.实际问题：结合实际意义确定（如长度、数量为正数）。 【典例1】. （25-26九年级上·湖南株洲·期末）函数中，自变量x的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了分式的意义，函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握分式有意义的条件． 根据分式的定义，分母不能为零，因此，即． 【详解】解：函数是分式形式， 所以， 解得.， 故自变量x的取值范围为， 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·上海·期中）函数中的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的定义域，熟知定义域的概念是解题的关键．根据根式的被开方数非负、零次幂的底数不为零以及分母不为零，求定义域即可． 【详解】解：要使函数 有意义，需满足以下条件： 1. 根式的被开方数，解得． 2. 零次幂 的底数，解得． 3. 分母．当 时，，此时分母为，因此 ，即． 综上，定义域为， 故答案为：． 【变式2】. （2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及函数自变量取值范围的确定，解题的关键是掌握“二次根式的被开方数必须是非负数”这一核心规则． 根据二次根式有意义的条件，函数中含二次根式，需保证被开方数满足非负，由此确定自变量的取值范围． 【详解】解：要使函数有意义，需满足二次根式的被开方数非负，即． 故答案为： 【变式3】. （2025·黑龙江绥化·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围为 ． 【答案】全体实数 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围计算，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且， 故自变量x的取值范围为全体实数， 故答案为：全体实数． 题型02判断是否为一次/反比例函数 方法技巧：1.一次函数：整理后符合，注意含项次数为1、不为0；2.正比例函数：符合（一次函数特殊形式）；3.反比例函数：整理后符合、或，注意不为0。 【典例2】. （25-26九年级上·山西吕梁·期末）下列函数是反比例函数的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，判断各选项是否符合此形式． 【详解】解：反比例函数的形式为（）， 选项A：，符合定义； 选项B：，为二次函数，不符合； 选项C：，为正比例函数，不符合； 选项D：，为正比例函数，不符合． ∴A是反比例函数． 故选：A． 【变式1】. （25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的一般形式（、为常数，）． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，其中的次数是2，不是一次函数，不符合题意； B、，符合一次函数的一般形式，是一次函数，符合题意； C、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意； D、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意． 故选：B． 【变式2】. （25-26八年级上·四川达州·期末）下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如 （、为常数，且）的函数是一次函数是解题的关键． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：①化简得，是一次函数，符合题意； ②不是一次函数，不符合题意； ③是一次函数，符合题意； ④不是一次函数，不符合题意； ⑤是一次函数，符合题意． 综上，一次函数有①③⑤，共3个． 故选：C． 【变式3】. （24-25九年级上·广东深圳·月考）有下列函数：①：②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的标准形式，形如 （为常数，）的函数是反比例函数，根据反比例函数的定义，逐一检查各函数是否符合此形式即可． 【详解】解：∵ ① 符合 形式，，∴ 是反比例函数； ∵ ② 是正比例函数，不符合反比例形式，∴ 不是反比例函数； ∵ ③ ，，∴ 是反比例函数； ∵ ④ 可化为 ，，∴ 是反比例函数； ∵ ⑤ 分母是，不是，∴ 不是反比例函数； ∵ ⑥ 含有常数项，不符合形式，∴ 不是反比例函数； ∴ 反比例函数有①、③、④，共3个； 故选：C． 题型03用待定系数法求一次函数解析式 方法技巧：1.设解析式：一般式，正比例函数直接设；2.代点：将已知点的坐标代入解析式，得到关于、的方程（组）；3.求解：解一元一次方程或二元一次方程组，得、的值；4.回代：将、代入所设解析式，得到最终表达式。 【典例3】. （2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求解，解题的关键在于将已知的自变量和对应的函数值代入函数表达式，建立方程求解未知参数．将，代入函数，求解关于的方程即可解答． 【详解】解：将，代入函数， 得， 解得， 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·江苏南京·期末）一次函数的图象向上平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则：上加下减，进行求解． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：． 故答案为 ． 【变式2】. （25-26八年级上·上海·期末）一条直线经过原点，且与直线平行，则这条直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象平行的问题，解题的关键是熟练掌握一次函数图象平行，则相同． 设所求直线解析式为，由于与直线平行，则，再根据图象经过原点即可得到，即可求解函数解析式． 【详解】解：设所求直线解析式为． ∵与直线平行， ∴． ∵经过原点， ∴． ∴解析式为． 故答案为：． 【变式3】. （25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）已知直线与轴，轴分别交于点和点，点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定一次函数解析式、勾股定理、轴对称折叠的性质等知识点，根据勾股定理构建方程求解线段长是解题的关键． 根据直线解析式得出，，，，利用勾股定理得出，根据折叠性质得出，，，设，利用勾股定理求出的值，得出，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式． 【详解】解：∵直线与轴，轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，， ∴，，，， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在轴上的点处， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∵点是上的一点，， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 故答案为： 题型04用待定系数法求反比例函数解析式 方法技巧：1.设解析式：或；2.代点：将图象上任意一点的坐标代入，得到关于的一元一次方程；3.求解：求出的值，结合图象象限确定正负；4.回代：将代入所设解析式。 【典例4】. （25-26九年级上·河南郑州·期末）写出一个图象位于第二、四象限的反比例函数的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数的性质，当反比例函数中时，图象位于第二、四象限作答即可． 【详解】解：∵当反比例函数中时，图象位于第二、四象限 ∴表达式可为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】. （23-24八年级上·上海金山·期中）已知y与x成反比例，并且经过，则y与x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，根据反比例函数的定义，设函数关系式为，再代入已知点求常数k即可． 【详解】解：设y与x的函数关系式为， ∵函数图象经过点， ∴，解得， ∴y与x的函数关系式为． 故答案为：． 【变式2】. （25-26九年级上·湖南怀化·月考）已知y与成反比例，且当时，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，由y与成反比例，设函数解析式为，将时，代入求出k，即可得出答案． 【详解】解：设y与的反比例函数关系式为， 当时，，代入得： ， 解得： 因此，y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． 【变式3】. （25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，，）的图象经过的顶点，顶点在轴的负半轴上，若顶点的坐标为，，则的值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即，也考查了平行四边形的性质． 设点，由，求出的值，即可求解． 【详解】设点， ， ． ，解得． ． ． 故答案为：24． 题型05判断函数图象所在象限 方法技巧：1.一次函数：根据的正负确定增减性，结合的正负确定与轴交点，进而判断象限；2.正比例函数：直接根据的正负判断（一、三，二、四）；3.反比例函数：直接根据的正负判断（一、三，二、四）。 【典例5】. （25-26九年级上·云南昆明·期末）若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟记反比例函数的性质是解题关键； 先利用待定系数法求出的值，再根据反比例函数的性质判断图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵， ∴反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限． 故答案为：C． 【变式1】. （25-26八年级上·广东清远·期末）在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象与y轴的正半轴相交， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴图象经过第一、二、四象限． 故选B． 【变式2】. （25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于掌握一次函数图像与系数关系；对于一次函数，若，随的增大而减小；若，随的增大而增大；若，函数图像与轴交于正半轴；若，函数图像与轴交于负半轴；由点得，则函数图像与轴交于正半轴；由随的增大而减小得，图像呈下降趋势，根据图像判断出经过的象限即可． 【详解】由点代入 得，则函数图像与轴交于正半轴； 由随的增大而减小得，图像呈下降趋势； ∴一次函数图像经过第一、二、四象限． 故选B． 【变式3】. （18-19九年级上·全国·单元测试）反比例函数的图象经过点，则它的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象、求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法和反比例函数的图象是解题关键．将点代入求出反比例函数的解析式，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴这个反比例函数的图象位于第二、四象限， 故选：B． 题型06根据函数性质比较函数值大小 方法技巧：1.一次函数：先判断的正负确定增减性，再比较自变量大小，进而判断函数值大小；2.反比例函数：先判断点是否在同一象限，同一象限内根据的正负结合增减性判断，不同象限直接根据函数值正负判断。 【典例6】. （25-26九年级上·河北石家庄·期末）反比例函数的图象在直角坐标系中的位置如图，若点，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，核心知识点是反比例函数的增减性：当时，函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】解：对于反比例函数，， ∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． ∵点的横坐标， ∴点在第二象限，； ∵点、的横坐标， ∴点、在第四象限， ∴； 综上，， 故选：D． 【变式1】. （25-26七年级上·山东烟台·期末）已知点，，都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据可知一次函数，结合，y随x的增大而增大判断即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的系数， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴， 故选：C． 【变式2】. （25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，若点与在一次函数的图像上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系、一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的增减性等知识点， 一次函数图像经过的象限得到、是解题的关键． 由一次函数图像经过的象限可得出、，再利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限， ∴、， ∵点与在一次函数的图像上，， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 【变式3】. （25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知点、均在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质． 根据反比例函数中k的符号判断图象所在象限，再结合点的横坐标正负判断纵坐标的正负即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该函数图象位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限， ∴， ∵， ∴点在第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 题型07利用反比例函数的几何意义求面积/参数 方法技巧：1.求面积：直接利用“矩形面积、直角三角形面积”计算；2.求参数：先根据几何图形面积求出，再结合图象所在象限确定的正负；3.复杂图形：将面积转化为含上述矩形/三角形的和或差，再利用的几何意义求解。 【典例7】. （25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，结合两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和．则，据此即可作答． 【详解】解：∵轴于点，交于点，∴，， ∴． 故答案为：． 【变式1】. （25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为为轴上的一点，连接，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是应用平行线间的距离处处相等得到和的面积相等．连接，得到和的面积相等，然后结合反比例函数的比例系数的几何意义求得的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵轴， ∴轴， ∴点和点到的距离相等， ， ， 故答案为：3． 【变式2】. （25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 【变式3】. （25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 先得出，根据反比例函数k值的几何意义得出，故，进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，，记交y轴于点C， ∵轴，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 题型08一次函数与方程/不等式的综合应用 方法技巧：1.与一元一次方程：求直线与轴交点的横坐标即为方程的解；2.与一元一次不等式：根据直线在轴上方/下方的区域，确定不等式/的解集；3.与方程组：求两条直线的交点坐标，即为对应二元一次方程组的解。 【典例8】. （25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，直线，相交于点P，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的交点问题，掌握相关知识点是解题的关键． 根据图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小，找到符合要求的函数图象部分，再分析所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可知直线，相交于点， 当时，函数图象在图象的上方，即， 关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 【变式1】. （25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）将点代入，求出n，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ∴， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点的坐标为， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，． (1)求直线的函数解析式． (2)直线交直线于点，交直线于点，且点在点的右边，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的相关内容是解题的关键； （1）用待定系数法求函数的解析式； （2）用m表示出点E、F的坐标，然后分别代入对应的解析式中，根据两点位置关系列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 直线的函数解析式为． （2）解：由题意可知，点，的纵坐标均为． 设，． 将点代入， 得， 解得． 将点代入， 得． ∵点在点的右边， ， ， 解得， 即的取值范围为． 【变式3】. （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与一次函数的图象交于点．点是一次函数与轴的交点． (1)分别求这两个一次函数的表达式； (2)关于x，y的二元一次方程组的解为____________________； (3)如图，是一次函数与轴的交点，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)7 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）根据一次函数的图象与一次函数的图象交于点，即可得出结果； （3）先求出点的坐标为，，再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为；         ∵点在一次函数的图象上， ， ∴点．             将点，代入，得， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； （3）解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∵，， ∴； ． 题型09函数图象的平移与几何变换 方法技巧：1.一次函数平移：沿轴上下平移个单位，解析式为，沿轴左右平移需整理为斜截式再判断；2.轴对称变换：根据轴对称的性质，找到图象上关键点的对称点，再求对称后的函数解析式；3.反比例函数变换：结合中心对称性质，确定变换后的取值。 【典例9】. （24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移至，若点的对应点的坐标为，则线段平移的方式可以为（   ） A．向右平移4个单位，向下平移5个单位 B．向左平移5个单位，向上平移4个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移5个单位，向下平移4个单位 【答案】C 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，利用平移变换的规律解决问题即可．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：点向左平移个单位，向上平移5个单位得到点的坐标为， 线段平移的方式是：向左平移个单位，向上平移5个单位． 故选：C． 【变式1】. （24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的． (2)平移，若点对应的点的坐标为，画出，点的坐标为________； (3)当，绕某一点旋转可以得到（2）中的，直接写出旋转中心的坐标：________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图－旋转变换，坐标与图形变化－平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，顺次连接即可求解； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，顺次连接即可求解； （3）利用旋转变换的性质作出旋转中心即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：如图即为所求；点的坐标为， 故答案为：． （3）解：如图，旋转中心的坐标为： 故答案为：． 【变式2】. （25-26九年级上·湖北宜昌·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，． (1)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的 ； (2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的 ； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，旋转作图等知识，掌握旋转，平移的性质是解题的关键． （）根据点的对应点的坐标为确定平移方式，再根据平移方式确定其它两点的对应点，最后连线即可； （）根据旋转的性质，找到三个顶点的对应点，再连线即可； （）连接对应点，对应点的交点就是旋转中心（对称中心）． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，由题意可得的坐标为，的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 当时，， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·课后作业）若坐标平面上的点作如下平移：沿轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿轴方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的平移量． (1)把坐标平面上的点先向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移量为______；若把坐标平面上的点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移量为______． (2)动点从坐标原点出发，先按照平移量平移到点，再按照平移量平移到点；若先把动点按照平移量平移到点，再按照平移量平移，最后的位置还是点吗？ ①在图中画出四边形． ②求四边形的面积． (3)动点从坐标原点出发，先按照平移量平移到点，再按照平移量平移到点，最后按照平移量平移回到出发点．则______． 【答案】(1)， (2)①见解析，最后的位置还是点B；②5 (3) 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形等知识，解题的关键是： （1）根据平移量的定义求解即可； （2）①根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可得到图形，即可作出判断； ②根据割补法求解即可； （3）根据平移量的定义求出，，即可求解。 【详解】（1）解: 把坐标平面上的点先向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移量为；若把坐标平面上的点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移量为, 故答案为:, ; （2）解:①如图，四边形即为所求， 最后的位置还是点B； ②. （3）解：∵动点从坐标原点出发，先按照平移量平移到点，再按照平移量平移到点，最后按照平移量平移回到出发点， ∴，， ∴，， ∴. 题型10一次函数与几何图形的面积综合 方法技巧：1.图形边在坐标轴上：直接以坐标轴上的边为底，交点的横/纵坐标绝对值为高，用面积公式计算；2.图形边不在坐标轴上：采用割补法，将图形转化为若干个底/高在坐标轴上的三角形/梯形的和或差；3.关键步骤：将点的坐标转化为线段长度，线段长度转化为点的坐标，常作坐标轴的垂线段为辅助线。 【典例10】. （24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点C坐标，根据计算求解即可； （3）求出的面积，进而可得点M的横坐标，进而可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线：与直线相交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴； （3）解：∵的面积是的面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点M的坐标为或． 【变式1】. （24-25七年级下·江西宜春·期末）如图1，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_____，______，三角形的面积是______； (2)如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)①；②，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系、算术平方根与绝对值的非负性、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值、完全平方式的非负性得到，，求出的值，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可； （2）①利用三角形的面积公式即可求解；②利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴三角形的面积； 故答案为：3，2，3； （2）解：①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述：，，． 【变式2】. （24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先得到，然后根据三角形的面积是4得到，即可求解； （2）①首先得到，然后表示出，然后根据三角形的面积是8得到，即可求解； ②设，则，，然后根据题意得到，代入得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴ ∵三角形的面积是4． ∴ ∴ ∴； （2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵三角形的面积是8 ∴，即 ∴； ②∵点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合）， ∴设 ∴， ∵四边形的面积与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式3】. （24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）设，根据面积关系列式求解即可得到答案； （3）分负半轴及x轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在． 当M在y轴负半轴时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； 当M在x轴上时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴或； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围成图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高． 题型11一次函数与反比例函数的交点问题 方法技巧：1.求交点坐标：联立解析式，消去得到一元二次方程，解方程得的值，回代求；2.利用交点解不等式：根据图象，确定一次函数图象在反比例函数图象上方/下方对应的取值范围。 【典例11】. （25-26九年级上·江西南昌·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式． (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）求解，，再根据函数图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把点，点代入，得： ， ∴，解得：， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴，， ∴根据图象可得，关于x的不等式的解集或. 【变式1】. （25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)尺规作图，若点P是直线上一定点，过点P作x轴的垂线，垂足为点C，交反比例函数于点Q．（请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)在（2）的条件下，将点P为直线上一定点改成直线上一动点，其余条件不变．设点P的横坐标为，当点P在点Q的上方时，请直接写出点P的横坐标的取值范围___________． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)见详解 (3)或 【分析】本题为反比例函数与一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，尺规作图-作已知直线的垂线，利用函数图象求不等式组的解集等知识﹒ （1）把代入即可求出反比例函数解析式为，把代入反比例函数，求出，利用待定系数法即可求出一次函数解析式为； （2）根据尺规作图---过直线外一点作已知直线垂线即可作图； （3）根据点P在点Q的上方，得到求不等式解集，结合图象即可求解﹒ 【详解】（1）解：把代入得， ∴， ∴反比例函数解析式为﹒ 把代入反比例函数得， ∴， ∴点， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图，直线即为所求； 作法：①在x轴另一侧取一点K，以P为圆心，以为半径画弧，交x轴于点M、N； ②分别以M、N为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点H，作直线，交x轴于点C，交双曲线于点Q； （3）解：∵点P在点Q的上方， ∴一次函数值大于反比例函数值，即， ∴由图象得或﹒ 【变式2】. （25-26九年级下·山西运城·期末）一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标． (2)根据图象直接写出不等式的解集． (3)在x轴上有一动点P，连接，，当面积为18时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点代入一次函数，求出，即可得出，再将代入反比例函数的解析式，计算即可得出结果； （2）根据函数图象即可得出结果； （3）令直线交轴于点，求出，，设，则，再结合计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将点代入一次函数可得， 解得， ∴， 将代入反比例函数的解析式可得， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由图象可得：不等式的解集为或； （3）解：如图，令直线交轴于点， ， 在中，当时，， 解得：， ∴， 将代入一次函数可得：， ∴， ∴， 设，则， ∵，且面积为18， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 【变式3】. （25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求的值； (2)根据图象直接写出不等式时的取值范围； (3)若动点在轴上，求的最小值． 【答案】(1)8，8 (2)或 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，以及利用轴对称求最短路径． （1）将点代入反比例函数中求解，即可得到反比例函数解析式，再结合反比例函数求出n值即可； （2）根据题意得到x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分； （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，利用勾股定理求出的长，即可解题． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， 即反比例函数表达式为 又点在反比例函数上 ； （2）解：由图象可知，当或时，， 故不等式时的取值范围为或； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则的最小值等于的长， 过点作于点 点， ， 在中，． 的最小值为． 题型12函数的实际应用 方法技巧：1.建模：理清变量关系；2.定范围：根据实际问题确定自变量的取值范围（如整数、正数）；3.求最值：根据的正负判断函数的增减性，结合自变量取值范围的端点求最值；4.定方案：根据最值或条件要求，确定符合题意的实际方案。 【典例12】. （25-26八年级上·安徽安庆·期末）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多，某品牌的“”店主销纯电动汽车和插电混动汽车，两种主销车型的有关信息如表： 车型 纯电动汽车 插电混动汽车 进价/(万元/辆) 新能源积分/(分/辆) 8 2 购进数量/辆 (1)2月份该“”店共花费万元购进，两种车型，且全部售出共获得新能源积分分，设购进，型号的车分别为辆、辆，则，分别为多少？ (2)因汽车供不应求，该“”店5月份决定购进，两种车型共辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于分，已知新能源积分每分可获得万元的补贴，那么5月份如何进货才能使“”店获得的补贴最大？并求出最大值． 【答案】(1)，； (2)购进型号车辆，型号车辆时补贴最大，最大值为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及一次函数的最值问题，关键是根据题意建立等量关系与函数关系式，结合不等式确定变量的取值范围． （1）根据购进两种车型的总花费和总积分的两个条件，列出关于、的二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到、的值； （2）设购进型号车辆，用表示型号车的数量，根据积分限制列出不等式确定的取值范围，再根据补贴规则写出补贴总额的一次函数解析式，利用一次函数的增减性求出最大值． 【详解】（1）解：根据题意，列方程组：，解得， 故，； （2）解：设购进型号车辆，则购进型号车辆，补贴总额为万元． 根据积分不高于分，列不等式：， 解得：， 为非负整数， 的最大整数值为． ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，(万元)， 此时(辆)． 答：购进型号车辆，型号车辆时，“”店获得的补贴最大，最大值为万元． 【变式1】. （25-26八年级上·浙江杭州·期末）钱塘绿道是集生态、运动、休闲、文化、便民等多功能于一体的复合型城市生态廊道．甲、乙在一段绿道上进行运动，两人同时同地出发，甲全程匀速骑行，乙先匀速跑步再选择匀速骑行，最后同时到达终点．已知甲、乙的运动路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)求乙匀速骑行时，关于的函数解析式． (2)当两人相距1千米时，求运动时间的值． 【答案】(1)关于的函数解析式为； (2)当两人相距1千米时，运动时间的值为或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用一次函数的性质和数形结合的思想进行解答． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求得甲匀速骑行时和乙匀速跑步时，关于的函数解析式，再分情况讨论，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意设乙匀速骑行时，关于的函数解析式为， 将点和代入得，解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：设甲匀速骑行时，关于的函数解析式为， 将点代入得，解得， ∴关于的函数解析式为； 同理，乙匀速跑步时，关于的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得； 当时，由题意得， 解得； 答：当两人相距1千米时，运动时间的值为或． 【变式2】. （25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，A、B两地与图书馆位于一直线上且位于图书馆两侧．甲，乙两位同学分别从A、B两地出发，相约到图书馆学习．已知甲步行先出发，几分钟后乙从B地以100米/分钟的速度慢跑出发，并且比甲先到达图书馆．下图2是表示两人之间的距离s（米）和甲离开A地的时间t（分钟）的关系图． (1)B地到图书馆的路程是______米； (2)求甲的步行速度； (3)求两人何时相距2300米？ 【答案】(1)2000 (2)60米/分钟 (3)甲出发20分钟时，两人相距2300米 【分析】本题考查了一次函数的应用，结合题意读懂图象是解题的关键． （1）由图象可知乙从B地到图书馆用时20分钟，根据计算即可； （2）由图象可知A、B两地相距5000米，根据B地到图书馆的距离求出A地到图书馆的距离即可解答； （3）如图，首先求出M、N两点的坐标，即可得，然后令求出对应的x值即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知乙从B地到图书馆用时20分钟， ∴B地到图书馆的路程（米）． 故答案为：2000； （2）解：（米/分钟）， 答：甲的步行速度为60米/分钟； （3）解：如图， 当分钟时，甲步行路程是300米， ， 当分钟时，甲步行路程是1500米，乙慢跑的路程是2000米， ， 设， 图象过点，， ∴， 解得， ， 当时，（分钟）， 答：甲出发20分钟时，两人相距2300米． 【变式3】. （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题提出】 (1)如图，一次函数与轴、轴分别交于点、，为坐标原点，则的面积为 ； 【解决问题】 (2)如图，是某植物园的花卉培育基地示意图，和是两条小路，和的交点处有一口水井，是一条水渠（点在上），区域是水培植物试验区．已知，于点，点是的中点，且．现以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系（图中个单位长度表示），得到边所在直线的函数表达式为，点的坐标为．（小路和水渠的宽度以及水井的大小均忽略不计） ①求小路所在直线的函数表达式； ②求水培植物试验区的面积（即的面积）． 【答案】(1)； (2)①小路所在直线的函数表达式为； ②水培植物试验区的面积为 【分析】本题是考查一次函数与等腰三角形、全等三角形结合的几何综合题．熟悉一次函数的主要性质和根据坐标求函数解析式的方法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据一次函数的表达式得到一次函数与轴和轴的交点坐标，得到线段，的长度，进而得到的面积． （2）①根据所在直线的函数表达式为，得到，，，根据，结合勾股定理得到，继而根据待定系数法得到所在直线的函数表达式． ②根据所在直线的函数表达式得到，过点作于点，证明，得到，进而得到，，进而得到的面积． 【详解】（1）解： 一次函数表达式为， 当时，， 当时, 即，解得， 点，， ，， ， 故答案为：； （2）解：①所在直线的函数表达式为， 当时，， 当时，即， 解得：， 点，, ，， 把点代入，得：， 解得：， 点, 设点（），则有， ，， ， ， 解得：，经检验，是原方程的解，符合题意， 点， 设小路所在直线的函数表达式为，代入点，，得： ， 解得：， 小路所在直线的函数表达式为； ②所在直线的函数表达式为， 当时，， 点， ， 如图，过点作于点， ，， 又 ，点是的中点， 是的角平分线， , 在和中， ， ， ， ， ， ． 答：水培植物试验区的面积为． 一、单选题 1．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数（为常数，）的图象上的点满足横纵坐标的乘积等于，据此计算各选项横纵坐标的乘积，与对比即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴在该反比例函数的图象上的点的横纵坐标的乘积一定要为， ∵， ∴四个点中，只有点在该反比例函数的图象上， 故选：C． 2．将直线y=2x沿y轴向上平移1个单位长度后得到的直线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移问题，依据一次函数图象沿y轴平移“上加下减”的原则求解即可． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移1个单位长度后，所得直线解析式为， 故选：B 3．，，是正比例函数上的三个点，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质． 先根据得到正比例函数中，随的增大而减小，进而根据各点纵坐标判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴正比例函数中，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 4．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，根据对于任意一个x的值，都有唯一的一个y值对应，结合图形判定即可求解． 【详解】解：A、如图所示， 当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意； B、如图所示， 当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意； C、如图所示， 当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意； D、任取一个x的值，都有唯一的一个y值对应，符合题意； 故选：D ． 5．已知平面直角坐标系中有一点，无论m取何值，点P不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角坐标系内各象限的点坐标的特征、不等式组的应用等知识点，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征，列不等式组判断是否存在满足条件的m，即可确定点P不可能在的象限． 【详解】解：当点P在第一象限，则，解得：，即点P可能在第一象限； 当点P在第二象限，则，该不等式组无解，故点P不可能在第二象限； 当点P在第三象限，则，解得：，故点P可能在第三象限； 当点P在第四象限，则，解得：，故点P可能在第四象限． 故选B． 二、填空题 6．某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最小的是 ． 【答案】丁 【分析】本题考查从函数图象中获取信息以及正比例函数的图象，关键是明确在图象中，从原点到物质对应点的连线的倾斜程度表示该物质的密度，倾斜程度越小，密度越小． 【详解】解：设物质的质量、密度、体积分别用，，表示， 因为，所以，是正比例函数关系，直线的倾斜程度表示了物质的密度的大小， 由图可知，丁对应的连线的倾斜程度最小，因此丁的密度最小； 故答案为：丁． 7．若点，都在一次函数的图象上，则 （填“>”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，正确掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 根据一次函数图象的增减性，即可求解． 【详解】解：由一次函数，可知，随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 8．若反比例函数图象如图所示，则的值可以为 （写出一个符合要求的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，涉及解不等式组，数形结合得到满足的不等式组解集是解决问题的关键． 由图中点与反比例函数图象的位置关系得到当时，，解得；当时，，解得；从而得到，任意取满足范围的值即可得到答案． 【详解】解：由图可知，当时，，解得；当时，，解得； 综上所述，， 则可取， 故答案为：（答案不唯一）． 9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，过点和作一次函数的图像，再作与关于轴对称的一次函数的图像，则的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求一次函数解析式，先求一次函数与轴交点的坐标，再求点关于轴对称的点的坐标，最后利用待定系数法求的解析式即可． 【详解】解：令，即，解得， 故点的坐标为； 所以，点关于轴对称的点的坐标为， 设过点和点的一次函数的解析式为， ∴， 解得 所以，关于轴对称的函数的解析式为， 故答案为：． 10．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D为线段上的一点且其纵坐标为2，P为y轴上的一个动点，点，连接、，当的周长最小时，这个最小周长为 ． 【答案】/ 【分析】作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，进而根据对称性求得当点与重合时，的周长最小，再根据直线的表达式及点D为线段上的一点且其纵坐标为2，求出对应线段的长度，运用勾股定理求出的长，最后，求得的最小周长即可． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，连接，过点作轴于点． 当点与重合时，的周长最小，的周长， ∵点，是定点， ∴的长不变． ∵，点D为线段上的一点且其纵坐标为2， ∴，解得， ∴． ∴，． ∵点，点是关于轴对称的点， ∴， ∴点与点重合， ∴， ∴，， ∴的最小周长为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质求最值，一次函数的应用、勾股定理，掌握根据轴对称的性质求线段和的最值是解题的关键． 三、解答题 11．已知一次函数的图象经过原点． (1)求k的值； (2)点，点都在函数图象上，请比较p，q的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的定义、一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据一次函数的图象经过原点将代入计算即可求出k值； （2）根据正比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】（1）解：已知一次函数的图象经过原点， 且， ． （2）解：由条件可知一次函数为， ， 随着的增大而减小， 点，点都在函数图象上， ． 12．甲、乙两车同时从地出发，直行前往地，如图，折线与线段分别表示甲、乙两车的行程（单位：）与时间（单位：）的函数关系． (1)乙车的速度为______； (2)分别求线段，C对应的函数表达式； (3)当取何值时，甲、乙两车相距？ 【答案】(1) (2)， (3)当为或时，甲、乙两车相距 【分析】本题考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中的分段函数，关键是结合图象分析甲、乙两车的行驶状态，利用待定系数法求一次函数解析式，再根据两车距离分情况列方程求解． （1）乙车为匀速行驶，根据速度公式，用总路程除以总时间即可得到乙车速度； （2）线段是正比例函数，设解析式为，代入点求解系数；线段是一次函数，设解析式为，代入点和，解二元一次方程组得到系数和； （3）根据甲的行驶状态分三段讨论：(甲匀速行驶)、(甲静止)、(甲匀速追赶)，分别写出每段甲、乙的行程函数，根据两车距离为列方程，舍去超出取值范围的解，得到符合条件的值． 【详解】（1）解：根据图象，乙车的速度为； 故答案为：； （2）解：设线段对应的函数表达式为， ∵点在上， ∴将代入，得，解得， ∴线段的函数表达式为； 设线段对应的函数表达式为， ∵点、在上， ∴将两点坐标代入得，解得， ∴线段的函数表达式为； （3）解：线段的函数表达式为， 分三种情况讨论： ①当时，根据图象，线段的函数表达式为， 两车的距离为，解得， ，不符合的范围，故舍去； ②当时，甲的行程为， 两车的距离为，令，解得， ，符合该范围； ③当时，线段的函数表达式为， 此时两车的距离应为， 令，解得， ，符合该范围． 综上，当或时，甲、乙两车相距； 答：当为或时，甲、乙两车相距． 13．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，，． （1）作出关于y轴对称的，并写出对应点的坐标______； （2）在x轴上标出点P，使的和最小，并求出的最小值______． 【答案】(1)见详解, ;(2) 【分析】本题考查了轴对称的性质、平面直角坐标系中两点间距离公式，以及最短路径问题的应用． 解题关键是利用轴对称转化线段，将“最小”转化为“两点之间线段最短”，再结合两点间距离公式计算长度． （1）分别作出关于轴的对称点，写出的坐标即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，根据勾股定理计算的长即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求作的图形，点的坐标为； 故答案为：； （2）作点关于轴的对称点，连接与，与轴的交点即为点， ， 的最小值为． 故答案为：． 14．如图，已知直线：，直线：，与相交于点P，，分别与y轴相交于点A，B． (1)求点P的坐标． (2)结合图象，直接写出当时，x的取值范围． (3)点为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交和于点E，F，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，与不等式的关系． （1）联立直线，直线的函数表达式，解方程组求解交点坐标； （2）求得直线与x轴的交点，然后根据图象即可求得； （3）根据题意表示出E、F的坐标，再由得到关于m的方程，解之可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：在直线中，令，解得， 由图象可知：若，x的取值范围是； （3）解：由题意可知，， ∵， ∴， 解得：或． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图象，直接写出当时，的解集； (3)若点是轴上一点，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积． （1）采用待定系数法，把点代入函数，即可求出m的值，从而得到反比例函数解析式，进而求得点，用待定系数法求一次函数的解析式． （2）根据图象，不等式的解集就是反比例函数的图象位于一次函数图象上方时横坐标x的取值范围； （3）设点，直线与轴交于点，先求出一次函数与y轴的交点，根据的面积为，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点 反比例函数解析式为 ∵点在上， ， 将、代入得： 解得 ∴一次函数解析式为 （2）解：由图象可知，不等式的解集或 （3）解：设点，直线与轴交于点， 令，则， ， 的面积，即 或 解得或t=﹣4 ∴点的坐标为或 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 函数及其图象 教学目标 1.理解常量、变量、函数的定义，能准确判断一个变化过程是否为函数关系。 2.掌握一次函数（含正比例函数）、反比例函数的概念，能熟练判断函数类型。 3.掌握一次函数和反比例函数的图象与性质，能根据解析式判断图象象限、根据性质比较函数值大小。 4.会用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，会用描点法画函数图象。 5.理解函数与方程、不等式的联系，能运用函数知识解决几何综合、实际应用问题，体会数形结合思想。 教学重难点 重点 1.一次函数、反比例函数的概念、图象与基本性质。 2.用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式。 3.反比例函数比例系数的几何意义及应用。 4.一次函数与方程、不等式、方程组的内在联系。 5.运用一次函数、反比例函数模型解决简单的实际问题。 难点 1.一次函数与反比例函数的图象、性质的综合运用。 2.函数与几何图形（三角形、四边形）的综合问题（面积计算、图形变换）。 3.数形结合思想在函数问题中的灵活运用（如利用图象解不等式、求最值）。 4.根据实际问题建立函数模型，并结合自变量的实际意义求解。 5.一次函数、反比例函数与几何变换（平移、轴对称）的综合问题。 知识点01：常量与变量 1.在某一变化过程中， 称为常量； 称为变量。 2.变量分为自变量和因变量，因变量随自变量的变化而变化，二者是相对的，可根据研究过程相互转换。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 知识点02：函数的定义 1 一般地，在一个变化过程中有两个变量和，对于的 ，都有 与之对应，称是的函数，是自变量，是因变量。 2. 函数的核心特征：两个变量、一一对应、变量间存在确定的变化关系。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）下列各曲线中不能表示是的函数是（    ） A． B． C． D． 知识点03：平面直角坐标系 平面内画两条 、 、 的数轴，建立平面直角坐标系，水平数轴为 轴（横轴），竖直数轴为轴（纵轴）。 平面内的点与有序实数对 ，点的坐标特征可用于判断点所在 或坐标轴位置。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列平面直角坐标系的画法正确的是（ ） A． B． C． D． 知识点04：函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 解析法 用数学表达式表示两个变量的函数关系（如） 准确反映变量间的 部分函数无法用表达式表示 列表法 用表格列出自变量与对应因变量的值 直接找出自变量和函数值的 对应值有限，无法体现整体变化规律 图象法 用平面直角坐标系中的图形表示函数关系 直观、形象体现变量的 图象为近似图形，函数值读取不够精准 【即学即练】 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是 ． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 知识点05：一次函数的概念 1 一般地，形如（，为常数，且）的函数，称为 ，是 ，为 ，为常数项。 2 一次函数的自变量取值范围为 。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·浙江温州·月考）在下列函数中，不属于y关于x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点06：正比例函数（一次函数的特殊形式） 当一次函数中时，函数变为（为常数，且），称为 ，是特殊的 。 正比例函数的自变量取值范围为 ，图象必过坐标原点。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·四川巴中·期中）当 时，函数是正比例函数． 知识点07：一次函数与正比例函数的图象和性质 函数类型 表达式 图象 图象经过象限 函数性质 一次函数 一条直线 ：一、二、三象限 ：一、三、四象限 ：一、二、四象限 ：二、三、四象限 ：随的增大而增大 ：随的增大而减小 正比例函数 过原点的直线 ：一、三象限 ：二、四象限 ：随的增大而增大 ：随的增大而减小 一次函数图象的特殊点：必过（轴交点）和（轴交点）；正比例函数必过和。 一次函数图象平移规律：沿轴向上平移个单位得，向下平移个单位得。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．它的图象经过第一、二、三象限 D．它的图象与直线平行 知识点08：反比例函数的概念 一般地，形如（为常数，且 ）的函数，称为反比例函数，也可表示为或。 反比例函数的自变量取值范围为 ，因变量取值范围为 。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·河南新乡·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 知识点09：反比例函数的图象和性质 表达式 图象 图象经过象限 函数性质 双曲线（两个分支） 第一、三象限 在每个象限内，随的 双曲线（两个分支） 第二、四象限 在每个象限内，随的 反比例函数的图象关于原点中心对称，双曲线的两个分支无限靠近坐标轴，但 。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·河南信阳·期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．图象在第一、三象限 C．图象经过点 D．当时， 知识点10：反比例函数比例系数的几何意义 过反比例函数图象上任意一点，向轴、轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的 为。 连接反比例函数图象上任意一点与原点，该点向坐标轴作垂线，围成的 为。 若已知上述矩形或三角形的面积，可直接求得，结合图象所在象限确定的正负。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于，两点，过点作轴于点，则的面积为 ． 题型01确定函数自变量的取值范围 方法技巧：1.整式型函数（如一次函数）：自变量取全体实数；2.分式型函数（如反比例函数）：分母≠0；3.二次根式型：被开方数≥0；4.实际问题：结合实际意义确定（如长度、数量为正数）。 【典例1】. （25-26九年级上·湖南株洲·期末）函数中，自变量x的取值范围为 【变式1】. （25-26八年级上·上海·期中）函数中的取值范围为 ． 【变式2】. （2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【变式3】. （2025·黑龙江绥化·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围为 ． 题型02判断是否为一次/反比例函数 方法技巧：1.一次函数：整理后符合，注意含项次数为1、不为0；2.正比例函数：符合（一次函数特殊形式）；3.反比例函数：整理后符合、或，注意不为0。 【典例2】. （25-26九年级上·山西吕梁·期末）下列函数是反比例函数的是（        ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·四川达州·期末）下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】. （24-25九年级上·广东深圳·月考）有下列函数：①：②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03用待定系数法求一次函数解析式 方法技巧：1.设解析式：一般式，正比例函数直接设；2.代点：将已知点的坐标代入解析式，得到关于、的方程（组）；3.求解：解一元一次方程或二元一次方程组，得、的值；4.回代：将、代入所设解析式，得到最终表达式。 【典例3】. （2025八年级上·全国·专题练习）已知一次函数，当时，，则 ． 【变式1】. （25-26八年级上·江苏南京·期末）一次函数的图象向上平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ． 【变式2】. （25-26八年级上·上海·期末）一条直线经过原点，且与直线平行，则这条直线的解析式为 ． 【变式3】. （25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）已知直线与轴，轴分别交于点和点，点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数表达式为 ． 题型04用待定系数法求反比例函数解析式 方法技巧：1.设解析式：或；2.代点：将图象上任意一点的坐标代入，得到关于的一元一次方程；3.求解：求出的值，结合图象象限确定正负；4.回代：将代入所设解析式。 【典例4】. （25-26九年级上·河南郑州·期末）写出一个图象位于第二、四象限的反比例函数的表达式： ． 【变式1】. （23-24八年级上·上海金山·期中）已知y与x成反比例，并且经过，则y与x的函数关系式是 ． 【变式2】. （25-26九年级上·湖南怀化·月考）已知y与成反比例，且当时，则y与x之间的函数关系式为 ． 【变式3】. （25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，，）的图象经过的顶点，顶点在轴的负半轴上，若顶点的坐标为，，则的值为 ． 题型05判断函数图象所在象限 方法技巧：1.一次函数：根据的正负确定增减性，结合的正负确定与轴交点，进而判断象限；2.正比例函数：直接根据的正负判断（一、三，二、四）；3.反比例函数：直接根据的正负判断（一、三，二、四）。 【典例5】. （25-26九年级上·云南昆明·期末）若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【变式1】. （25-26八年级上·广东清远·期末）在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【变式2】. （25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 【变式3】. （18-19九年级上·全国·单元测试）反比例函数的图象经过点，则它的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 题型06根据函数性质比较函数值大小 方法技巧：1.一次函数：先判断的正负确定增减性，再比较自变量大小，进而判断函数值大小；2.反比例函数：先判断点是否在同一象限，同一象限内根据的正负结合增减性判断，不同象限直接根据函数值正负判断。 【典例6】. （25-26九年级上·河北石家庄·期末）反比例函数的图象在直角坐标系中的位置如图，若点，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·山东烟台·期末）已知点，，都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，若点与在一次函数的图像上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【变式3】. （25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知点、均在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型07利用反比例函数的几何意义求面积/参数 方法技巧：1.求面积：直接利用“矩形面积、直角三角形面积”计算；2.求参数：先根据几何图形面积求出，再结合图象所在象限确定的正负；3.复杂图形：将面积转化为含上述矩形/三角形的和或差，再利用的几何意义求解。 【典例7】. （25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于，则的面积为 ． 【变式1】. （25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为为轴上的一点，连接，则的面积为 ． 【变式2】. （25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为 ． 【变式3】. （25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 题型08一次函数与方程/不等式的综合应用 方法技巧：1.与一元一次方程：求直线与轴交点的横坐标即为方程的解；2.与一元一次不等式：根据直线在轴上方/下方的区域，确定不等式/的解集；3.与方程组：求两条直线的交点坐标，即为对应二元一次方程组的解。 【典例8】. （25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，直线，相交于点P，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式1】. （25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，． (1)求直线的函数解析式． (2)直线交直线于点，交直线于点，且点在点的右边，求的取值范围． 【变式3】. （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与一次函数的图象交于点．点是一次函数与轴的交点． (1)分别求这两个一次函数的表达式； (2)关于x，y的二元一次方程组的解为____________________； (3)如图，是一次函数与轴的交点，连接，求的面积． 题型09函数图象的平移与几何变换 方法技巧：1.一次函数平移：沿轴上下平移个单位，解析式为，沿轴左右平移需整理为斜截式再判断；2.轴对称变换：根据轴对称的性质，找到图象上关键点的对称点，再求对称后的函数解析式；3.反比例函数变换：结合中心对称性质，确定变换后的取值。 【典例9】. （24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移至，若点的对应点的坐标为，则线段平移的方式可以为（   ） A．向右平移4个单位，向下平移5个单位 B．向左平移5个单位，向上平移4个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移5个单位，向下平移4个单位 【变式1】. （24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的． (2)平移，若点对应的点的坐标为，画出，点的坐标为________； (3)当，绕某一点旋转可以得到（2）中的，直接写出旋转中心的坐标：________． 【变式2】. （25-26九年级上·湖北宜昌·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，． (1)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的 ； (2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的 ； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为 ． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·课后作业）若坐标平面上的点作如下平移：沿轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿轴方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫作这一平移的平移量． (1)把坐标平面上的点先向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则平移量为______；若把坐标平面上的点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移量为______． (2)动点从坐标原点出发，先按照平移量平移到点，再按照平移量平移到点；若先把动点按照平移量平移到点，再按照平移量平移，最后的位置还是点吗？ ①在图中画出四边形． ②求四边形的面积． (3)动点从坐标原点出发，先按照平移量平移到点，再按照平移量平移到点，最后按照平移量平移回到出发点．则______． 题型10一次函数与几何图形的面积综合 方法技巧：1.图形边在坐标轴上：直接以坐标轴上的边为底，交点的横/纵坐标绝对值为高，用面积公式计算；2.图形边不在坐标轴上：采用割补法，将图形转化为若干个底/高在坐标轴上的三角形/梯形的和或差；3.关键步骤：将点的坐标转化为线段长度，线段长度转化为点的坐标，常作坐标轴的垂线段为辅助线。 【典例10】. （24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】. （24-25七年级下·江西宜春·期末）如图1，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_____，______，三角形的面积是______； (2)如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【变式2】. （24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 【变式3】. （24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 题型11一次函数与反比例函数的交点问题 方法技巧：1.求交点坐标：联立解析式，消去得到一元二次方程，解方程得的值，回代求；2.利用交点解不等式：根据图象，确定一次函数图象在反比例函数图象上方/下方对应的取值范围。 【典例11】. （25-26九年级上·江西南昌·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式． (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【变式1】. （25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)尺规作图，若点P是直线上一定点，过点P作x轴的垂线，垂足为点C，交反比例函数于点Q．（请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)在（2）的条件下，将点P为直线上一定点改成直线上一动点，其余条件不变．设点P的横坐标为，当点P在点Q的上方时，请直接写出点P的横坐标的取值范围___________． 【变式2】. （25-26九年级下·山西运城·期末）一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标． (2)根据图象直接写出不等式的解集． (3)在x轴上有一动点P，连接，，当面积为18时，直接写出点P的坐标． 【变式3】. （25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求的值； (2)根据图象直接写出不等式时的取值范围； (3)若动点在轴上，求的最小值． 题型12函数的实际应用 方法技巧：1.建模：理清变量关系；2.定范围：根据实际问题确定自变量的取值范围（如整数、正数）；3.求最值：根据的正负判断函数的增减性，结合自变量取值范围的端点求最值；4.定方案：根据最值或条件要求，确定符合题意的实际方案。 【典例12】. （25-26八年级上·安徽安庆·期末）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多，某品牌的“”店主销纯电动汽车和插电混动汽车，两种主销车型的有关信息如表： 车型 纯电动汽车 插电混动汽车 进价/(万元/辆) 新能源积分/(分/辆) 8 2 购进数量/辆 (1)2月份该“”店共花费万元购进，两种车型，且全部售出共获得新能源积分分，设购进，型号的车分别为辆、辆，则，分别为多少？ (2)因汽车供不应求，该“”店5月份决定购进，两种车型共辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于分，已知新能源积分每分可获得万元的补贴，那么5月份如何进货才能使“”店获得的补贴最大？并求出最大值． 【变式1】. （25-26八年级上·浙江杭州·期末）钱塘绿道是集生态、运动、休闲、文化、便民等多功能于一体的复合型城市生态廊道．甲、乙在一段绿道上进行运动，两人同时同地出发，甲全程匀速骑行，乙先匀速跑步再选择匀速骑行，最后同时到达终点．已知甲、乙的运动路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)求乙匀速骑行时，关于的函数解析式． (2)当两人相距1千米时，求运动时间的值． 【变式2】. （25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，A、B两地与图书馆位于一直线上且位于图书馆两侧．甲，乙两位同学分别从A、B两地出发，相约到图书馆学习．已知甲步行先出发，几分钟后乙从B地以100米/分钟的速度慢跑出发，并且比甲先到达图书馆．下图2是表示两人之间的距离s（米）和甲离开A地的时间t（分钟）的关系图． (1)B地到图书馆的路程是______米； (2)求甲的步行速度； (3)求两人何时相距2300米？ 【变式3】. （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题提出】 (1)如图，一次函数与轴、轴分别交于点、，为坐标原点，则的面积为 ； 【解决问题】 (2)如图，是某植物园的花卉培育基地示意图，和是两条小路，和的交点处有一口水井，是一条水渠（点在上），区域是水培植物试验区．已知，于点，点是的中点，且．现以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系（图中个单位长度表示），得到边所在直线的函数表达式为，点的坐标为．（小路和水渠的宽度以及水井的大小均忽略不计） ①求小路所在直线的函数表达式； ②求水培植物试验区的面积（即的面积）． 一、单选题 1．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 2．将直线y=2x沿y轴向上平移1个单位长度后得到的直线解析式为（   ） A． B． C． D． 3．，，是正比例函数上的三个点，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知平面直角坐标系中有一点，无论m取何值，点P不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 6．某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最小的是 ． 7．若点，都在一次函数的图象上，则 （填“>”或“<”）． 8．若反比例函数图象如图所示，则的值可以为 （写出一个符合要求的即可）． 9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，过点和作一次函数的图像，再作与关于轴对称的一次函数的图像，则的函数表达式为 ． 10．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D为线段上的一点且其纵坐标为2，P为y轴上的一个动点，点，连接、，当的周长最小时，这个最小周长为 ． 三、解答题 11．已知一次函数的图象经过原点． (1)求k的值； (2)点，点都在函数图象上，请比较p，q的大小． 12．甲、乙两车同时从地出发，直行前往地，如图，折线与线段分别表示甲、乙两车的行程（单位：）与时间（单位：）的函数关系． (1)乙车的速度为______； (2)分别求线段，C对应的函数表达式； (3)当取何值时，甲、乙两车相距？ 13．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，，． （1）作出关于y轴对称的，并写出对应点的坐标______； （2）在x轴上标出点P，使的和最小，并求出的最小值______． 14．如图，已知直线：，直线：，与相交于点P，，分别与y轴相交于点A，B． (1)求点P的坐标． (2)结合图象，直接写出当时，x的取值范围． (3)点为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交和于点E，F，当时，求m的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图象，直接写出当时，的解集； (3)若点是轴上一点，且的面积为，求点的坐标． 1 / 17 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