7.3同底数幂的除法同步培优讲义（3知识点+5题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（新教材苏科版）

本讲义聚焦同底数幂的除法核心知识点，衔接7.1、7.2节的同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，系统梳理除法法则（含逆用）、零指数幂、负整数指数幂，通过定义推导、法则推广及易错提醒搭建完整学习支架。 资料特色在于知识梳理对比乘法法则培养抽象能力，题型设计典例与训练结合提升运算能力，易错点警示强化推理意识。课中辅助教师教学，课后检测助力学生查漏补缺，有效落实数学核心素养。

7.3同底数幂的除法同步培优讲义 （3知识点+5题型+过关检测） 【题型1 同底数幂的除法运算】 1 【题型2 同底数幂除法的逆用】 2 【题型3 幂的混合运算】 3 【题型4 零指数幂】 4 【题型5 负整数指数幂】 5 （1） 理解同底数幂除法的概念，明确其与同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的区别与联系； （2） 熟练掌握同底数幂除法的运算法则及逆用法则，牢记零指数幂、负整数指数幂的定义和运算性质； （3） 能运用法则解决对应计算题，熟练掌握指定的5类基础题型的解题思路，正确处理符号、指数运算、底数取值限制等易错情况； （4） 能熟练进行幂的混合运算，合理选择运算法则，避免公式混用。 03 知识•梳理 前置基础（衔接7.1、7.2节） 回顾前两节核心法则，明确与本节的关联，避免混用： · 同底数幂乘法：（m、n为正整数，底数不变，指数相加）； · 幂的乘方：（m、n为正整数，底数不变，指数相乘）； · 积的乘方：（n为正整数，每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）。 知识点一： 同底数幂的除法（重点） （1）定义 求两个同底数幂的商的运算，叫做同底数幂的除法。记作：（其中，m、n为正整数，且），读作“a的m次幂除以a的n次幂”。 关键提醒：底数a不能为0，因为0不能作为除数（如无意义）。 （2）法则推导（从具体到一般，类比乘法推导） 根据乘方的意义和除法的意义，结合同底数幂乘法法则推导： · 具体运算：； （）； · 一般推广（设，m、n为正整数，且）： （3）法则内容 文字表述：同底数幂相除，底数不变，指数相减（关键牢记“同底、相除、不变、相减”，与同底数幂乘法“指数相加”对比记忆）。 符号表述（核心公式）：（其中，m、n为正整数，且）。 （4）法则推广 三个或多个同底数幂相除时，法则仍然成立，即：（其中，m、n、p为正整数，且）。 示例：；（）。 （5）法则逆用 逆用目的：将指数相减的幂，转化为同底数幂的除法，用于简化计算、求值或求解指数方程（核心是“指数相减逆推为同底数幂相除”）。 逆用公式：（其中，m、n为正整数，且）。 示例：（）；。 知识点二： 零指数幂（重点+易错点） （1）定义（拓展法则适用范围） 当同底数幂的指数相等时（），根据除法意义，（）；结合同底数幂除法法则，，由此规定： 符号表述：（其中）。 文字表述：任何不等于0的数的0次幂都等于1。 （2）关键提醒（易错核心） · 前提条件：底数a不能为0，无意义（因为0不能作为除数）； · 易错区分：≠1，，（前提）。 知识点三： 负整数指数幂（重点+难点） （1）定义（进一步拓展法则适用范围） 当同底数幂的被除数指数小于除数指数时（），为了使同底数幂除法法则仍然成立，规定： 符号表述：（其中，n为正整数）。 文字表述：任何不等于0的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。 （2）核心性质与推广 · 性质1：（，n为正整数），即负整数指数幂可转化为正整数指数幂的倒数，也可转化为倒数的正整数指数幂； · 性质2：同底数幂除法法则可推广到所有整数指数幂，即（，m、n为任意整数）； · 示例：，，（）。 （3）关键提醒（易错核心） · 前提条件：底数a不能为0，如无意义； · 符号处理：负整数指数幂的符号由底数的符号决定，与指数的负号无关（指数的负号仅表示“倒数”），如，； · 运算顺序：先算乘方，再算倒数，避免错算为。 易错点警示（重中之重） · 1. 公式混用：切勿混淆同底数幂乘除法法则，牢记“相乘指数相加，相除指数相减”，如，正确为；同时区分幂的乘方（指数相乘），避免与除法混淆。 · 2. 底数取值：同底数幂除法、零指数幂、负整数指数幂中，底数a始终不能为0，忽略此前提会导致错误（如认为、均错误）。 · 3. 符号错误：负整数指数幂的符号由底数决定，指数的负号不影响符号（仅表示倒数）；计算负数的负整数指数幂时，先判断底数的乘方符号，再求倒数。 · 4. 零指数幂易错：误认为所有数的0次幂都等于1，忽略“底数不为0”的前提，如，需满足（即）。 · 5. 混合运算顺序：幂的混合运算（含乘、除、乘方），遵循“先算乘方，再算乘除，从左到右依次进行”，避免运算顺序错误，如，不能错算为。 · 6. 负整数指数幂转化易错：避免将错算为，牢记核心是“倒数”，如。 04 题型•汇总 【题型1 同底数幂的除法运算】 解题思路 先判断运算类型（是否为同底数幂相除），确认底数不为0，再遵循“底数不变，指数相减”的法则计算；若底数互为相反数，先转化为相同底数，再应用法则；指数为字母时，注意满足“指数差为合理整数”且底数不为0。 【典例1】．计算的结果是（   ） A．1 B． C． D． 跟随训练1-1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型2 同底数幂除法的逆用】 解题思路 核心是逆用公式（，m、n为整数），将指数为差的形式的幂，转化为两个同底数幂的商，用于简化计算、求值或求解指数方程；逆用时需确保底数相同且不为0。 【典例2】．已知，，则的值为（   ） A．12 B． C．7 D． 跟随训练2-1．若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 跟随训练2-2．若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【题型3 幂的混合运算】 解题思路 先明确运算顺序：先算幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后从左到右依次计算；有括号的先算括号内的；计算过程中注意底数不为0，正确区分各类幂的运算法则，避免公式混用，及时处理符号。 【典例3】．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．计算的结果是（      ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 零指数幂】 解题思路 核心是牢记零指数幂的定义：（），解题时先判断底数是否不为0（若底数含字母，需明确字母的取值限制），再直接应用定义计算；若底数为0，则该零指数幂无意义。 【典例4】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．计算的结果是（    ）． A．7 B．1 C．2 D．3 跟随训练4-2．如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【题型5 负整数指数幂】 解题思路 核心是应用负整数指数幂的定义：（，n为正整数），解题时先判断底数是否不为0，再将负整数指数幂转化为正整数指数幂的倒数（或倒数的正整数指数幂），再进行计算；注意符号处理和运算顺序。 【典例5】．若无意义，则是（    ） A． B． C．2 D．8 跟随训练5-1．已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 05 过关•检测 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C．3 D． 3．计算结果是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） ①②③④⑤ A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 5．若，，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．若，则（    ）． A． B． C． D． 7．已知的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，河南省一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，可知河南省的总面积约为（    ） A． B． C． D． 8．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，六进制中的表示的是八进制中的（    ） A．441 B．701 C．451 D．711 9．已知，则的值为 ． 10．若，则 ． 11．计算： ． 12．若与为同类项，则的值为 ． 13．定义一种新运算“”：若，则规定．当时，则整数x的值为 ． 14．在2025年最新量子芯片时序精度研究中，科研人员会用到皮秒级别的脉冲信号来控制量子比特的状态切换．已知1皮秒等于0.000000000001秒，数据0.000000000001用科学记数法应记作 ． 15．运算能力计算： (1)； (2)． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 18．已知．，，． (1)求的值； (2)求的值． 19．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 20．阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3同底数幂的除法同步培优讲义 （3知识点+5题型+过关检测） 【题型1 同底数幂的除法运算】 1 【题型2 同底数幂除法的逆用】 2 【题型3 幂的混合运算】 3 【题型4 零指数幂】 4 【题型5 负整数指数幂】 5 （1） 理解同底数幂除法的概念，明确其与同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的区别与联系； （2） 熟练掌握同底数幂除法的运算法则及逆用法则，牢记零指数幂、负整数指数幂的定义和运算性质； （3） 能运用法则解决对应计算题，熟练掌握指定的5类基础题型的解题思路，正确处理符号、指数运算、底数取值限制等易错情况； （4） 能熟练进行幂的混合运算，合理选择运算法则，避免公式混用。 03 知识•梳理 前置基础（衔接7.1、7.2节） 回顾前两节核心法则，明确与本节的关联，避免混用： · 同底数幂乘法：（m、n为正整数，底数不变，指数相加）； · 幂的乘方：（m、n为正整数，底数不变，指数相乘）； · 积的乘方：（n为正整数，每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）。 知识点一： 同底数幂的除法（重点） （1）定义 求两个同底数幂的商的运算，叫做同底数幂的除法。记作：（其中，m、n为正整数，且），读作“a的m次幂除以a的n次幂”。 关键提醒：底数a不能为0，因为0不能作为除数（如无意义）。 （2）法则推导（从具体到一般，类比乘法推导） 根据乘方的意义和除法的意义，结合同底数幂乘法法则推导： · 具体运算：； （）； · 一般推广（设，m、n为正整数，且）： （3）法则内容 文字表述：同底数幂相除，底数不变，指数相减（关键牢记“同底、相除、不变、相减”，与同底数幂乘法“指数相加”对比记忆）。 符号表述（核心公式）：（其中，m、n为正整数，且）。 （4）法则推广 三个或多个同底数幂相除时，法则仍然成立，即：（其中，m、n、p为正整数，且）。 示例：；（）。 （5）法则逆用 逆用目的：将指数相减的幂，转化为同底数幂的除法，用于简化计算、求值或求解指数方程（核心是“指数相减逆推为同底数幂相除”）。 逆用公式：（其中，m、n为正整数，且）。 示例：（）；。 知识点二： 零指数幂（重点+易错点） （1）定义（拓展法则适用范围） 当同底数幂的指数相等时（），根据除法意义，（）；结合同底数幂除法法则，，由此规定： 符号表述：（其中）。 文字表述：任何不等于0的数的0次幂都等于1。 （2）关键提醒（易错核心） · 前提条件：底数a不能为0，无意义（因为0不能作为除数）； · 易错区分：≠1，，（前提）。 知识点三： 负整数指数幂（重点+难点） （1）定义（进一步拓展法则适用范围） 当同底数幂的被除数指数小于除数指数时（），为了使同底数幂除法法则仍然成立，规定： 符号表述：（其中，n为正整数）。 文字表述：任何不等于0的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。 （2）核心性质与推广 · 性质1：（，n为正整数），即负整数指数幂可转化为正整数指数幂的倒数，也可转化为倒数的正整数指数幂； · 性质2：同底数幂除法法则可推广到所有整数指数幂，即（，m、n为任意整数）； · 示例：，，（）。 （3）关键提醒（易错核心） · 前提条件：底数a不能为0，如无意义； · 符号处理：负整数指数幂的符号由底数的符号决定，与指数的负号无关（指数的负号仅表示“倒数”），如，； · 运算顺序：先算乘方，再算倒数，避免错算为。 易错点警示（重中之重） · 1. 公式混用：切勿混淆同底数幂乘除法法则，牢记“相乘指数相加，相除指数相减”，如，正确为；同时区分幂的乘方（指数相乘），避免与除法混淆。 · 2. 底数取值：同底数幂除法、零指数幂、负整数指数幂中，底数a始终不能为0，忽略此前提会导致错误（如认为、均错误）。 · 3. 符号错误：负整数指数幂的符号由底数决定，指数的负号不影响符号（仅表示倒数）；计算负数的负整数指数幂时，先判断底数的乘方符号，再求倒数。 · 4. 零指数幂易错：误认为所有数的0次幂都等于1，忽略“底数不为0”的前提，如，需满足（即）。 · 5. 混合运算顺序：幂的混合运算（含乘、除、乘方），遵循“先算乘方，再算乘除，从左到右依次进行”，避免运算顺序错误，如，不能错算为。 · 6. 负整数指数幂转化易错：避免将错算为，牢记核心是“倒数”，如。 04 题型•汇总 【题型1 同底数幂的除法运算】 解题思路 先判断运算类型（是否为同底数幂相除），确认底数不为0，再遵循“底数不变，指数相减”的法则计算；若底数互为相反数，先转化为相同底数，再应用法则；指数为字母时，注意满足“指数差为合理整数”且底数不为0。 【典例1】．计算的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，运用同底数幂的除法法则求解即可． 【详解】解：∴， 故选：B． 跟随训练1-1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方，需根据各法则计算后判断选项正误． 【详解】解：A、同底数幂相除，底数不变，指数相减，故，该选项不符合题意； B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，该选项符合题意； C、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故，该选项不符合题意； D、幂的乘方，底数不变，指数相乘，故，该选项不符合题意； 故选：B． 跟随训练1-2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，需运用同底数幂的除法法则及幂的符号法则求解，即可作答． 【详解】解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，负数的奇次幂为负数 ∴， 故选：D． 【题型2 同底数幂除法的逆用】 解题思路 核心是逆用公式（，m、n为整数），将指数为差的形式的幂，转化为两个同底数幂的商，用于简化计算、求值或求解指数方程；逆用时需确保底数相同且不为0。 【典例2】．已知，，则的值为（   ） A．12 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，需将转化为以2为底的幂，再利用同底数幂的除法性质计算即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即， ∵（同底数幂除法性质：）， 又∵， ∴原式． 故选：B． 跟随训练2-1．若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆用； 利用指数运算的性质，将所求表达式分解为已知指数的形式，再代入数值计算． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 跟随训练2-2．若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】将所求表达式利用指数法则化简为，再根据已知条件求出的值． 本题主要考查了同底数幂除法以及幂的乘方的逆应用，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 【题型3 幂的混合运算】 解题思路 先明确运算顺序：先算幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后从左到右依次计算；有括号的先算括号内的；计算过程中注意底数不为0，正确区分各类幂的运算法则，避免公式混用，及时处理符号。 【典例3】．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的混合运算，掌握幂的运算性质是解题的关键；先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后把负整数指数幂化为正整数指数幂即可． 【详解】解：； 故选：C． 跟随训练3-1．计算的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则即可求解． 此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方公式和同底数幂的除法公式． 【详解】， 故选D． 跟随训练3-2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合和运算及合并同类项．根据幂的运算法则，合并同类项法则逐一计算，即可得出答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【题型4 零指数幂】 解题思路 核心是牢记零指数幂的定义：（），解题时先判断底数是否不为0（若底数含字母，需明确字母的取值限制），再直接应用定义计算；若底数为0，则该零指数幂无意义。 【典例4】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂． 依据零指数幂的运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 跟随训练4-1．计算的结果是（    ）． A．7 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂的运算，有理数的减法运算，掌握好相关知识是关键． 任何非零实数的零指数幂都等于1，化简后直接计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 跟随训练4-2．如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件．根据零指数幂成立的条件是底数，当该等式不成立时，底数为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵不成立， ∴， ∴． 故选：D 【题型5 负整数指数幂】 解题思路 核心是应用负整数指数幂的定义：（，n为正整数），解题时先判断底数是否不为0，再将负整数指数幂转化为正整数指数幂的倒数（或倒数的正整数指数幂），再进行计算；注意符号处理和运算顺序。 【典例5】．若无意义，则是（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查负整数指数幂、求代数式的值，先根据该条件求出x的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵无意义， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 跟随训练5-1．已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则分别计算出的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵负整数指数幂法则：，零指数幂法则： ∴， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 跟随训练5-2．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方、零指数幂、同底数幂的除法、负整数指数幂的运算；需根据幂的乘方、零指数幂、同底数幂的除法、负整数指数幂的运算法则，逐一分析各选项的运算是否正确． 【详解】解：∵对于选项A，根据幂的乘方法则，， ∴A运算错误，故本选项不符合题意； ∵对于选项B，根据零指数幂法则，任何非零数的0次幂都为1，即， ∴B运算错误，故本选项不符合题意； ∵对于选项C，根据同底数幂的除法法则，， ∴C运算正确，故本选项符合题意； ∵对于选项D，根据负整数指数幂法则，， ∴D运算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 05 过关•检测 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则逐一验证选项． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项错误，不符合题意； C. ，该选项正确，符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．计算的结果为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，需运用同底数幂的除法法则计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：B 4．下列运算正确的是（    ） ①②③④⑤ A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查指数运算规则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、负整数指数幂、同底数幂相除和零指数等性质． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴①正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴②错误； ∵负指数定义，（）， ∴③正确； ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴④错误； ∵零指数定义，任何非零数的零次幂等于1， ∴⑤正确． 综上，①③⑤正确， 故选：B． 5．若，，，，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 分别计算出a、b、c、d的具体数值，再比较数值大小即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 又∵， ∴． 故选：B． 6．若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法的逆用，负整数指数幂．本题先通过幂的乘方将底数统一为5，再利用同底数幂的乘法法则化简式子，最后结合已知条件求出指数的值，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：D． 7．已知的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，河南省一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，可知河南省的总面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的除法运算，同底数幂的除法． 用河南省一年内从太阳得到的能量对应的煤的质量除以每平方千米土地从太阳得到的能量对应的煤的质量，即可求出河南省总面积． 【详解】解：∵河南省总面积=总能量对应煤的质量÷每平方千米对应煤的质量 ∴总面积 ． 故选：D． 8．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，六进制中的表示的是八进制中的（    ） A．441 B．701 C．451 D．711 【答案】B 【分析】本题主要考查了不同进制数之间的转换，先把六进制数2025转换成十进制数，再把对应的十进制数转换成八进制数即可得到答案． 【详解】解：， ∴表示十进制数449， ∵， ∴十进制数449表示成八进制数为， ∴六进制中的表示的是八进制中的， 故选：B． 9．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查同底数的除法和幂的乘方，先将25和125化为以5为底的幂，再利用同底数幂的除法法则和指数相等求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因此， 解得． 故答案为：1． 10．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握同底数幂除法运算法则是解题的关键． 利用同底数幂的除法法则：进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．若与为同类项，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了同底数幂相除，同类项，首先简化表达式，利用指数法则得到；由于该表达式与为同类项，故指数相同，即；然后代入求值 ，通过关系式计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵与为同类项， 故， 则， 故答案为：10． 13．定义一种新运算“”：若，则规定．当时，则整数x的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了幂运算，包括零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握幂运算法则是关键．根据新定义可得，再分三种情况求解即可． 【详解】解：当时， ， 分三种情况： 当时，，此时底数，但x不是整数，不符合题意，舍去； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，，不符合题意，舍去； 综上所述，整数x的值为0． 故答案为：0． 14．在2025年最新量子芯片时序精度研究中，科研人员会用到皮秒级别的脉冲信号来控制量子比特的状态切换．已知1皮秒等于0.000000000001秒，数据0.000000000001用科学记数法应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数为负，其绝对值n等于第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：0.000000000001的小数点向右移动12位得到1，因此该数可表示为， 故答案为：． 15．运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关知识是做题的关键． （1）先算零指数幂，负整数指数幂，乘方，再算加减即可； （2）先算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，再算加减即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3)1 (4) 【分析】本题考查幂的运算、有理数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数的乘除运算法则计算即可； （2）先利用幂的乘方运算法则计算，再根据同底数幂的乘除运算法则计算即可； （3）先计算括号内的幂的运算，再进行同底数幂的除法运算即可； （4）先分别计算绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行乘法和加减原式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 17．计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）逆用同底数幂的除法法则计算即可； （2）先逆用同底数幂乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 18．已知．，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，结合，，解答即可． （2）根据得到，后解答即可． 本题考查了同底数幂的乘法，除法，幂的乘方的逆应用，熟练掌握公式的逆应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：， ， ， 又， ． 19．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解： ． 20．阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 【答案】(1) (2)①；②；③见详解 (3)①；②2 【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用题干的性质内容进行解题，即可作答． （2）①结合，得； ②根据①进行总结归纳，得（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数），结合，，，得，即； （3）模仿（2）的③，进行分析，即可作答． ②结合，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：①由（1）得，，， ∵， ∴； ②由①得，且 ∴（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数） 则根据对数定义，, 利用同底数幂的乘法性质：， ∴, 即； （3）解：①当且，，时， 设，， 则根据对数定义，， 利用同底数幂的除法性质：， ∴， 即， ， ②， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $