7.2幂的乘方与积的乘方同步培优讲义（2知识点+4题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（新教材苏科版）

本讲义聚焦幂的乘方与积的乘方核心知识点，衔接前置的同底数幂乘法，系统梳理三者区别，以“定义-推导-法则-推广-逆用”为支架，帮助学生构建从基础到逆用的知识体系。 资料通过法则推导培养推理意识，4类题型分层设计提升运算能力，易错点警示强化符号与公式辨析。课中辅助教师精准教学，课后检测助力学生查漏补缺，落实数学思维与应用能力培养。

7.2幂的乘方与积的乘方同步培优讲义 （2知识点+4题型+过关检测） 【题型1 幂的乘方运算】 1 【题型2 幂的乘方的逆用】 2 【题型3 积的乘方运算】 3 【题型4 积的乘方的逆用】 5 （1） 理解幂的乘方、积的乘方的概念，明确其与同底数幂乘法的区别与联系； （2）熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算法则，能准确用符号表示两个法则； （3）能运用两个法则及逆用解决对应计算题，掌握4类基础题型的解题思路，正确处理符号、指数运算等易错情况； （4）能区分同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的法则，避免公式混用。 03 知识•梳理 前置基础（衔接7.1同底数幂的乘法） 同底数幂乘法法则：（m、n为正整数），核心是“底数不变，指数相加”，注意与本节两个法则区分。 知识点一： 幂的乘方（重点） （1）定义 求n个相同幂的积的运算，叫做幂的乘方。记作：（其中m、n为正整数），读作“a的m次幂的n次方”。 示例：表示2个相乘，即，区别于同底数幂乘法（底数相同、指数不同的幂相乘）。 （2）法则推导（从具体到一般） 根据乘方的意义和同底数幂乘法法则推导： · 具体运算：； · 一般推广（设m、n为正整数）： （3）法则内容 文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘（关键牢记“幂的乘方、指数相乘”，与同底数幂乘法“指数相加”区分）。 符号表述（核心公式）：（m、n为正整数，a为任意可取值的底数，可表示正数、负数、字母、多项式）。 （4）法则推广 多个幂的乘方叠加时，法则仍然成立，即：（m、n、p为正整数）。 示例：。 （5）法则逆用 逆用目的：将指数拆分，简化计算、求值（核心是“指数相乘逆推为幂的乘方”）。 逆用公式：（m、n为正整数）。 示例：；。 知识点二： 积的乘方（重点） （1）定义 求几个因式的积的乘方，叫做积的乘方。记作：（其中n为正整数），读作“a与b的积的n次方”。 示例：表示2×3的平方，即，区别于（仅3进行乘方运算）。 （2）法则推导（从具体到一般） 根据乘方的意义和乘法交换律、结合律推导： · 具体运算：； · 一般推广（设n为正整数）： （3）法则内容 文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘（关键牢记“每一个因式都要乘方，不能漏乘”）。 符号表述（核心公式）：（n为正整数，a、b均可表示正数、负数、字母、单项式）。 （4）法则推广 三个或多个因式的积的乘方，法则仍然成立，即：（n为正整数）。 示例：；。 （5）法则逆用 逆用目的：将多个幂的乘积，转化为积的乘方，简化计算（核心是“因式乘方逆推为积的乘方”）。 逆用公式：（n为正整数），推广式：。 示例：；。 易错点警示 · 1. 公式混用：切勿混淆“同底数幂乘法”“幂的乘方”“积的乘方”。核心区别：（指数相加）、（指数相乘）、（各因式分别乘方）。 · 2. 积的乘方漏乘：计算时，必须将a、b分别乘方，再相乘，不能写成（如，正确为）。 · 3. 符号处理：当因式为负数时，注意乘方的符号（负数的奇次幂为负，偶次幂为正），如（偶次幂，符号为正），（奇次幂，符号为负）。 · 4. 逆用易错：幂的乘方逆用需拆分指数（拆分为两个正整数的乘积），积的乘方逆用需保证各幂的指数相同（如不能直接逆用积的乘方，需转化为）。 · 5. 底数为多项式：幂的乘方、积的乘方法则同样适用，如，。 04 题型•汇总 【题型1 幂的乘方运算】 解题思路 先判断运算类型（是否为幂的乘方，即“幂的n次方”），再遵循“底数不变，指数相乘”的法则，注意符号处理、指数为字母的情况，避免与同底数幂乘法混淆。 【典例1】．下列不属于幂的乘方的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．若是正整数，且，，则 ． 跟随训练1-2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 幂的乘方的逆用】 解题思路 核心是逆用公式，将题目中的指数拆分为两个正整数的乘积，转化为幂的乘方形式，简化计算或求值（常用于已知某幂的值，求相关幂的值）。 【典例2】．若，则的值是 跟随训练2-1．若，，则 ． 跟随训练2-2．已知，求的值． 【题型3 积的乘方运算】 解题思路 先判断运算类型（是否为“积的n次方”），再遵循“每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”的法则，重点注意：1. 每个因式都要乘方，不能漏乘；2. 负数因式的符号判断；3. 系数、字母、多项式因式分别处理。 【典例3】．计算： （1） ． （2） ． 跟随训练3-1．下列属于积的乘方的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 【题型4 积的乘方的逆用】 解题思路 核心是逆用公式（推广式），前提是“各幂的指数相同”，将多个幂的乘积转化为积的乘方形式，简化计算（尤其适用于系数为倍数关系、底数相乘为整数的情况）。 【典例4】．简便计算： (1)； (2)． 跟随训练4-1．计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 05 过关•检测 1．若，，则（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．下列各图中，能直观解释“”的是（　　） A． B． C． D． 4．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 5．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 6．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．计算的结果是 ． 10．已知，则的值为 ． 11．已知正整数满足，则 ． 12．已知，则的值为 ． 13．计算： ． 14．已知，则 ． 15．计算： (1)； (2)； (3) 16．已知，求的值． 17．已知，，求的值． 18．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 19．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ； (2)[说理]记．试说明； (3)[应用]若，求t的值． 20．规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ． (2)①若，，，请你尝试证明：；②若，，，则 （用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ， ， ，即． ． (3)结合上文结论，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2幂的乘方与积的乘方同步培优讲义 （2知识点+4题型+过关检测） 【题型1 幂的乘方运算】 1 【题型2 幂的乘方的逆用】 2 【题型3 积的乘方运算】 3 【题型4 积的乘方的逆用】 5 （1） 理解幂的乘方、积的乘方的概念，明确其与同底数幂乘法的区别与联系； （2）熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算法则，能准确用符号表示两个法则； （3）能运用两个法则及逆用解决对应计算题，掌握4类基础题型的解题思路，正确处理符号、指数运算等易错情况； （4）能区分同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的法则，避免公式混用。 03 知识•梳理 前置基础（衔接7.1同底数幂的乘法） 同底数幂乘法法则：（m、n为正整数），核心是“底数不变，指数相加”，注意与本节两个法则区分。 知识点一： 幂的乘方（重点） （1）定义 求n个相同幂的积的运算，叫做幂的乘方。记作：（其中m、n为正整数），读作“a的m次幂的n次方”。 示例：表示2个相乘，即，区别于同底数幂乘法（底数相同、指数不同的幂相乘）。 （2）法则推导（从具体到一般） 根据乘方的意义和同底数幂乘法法则推导： · 具体运算：； · 一般推广（设m、n为正整数）： （3）法则内容 文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘（关键牢记“幂的乘方、指数相乘”，与同底数幂乘法“指数相加”区分）。 符号表述（核心公式）：（m、n为正整数，a为任意可取值的底数，可表示正数、负数、字母、多项式）。 （4）法则推广 多个幂的乘方叠加时，法则仍然成立，即：（m、n、p为正整数）。 示例：。 （5）法则逆用 逆用目的：将指数拆分，简化计算、求值（核心是“指数相乘逆推为幂的乘方”）。 逆用公式：（m、n为正整数）。 示例：；。 知识点二： 积的乘方（重点） （1）定义 求几个因式的积的乘方，叫做积的乘方。记作：（其中n为正整数），读作“a与b的积的n次方”。 示例：表示2×3的平方，即，区别于（仅3进行乘方运算）。 （2）法则推导（从具体到一般） 根据乘方的意义和乘法交换律、结合律推导： · 具体运算：； · 一般推广（设n为正整数）： （3）法则内容 文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘（关键牢记“每一个因式都要乘方，不能漏乘”）。 符号表述（核心公式）：（n为正整数，a、b均可表示正数、负数、字母、单项式）。 （4）法则推广 三个或多个因式的积的乘方，法则仍然成立，即：（n为正整数）。 示例：；。 （5）法则逆用 逆用目的：将多个幂的乘积，转化为积的乘方，简化计算（核心是“因式乘方逆推为积的乘方”）。 逆用公式：（n为正整数），推广式：。 示例：；。 易错点警示 · 1. 公式混用：切勿混淆“同底数幂乘法”“幂的乘方”“积的乘方”。核心区别：（指数相加）、（指数相乘）、（各因式分别乘方）。 · 2. 积的乘方漏乘：计算时，必须将a、b分别乘方，再相乘，不能写成（如，正确为）。 · 3. 符号处理：当因式为负数时，注意乘方的符号（负数的奇次幂为负，偶次幂为正），如（偶次幂，符号为正），（奇次幂，符号为负）。 · 4. 逆用易错：幂的乘方逆用需拆分指数（拆分为两个正整数的乘积），积的乘方逆用需保证各幂的指数相同（如不能直接逆用积的乘方，需转化为）。 · 5. 底数为多项式：幂的乘方、积的乘方法则同样适用，如，。 04 题型•汇总 【题型1 幂的乘方运算】 解题思路 先判断运算类型（是否为幂的乘方，即“幂的n次方”），再遵循“底数不变，指数相乘”的法则，注意符号处理、指数为字母的情况，避免与同底数幂乘法混淆。 【典例1】．下列不属于幂的乘方的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需根据幂的乘方的定义，解题的关键是掌握幂的乘方的定义． 判断各选项是否符合（为整式，为正整数）的形式，进而找出不属于幂的乘方的选项． 【详解】解：A选项符合幂的乘方的形式，属于幂的乘方； B选项符合幂的乘方的形式，属于幂的乘方； C选项是底数为、指数为的单一幂，不符合幂的乘方的形式，不属于幂的乘方； D选项符合幂的乘方的形式，属于幂的乘方； 故选：C． 跟随训练1-1．若是正整数，且，，则 ． 【答案】900 【分析】本题考查了求代数式的值，积的乘方和幂的乘方综合应用，将原式化为，代值计算，即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 跟随训练1-2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型2 幂的乘方的逆用】 解题思路 核心是逆用公式，将题目中的指数拆分为两个正整数的乘积，转化为幂的乘方形式，简化计算或求值（常用于已知某幂的值，求相关幂的值）。 【典例2】．若，则的值是 【答案】2 【分析】本题考查指数运算，幂的乘方，同底数幂相乘等．根据题意先将等式左边整理，再将等式右边整理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 跟随训练2-1．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法法则的逆运用； 利用指数运算法则，将分解为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 故答案为 ：12． 跟随训练2-2．已知，求的值． 【答案】56 【分析】本题考查了求代数式的值，积的乘方，幂的乘方的逆用，根据积的乘方及幂的乘方的逆用将原式化为，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【题型3 积的乘方运算】 解题思路 先判断运算类型（是否为“积的n次方”），再遵循“每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”的法则，重点注意：1. 每个因式都要乘方，不能漏乘；2. 负数因式的符号判断；3. 系数、字母、多项式因式分别处理。 【典例3】．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方法则的应用． （1）利用积的乘方法则，将每个因式分别乘方； （2）同样应用积的乘方法则，并计算有理数的乘方． 【详解】解：（1）原式 ， 故答案为：； （2）原式 ， 故答案为：． 跟随训练3-1．下列属于积的乘方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方的概念，需明确积的乘方的定义：几个因式的积的乘方，即形如（为正整数）的运算，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项是和的乘方，不属于积的乘方； B选项是同底数幂的乘法，不属于积的乘方； C选项是幂的乘方，不属于积的乘方； D选项是2、、的积的5次方，符合积的乘方的定义； 故选：D． 跟随训练3-2．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方及其逆向应用，关键是熟练应用运算法则计算； （1）根据积的乘方运算法则计算即可； （2）逆向应用积的乘方的公式进行运算即可； （3）逆向应用积的乘方的公式进行运算即可； （4）逆向应用积的乘方的公式及运算律进行运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【题型4 积的乘方的逆用】 解题思路 核心是逆用公式（推广式），前提是“各幂的指数相同”，将多个幂的乘积转化为积的乘方形式，简化计算（尤其适用于系数为倍数关系、底数相乘为整数的情况）。 【典例4】．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 跟随训练4-1．计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于幂的运算，首先逆用同底数幂相乘的法则可得：原式，再逆用积的乘方的法则进行计算． 【详解】解： ． 跟随训练4-2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，乘法运算律，先把原式变形为，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 故选：D 05 过关•检测 1．若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；将转化为，再利用积的乘方公式变形，代入已知条件即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的运算性质，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据相关法则逐步计算即可． 【详解】解：   ． 故选：D． 3．下列各图中，能直观解释“”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方计算，掌握数形结合的思想求解是解题的关键；’根据长方形和正方形的面积计算公式逐项判断即可． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：，不符合题意； D：，符合题意． 故选：D ． 4．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；运用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 5．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算．先将小数转化为分数，再利用积的乘方的逆运算简化计算，最后结合有理数的乘方性质得出结果． 【详解】解：原式 故选：D． 6．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义、单项式乘多项式法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则，逐一判断各选项的运算是否正确． 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并，∴A选项运算错误． ∵根据单项式乘多项式法则，==，∴B选项运算正确． ∵根据同底数幂的乘法法则，，∴C选项运算错误． ∵根据幂的乘方法则，，∴D选项运算错误． 故选：B． 7．已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则化简等式右边，再根据同底数幂相等时指数相等的性质推导m与n的关系． 【详解】解：∵， 又∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， ∵，且底数且， ∴， 故选：A． 8．下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算的基本规则；根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项以及积的乘方的性质，逐一验证各选项. 【详解】对于选项A: ∵ ，∴ 正确； 对于选项B: ∵ ，∴ 正确； 对于选项C: ∵ ，∴ 不正确； 对于选项D: ∵ ，∴ 正确； 故选：C. 9．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是关键．先计算积的乘方，幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的乘方，同底数幂相乘的运算法则，是解题的关键． 将转化为，利用同底数幂的乘法法则合并指数，得到，从而指数相等，解方程得． 【详解】解：由， 将写成， ∴， ∴． ∵底数相等的幂相等， ∴指数相等， 即， 解得． 故答案为：3． 11．已知正整数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆向应用，关键是熟练应用运算法则进行计算；将原方程中的指数统一为 ，简化底数后得到 ，从而求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 12．已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方运算将和化为以2为底的幂，然后根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：8． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，关键是灵活应用运算法则进行计算；根据运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 14．已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查幂的运算，利用积的乘方法则将 展开为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解： = = ． ∵，， ∴． 故答案为： 6 15．计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了积的乘方，根据逐一运算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 16．已知，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方运算，以及整体代入的数学思想．解题的关键是将所求代数式转化为以2为底的幂，再利用已知条件进行整体代入计算． 【详解】解：由已知， 可得． 将转化为， 则． 代入， 得到 17．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则，熟记同底数幂的运算法则是解题的关键．先逆用同底数幂的运算法则及幂的乘方的运算法则得，再利用已知条件即可解答． 【详解】解：因为， 所以 18．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法以及若（且），则的结论，熟练掌握幂的运算法则和整体代换思想是解题的关键． （1）先将等式左边的底数统一为2，再根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． （2）先提取公因式，将等式左边化简，再把等式右边的数转化为以2为底的幂，最后根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ； (2)[说理]记．试说明； (3)[应用]若，求t的值． 【答案】(1)2； (2)见解析 (3)64． 【分析】本题考查了新定义运算与幂的运算性质，解题的关键是理解新定义等价于，并将其转化为熟悉的幂运算问题． （1）根据新定义，找到满足的值； （2）根据新定义将a，b，c转化为幂的形式，利用同底数幂乘法法则证明； （3）根据新定义将等式转化为幂的形式，利用幂的乘方与同底数幂乘法法则求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：设，，， 则，，． ∵， ∴． ∵， 又， ∴． 答：的值为64． 20．规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ． (2)①若，，，请你尝试证明：；②若，，，则 （用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ， ， ，即． ． (3)结合上文结论，求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② (3) 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义，熟记指数幂相关运算法则是解决问题的关键． （1）由新定义运算法则直接求解即可得到答案； （2）①由新定义运算法则及同底数幂的乘法运算法则证明即可；②按照①的证明思路求解即可得到答案； （3）按照材料中的探究过程，结合新定义运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如果，那么， ， ； ， ； 则， 故答案为：； （2）①证明：，，， ，，， ， ，即， ； ②由①的证明过程可知，，， ， ，即， 则， 故答案为：； （3）解： ； 设，，则， ， ， ， ， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $