7.1同底数幂的乘法 同步培优讲义（2知识点+3题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

7.1同底数幂的乘法同步培优讲义 （2知识点+3题型+过关检测） 【题型1 同底数幂相乘】 1 【题型2 同底数幂乘法的逆用】 2 【题型3 用科学记数法表示数的乘法】 3 （1） 理解同底数幂的概念，能准确判断两个或多个幂是否为同底数幂； （2） 掌握同底数幂的乘法法则，牢记“底数不变、指数相加”的核心，能熟练用符号表示法则（m、n为正整数）； （3）能运用法则解决基础计算题，包括底数为正数、负数、字母及多项式的同底数幂相乘，能正确处理符号、指数为1等易错情况。 03 知识•梳理 知识点一：幂的定义和同底数幂的定义 1. 幂的定义 求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作：，其中： · a叫做底数（可以是正数、负数、0，也可以是字母、单项式或多项式）； · n叫做指数（表示相同因数的个数，n为正整数）； · 读作“a的n次幂”或“a的n次方”。 示例：表示3个2相乘，即，其中底数是2，指数是3。 2. 同底数幂的定义 底数相同的两个或多个幂，叫做同底数幂。 示例：与（底数都是2）、与（底数都是-3）、与（底数都是a）、与（底数都是多项式m-n），均为同底数幂；而与（底数分别为2和3），不是同底数幂。 知识点二：同底数幂的乘法法则（重点） 1. 法则推导（从具体到一般，贴合教材推导逻辑） 根据乘方的意义，逐步推导规律： · 第一步：计算具体同底数幂相乘： · 第二步：推广到一般同底数幂相乘（设m、n为正整数）： 由此得出同底数幂的乘法法则，核心是“从具体运算抽象出一般规律”，体现数学模型思想和符号意识。 2. 法则内容 文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加（关键牢记“同底、相乘、不变、相加”八个字）。 符号表述（核心公式）：（其中m、n为正整数，a为任意可取值的底数）。 3. 法则推广（易错点延伸） 当有三个或三个以上同底数幂相乘时，法则仍然成立，即： （其中m、n、s为正整数） 示例：；（注意：单独的a的指数为1，省略不写）。 高频易错点解析（附错误原因） 易错点1：公式混用（最常见） 错误示例：、 错误原因：混淆同底数幂相乘（指数相加）与幂的乘方（指数相乘）的法则，未明确两种运算的本质区别（乘法vs乘方） 正确结果：、。 易错点2：符号错误 错误示例： 错误原因：未判断负数幂的符号，是负数的奇次幂，结果应为负 正确结果：。 易错点3：忽略底数相同的前提 错误示例： 错误原因：底数不同（2和3），强行应用同底数幂乘法法则 正确做法：无法转化为同底数幂，直接计算：。 04 题型•汇总 【题型1 同底数幂相乘】 【典例1】．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加可得结果． 【详解】解： ． 故答案为 ：． 跟随训练1-1．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 跟随训练1-2．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及有理数的乘方运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，以及统一底数的技巧是解题的关键． （1）直接运用同底数幂的乘法法则，将指数相加进行合并化简； （2）先把底数统一，再运用同底数幂的乘法法则计算指数和，最后得出结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型2 同底数幂乘法的逆用】 【典例2】．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，逆用同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选：C． 跟随训练2-1．代数式，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的性质，将转化为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 跟随训练2-2．已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，熟练掌握该法则是解题的关键． 观察数据，可得出，即可通过同底数幂的乘法法则得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【题型3 用科学记数法表示数的乘法】 【典例3】．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（    ）（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 跟随训练3-1．天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据路程速度时间的公式，代入光速和时间的数值，利用同底数幂的乘法法则计算1光年的距离，再选择正确选项． 【详解】解：1光年约为 （）， 故选：B． 跟随训练3-2．计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了科学记数法的运算，解题的关键是掌握科学记数法的乘法法则和幂的运算性质； （1）先将系数相乘，再将同底数幂相乘即可； （2）先将系数相乘，再将同底数幂相乘，再将其化为科学记数法形式； （3）先计算积的乘方，再利用同底数幂的乘法运算，系数相乘，再将其化为科学记数法形式． 【详解】（1）解：； （2）解：． （3）解：． 1．下列计算正确的是（    ）05 过关•检测 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算及合并同类项，需根据相关法则逐一判断选项的计算正误． 【详解】解：A．，故A不正确，不符合题意； B．，故B正确，符合题意； C．，不是同类项，不可加减，故C不正确，不符合题意； D．，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 2．关于与，下列说法正确的是（    ） A．底数相同，都是，指数也相同，都是2 B．底数不同，指数相同 C．底数相同，指数不同 D．底数和指数都不相同 【答案】B 【分析】本题考查幂的有关概念，分别确定两个式子的底数与指数，再对比判断选项． 【详解】解：∵表示的平方的相反数，其底数为，指数为2，表示的平方，其底数为，指数为2， ∴两个式子底数不同，指数相同． 故选：B． 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，关键是熟练应用法则计算；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可得出结果. 【详解】解：∵ ， ∴ . 故选：A． 4．下列幂的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逐一判断即可，解题关键是熟练计算． 【详解】解：A、，故原式错误，不符合题意； B、，故原式错误，不符合题意； C、，故原式正确，符合题意； D、，故原式错误，不符合题意， 故选：C． 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，需运用同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， 故选：B． 6．若，是正整数，的运算过程如下： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第三步运算的依据是（    ） A．同底数幂的乘法的性质 B．乘方的意义 C．乘法交换律和结合律 D．乘法的意义 【答案】A 【分析】本题考查了幂运算，熟练掌握幂运算的相关法则是解题的关键． 第三步将多个同底数幂的乘积写成指数相加的形式，依据是同底数幂的乘法性质． 【详解】解：∵ 第二步得到 和 （各 n 个）， ∴ 根据同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 即 和 ， ∴ 从第二步到第三步的运算依据是同底数幂的乘法的性质． 故选：A． 7．已知，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，准确的计算是解决本题的关键． 利用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 故选B． 8．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔，用了许多大石块，每块大石块重约，块这样的大石块总重约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法以及同底数幂的乘法法则进行计算和表示即可． 【详解】解：； 故选B． 9．若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是 米．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查路程问题及科学记数法等相关知识点，解题关键在于熟练掌握其知识点；根据距离公式，距离等于速度乘以时间，将速度和时间用科学记数法表示后相乘，并化简为标准的科学记数法形式. 【详解】解：火箭飞行的距离为速度乘以时间，即 由于科学记数法要求数字部分在1到10之间，因此将15表示为 ， 故答案为：. 10．若，则的值为 ． 【答案】27 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 根据同底数幂的乘法法则，将原式转化为指数相加的形式，再代入已知条件求解． 【详解】解：由同底数幂的乘法法则，， 已知， 所以， 故答案为：27． 11．若，则 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法运算法则，将 转化为 后代入已知条件计算 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 故答案为：6． 12．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，掌握好指数运算的法则是解题关键． 根据指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：根据指数运算法则，． 故答案为：． 13．已知（x，y是正整数），则 ． 【答案】64 【分析】本题考查了同底数幂相乘，求代数式的值，由方程可得，并将转化为，从而简化表达式为，整体代入计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：64． 14．若，，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法运算法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】解：原式， ∵，， ∴． 故答案为：6． 15．已知：，，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变指数相加，即． 逆用同底数幂的乘法法则，将 转化为 ，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为18． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （2）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （3）将原式变形为，利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 17．若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂运算的法则是关键． （1）根据题意，得到关于的方程，求解即可； （2）先根据同底数幂的运算法则，将转化为，化简并解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是有理数的乘方运算和同底数幂的乘法，本题是新定义型，掌握新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． （1）①②利用“雅对”定义解答即可； （2）利用“雅对”定义得到，，，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：①，②． 【提示】①， ； ②， ， ， ，即． （2）解：由题意可知，，，， ， 即， ． 19．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）可利用同底数幂的乘除运算法则，将转化为，结合已知条件求出其值，再根据指数的唯一性得到的值； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法则，将转化为，代入已知值计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ∵底数相同的幂相等时，指数相等， ∴． （2）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方，解题关键是熟练运用幂的运算公式，将所求式子转化为已知幂的组合形式，再代入计算． 20．如果，那么我们记．例如：因为，所以． (1)___________；，则___________． (2)已知，求的值； 【答案】(1)4；32 (2)3 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，本题是新定义型，熟练掌握新定义的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用新定义的规定列式解答即可； （2）利用新定义的规定列式求得，，再代入运算即可． 【详解】（1）解：， ； ， ． 故答案为：4；32； （2）解：， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 21．某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法等知识点，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解题的关键． （1）根据乘方的定义求解即可； （2）根据乘方的定义求解即可； （3）根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解：， ∴；   ， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵， ， ∴， ． （3）解：，理由如下： 设， ， ， ， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1同底数幂的乘法同步培优讲义 （2知识点+3题型+过关检测） 【题型1 同底数幂相乘】 1 【题型2 同底数幂乘法的逆用】 2 【题型3 用科学记数法表示数的乘法】 3 （1） 理解同底数幂的概念，能准确判断两个或多个幂是否为同底数幂； （2） 掌握同底数幂的乘法法则，牢记“底数不变、指数相加”的核心，能熟练用符号表示法则（m、n为正整数）； （3）能运用法则解决基础计算题，包括底数为正数、负数、字母及多项式的同底数幂相乘，能正确处理符号、指数为1等易错情况。 03 知识•梳理 知识点一：幂的定义和同底数幂的定义 1. 幂的定义 求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作：，其中： · a叫做底数（可以是正数、负数、0，也可以是字母、单项式或多项式）； · n叫做指数（表示相同因数的个数，n为正整数）； · 读作“a的n次幂”或“a的n次方”。 示例：表示3个2相乘，即，其中底数是2，指数是3。 2. 同底数幂的定义 底数相同的两个或多个幂，叫做同底数幂。 示例：与（底数都是2）、与（底数都是-3）、与（底数都是a）、与（底数都是多项式m-n），均为同底数幂；而与（底数分别为2和3），不是同底数幂。 知识点二：同底数幂的乘法法则（重点） 1. 法则推导（从具体到一般，贴合教材推导逻辑） 根据乘方的意义，逐步推导规律： · 第一步：计算具体同底数幂相乘： · 第二步：推广到一般同底数幂相乘（设m、n为正整数）： 由此得出同底数幂的乘法法则，核心是“从具体运算抽象出一般规律”，体现数学模型思想和符号意识。 2. 法则内容 文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加（关键牢记“同底、相乘、不变、相加”八个字）。 符号表述（核心公式）：（其中m、n为正整数，a为任意可取值的底数）。 3. 法则推广（易错点延伸） 当有三个或三个以上同底数幂相乘时，法则仍然成立，即： （其中m、n、s为正整数） 示例：；（注意：单独的a的指数为1，省略不写）。 高频易错点解析（附错误原因） 易错点1：公式混用（最常见） 错误示例：、 错误原因：混淆同底数幂相乘（指数相加）与幂的乘方（指数相乘）的法则，未明确两种运算的本质区别（乘法vs乘方） 正确结果：、。 易错点2：符号错误 错误示例： 错误原因：未判断负数幂的符号，是负数的奇次幂，结果应为负 正确结果：。 易错点3：忽略底数相同的前提 错误示例： 错误原因：底数不同（2和3），强行应用同底数幂乘法法则 正确做法：无法转化为同底数幂，直接计算：。 04 题型•汇总 【题型1 同底数幂相乘】 【典例1】．计算： ． 跟随训练1-1．计算： (1)； (2)； (3)； 跟随训练1-2．计算． (1)； (2)． 【题型2 同底数幂乘法的逆用】 【典例2】．若，则（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．代数式，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．18 跟随训练2-2．已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 【题型3 用科学记数法表示数的乘法】 【典例3】．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（    ）（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 跟随训练3-1．天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)； (3)． 1．下列计算正确的是（    ）05 过关•检测 A． B． C． D． 2．关于与，下列说法正确的是（    ） A．底数相同，都是，指数也相同，都是2 B．底数不同，指数相同 C．底数相同，指数不同 D．底数和指数都不相同 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4．下列幂的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 6．若，是正整数，的运算过程如下： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第三步运算的依据是（    ） A．同底数幂的乘法的性质 B．乘方的意义 C．乘法交换律和结合律 D．乘法的意义 7．已知，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 8．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔，用了许多大石块，每块大石块重约，块这样的大石块总重约为（    ） A． B． C． D． 9．若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是 米．（用科学记数法表示） 10．若，则的值为 ． 11．若，则 ． 12．已知，，则的值为 ． 13．已知（x，y是正整数），则 ． 14．若，，则的值是 ． 15．已知：，，则 ． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 17．若（，且，，是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 18．新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 19．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 20．如果，那么我们记．例如：因为，所以． (1)___________；，则___________． (2)已知，求的值； 21．某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据，知道，就可以求的值．如果知道，，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：若，则． (1)填空： ； ． (2)若，，求的值． (3)探索，与之间的关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $