专题 2.5 不等式及其性质（专项练习）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.5 不等式及其性质（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若成立，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温，最低气温，则当天赫章的气温的变化范围是（    ） A． B． C．，且 D． 4．（23-24七年级下·甘肃临夏·期末）如图是6月12日临夏州的天气情况，设当天某一时刻的气温为，则t的变化范围是（       ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的不等式，两边同时乘，得到的不等式为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·山东·期末）“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江台州·期末）若关于x的一次函数的图象经过点，且不经过第三象限，记，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知，下列不等式变形，正确的个数有（    ） ①        ②        ③        ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·全国·单元测试）“若，则”是假命题，则的值可能是 ．（写出一个即可） 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 13．（24-25七年级下·四川泸州·月考）在平面直角坐标系中，已知点在y轴的负半轴上，则点在 象限． 14．（21-22八年级下·上海·期末）若关于x的方程无实根，则m的取值范围是 ． 15．（2025·河南周口·二模）如图，是一个弯曲管道，当时，，为方便维修，可以绕B点转动：（表示顺时针，表示逆时针），则在转动过程中，的度数不可能是（　　） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的取值范围为 ． 17．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）若不等式对任意正整数都成立，且是正整数，求的最小值为 ． 18．（25-26六年级上·湖南长沙·开学考试）成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有万吨石头，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，以此类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运吨石头．如果愚公是第1代，那么到第 代，这座大山可以搬完． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上两点所表示的数分别为．设C为数轴上的任意一点，它表示的数为c，请写出c与之间的大小关系． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）当时，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） (1)∵，， ∴ （不等式的基本性质3） ∴ （不等式的基本性质2） (2)若，则的取值范围为 ．（直接写出答案） 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）李师傅下岗后，做起小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了50件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且． (1)若李师傅将甲种商品提价，乙种商品提价全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果） (2)若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售，他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由？ 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·广东广州·期末）（1）用“”“”或“”填空： 若，则 若，则 若，则 ． （2）比较大小：与，其中． （3）有甲、乙两筐水果，甲筐水果重，乙筐水果重，其中，售完后，两筐水果都卖了元，则哪筐水果的单价低 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·山东济南·月考）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）； ； ． 代数式的最小值为－2； （2）； ； ； 代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为______； （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由； 【拓展提高】 （3）薛城区某校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.5 不等式及其性质（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若成立，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质并能熟练运用求解． 根据不等式的性质，对四个式子逐一分析，再作出判断． 解：，不等式两边同加上3，得，故A不成立； ，不等式两边同乘以，得，故B成立； ，不等式两边同减去3，得，故C不成立； ，不等式两边同除以3，得，故D不成立， 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，含有不等号的表达式是不等式．选项A含有“”，因此是不等式；其他选项不符合定义． 本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的概念是解题的关键． 解：A、表达式中含有，是不等式，符合题意； B、是代数表达式，无不等号，不符合题意； C、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； D、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏．据天气预报报道，赫章当天最高气温，最低气温，则当天赫章的气温的变化范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式．当天气温的最高温度为，最低温度为，因此气温的变化范围应介于这两个温度之间，包括端点．据此即可列出不等式． 解：根据题意，得当天赫章的气温的变化范围是． 故选：D 4．（23-24七年级下·甘肃临夏·期末）如图是6月12日临夏州的天气情况，设当天某一时刻的气温为，则t的变化范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了不等式的定义，正确理解不等式的意义是解题关键．直接利用不等式的定义分析得出答案． 解：∵6月12日临夏州的天气情况，最高气温是，最低气温是， ∴t的变化范围是：． 故选：D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的不等式，两边同时乘，得到的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时乘以一个负数时，不等号的方向需要改变。这里要给两边同时乘以，因为是负数，所以不等号方向要从“”变为“”，再进行计算即可． 解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是记住“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”这一核心规则． 7．（24-25八年级下·山东·期末）“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 解：由“该标志表示车辆高度不超过”得：， 故选：A． 8．（25-26八年级上·浙江台州·期末）若关于x的一次函数的图象经过点，且不经过第三象限，记，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，不等式的性质，本题先利用函数过已知点得到与的关系式，再根据一次函数不经过第三象限的性质确定的取值范围，最后将用表示后求出的取值范围． 解：∵一次函数的图象经过点 ∴将代入函数得： ∴ ∵一次函数图象不经过第三象限 ∴ 将代入得： 解得： ∴的取值范围为 ∵，将代入得： ∴ ∴ 即的取值范围为 故选：B． 9．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限： 通过分析点的横坐标和纵坐标的符号，确定点所在的象限． 解：∵， ∴， ∴，即横坐标为负； ∵， ∴，即纵坐标为正； ∴点在第二象限 故选B． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知，下列不等式变形，正确的个数有（    ） ①        ②        ③        ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式性质判断：①两边加相同数，不等号方向不变；②两边乘负数，不等号方向改变；③中可能为零，导致不等式不成立；④分母恒为正，除以正数不等号方向不变．进一步可得答案． 解：∵， ① 两边加2，不等号方向不变， ∴，正确． ② 两边乘（负数），不等号方向改变， ∴，正确． ③ 当时，，则；但时，，则， 不等式不成立， ∴ 不一定正确． ④ ∵ ，两边除以正数，不等号方向不变， ∴，正确． ∴ 正确的有①、②、④，共3个． 故选：B 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·全国·单元测试）“若，则”是假命题，则的值可能是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据不等式的性质，当时，不成立，从而使原命题为假命题． 解：由不等式性质可知，若，则成立的条件是； 当时，，不等式不成立； 当时，不等号方向改变，即，不等式不成立． 因此，当时，命题为假命题， 故的值可能为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． “a与1的差”表示为，“小于”用<表示，“b的2025倍”表示为． 解：由题意得，． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·四川泸州·月考）在平面直角坐标系中，已知点在y轴的负半轴上，则点在 象限． 【答案】第二 【分析】本题考查了不等式的性质，平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点等知识点，熟练掌握平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点是解题的关键． 根据点在y轴的负半轴上得到，再由不等式的性质确定点的横纵坐标符号，即可求解． 解：∵点在y轴的负半轴上， ∴， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为：第二． 14．（21-22八年级下·上海·期末）若关于x的方程无实根，则m的取值范围是 ． 【答案】m＜2 【分析】将配方可得，于是，则当m＜2时方程无实数解； 解：∵ ∴ ∴当m＜2时，方程无实根， 故答案为：m＜2； 【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式，不等式的性质，掌握平方的非负性是解题关键． 15．（2025·河南周口·二模）如图，是一个弯曲管道，当时，，为方便维修，可以绕B点转动：（表示顺时针，表示逆时针），则在转动过程中，的度数不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质求角度，不等式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据平行线的性质求出，再根据可以绕B点转动：（表示顺时针，表示逆时针），求出在旋转的过程中，的范围，即可求解． 解：∵时，， ∴， ∵可以绕B点转动：， ∴转动过程中，的度数范围为：， 即， ∴的度数不可能是， 故选：D． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向会发生改变．不等式两边除以后，不等号方向由“”变为“”，说明除数是负数，由此可列出关于的不等式求解． 解：已知不等式，两边同时除以后不等号方向改变，得：． 根据不等式的性质，这说明除数 解这个不等式：： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是记住“不等式两边除以负数时，不等号方向改变”这一性质，从而判断出的符号，进而求出的取值范围． 17．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）若不等式对任意正整数都成立，且是正整数，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．先利用错位相减法，得到第n个式子的最大值，求得前n项和，然后求不等式的解． 解：设，， ， 的值随的增大而减少， 当时，有最大值，， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 18．（25-26六年级上·湖南长沙·开学考试）成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有万吨石头，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，以此类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运吨石头．如果愚公是第1代，那么到第 代，这座大山可以搬完． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设到第n代时，总人数为等比数列前n项和，每人搬运吨，总搬运量需不小于万吨，即总人数不小于人，先求出，再求解． 解：设到第n代时，可搬完大山．从第1代到第n代，各代的人数依次为，，，…，，总人数为， 所以． 所以， 即， 总搬运量为吨， 需满足， 即， 所以． 已知，， 故，即到第13代时大山可以搬完． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上两点所表示的数分别为．设C为数轴上的任意一点，它表示的数为c，请写出c与之间的大小关系． 【答案】见解析 【分析】本题考查根据数轴比较实数大小，建立不等式的能力，需结合点C的位置进行分类讨论． 解：当点C在点A的左边（不含点A）时，； 当点C与点A重合时，； 当点C在点A，B之间（不含端点A，B）时，； 当点C与点B重合时，； 当点C在点B的右边（不含点B）时，． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． （1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）当时，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） (1)∵，， ∴ （不等式的基本性质3） ∴ （不等式的基本性质2） (2)若，则的取值范围为 ．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 对于（1），先根据不等式两边都乘以，改变符号可得答案，再根据不等式两边都加上5，不改变符号得出答案； 对于（2），根据不等式两边都乘以负数时，不等号的方向改变可知，求出解集即可． （1）解：∵， ∴（不等式基本性质3）， ∴（不等式基本性质2）； 故答案为：； （2）解：∵ ∴，且， 解得． 故答案为：． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）李师傅下岗后，做起小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了50件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且． (1)若李师傅将甲种商品提价，乙种商品提价全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果） (2)若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售，他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由？ 【答案】(1)他获利元； (2)他这次买卖是赚钱了，理由见解析． 【分析】此题主要考查了列代数式以及整式的加减运算，正确表示出获利是解题关键． （1）利用进价与利润之间的关系得出总的利润即可； （2）利用已知表示出总的出售钱数再减去总的进价，求出利润，进而得出答案． （1）解： 答：他获利元． （2）解： ∵， ∴， 答：他这次买卖是赚钱了． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·广东广州·期末）（1）用“”“”或“”填空： 若，则 若，则 若，则 ． （2）比较大小：与，其中． （3）有甲、乙两筐水果，甲筐水果重，乙筐水果重，其中，售完后，两筐水果都卖了元，则哪筐水果的单价低 【答案】（1）；；；（2）；（3）乙筐水果的单价低 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能理解． （1）依据题意，根据不等式的性质进行变形可以得解； （2）依据题意，通过作商法进行比较大小，进而得解； （3）依据题意，首先求出两个筐水果的单价，然后两式作商再进行判断可以得解． 解：（1）， ； ， ； ， ． 故答案为：；；． （2）， ，． ，，． ． ． （3）由题意得，甲筐水果的单价为元千克，乙筐水果的单价元千克， 作商法：， 由时，， ． 乙筐水果的单价低． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·山东济南·月考）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）； ； ． 代数式的最小值为－2； （2）； ； ； 代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为______； （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由； 【拓展提高】 （3）薛城区某校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当长方形的长和宽均为时，长方形生物园的最大面积为 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，偶次方，完全平方公式的几何背景等，熟练掌握并灵活运用完全平方公式及不等式是解题的关键． （1）根据，得到，即可解答； （2）运用求差法，求出即可解答； （3）设，长方形的面积为S，从而，即当时，S有最大值16，即可解答． 进而可以判断得解． 解：（1）， ∵， ． 代数式的最小值为． 故答案为：． （2），理由如下： ∵；， ∴ ， ∵， ． ． （3）设，长方形的面积为S， ∴， ， ∵， ∴， ∴当时，S有最大值16， 即，时，． 答：当长方形的长和宽均为时，长方形生物园的最大面积为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $