专题 2.3 一元一次不等式与一次函数（知识梳理+题型精析+中考模拟真题）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.3 一元一次不等式与一次函数（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】一元一次不等式与一次函数关系（数形结合思想） 1 ★【题型 1】由直线和坐标轴的交点求不等式的解集 1 ★★【题型 2】利用直线与坐标轴交点与面积问题 3 ★★【题型 3】利用直线与坐标轴交点与一次函数图像与性质综合 4 【知识点二】从函数视角下的不等式求解 5 ★【题型 4】由两条直线交点求不等式组的解集 5 ★★【题型 5】由两条直线交点求面积问题 6 ★★【题型 6】两条直线交点与几何问题 8 ★★【题型 7】一元一次不等式与一次函数的应用 9 二.中考模拟真题 11 （一）单选题（5题） 11 （二）填空题（5题） 12 （三）解答题（4题） 13 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】一元一次不等式与一次函数关系（数形结合思想） （1） 一次函数的图像是一条直线； （2） 的解，对应直线轴交点的横坐标； （3） 的解集，对应直线在轴上方部分的取值范围； （4） 的解集，对应直线在轴下方部分的取值范围； ★【题型 1】由直线和坐标轴的交点求不等式的解集 【例题1】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，直线是一次函数的图象，点P，Q在直线上，根据图象解决下列问题： (1)方程的解为______，不等式的解集为______． (2)若直线上的点在线段上移动，则m，n的取值范围分别是什么? 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、均为常数，且）的图象经过、两点，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【变式3】（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象：当时，写出x的取值范围． ★★【题型 2】利用直线与坐标轴交点与面积问题 【例题2】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知一次函数当时，当时． (1)求这个一次函数的解析式； (2)作出它的图象，并求出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)时，自变量的取值范围是______． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数的四条性质，其中错误的（    ） A．当时，具有最小值为 B．如果的图象与直线有两个交点，则 C．当时， D．的图象与轴围成的几何图形的面积是8 【变式2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴正半轴于点，下列结论：①一次函数经过点；②且；③方程的解为；④若时，则．其中正确的有 （填写序号即可）． 【变式3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点、点．且满足：． (1)由图象可知不等式的解集为_______； (2)在x轴上是否存在点D，使得的面积是面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． ★★【题型 3】利用直线与坐标轴交点与一次函数图像与性质综合 【例题3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象经过点． (1)求该一次函数的解析式． (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． (3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值．求的取值范围． 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于x的方程的解为 C．y随x的增大而减小 D．不等式的解集是 【变式2】（22-23八年级上·吉林长春·月考）关于函数有下列结论，①图象经过点；②若点，在图象上，则；③图象向下平移2个单位长度得解析式为；④当时，；⑤图象与坐标轴围成的三角形面积等于2．其中正确的是 ． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数的图象经过点，． (1)①求，的值； ②在上图的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (2)当时，直接写出的取值范围： ； (3)将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则的值为 ． 【知识点二】从函数视角下的不等式求解 （1）求解不等式，可转化为求函数中时的取值范围； （2）设，，求解不等式的解集，转化为，或通过图象观察在上方时的取值范围. ★【题型 4】由两条直线交点求不等式组的解集 【例题4】（24-25八年级上·北京·期末）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点． (1)求该一次函数的解析式及点A，B的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，直接写出b的取值范围是 ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为 ． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求，，的值； (2)不等式的解集为：______． ★★【题型 5】由两条直线交点求面积问题 【例题5】（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若D是直线上一点，且的面积是面积的3倍，求点D的坐标． 【变式1】（23-24八年级下·湖北孝感·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（22-23八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列对于一次函数的说法，正确的有 （填写序号） ①图象经过二、三、四象限； ②图象与两坐标轴围成的面积是6； ③随的增大而减小； ④当时，； ⑤当时，． 【变式3】（25-26八年级上·全国·周测）如图，直线分别交x，y轴于，两点，直线分别交y轴、x轴于，B两点，直线，相交于点E，且点E的横坐标为4． (1)方程组的解是________，不等式组的解集是________． (2)求直线，与x，y轴围成的四边形的面积． (3)过点E的直线把三角形的面积平分，则该直线的表达式为________． ★★【题型 6】两条直线交点与几何问题 【例题6】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线：，直线：，与相交于点P，，分别与y轴相交于点A，B． (1)求点P的坐标． (2)结合图象，直接写出当时，x的取值范围． (3)点为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交和于点E，F，当时，求m的值． 【变式1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）一次函数与的图象位置如图，下列结论： ①随x的增大而减小； ②当时，； ③； ④当是以为底边的等腰三角形时，． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【变式2】（2025九年级上·江苏南京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，若直线与线段有公共点，则n满足的条件为 ． 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点，与轴分别交于点和点，点的横坐标为4． (1)若，则的取值范围为 ； (2)求的面积； (3)已知是线段上的一点，过点作直线轴，交直线于点；过点作轴，交轴于点，连接．是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． ★★【题型 7】一元一次不等式与一次函数的应用 【例题6】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，反映了某公司产品的销售收入（千元）与销售量x（吨）之间的关系，反映了该公司产品的销售成本（千元）与销售量x（吨）之间的关系，其中点A的坐标为，点P的坐标为． (1)当销售量________时，销售收入等于销售成本；当销售量x________时，该公司盈利（销售收入大于销售成本）． (2)求和的表达式． (3)当该公司盈利（销售收入销售成本）10千元时，销售量是多少？ 【变式1】（23-24八年级下·山东济南·月考）某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克只需运费元，由公路运输每千克只需运费元，运完这批牛奶还需其他费用元． (1)设该公司运输这批牛奶为千克，选择铁路运输时，所需费用为元，选择公路运输时，所需费用元，请分别写出与之间的关系式； (2)若该公司只支付运费元，则选择哪种运输方式运牛奶多？若公司运送千克牛奶，则选用哪种运输方式所需费用较少？ (3)该公司选择哪种运输方式所需费用较少？ 【变式2】（24-25八年级下·广东清远·期中）某单位要制作一批宣传材料．甲公司提出：每份材料收费30元，另收费6000元设计费；乙公司提出：每份材料收费50元，不收设计费． (1)什么情况下两公司的收费相同？ (2)什么情况下选择甲公司比较合算？ (3)什么情况下选择乙公司比较合算？ 【变式3】（2022·陕西西安·三模）某服装厂每天生产A、B两种品牌的服装共600件，A、B两种品牌的服装每件的成本和售价如表： A B 成本（元/件） 50 35 售价（元/件） 70 50 设每天生产A种品牌服装x件，每天两种服装的总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)如果服装厂每天要获得的总利润不低于10000元，那么每天至少生产A种品牌服装多少件？ 二.中考模拟真题 （一）单选题（5题） 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 （二）填空题（5题） 6．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 7．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ． 8．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 9．（2025·辽宁盘锦·三模）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ． 10．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） （三）解答题（4题） 11．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 12．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 13．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 14．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.3 一元一次不等式与一次函数（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】一元一次不等式与一次函数关系（数形结合思想） 1 ★【题型 1】由直线和坐标轴的交点求不等式的解集 2 ★★【题型 2】利用直线与坐标轴交点与面积问题 4 ★★【题型 3】利用直线与坐标轴交点与一次函数图像与性质综合 8 【知识点二】从函数视角下的不等式求解 12 ★【题型 4】由两条直线交点求不等式组的解集 13 ★★【题型 5】由两条直线交点求面积问题 16 ★★【题型 6】两条直线交点与几何问题 21 ★★【题型 7】一元一次不等式与一次函数的应用 26 二.中考模拟真题 30 （一）单选题（5题） 30 （二）填空题（5题） 33 （三）解答题（4题） 37 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】一元一次不等式与一次函数关系（数形结合思想） （1） 一次函数的图像是一条直线； （2） 的解，对应直线轴交点的横坐标； （3） 的解集，对应直线在轴上方部分的取值范围； （4） 的解集，对应直线在轴下方部分的取值范围； ★【题型 1】由直线和坐标轴的交点求不等式的解集 【例题1】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，直线是一次函数的图象，点P，Q在直线上，根据图象解决下列问题： (1)方程的解为______，不等式的解集为______． (2)若直线上的点在线段上移动，则m，n的取值范围分别是什么? 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． （1）利用函数图象写出函数值为0对应的自变量的范围即可；结合函数图象，写出函数值小于2对应的自变量的范围即可； （2）结合函数图象，利用一次函数的性质求解． （1）解：由图象可得，当时，， 所以方程的解为； 由图象可得，当时，， 所以不等式的解集为； 故答案为：；； （2）解：由图象可得，线段的自变量的取值范围是：， 当时，函数值y的范围是， 所以直线上的点在线段上移动，则m，n的取值范围分别为，． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、均为常数，且）的图象经过、两点，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是正确解答此题的关键． 根据图象即可确定不等式的解集． 解：∵一次函数（、均为常数，且）的图象经过、两点， ∵当时，一次函数的图象在x轴上方 ∴的解集是． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系问题，利用数形结合思想求解一元一次不等式是解决本题的关键． 根据一次函数与一元一次不等式的关系问题，分析图象，即可得出答案． 解：不等式可以看成一次函数中函数值小于0的部分， 从图中可以看出的范围是． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象：当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一次函数的性质，求函数值， （1）令得；令得，即可得到A，B两点的坐标； （2）根据一次函数的性质解答． （1）解：令中，则，解得； 令得， ∴； （2）由图象得当时，． ★★【题型 2】利用直线与坐标轴交点与面积问题 【例题2】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知一次函数当时，当时． (1)求这个一次函数的解析式； (2)作出它的图象，并求出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)时，自变量的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析， (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）设一次函数的解析式为，根据“当时，当时”计算即可； （2）画出图象，求出当时，进而计算即可； （3）由函数图象可知，y随x的增大而增大，当时，，当时，，即可作答． （1）解：设一次函数的解析式为， ∵当时，当时， ∴， 解得：， 即； （2）解：如图： 当时， ∴图象与两条坐标轴围成的三角形面积为； （3）解：由函数图象可知，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 即时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数的四条性质，其中错误的（    ） A．当时，具有最小值为 B．如果的图象与直线有两个交点，则 C．当时， D．的图象与轴围成的几何图形的面积是8 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形的面积以及一次函数的图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．画出函数的大致图象，结合函数的性质对各个选项进行一一判断，即可求解． 解：A．当时，原函数为， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为； 当时，原函数为， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为，选项A正确，不符合题意； B．当时，， 解得：或， 描点、连线，画出函数图象，如图所示． 的图象与直线有两个交点， ，选项B正确，不符合题意； C．观察函数图象，可知：当时，，选项C错误，符合题意； D．当时，， 解得：或， 的图象与轴的交点坐标为，， 的图象与轴围成的几何图形的面积，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴正半轴于点，下列结论：①一次函数经过点；②且；③方程的解为；④若时，则．其中正确的有 （填写序号即可）． 【答案】①③ 【分析】此题考查了一次函数、解方程、解不等式等知识．根据一次函数与y轴交点坐标的正负性确定k的范围，代入点坐标验证点是否在函数图象上，解方程及不等式判断结论的正确性． 解：对于结论①，当时，， 故函数经过点，结论正确； 对于结论②，函数交y轴正半轴于点A，则时，，解得，故结论②错误； 对于结论③，方程可化为，由于函数交y轴正半轴，，，故，解得，结论正确； 对于结论④，不等式可化为， 当时，，而时， 故，结论错误． 故答案为：①③． 【变式3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点、点．且满足：． (1)由图象可知不等式的解集为_______； (2)在x轴上是否存在点D，使得的面积是面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】该题考查了一次函数与不等式、图形面积、二次根式的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据绝对值和二次根式的非负性求出，求出、，再根据一次函数与不等式的关系计算即可． （2）根据题意先求出的面积，从而得出的面积，求出，即可求解． （1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点、点， 根据图象可得不等式的解集为． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． ★★【题型 3】利用直线与坐标轴交点与一次函数图像与性质综合 【例题3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象经过点． (1)求该一次函数的解析式． (2)若点在该函数图象上，求点的坐标． (3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值．求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的确定、函数图象上点的坐标特征以及一元一次不等式的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式以及根据函数值的大小关系确定参数的取值范围是解题的关键． （1）将点代入一次函数，通过解方程求出的值，进而得到函数解析式． （2）将点代入第(1)小题求得的函数解析式，解出的值，再代回点的坐标表达式中，得到点的坐标． （3）根据题意，当时，不等式恒成立．先代入的值化简不等式，再根据的取值范围，求出的取值范围． （1）解：一次函数的图象经过点， ， ， 该一次函数的解析式为． （2）解：点在函数的图象上， ， 解得， ，， 点的坐标为； （3）解：当时，， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于x的方程的解为 C．y随x的增大而减小 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可． 解：∵图象过第一、二、三象限， ∴，，y随x的增大而增大，故A、C错误； 又∵图象与x轴交于， ∴的解为，不等式的解集是，故B错误，D正确； 故选：D． 【变式2】（22-23八年级上·吉林长春·月考）关于函数有下列结论，①图象经过点；②若点，在图象上，则；③图象向下平移2个单位长度得解析式为；④当时，；⑤图象与坐标轴围成的三角形面积等于2．其中正确的是 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点判定①；根据一次函数的性质判定②；根据一次函数图象规律判定③；利用一次函数与x轴交点，求不等式解集，判定④，根据一次函数与坐标轴的交点坐标求得三角形的面积即可判断⑤． 解：①当时，，故图象经过点，故①正确； ②∵函数中．， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴，故②正确； ③根据平移的规律，函数的图象向下平移2个单位长度得解析式为，故③正确； ④∵函数中．， ∴y随x的增大而减小， 把代入函数， 所以当时，，故④错误． ⑤∵，令，解得，令，解得， ∴与坐标的交点坐标为， ∴图象与坐标轴围成的三角形面积等于，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当b>0，图象与y轴的交点在x的上方；当，图象经过原点；当，图象与y轴的交点在x的下方，也考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数与不等式关系，一次函数与坐标轴交点． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数的图象经过点，． (1)①求，的值； ②在上图的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (2)当时，直接写出的取值范围： ； (3)将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则的值为 ． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）①将，代入计算即可； ②描点连线即可； （2）分别求出当和时y的值，进而作答即可； （3）求出平移后的函数解析式，再将代入计算即可． （1）①解：将，代入得： ， 解得：； ②解：如图，标出点，，进而连线即可； （2）解：由（1）可知 当时， 当时，， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：将一次函数的图象向上平移个单位得到， ∵经过， ∴， 解得：， 故答案为：． 【知识点二】从函数视角下的不等式求解 （1）求解不等式，可转化为求函数中时的取值范围； （2）设，，求解不等式的解集，转化为，或通过图象观察在上方时的取值范围. ★【题型 4】由两条直线交点求不等式组的解集 【例题4】（24-25八年级上·北京·期末）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点． (1)求该一次函数的解析式及点A，B的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，直接写出b的取值范围是 ． 【答案】(1)；， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，数形结合是解答本题的关键． （1）将点代入求出k的值，即得出一次函数解析式，将，分别代入一次函数解析式，求出点A，B的坐标即可； （2）把代入得：，根据当时，直线与直线的交点在点B的左侧，即可得出答案． （1）解：将代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴，； （2）解：把代入得：， 直线与直线交于点， 当时，直线与直线的交点在点B的左侧， ∴当时，对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，此时的取值范围是． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据两直线的交点求不等式的解集，根据两直线的交点为，并结合函数图象即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：∵在平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ∴结合图象可得，当时，直线位于直线的上方， ∴关于的不等式的解集是， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答． 解：不等式组的解集为由图像可知满足且的部分为下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求，，的值； (2)不等式的解集为：______． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）利用函数图象作答即可． （1）解：过点， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：根据函数图象可知：不等式的解集为． 故答案为：． ★★【题型 5】由两条直线交点求面积问题 【例题5】（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若D是直线上一点，且的面积是面积的3倍，求点D的坐标． 【答案】(1)正比例函数的表达式为：；一次函数表达式为： (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、不等式的解集以及三角形面积的计算，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，根据函数图象求解不等式的解集，并结合三角形面积公式求解点的坐标。 （1）由待定系数法即可求解； （2）根据函数图象，找出一次函数图象在正比例函数图象下方时x的取值范围； （3）由，即可求解。 （1）（1）将点的坐标代入得：，则， 正比例函数的表达式为：， 由题意得：， 解得：， 故一次函数表达式为：； （2）由图象可知，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象下方， 不等式的解集为； （3）由（1）知，点， 的面积， ∵的面积是面积的3倍 的面积， 设点, 解得：或， 则点或； 【变式1】（23-24八年级下·湖北孝感·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质进行判断即可得到答案． 解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限， ， 由图象可知一次函数的图象经过一、三、四象限， ， ，故①正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点，的坐标为， 即的一组解是， 故②正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点的坐标为， 关于x的不等式的解集是，故③错误，符合题意； 直线与和的交点的纵坐标分别为和，距离为， 直线与的交点的坐标为， 两直线与y轴围成的三角形的面积是，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的为①②， 故选：B． 【变式2】（22-23八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列对于一次函数的说法，正确的有 （填写序号） ①图象经过二、三、四象限； ②图象与两坐标轴围成的面积是6； ③随的增大而减小； ④当时，； ⑤当时，． 【答案】①③④⑤ 【分析】根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案； 解：∵，， ∴图象经过二、三、四象限，随的增大而减小， 当时，，当，， 解得：， ∴图象与两坐标轴围成的面积是：，时，，时，， 故答案为：①③④⑤； 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 【变式3】（25-26八年级上·全国·周测）如图，直线分别交x，y轴于，两点，直线分别交y轴、x轴于，B两点，直线，相交于点E，且点E的横坐标为4． (1)方程组的解是________，不等式组的解集是________． (2)求直线，与x，y轴围成的四边形的面积． (3)过点E的直线把三角形的面积平分，则该直线的表达式为________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先分别求出，的解析式，再根据一次函数与方程组和不等式组的关系求解； （2）根据割补法求解； （3）该直线经过的中点和点，通过待定系数法即可求出直线解析式. （1）解：（1）由题意得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴， 由图象得：方程组的解是：， 不等式组的解集是：； 故答案为：，. （2）由（1）得：． ∴， （3）由（1）得，点坐标为：， ∵过点的直线把三角形的面积平分， ∴该直线经过的中点：， 设该直线解析式为：， 由题意得：，解得：， ∴该直线的解析式为：， 故答案为：. 【点睛】本题考查了一次函数与方程组、不等式组的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． ★★【题型 6】两条直线交点与几何问题 【例题6】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线：，直线：，与相交于点P，，分别与y轴相交于点A，B． (1)求点P的坐标． (2)结合图象，直接写出当时，x的取值范围． (3)点为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交和于点E，F，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，与不等式的关系． （1）联立直线，直线的函数表达式，解方程组求解交点坐标； （2）求得直线与x轴的交点，然后根据图象即可求得； （3）根据题意表示出E、F的坐标，再由得到关于m的方程，解之可得答案． （1）解：根据题意，得：， 解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：在直线中，令，解得， 由图象可知：若，x的取值范围是； （3）解：由题意可知，， ∵， ∴， 解得：或． 【变式1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）一次函数与的图象位置如图，下列结论： ①随x的增大而减小； ②当时，； ③； ④当是以为底边的等腰三角形时，． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，等腰三角形的性质．根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；如图，过作于，证明，求解，，结合当时，，再进一步求解即可． 解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴， ∴随x的增大而减小；所以①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 结合图象可得：当时，，故②错误； ∴时，， 整理得，所以③正确； 如图，过作于， ∵， ∴， 当时，，， ∴，， ∵当时， ∴ ∴即．故④正确； 故选：D． 【变式2】（2025九年级上·江苏南京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，若直线与线段有公共点，则n满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式是解题的关键．由直线与线段有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，在其内任取一数即可得出结论． 解：∵直线与线段有公共点， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点，与轴分别交于点和点，点的横坐标为4． (1)若，则的取值范围为 ； (2)求的面积； (3)已知是线段上的一点，过点作直线轴，交直线于点；过点作轴，交轴于点，连接．是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在点，使的两条直角边之比为；满足条件的所有点的坐标为或 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解答． （1）根据交点结合图象即可求解； （2）根据题意确定，，利用待定系数法确定，得出，结合图象求面积即可； （3）设点，则，，，，分两种情况：①当时，②当时，分别进行计算即可解答． （1）解：由图象得：当时，的图象在的图象的下方， ∴当，的取值范围为． 故答案为：． （2）解：的横坐标为4，且在上， 代入得：； 当时，得， ∴，． 在上， ∴，解得． ∴． 当时，得， ∴． ． ． （3）解：存在点，使的两条直角边之比为． 如图， 根据题意设点，则，． ∴，． 分两种情况： ①当时， 依题意得：，解得． ∴点． ②当时， 依题意得：，解得． ∴点． 综上所述，存在点，使的两条直角边之比为；满足条件的所有点的坐标为或． ★★【题型 7】一元一次不等式与一次函数的应用 【例题6】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，反映了某公司产品的销售收入（千元）与销售量x（吨）之间的关系，反映了该公司产品的销售成本（千元）与销售量x（吨）之间的关系，其中点A的坐标为，点P的坐标为． (1)当销售量________时，销售收入等于销售成本；当销售量x________时，该公司盈利（销售收入大于销售成本）． (2)求和的表达式． (3)当该公司盈利（销售收入销售成本）10千元时，销售量是多少？ 【答案】(1)6； (2)； (3)26吨 【分析】本题考查了函数图象的识别，一次函数解析式的求解，一元一次方程的求解，解决本题的关键是正确识别图象并会使用待定系数法求解函数解析式． （1）观察函数图象，根据函数图象即可求解； （2）设出一次函数解析式，将点代入函数解析式，使用待定系数法求解即可； （3）根据盈利即为销售收入销售成本列方程求解即可． （1）解：根据函数图象可知，与相交于点， ∴当销售量时，销售收入等于销售成本； 由函数图象可知，当位于上方时，公司盈利， 即当销售量时，该公司盈利（销售收入大于销售成本）； 故答案为：6；； （2）解：设的表达式为． 把点代入，得．解得． ∴的表达式为． 设的表达式为． 把点，代入， ，解得， ∴的表达式为． （3）解：由（2）知，，， ∴该公司盈利10千元时， 即． 解得． 答：当该公司盈利（销售收入-销售成本）10千元时，销售量是26吨． 【变式1】（23-24八年级下·山东济南·月考）某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克只需运费元，由公路运输每千克只需运费元，运完这批牛奶还需其他费用元． (1)设该公司运输这批牛奶为千克，选择铁路运输时，所需费用为元，选择公路运输时，所需费用元，请分别写出与之间的关系式； (2)若该公司只支付运费元，则选择哪种运输方式运牛奶多？若公司运送千克牛奶，则选用哪种运输方式所需费用较少？ (3)该公司选择哪种运输方式所需费用较少？ 【答案】(1)， (2)公路运输的牛奶多；选用铁路运输费用少 (3)当时选择公路，当时选择铁路，当时都一样 【分析】本题主要考查一次函数，一元一次不等式的综合运用，理解数量关系，掌握列函数表达，运用一元一次不等式解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据数量关系列函数式即可； （2）根据函数关系式，当时，分别算出铁路、公路的运输量和费用进行比较即可求解； （3）根据题意，当时；当时；当时；分别计算并比较即可求解． （1）解：由题意，得； （2）解：当时，铁路运输的数量为：， 解得，， 公路运输的数量为：， 解得，， ∵， ∴公路运输的牛奶多； 当时铁路运费为：， 公路费用为：， ∵， ∴铁路运输费用少； （3）解：当时， ∴； 当时， 解得：； 当时， 解得：． ∴当时选择公路，当时选择铁路，当时都一样． 【变式2】（24-25八年级下·广东清远·期中）某单位要制作一批宣传材料．甲公司提出：每份材料收费30元，另收费6000元设计费；乙公司提出：每份材料收费50元，不收设计费． (1)什么情况下两公司的收费相同？ (2)什么情况下选择甲公司比较合算？ (3)什么情况下选择乙公司比较合算？ 【答案】(1)当这一批宣传材料共有300份时，两公司的收费相同 (2)当这一批宣传材料大于300份时，选择甲公司比较合算 (3)当这一批宣传材料小于300份时，选择乙公司比较合算 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键． （1）设这一批宣传材料共有份，根据两公司的收费相同建立方程，解方程即可得； （2）设这一批宣传材料共有份，根据甲公司比较合算建立不等式，解不等式即可得； （3）设这一批宣传材料共有份，根据乙公司比较合算建立不等式，解不等式即可得． （1）解：设这一批宣传材料共有份， 由题意得：， 解得， 答：当这一批宣传材料共有300份时，两公司的收费相同． （2）解：设这一批宣传材料共有份， 由题意得：， 解得， 答：当这一批宣传材料大于300份时，选择甲公司比较合算． （3）解：解：设这一批宣传材料共有份， 由题意得：， 解得， 答：当这一批宣传材料小于300份时，选择乙公司比较合算． 【变式3】（2022·陕西西安·三模）某服装厂每天生产A、B两种品牌的服装共600件，A、B两种品牌的服装每件的成本和售价如表： A B 成本（元/件） 50 35 售价（元/件） 70 50 设每天生产A种品牌服装x件，每天两种服装的总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)如果服装厂每天要获得的总利润不低于10000元，那么每天至少生产A种品牌服装多少件？ 【答案】(1)(2)200 【分析】（1）A种品牌服装x件，则B种品牌服装（600-x）件；利润=A种品牌服装件数×A种品牌服装一件的利润+B种品牌服装件数×B种品牌服装一件的利润，列出函数关系式； （2）设A种品牌服装a件，根据题意，列出不等式，解不等式即可求解． （1）解：（1）A种品牌服装x件，则B种品牌服装（600-x）件，依题意，得 即 （2）设A种品牌服装a件，则B种品牌服装（600-a）件，依题意，得 ≥10000，解得a≥200， ∴每天至少生产A种品牌服装200件 【点睛】本题考查一次函数的应用、不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会用函数和不等式建立模型解决问题． 二.中考模拟真题 （一）单选题（5题） 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可． 解：∵， ∴当时，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键． 4．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 5．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． （二）填空题（5题） 6．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 7．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或等于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线不在下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 先利用确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线不在直线的上方，于是可得到不等式的解集． 解：函数的图象过点， ， 解得， 由图象得：不等式的解集是：， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用一次函数的图象求不等式的解集，先计算点A的坐标，再求k的值，然后计算与x轴的交点坐标，再根据交点坐标即可求解． 解：将点代入，可得， ∴点A的坐标为， 将点A坐标代入，可得， ∴， 令可得，，即与x轴的交点为， ∴的解集为． 故答案为：． 9．（2025·辽宁盘锦·三模）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象解不等式是解此题的关键；从函数图象中找出函数在下方或相交时x的值可得的解,并求得时，则得出，即可求解． 解：∵一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点， 观察图象可得： 当时，直线在下方或相交， ∴的解为， 把代入得：，， ∴时，则，解得：， ∴不等式的解集为：， 故答案为： 10．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 解：由图可知，随的增大而减小，故①符合题意； 由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故②符合题意； 把代入， 得， 解得， 故与的交点为， 令，则 解得， 即与轴的交点为， 由图象可知：当时，则， 故③不符合题意； 由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故④符合题意． 故答案为：①②④ （三）解答题（4题） 11．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． （1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 12．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． （1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 13．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． （1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于4， 所以如图所示，当过点时满足题意， 代入得：， 解得：．      【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键． 14．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③(2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． （1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $