专题 2.1 不等式及其性质（知识梳理+题型精析+中考模拟真题）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.1 不等式及其性质（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】不等式定义 1 ★【题型 1】不等式的认识 1 ★【题型 2】根据实际情况列不等式 3 ★★【题型 3】根据实际情况列不等式 4 【知识点二】不等式的基本性质 7 ★【题型 4】不等式的基本性质辨析 7 ★【题型 5】不等式的基本性质填写理由 10 ★★【题型 6】利用不等式的基本性质解不等式 13 ★★【题型 7】利用不等式的基本性质比较大小 14 ★★【题型 8】不等式基本性质的实际应用 14 二.中考模拟真题 14 （一）单选题（6题） 14 （二）填空题（6题） 17 （二）解答题（4题） 20 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】不等式定义 一般地，用符号“<”（或“”），“>”（或“”）连接的式子叫做不等式. ★【题型 1】不等式的认识 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了不等式，用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐个分析即可． 解：①是等式，②是不等式，③是不等式，④是不等式，⑤是代数式，不是不等式，⑥是不等式， 故不等式有4个， 故答案为：4． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，检查每个式子即可． 本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 解：∵① 使用“”，是不等式； ② 使用“”，是不等式； ③ 使用“”，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用“”，是不等式； ∴不等式有①②⑤共3个； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，熟记不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号（如 ）连接的式子是不等式，逐一判断每个式子即可． 解：①，使用 ，是不等式； ②，使用 ，是不等式； ③，使用，是等式，不是不等式； ④，使用，是不等式； ⑤没有不等号，不是不等式； ⑥，使用，是不等式． ∴ 不等式有①②④⑥，共个． 故选：C． 【变式3】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在下列数学表达式中，属于不等式的是 ． ①；②；③；④． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了不等式的定义，由不等号连接的式子叫不等式，据此进行判断，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 解：①是不等式； ②不是不等式； ③不是不等式； ④是不等式． 故答案为：①④． ★【题型 2】根据实际情况列不等式 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (2)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列不等式． （1）根据蛋白质含量不低于净重的列出不等式即可． （2）根据七年级学生人数比八年级的2倍还要多列出不等式即可 （1）解：根据题意可知蛋白质含量 （2）解：根据题意可知： 【变式1】（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高的范围吗？表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的定义，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 解：由题意得：， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）“x的2倍”表示为，“与3的和”表示再加上3，即，“小于15”意味着该表达式的值比15小，用不等号“”连接，即可列出不等式； （2）“y的一半”表示为，“与1的差”表示减去1，即，“是负数”表示该表达式小于0，即可列出不等式； （3）“与1的和”表示为，“不小于6”意味着该不等式大于或等于6，用不等号“”连接，即可列出不等式． （1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． ★★【题型 3】根据实际情况列不等式 【例题3】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． (1)一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； (2)现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ (3)若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 【答案】(1)7，14 (2)小型车2辆，大型车4辆 (3) 【分析】（1）根据停车收费标准，免费2小时，后面第1小时3元，以后每15分钟元（不满15分钟部分按15分钟计算，大型车双倍）计算即可； （2）设小型车辆，大型车辆，列方程组求解即可； （3）计算按元每15分钟的收费标准收费的时间，再加上免费停车时间和首次收费的1小时，根据24小时连续停放只收12元，即可求解． （1）解：由表可知，小型车首1小时是3元，超过则每15分钟元（大型车双倍）， ∵一辆小型车连续停车5小时，由于前120分钟免费，因此实际收费是后面2个小时， ∴费用为（元）， ∵大型车是小型车的双倍， ∴大型车费用为14元； 故答案为：7；14． （2）设小型车辆，大型车辆，则 解这个方程组，得， 答：小型车2辆，大型车4辆． （3），，且每个小时有4个15分钟， ∴1小时收费以外的时间为小时（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算）， ∵， ∴，24小时连续停放只收12元， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的应用，解题关键是理解题意，正确列出算式或方程求解． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； 根据交通标志上的限速信息确定车速的取值范围即可． 解：由题可知，车在中间车道， 根据图片中的车速范围可知： 故答案为： ． 【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表： 班  级 人数 捐款总额（元） 人均捐款额（元） （1）班 （2）班 合计 80 900 11.25 小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息： 信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元； 信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元； 请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题： (1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？ (2)六（2）班的学生数至少是多少人？ 【答案】(1)六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元 (2)38人 【分析】（1）设六（1）班的捐款额为元，从而可得六（2）班的捐款额为元，再根据合计总捐款额为900元建立方程，解方程即可得； （2）先求出六（1）班学生数最多不超过42人，再根据合计的学生总人数即可得出答案． （1）解：设六（1）班的捐款额为元，则六（2）班的捐款额为元， 由题意得：， 解得， 则， 答：六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元； （2）解：因为六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元， 所以六（1）班学生数最多不超过（人）， 所以六（2）班学生数至少是（人）， 答：六（2）班的学生数至少是38人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的应用，正确建立方程和理解不等式的概念是解题关键． 【知识点二】不等式的基本性质 不等式的基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或除）同一个负数，不等号的方向要改变. ★【题型 4】不等式的基本性质辨析 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】依据不等式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，重点关注不等号方向是否正确． 解：A、由，根据不等式的对称性，不等号方向应相反，得，而不是，不符合题意； B、由，，根据不等式的传递性，得，而不是，不符合题意； C、由，根据不等式的对称性，应得到，不符合题意； D、根据不等式的对称性，由可得，故该变形正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的传递性、以及在乘除正数时不等号方向不变的性质，同时注意恒为正数这一隐含条件． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐一分析各选项即可． 解：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴若，则，选项A正确； ∵不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变， ∴若，则，选项B正确； ∵当时，，此时，不满足， ∴选项C的说法不正确； ∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴若，则，选项D正确； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·安徽·假期作业）已知，请用“”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质2进行作答即可； （3）运用不等式的性质3进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可． （1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 故答案为：；；； 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）填空（填“”“”“”或“”）： （1）若，则 ． （2）若，则 ． （3）若，则 ． （4）若，且为实数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变． （1）根据不等式性质，两边同乘负数不等号方向改变； （2）先同乘负数改变方向，再加常数，方向不变； （3）先同乘正数方向不变，再加常数，方向不变； （4）由于，分情况讨论不等号方向或相等． 解：（1）由，两边同乘（负数），不等号方向改变，得； （2）由，两边同乘（负数），不等号方向改变，得，再两边加，不等号方向不变，得； （3）由，两边同乘（正数），不等号方向不变，得；再两边加，不等号方向不变，得； （4）由，为实数，． 当时，，两边同乘，不等号方向不变，得； 当时，，得，，即． 综上，． 故答案为：，，，． ★【题型 5】不等式的基本性质填写理由 【例题5】（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知，试比较和的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤的数学依据． 解：______． 理由如下：， _____________（____________）， _____________（____________）， _____________（____________）． 【答案】；；不等式的基本性质3；；不等式的基本性质1； ；不等式的基本性质2 【分析】本题考查不等式的基本性质，性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个整式，不等号方向不变； 性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个大于零的整式，不等号方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个小于零的整式，不等号方向改变．由此可解． 解：． 理由如下：， （不等式的基本性质3）， （不等式的基本性质1）， （不等式的基本性质2）． 故答案为：；；不等式的基本性质3；；不等式的基本性质1； ；不等式的基本性质2． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）写出下列不等式变形成“”的形式的结果及理由． （1）若，则 ，理由是 ； （2）若，则 ，理由是 ； （3）若，则 ，理由是 ． 【答案】 不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变 不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数，不等号方向不改变 / 不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数，不等号方向改变 【分析】本题考查不等式的性质． （1）利用不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变，进行求解即可； （2）利用不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数，不等号方向不改变，进行求解即可； （3）利用不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数，不等号方向改变，进行求解即可． 解：（1）， 两边同时减去2，则，理由是不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变， 故答案为：，不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变； （2）， 两边同时除以2，则，理由是不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数，不等号方向不改变， 故答案为：，不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数，不等号方向不改变； （3）， 两边同时乘以，则，理由是不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数，不等号方向改变， 故答案为：，不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数，不等号方向改变． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的性质是解答的关键． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）由得到，可得，进一步求解即可． （1）解：∵，， ∴（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． （2）解：∵且， ∴， 解得：． 【变式3】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）请根据不等式的基本性质填空： 问题：若，，，试判断x的取值范围． 解答：∵，∴（理由：不等式的基本性质1） ∴（理由：__________） ∵，∴（理由：___________） ∴________（理由：_________） ∵，∴______（理由：_________） 【答案】不等式的基本性质2，不等式的传递性，6，不等式的基本性质2，6，不等式的传递性． 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．依据不等式的基本性质进行填空即可． 解：， （理由：不等式的基本性质． （理由：不等式的基本性质． ， （理由：不等式的传递性）． （理由：不等式的基本性质． ， （理由：不等式的传递性）． 故答案为：不等式的基本性质2，不等式的传递性，6，不等式的基本性质2，6，不等式的传递性． ★★【题型 6】利用不等式的基本性质解不等式 【例题6】（25-26七年级下·全国·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式的变形，掌握移项、合并同类项的步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，将不等式化为形式，再系数化为； （2）先移项合并同类项，再系数化为； （3）移项合并同类项后，系数化为． （1）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时减去，得， 两边同时减去，得， 两边同时除以，得． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，由方程解出关于的表达式，再根据的取值范围，结合不等式的性质确定的取值范围即可． 解：由，得． 因为，所以，因此，即． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了不等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据不等式的性质进行作答即可； （2）根据不等式的性质进行作答即可； （3）根据不等式的性质进行作答即可； （4）根据不等式的性质进行作答即可； （5）根据不等式的性质进行作答即可； （6）根据不等式的性质进行作答即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 【答案】(1)不等式的性质2． (2)⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． (3)，表示见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的解法是解决问题的关键：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，即可求解． （1）解：去分母的依据是不等式的性质； 故答案为：不等式的性质． （2）解：第⑤步系数化为时，不等式两边同时乘以时，忘记改变不等号方向， 故答案为：⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． （3）解：不等式解集为， 在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查解一元一次不等式，不等式的基本性质，在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：空心圆点向右画射线，实心圆点向右画射线，空心圆点向左画射线，实心圆点向左画射线．掌握解一元一次不等式的步骤，正确在数轴上表示出不等式的解集是解题的关键． ★★【题型 7】利用不等式的基本性质比较大小 【例题7】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质即可解答． （1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． （2）解：正确的解题过程如下： ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，为直角三角形的三边，为斜边，比较和的大小． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，勾股定理，不等式的基本性质，掌握作差法比较代数式大小是解题的关键． 由勾股定理、三角形三边之间的关系可得到，，利用作差法即可判断代数式的大小． 解：，，为直角三角形的三边，为斜边， ，． ， ． 【变式2】（24-25八年级下·安徽宿州·月考）据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则______；填“”“”“” (2)若，，试比较，的大小； (3)请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为，每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）将与作差并计算，然后结合已知条件进行判断即可； （2）将与作差并计算，然后将结果与比较大小即可； （3）设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且，则，，将它们作差并计算，然后将结果与比较大小即可． （1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ； （3）解：设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且， 则，， ， ． 【变式3】（24-25八年级下·江西抚州·月考）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． （1）解：∵，， ∴（不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：． ∵， ∴， ∴． ★★【题型 8】不等式基本性质的实际应用 【例题8】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）如果两个正数a，b，即，则有： ① 而② ③ 所以 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号． 我们把叫做正数a，b的算术平均数；把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：因为，所以，所以，当，即时，的最小值为4． 利用这个结论解决下列适合八年级学生的问题： (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； (2)已知x＞0，求的最小值，以及此时x的值； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)完全平方公式 (2)最小值为，此时 (3)当长和宽各为时，面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了完全平方公式、基本不等式的应用等知识点，解题两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数是解题的关键． （1）识别运算步骤②对应的公式即可； （2）利用基本不等式，结合正数条件求最小值及对应x的值即可； （3）设矩形的长为，则宽为，然后变形代数式、构造符合基本不等式的形式，进而求出最大值即可． （1）解：步骤②符合的形式，运用的公式为完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． （2）解：∵， ∴， ∴， 当，即时，的最小值为． （3）解：设矩形的长为，则宽为， ∴， 由， 当，即时，的最大值为5 ∴得最大值为25， ∴当长和宽各为时，面积最大，最大面积为． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为的正方形场地．场地甲中间有一个边长为的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为、宽为的长方形花卉区，下方为草坪．已知，设甲、乙两块场地中草坪面积的比为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，不等式的性质，根据图形分别用含a、b的式子表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案． 解：甲中草坪面积为，乙中草坪面积为， ∴， ∵，且， ∴， ∴，即， 故选：C． 【变式2】（2025·北京西城·二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 小时， 【答案】 15 7 【分析】本题考查了有理数的运算，不等式，正确理解题意是解题的关键． （1）由小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，即可求出停车时间，再根据表格即可求解； （2）根据表格分析每一个时间段，在乙停车场最多停车时间及费用，即可求解． 解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴， ∴在甲停车场停了8小时20分钟， ∴由表格得收费15元， 故答案为：15； （2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元； 若时，乙至少花费20元，不合题意； 若时，乙至少26元，不合题意， ∴小林停车时间最长为7小时， 故答案为：7． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知a是正实数，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算的应用．把原式变形为，利用非负数的性质和不等式的性质进行分析即可． 解：∵a是正实数， ∴， ∵， ∴（当且仅当时取“”）． ∴． ∴的最小值等于． 故答案为：． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 2．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 3．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 4．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 5．（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断，，的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判，，的正负． 由数轴可得，，，， 、，原选项判断错误，不符合题意， 、，原选项判断正确，符合题意， 、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意， 、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意， 故选：． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可． 解：∵，， ∴ ∵ ∴ A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键． （二）填空题（6题） 7．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题． 解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， 故答案为：假． 8．（2025·江苏常州·中考真题）若则 0．（填、或）． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·江苏宿迁·二模）已知a、b、c均为正数，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，算术平方根应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的基本性质．先根据得出，根据，得出，根据不等式的基本性质得出，即可得出，两边开平方得出，最后代入，求出结果即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b、c均为正数， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 10．（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ； 【答案】1188或4752 【分析】此题考查列代数式解决问题，设出m的代数式后根据题意得到代数式的取值范围是解题的关键，根据取值范围确定可能的值即可解答问题．设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，将m表示出来，根据是完全平方数，得到可能的值即可得出结论． 解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）， ∴， ∵m是四位数， ∴是四位数， 即， ∵， ∴， ∵是完全平方数， ∴既是3的倍数也是完全平方数， ∴只有36，81，144，225这四种可能， ∴是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425， 又m是偶数， ∴或4752 故答案为：1188或4752． 11．（23-24八年级下·山东枣庄·月考）下列是真命题的有 （填序号）． ①若且，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则； ⑥若，则；⑦若，，则 【答案】⑤⑥⑦ 【分析】本题考查命题的真假，根据不等式的性质，逐一进行判断即可，掌握不等式的性质，是解题的关键． 解：若且时，则；故①是假命题； 若，且时，则；故②是假命题； 若，则；故③是假命题； 若，且时，则；故④是假命题； 若，则；故⑤是真命题； 若，则；故⑥是真命题； 若，，则；故⑦是真命题； 故答案为：⑤⑥⑦． 12．（2024·山东·模拟预测）若，则．若，，，则将a、b、c按从大到小的顺序排列： ． 【答案】当时，，当时，， 【分析】本题考查对题干对数函数运算公式的理解，不等式性质，以及实数比较大小，根据对数函数运算公式得到，的值，分情况讨论，当时，以及当时，再与进行比较，即可解题． 解：， ，解得， ， 或， ， 又， ， 当时，， 当时，． （二）解答题（4题） 13．（2025·福建漳州·二模）已知实数a，b，c满足． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题意可得，结合已知得倒，由不等式的性质可得，即可证明； （2）根据，得到，结合（1）中，求出，再根据，求出，进而得到，结合，即可求解． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】(1)过4秒或6秒 (2)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． （1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 15．（2025·福建泉州·模拟预测）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．例如： 已知实数x，y满足，求证：． 证明：∵， ∴，……① ，……② ∴．……③ ∵，……④ ∴，即． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)在步骤①、②、③中，“不等号方向”出现错误的是步骤______（填“①、②或③”）；步骤④用到的乘法公式名称为______（填“两数差的平方公式”或“平方差公式”）； (2)已知实数x，y满足，求证：．（注：无需写出每步的依据．） 【答案】(1)③；平方差公式； (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，解题的关键是掌握不等式的性质． （1）根据不等式的性质及平方差公式即可得出结果； （2）根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题． （1）解：步骤①、②、③中，“不等号方向”出现错误的是步骤③，步骤④用到的乘法公式名称为平方差公式； 故答案为：③；平方差公式； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)小明的猜想不正确，反例： (2)见解析 (3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是 【分析】（1）举反例即可； （2）①当且时，可得，得，不合题意； ②当且时，可得，可得，得，即得． （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即． （1）解：小明的猜想不正确． 反例：． （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以． （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 不等式及其性质（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】不等式定义 1 ★【题型 1】不等式的认识 1 ★【题型 2】根据实际情况列不等式 2 ★★【题型 3】根据实际情况列不等式 2 【知识点二】不等式的基本性质 4 ★【题型 4】不等式的基本性质辨析 4 ★【题型 5】不等式的基本性质填写理由 5 ★★【题型 6】利用不等式的基本性质解不等式 5 ★★【题型 7】利用不等式的基本性质比较大小 6 ★★【题型 8】不等式基本性质的实际应用 7 二.中考模拟真题 9 （一）单选题（6题） 9 （二）填空题（6题） 10 （二）解答题（4题） 10 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】不等式定义 一般地，用符号“<”（或“”），“>”（或“”）连接的式子叫做不等式. ★【题型 1】不等式的认识 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）在下列数学表达式中，属于不等式的是 ． ①；②；③；④． ★【题型 2】根据实际情况列不等式 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (2)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 【变式1】（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高的范围吗？表示为 ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． ★★【题型 3】根据实际情况列不等式 【例题3】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． (1)一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； (2)现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ (3)若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为 ． 【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表： 班  级 人数 捐款总额（元） 人均捐款额（元） （1）班 （2）班 合计 80 900 11.25 小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息： 信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元； 信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元； 请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题： (1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？ (2)六（2）班的学生数至少是多少人？ 【知识点二】不等式的基本性质 不等式的基本性质1 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或除）同一个负数，不等号的方向要改变. ★【题型 4】不等式的基本性质辨析 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（25-26七年级上·安徽·假期作业）已知，请用“”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）填空（填“”“”“”或“”）： （1）若，则 ． （2）若，则 ． （3）若，则 ． （4）若，且为实数，则 ． ★【题型 5】不等式的基本性质填写理由 【例题5】（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知，试比较和的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤的数学依据． 解：______． 理由如下：， _____________（____________）， _____________（____________）， _____________（____________）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）写出下列不等式变形成“”的形式的结果及理由． （1）若，则 ，理由是 ； （2）若，则 ，理由是 ； （3）若，则 ，理由是 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【变式3】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）请根据不等式的基本性质填空： 问题：若，，，试判断x的取值范围． 解答：∵，∴（理由：不等式的基本性质1） ∴（理由：__________） ∵，∴（理由：___________） ∴________（理由：_________） ∵，∴______（理由：_________） ★★【题型 6】利用不等式的基本性质解不等式 【例题6】（25-26七年级下·全国·周测）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，且，则的取值范围是 ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列不等式化为“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． ★★【题型 7】利用不等式的基本性质比较大小 【例题7】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，为直角三角形的三边，为斜边，比较和的大小． 【变式2】（24-25八年级下·安徽宿州·月考）据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则______；填“”“”“” (2)若，，试比较，的大小； (3)请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为，每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 【变式3】（24-25八年级下·江西抚州·月考）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． ★★【题型 8】不等式基本性质的实际应用 【例题8】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）如果两个正数a，b，即，则有： ① 而② ③ 所以 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号． 我们把叫做正数a，b的算术平均数；把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：因为，所以，所以，当，即时，的最小值为4． 利用这个结论解决下列适合八年级学生的问题： (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； (2)已知x＞0，求的最小值，以及此时x的值； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为的正方形场地．场地甲中间有一个边长为的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为、宽为的长方形花卉区，下方为草坪．已知，设甲、乙两块场地中草坪面积的比为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·北京西城·二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 小时， 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知a是正实数，则的最小值等于 ． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   （二）填空题（6题） 7．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 8．（2025·江苏常州·中考真题）若则 0．（填、或）． 9．（2025·江苏宿迁·二模）已知a、b、c均为正数，且，则的最小值为 ． 10．（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ； 11．（23-24八年级下·山东枣庄·月考）下列是真命题的有 （填序号）． ①若且，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则； ⑥若，则；⑦若，，则 12．（2024·山东·模拟预测）若，则．若，，，则将a、b、c按从大到小的顺序排列： ． （二）解答题（4题） 13．（2025·福建漳州·二模）已知实数a，b，c满足． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 14．（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 15．（2025·福建泉州·模拟预测）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．例如： 已知实数x，y满足，求证：． 证明：∵， ∴，……① ，……② ∴．……③ ∵，……④ ∴，即． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)在步骤①、②、③中，“不等号方向”出现错误的是步骤______（填“①、②或③”）；步骤④用到的乘法公式名称为______（填“两数差的平方公式”或“平方差公式”）； (2)已知实数x，y满足，求证：．（注：无需写出每步的依据．） 16．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $