精品解析：2026年山东省荣成市石岛湾中学拔尖创新人才选拔考试数学第三次阶段模拟试题

数学试题 注意事项： 1．本试卷共7页，共120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 1988年3月14日，Larry Shaw在旧金山科学博物馆组织举办了最早的大型以为主题的活动，之后博物馆继承了这一传统，后来3月14日成为了国际圆周率日．历史上，求圆周率的方法有多种，其中的一种方法：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值，按照这种方法，的近似值的表达式是（ ） A. B. C. D. 2. 由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 16 3. 南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点 、点 在反比例函数位于第一象限的图象上，，点是的重心，点也恰好在反比例函数的图象上，连接，延长与相交于点，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在等边三角形中，M，N分别是边的中点，D为线段上任意一点，的延长线分别交于点E，F，且，则 的边长为（　　） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 6. 已知图象的对称中心在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，抛物线过，，三点，过点的直线（不与x轴重合）交抛物线于点D、点E，交于点Q，连接，当取得最小值时，的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，，连接，的角平分线交于点E，现把绕点B逆时针旋转，记旋转后的为，当射线和射线都与线段相交时，设交点分别F，G，若为等腰三角形，则线段长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 计算_____． 10. 若，则 的值为___________. 11. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为______． 12. 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______． 13. 已知一次函数（）的图象恒过定点，且与坐标轴围成的三角形面积不超过2，记满足条件的k的取值范围为P，若存在位于范围P中的x，使不等式成立，则实数m的取值范围为______． 14. 将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是______． 15. 一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的M的最大值是______． 16. 如图，在边长为的正方形中，是的中点，、、 分别是、、上的点，，，于点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质． x … 0 1 2 3 4 … y … a b … （1）列表，写出表中a，b的值： ， ； 观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． （2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确，在横线上打“”或“” ①函数的图象关于y轴对称． ②当 时，函数有最小值，最小值为． ③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小． ④函数的图象不经过第一、二象限． （3）若将横、纵坐标都为整数的点称为整点，直接写出直线与函数围成的封闭图形的内部恰有六个整点时，a的取值范围． 18. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． （1）c的值为__________； （2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h； ②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），我们定义：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“U区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点． （1）求抛物线的顶点P的坐标（用含有a的代数式表示）； （2）若抛物线经过点． ①求抛物线的表达式； ②在①的条件下，求出“U区域”内整点的坐标； （3）若抛物线在“U区域”内恰好有4个整点，直接写出a的取值范围． 20. 某研究团队进行实验，实验者须从装有1个白球和3个红球的盒子中连续放回地取出2个小球（每个小球除颜色外完全相同），若这2个小球均为白色，则实验成功，反之则向盒子中再放入一个黄色小球，然后继续进行实验直到实验轮数大于n（n为正整数）时实验失败，第i轮实验实验成功的概率记为 （1）求，； （2）直接写出与i的关系（以最简形式）； （3）求证：． 21. 定义：由两条与 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图1，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与 轴有相同的交点，（点在点的左侧），与 轴的交点分别为 ， 且点 的坐标为，抛物线的解析式为． （1）求M，N两点的坐标； （2）在第三象限内的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由． （3）如图2，若有一组成“月牙线”的抛物线，它们的解析式分别为，，为 轴上一点，过任意作一射线分别交和于，两点，过作直线 的垂线，垂足为 ，过作直线的垂线，垂足为，是否存在这样的点，使，恒成立？若存在，求出点的坐标，并探究是否为定值，说明理由． 22. 如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切； （2）当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； （3）在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1．本试卷共7页，共120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 1988年3月14日，Larry Shaw在旧金山科学博物馆组织举办了最早的大型以为主题的活动，之后博物馆继承了这一传统，后来3月14日成为了国际圆周率日．历史上，求圆周率的方法有多种，其中的一种方法：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值，按照这种方法，的近似值的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设单位圆的内接正边形的一边长为，连接，过点O作于点D，根据正多边形的性质解答即可． 本题考查了正多边形与圆的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：设单位圆的内接正边形的一边长为，连接，过点O作于点D， 根据题意，得，， 故， ， 故单位圆的内接正边形的周长为； 连接，则是外切正边形的边长的一半， 根据题意，得 ， 故外切正边形的周长为； 故它们的算术平均数为， 故， 故， 故选：B． 2. 由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差、平均数计算公式等基础知识，考查运算求解能力，利用方差的计算公式直接求解． 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 3. 南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，理解“调日法”的算法规则是解题关键，按照规则依次进行三次计算即可得到结果． 【详解】解：∵． ∴第一次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第二次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第三次使用“调日法”得． ∴使用三次“调日法”得到的近似分数为， 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数位于第一象限的图象上，，点是的重心，点也恰好在反比例函数的图象上，连接，延长与相交于点，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、等腰三角形性质、勾股定理，掌握反比例函数的图象和性质以及三角形重心的性质是解题的关键．由题意得点、关于直线对称，由可得的重心在直线上，联立函数解析式求出点坐标，即得，再根据三角形重心的性质可得，得到，即可得到答案． 【详解】解：设点，， 由得： 整理得： ∵， ∴， ∴，， ∴点、关于直线对称， ∵，点是的重心， ∴的重心在直线上， ∴点在直线上， 联立，解得或， ∵点在第一象限， ∴， ∴， ∵点是的重心， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，解得， ∴， 故选：D． 5. 如图，在等边三角形中，M，N分别是边的中点，D为线段上任意一点，的延长线分别交于点E，F，且，则 的边长为（　　） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了三角形中位线定理及三角形的相似的知识，解题的关键是作平行线构造相似，从而得到已知与所求线段的关系． 过点A作直线，延长交于点P，延长交于点Q．根据相似三角形的判定和性质得．又由， ，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点A作直线，延长交于点P，延长交于点Q． ∵， ∴． ∴． ∵M，N分别是边的中点， ∴点D在的中位线上， ∴的边上的高与的边上的高相等． ∴与的相似比为1． ∴． ∴ ∵， ∴ ∴． ∴①； 同理可得， ∴②． 由①＋②，得＋， 整理，得． 又∵， ， ∴． ∴的边长为9， 故选：B 6. 已知图象的对称中心在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数对称中心，代入直线方程得到a与b的关系式，再通过配方法求的最小值； 本题考查了反比例函数图象与性质，图象的中心对称，最值，熟练掌握中心对称是解题的关键． 【详解】解：∵ 又∵的对称中心为，将其图象向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的图象 ∴该函数图象的对称中心为 ∵点在直线上 ∴，即， 则 配方得： ∵ ∴， 即的最小值为， 故选：B． 7. 如图，抛物线过，，三点，过点的直线（不与x轴重合）交抛物线于点D、点E，交于点Q，连接，当取得最小值时，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求得抛物线，直线的解析式，确定交点Q的坐标，利用两点间距离公式计算，构造二次函数确定最小值，再利用正切函数的定义解答即可． 本题考查了待定系数法，根与系数的关系定理，两点间距离公式，构造二次函数求最值，换元思想，正切函数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，，， 根据题意，得，整理，得， 根据根与系数的关系，得， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得即， 令， ， ， ， ， ， 解得， ， 故， ，， 令，则， ， 根据二次函数的性质，得时，取得最小值， ，，， 根据题意，得 ， 故选：C． 8. 如图，矩形中，，，连接，的角平分线交于点E，现把绕点B逆时针旋转，记旋转后的为，当射线和射线都与线段相交时，设交点分别F，G，若为等腰三角形，则线段长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点G作，交于点H，证明，设，则，， 列比例式，解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：，，根据勾股定理，得， 由，得， 解得； 故， 过点G作，交于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， 解得， 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律，二次根式的性质，发现数字规律并裂项是解题的关键． 通过观察一般项，发现每一项可化为 的形式，然后利用裂项法裂项，然后求和即可． 【详解】解：设一般项为 ，其中 从 1 到 2019， ∵ ∴原式． 故答案为：． 10. 若，则 的值为___________. 【答案】2. 【解析】 【分析】因为，所以，即可转化为，解方程即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴, 解得：(舍去) 故x=2. 【点睛】本题考查了二次根式的运算和一元二次方程的解法，正确理解题意是解题基础. 11. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为______． 【答案】或5或19 【解析】 【分析】设丢失的数据为x，根据题意，这组数据的众数一定是4，平均数为，考查学生的运算能力和思维的严密性;分情况讨论是求解本题的关键． 本题主要考查样本的数字特征中平均数、众数和中位数的计算． 【详解】解：设丢失的数据为x，根据题意，这组数据的众数一定是4，平均数为， 若时，中位数是4，众数为4，根据题意，得， 解得； 若 是中位数时，根据题意，得， 解得； 若时，中位数是6，根据题意，得， 解得； 综上所述，丢失的数据可能是或5或19； 故答案为：或5或19． 12. 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE=，以及S△ADE=S△ADO=，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：连接OD、DE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点B、点D到对角线AC的距离相等， ∴S△ADE= S△ABE=， ∵AD⊥x轴， ∴AD∥OE， ∴S△ADE=S△ADO=， 设点D(x，y) ， ∴S△ADO=OA×AD=xy=， ∴k=xy=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是反比例系数k的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE是解题的关键． 13. 已知一次函数（）的图象恒过定点，且与坐标轴围成的三角形面积不超过2，记满足条件的k的取值范围为P，若存在位于范围P中的x，使不等式成立，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法得到，求出一次函数与坐标轴的交点的坐标，根据一次函数与坐标轴围成的三角形面积不超过2推出，分和两种情况，去绝对值可推出不符合题意，时可求出或；设，当时，在y轴右侧，随x的增大而增大，此时满足题意；当时，若，即时，二次函数的函数值一定大于0，符合题意；当时，此时二次函数的顶点在x轴上，且对称轴为直线，符合题意；当时，可求出当时，，可证明，则二次函数与x轴的一个交点的横坐标一定在直线和直线之间，符合题意，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象恒过定点， ∴，即， ∴一次函数的解析式为， 在中，当时，，当时，， ∴一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为， ∵一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积不超过2， ， ， 当时，， ， ∵，， ∴， ∴不成立； 当时，则， ， ， ， 或， ∵存在位于范围P中的x，使不等式成立， ∴当或时，不等式成立， ∴当或时，恒成立， 设，则二次函数的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴二次函数与y轴交于点； 当时，∵二次函数的开口向上， ∴在y轴右侧，随x的增大而增大， ∴当或时，，符合题意； 当时，若，即时，二次函数与x轴没有交点，即二次函数的函数值一定大于0， 此时满足当或时，，符合题意； 当时，，此时二次函数的顶点在x轴上，且对称轴为直线， 此时满足当或时，，符合题意； 当时，， 当时，解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数与x轴的一个交点的横坐标一定在直线和直线之间， ∴此时不满足当时，； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，二次函数与x轴的交点问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 14. 将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】考虑最大数出现在第行的概率，并利用递推关系计算前行满足条件的概率，其中 【详解】解：设表示前行满足每一行最大数都小于后一行最大数的概率．在前n行所有数中的最大数出现在第行的概率为．在前n行所有数中的位于第行的条件下，前行需要满足内部行最大数递增的条件，其概率为，因此有递推关系．已知，逐次计算可得． 故答案为：． 15. 一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的M的最大值是______． 【答案】6273 【解析】 【分析】根据友谊数的定义，用 a 和 b 表示 M 和 ，并计算 ，化简后得到表达式，令其除以 13 为整数，即是 13 的倍数；在 a 和 b 的取值范围内，求使 M 最大的 a 和 b即可． 本题考查了整除问题，实数的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由于 M 是友谊数，故 ，且各位数字均不为 0，因此 a，b，c，d 均为 1 到 8 的整数， ， ； ； 故 故， 该式为整数当且仅当为整数，即 是 13 的倍数； 由 a，b 的取值范围，的最小值为，最大值为 ，因此可能值为 13 或 26； 若为13，则 ，a 最大为 2，，此时 M 较小； 若为 26，则 ，a 最大为 6，，此时， ； 故满足条件的 M 的最大值为 6273， 故答案为：6273． 16. 如图，在边长为的正方形中，是的中点，、、 分别是、、上的点，，，于点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作，垂足为，连接交于点，连接、，作，垂足为，由结合正方形的性质可得，进而计算出．使用勾股定理计算出，，由直角三角形的性质求出为定值，则当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：如图，作，垂足为，连接交于点，连接、，作，垂足为， ∵四边形是正方形， ∴，，，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即点为的中点， 在直角中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴是直角三角形， ∵点为的中点， ∴， 在直角中，， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在直角中，， 由线段公理可知，，即， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段公理，勾股定理，熟练掌握动点的轨迹判断方法是解题关键． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质． x … 0 1 2 3 4 … y … a b … （1）列表，写出表中a，b的值： ， ； 观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． （2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确，在横线上打“”或“” ①函数的图象关于y轴对称． ②当时，函数有最小值，最小值为． ③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小． ④函数的图象不经过第一、二象限． （3）若将横、纵坐标都为整数的点称为整点，直接写出直线与函数围成的封闭图形的内部恰有六个整点时，a的取值范围． 【答案】（1），，画图见解析； （2）①；②；③；④； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是画函数图象，函数的性质；类比二次函数的图象与性质； （1）把 ，代入，再计算即可；根据表格信息先描点，再画图即可； （2）结合图象可得答案； （3）画直线，结合图象可得答案； 【小问1详解】 解：当 时， ； 当时， ； 故答案为：，， 如图，描点画图如下： ； 【小问2详解】 解：由图象可得： ①函数的图象关于y轴对称．； ②当时，函数有最小值，最小值为．； ③当时，函数y的值随自变量x的增大而减小，当时，函数y的值随自变量x的增大而增大； ∴在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．； ④函数的图象不经过第一、二象限．； 故答案为：①；②；③；④； 【小问3详解】 解：如图， 直线与函数围成的封闭图形的内部恰有六个整点时，a的取值范围为： ． 18. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． （1）c的值为__________； （2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h； ②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 【答案】（1）66 （2）①基准点K的高度h为21m；②b＞； （3） 他的落地点能超过K点，理由如下： ∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m， ∴抛物线的顶点为（25，76）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76， 把（0，66）代入得： 66＝a（0﹣25）2+76， 解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76， 当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36， ∵36＞21， ∴他的落地点能超过K点． 【解析】 【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66； （2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m； ②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案； （3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点． 【小问1详解】 解：∵起跳台的高度OA为66m， ∴A（0，66）， 把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得： c＝66， 故答案为：66； 【小问2详解】 解：①∵a＝﹣，b＝， ∴y＝﹣x2+x+66， ∵基准点K到起跳台的水平距离为75m， ∴y＝﹣×752+×75+66＝21， ∴基准点K的高度h为21m； ②∵a＝﹣， ∴y＝﹣x2+bx+66， ∵运动员落地点要超过K点， ∴当x＝75时，y＞21， 即﹣×752+75b+66＞21， 解得b＞， 故答案为：b＞； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），我们定义：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“U区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点． （1）求抛物线的顶点P的坐标（用含有a的代数式表示）； （2）若抛物线经过点． ①求抛物线的表达式； ②在①的条件下，求出“U区域”内整点的坐标； （3）若抛物线在“U区域”内恰好有4个整点，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）顶点的坐标为； （2）①；②，，，，， （3）的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P的坐标； （2）将点代入抛物线解析式中，即可求出a值，再分析当、1、2时，在“U区域”内整数点的坐标，由此即可得出结论； （3）分及两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①∵抛物线经过， ∴，解得； ∴抛物线的表达式o ②对于：， 令得，， 解得，， ∴点，点． 当时，， ∴，两个整点在“U区域”； 当时，， ∴，两个整点在“U区域”； 当时，， ∴，两个整点在“U区域”； 【小问3详解】 解：当时，， ∴抛物线与 轴的交点坐标为． 当时，如图1所示， 此时有，解得； 当时，如图2所示， 此时有，解得； 综上，如果“U区域”内仅有4个整点时，则的取值范围为或． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）利用配方法将抛物线解析式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，寻找“U区域”内整数点的个数；（3）依照题意，画出图形，观察图形找出关于a的一元一次不等式组． 20. 某研究团队进行实验，实验者须从装有1个白球和3个红球的盒子中连续放回地取出2个小球（每个小球除颜色外完全相同），若这2个小球均为白色，则实验成功，反之则向盒子中再放入一个黄色小球，然后继续进行实验直到实验轮数大于n（n为正整数）时实验失败，第i轮实验实验成功的概率记为 （1）求，； （2）直接写出与i的关系（以最简形式）； （3）求证：． 【答案】（1）； （2） （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了条件概率、递推归纳与裂项求和在复杂概率模型中的综合应用．掌握实验规则下条件概率的链式乘法计算、从特例归纳通项公式的能力，以及利用裂项技巧处理数列求和与不等式证明是解题的关键． （1）直接计算第一轮成功概率​；计算​时，需考虑第二轮实验进行的前提（第一轮失败）以及放入黄球后概率的变化，正确运用概率的乘法公式． （2）解题关键在于通过观察，，…的构成规律，归纳出一般表达式，并利用连乘积的技巧进行化简，最终得到最简分式形式． （3）本问基于第二问的通项公式进行证明，核心步骤是将​的表达式​裂项为，然后利用裂项相消法求和，化简后通过与​比较完成证明． 【小问1详解】 解：第一轮开始时，盒中有1白3红，共4个球． ∵每次抽取是独立的，且每次抽到白球的概率为． ∴两次都抽到白球的概率为：． 故． 第二轮实验进行的前提是第一轮失败，第一轮失败的概率为 ​． ∵第一轮失败后，会放入一个黄球，此时盒中有1白、3红、1黄，共5个球． ∴在第二轮中，每次抽到白球的概率变为． ∴第二轮成功的概率为第一轮失败且第二轮两次抽中白球的概率： ． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， 故答案为：． 【小问3详解】 证明： ， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴． 21. 定义：由两条与 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图1，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与 轴有相同的交点，（点在点的左侧），与 轴的交点分别为，且点的坐标为，抛物线的解析式为． （1）求M，N两点的坐标； （2）在第三象限内的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由． （3）如图2，若有一组成“月牙线”的抛物线，它们的解析式分别为，，为 轴上一点，过任意作一射线分别交和于，两点，过作直线 的垂线，垂足为 ，过作直线的垂线，垂足为，是否存在这样的点，使，恒成立？若存在，求出点的坐标，并探究是否为定值，说明理由． 【答案】（1），； （2）存在，的面积的最大值为； （3）存在，，是定值，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）把代入，再解方程可得答案； （2）如图，连接、、、，由抛物线和抛物线与 轴有着相同的交点，并且开口方向相同，可设抛物线的解析式为：，再求解抛物线的解析式为，可设点的坐标为两条，再建立函数关系时，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，，可得，，结合，可得，设，证明，即符合题意；设的直线为，可得，解得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：在抛物线的解析式中， 当时，， ， ， 解得，，， 点在点的左边， ，； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 如图，连接、、、， 抛物线和抛物线与 轴有着相同的交点，并且开口方向相同， 可设抛物线的解析式为：， 抛物线与 轴的交点为， ， ， 抛物线的解析式为， 可设点的坐标为， ， ， 根据二次函数的图象和性质知，当时，即点的坐标为时，的面积有最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：设，， ， 直线 ， ，则， ， ， 整理得：， 由恒成立，则方程的解与无关， ，解得：， ， 设， ， 直线， ， ， ，即符合题意； ，，， 设的直线为， ，解得：， 同理为， ，解得：， ， 整理得：， ， ，则， ，， ． 【点睛】本题考查的是抛物线与 轴的交点坐标，二次函数图象与图形面积问题，勾股定理的应用，二次函数与线段比值为定值问题，本题难度大，对学生要求高，灵活选用合适的方法解题是关键． 22. 如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切； （2）当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； （3）在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】（1）证明：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2） 解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3） 【解析】 【分析】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $