2026年山东省荣成市拔尖创新人才选拔考试数学模拟试题（一）

数学试题 注意事项： 1.本试卷共7页，共120分，考试时间120分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并 交回。 2.答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和 试卷规定的位置上。所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答.写在试卷上或答题 卡指定区域以外的答案一律无效。 3.不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.如图，在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为线段AB、 AD上的动点，若以EF为折痕翻折，A点落在A'点的位置，那 么A'可能位置形成的区域面积为() A. B￥ E C.√2-1 D罗-1 2.学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，80有 位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有 () A.20位 B.25位 C.30位 D.35位 3.定义：[x]表示不大于x的最大整数.学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推 选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选1名代表，那么各班可推选 代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]可以表示为() Ay=[0] By=0] C.-[ D=0) 4.由正整数构成的一组常数41,42，…，a,…满足：①41<42<…<a<…;②an= a-1十a-2n≥3)，则称为类斐波那契数列”.例如：3,4,7,11,18,29，…，则满足a =59的类斐波那契数列有() A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 5.如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2W3.过点A作AE⊥BC 的垂线交BC于点E,记BE长为x,BC长为y.当x,y的值发生变化时，下列代数 式的值不变的是() A.x+y B.x-V C.xy D.x2+v2 数学试题第1页（共7页） 21 2:0: P:P:P3 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，在△ABC中∠ABC=105°，AD=CD,AE=BE,BD与CE交于点I,以I为圆心， DI长为半径作圆，过B作⊙I的两条切线BM、BN.则∠ABM+∠CBN的值为 () A.30° B.40° C.45 D.60° 7.如图，记抛物线y=-x2+1的图象与x正半轴的交点为A,将线段OA分成n等份， 设分点分别为乃，P2,…,Pn-1,过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1, Q2,…,2-1,再记直角三角形OPQ,乃PQ2,…的面积分别为S1,S2,…记W=S1+ S2十.+S-1,当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是() A子 B号 c号 D 8.我们规定：若一个正整数A能写成2-n,其中m与n都是两位数，且m与n的十位 数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成2-的过程，称 为“方减分解”.例如：因为602=252-23,25与23的十位数字相同，个位数字5 与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602=252-23的过程就是“方减 分解”.把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A=-n,将m放在n的左边组成 一个新的四位数B,若B除以19余数为1，且2+=k2(k为整数)，则满足条件的 正整数A为() A.4273 B.6564 C.6273 D.4564 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分 9.设实数a,b,c,满足b+c-4=+a-b=a+h-C,则 abc b (a+b)(b+c)(c+a)= 10.若心0，b>0,且a+b=9,则√a2+2+√b2+8的最小值为 数学试题第2页（共7页） 11.在信道内传输0,1信号，信号的传输互不影响.发送0时，收到1的概率为α(0<a <1),收到0的概率为1-a:发送1时，收到的0概率为(0<B<1),收到的1概率 为1一B.三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则 如下：单次传输时，收到的信号即为译码：三次传输时，收到的信号中出现次数多的 即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1）.现在采用这种传输方案，若发送 1,则译码为1的概率为 12.平面上三个圆形纸片两两相切，它们两两之间的圆心距分别为5,6,7，则它们覆 盖平面的总面积是 13.“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的计算原理，称作祖暅原理， 利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图 形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那 么这两个平面图形的面积相等”.记函数y1=x2+x一1，y2=x2-x十1，=x2一 2x+5的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为2，则2的面积为 -r2x+5 D E1 E2 E3 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的 两条外角平分线交于点P,且点P在反比例函数y=16的图象上.PA、PB的延长 线分别交x轴、y轴于点C、D,连结CD,则△OCD的面积是 15.如图，RT△ABC中，BC=2W3,∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边的中点，过D1作 D1E1⊥AC于E1,连接BE1交CD1于D2;过D2作D,E2⊥AC于E2,连接BE2交CD1 于D3;过D3作D3E,⊥AC于E,…,如此继续，可以依次得到点E4,E5,…,Eo26,记△ BCEm的面积为Sm,则S2o25的大小为 16抛物线y=-x上有三个动点M,N,S,点Tm,四位于W上若总有∠V= 90°，则m与n的数量关系为 三、解答题：本题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(6分) 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升，某健身 中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材 数学试题第3页（共7页） 的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用 56000元购买乙型健身器材的数量相同 (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元. (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的 购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用 最少？最少采购费用是多少元？ 18.(8分) 某班兴趣小组对函数y=一x2+2x的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请 补充完整 已知自变量的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： -3 2 5 3 2 y -3 5 0 0 5 -3 4 4 (1)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一 部分，请画出该图象的另一部分： (2)观察函数图象，当y随x增大而减小时，则x的取值范围是 (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有 个交点，所以对应方程-x2+2x=0有个实 数根： ②方程-x2+2x=-1有 个实数根； ③若关于x的方程-x2+2x=n有4个实数 根，则n的取值范围是 -10 2 134 第18题图 数学试题第4页（共7页） 19.(11分) 我们约定：当x1,1,2,2满足(x+y2+(x2十y=0,且x1+为≠0时，称点 (x,)与点(2，y2)为一对“对偶点”.若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称 该函数为“对偶函数”.请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打 “x”): ①函数y=冬(k是非零常数)的图象上存在无数对对偶点”； () ②函数y=-2x+1一定不是“对偶函数”； () ③函数y=x2+x-1的图象上至少存在两对“对偶点”. () (2)若关于x的一次函数y=k1x+b1与y=kx+b2(b,b2都是常数，且b1b2<0) 均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数y=2x2-1是对偶函数”，求实数a的取值范围. 20.(11分) 某旅游胜地欲开发一座景观山.从山的侧面进行勘测，迎面山坡线ABC由同一 平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的 抛物线以C为顶点、开口向上.以过山脚（点C)的水平线为轴、过山顶（点A)的铅垂线 为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）.AB所在抛物线的解析式为y=子 +8,BC所在抛物线的解析式为y=寻(x-8,且已知B(m,4).(参考数据：√20≈4 4721,406.3246,W60≈7.7460) 长度 高度 D 上山方向 0 E X 数学试题第5页（共7页） (1)设P(x,y)是山坡线AB上任意一点，用含y的式子表示x,并求点B的坐标； (2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶.这种台阶每级的高度为20厘 米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图） ①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米） ②判断这种台阶能否一直铺到山脚，并说明理由 (3)在山坡上的700米高度（点D)处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站： 索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE=1600(米).假设索道DE可近似地 看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，其解析式为 y=8（x-16.试求索道 的最大悬空高度. 21.(12分) 聪明好学的晨晨看到一课外书上有个重要补充： 角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻 边对应成比例.于是他和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①， △A8C中，AD平分∠RMC交BC于点D,求证：器-装.可是他们依然找不到证 明方法，经过老师的提示：过点B作BEAC交延长线于点E,于是打开思路. D 图① 图② 图③ 【问题初探】 (1)请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明： 【现学现用】借助角平分线定理解决如下问题： (2)如图②，△ABC中，AB=3,AC=5,点D是边BC上一点，将△ABD沿着AD 翻折，使得点B与边上的点E重合，若△CDE是直角三角形，求BC的长度， 【问题解决】 (3)如图③，已知反比例函数y=3巨，点A是该图象第一象限上的动点，连接 AO并延长交另一支于点B,以AB为斜边作等腰直角△ABC,顶点C在第四象限，AC 与轴交于点P,连接BP,点A在运动过程中，是否存在∠APB=∠ABP+4∠PBC的情 况？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由 数学试题第6页（共7页） 22.(12分) 如图，AC,BD为⊙O的直径，且AC⊥BD,P、Q分别为半径OB、OA(不与端点 重合)上的动点，直线PQ交⊙O于M、N. (1)比较大小：cos∠oPo sin∠OOP; (2)请你判断MP-NP与OP·cos∠OPQ之间的数量关系，并给出证明： (3)当∠APO=60°时，设MQ=m·MP,NQ=n·NWP. ①求+n的值： ②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS,已知OD=1,OS=√3-1，在Q点 的移动过程中，1+√m+MP K 一乐恒为非负数，请直接写出实数：的最大值。 A u B D C 第22题图 23.(12分) 已知在平面直角坐标系xO中，一次函数y=子x十p的图像与x轴交于 A(-1,0),与y轴交于C.以直线x=2为对称轴的抛物线C1:y=ax2+br+c(a≠0) 经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B, (1)求p的值及抛物线C1:y=2+br+c(a≠0)的函数表达式： (2)设点D(0器)，若r是抛物线C,:y=m2+x+c(a≠0)对称轴上使得△ ADF的周长最小的点，过F任意做一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M(x1,y) ,丛(，购)两点，试深究+女2是否为定值，并说明理由： (3)将抛物线C作适当平移，得到抛物线C,:=-4(x-,h>1,若当1<x ≤时，y2≥-x恒成立，求m的最大值， 数学试题第7页（共7页）