2026年山东省荣成市石岛湾中学拔尖创新人才选拔考试数学第三次阶段模拟试题

数学试题 注意事项： 1．本试卷共7页，共120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 1988年3月14日，Larry Shaw在旧金山科学博物馆组织举办了最早的大型以为主题的活动，之后博物馆继承了这一传统，后来3月14日成为了国际圆周率日．历史上，求圆周率的方法有多种，其中的一种方法：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值，按照这种方法，的近似值的表达式是（ ） A. B. C. D. 2. 由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 16 3. 南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数位于第一象限的图象上，，点是的重心，点也恰好在反比例函数的图象上，连接，延长与相交于点，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在等边三角形中，M，N分别是边的中点，D为线段上任意一点，的延长线分别交于点E，F，且，则 的边长为（　　） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 6. 已知图象的对称中心在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，抛物线过，，三点，过点的直线（不与x轴重合）交抛物线于点D、点E，交于点Q，连接，当取得最小值时，的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，，连接，的角平分线交于点E，现把绕点B逆时针旋转，记旋转后的为，当射线和射线都与线段相交时，设交点分别F，G，若为等腰三角形，则线段长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 计算_____． 10. 若，则的值为___________. 11. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为______． 12. 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______． 13. 已知一次函数（）的图象恒过定点，且与坐标轴围成的三角形面积不超过2，记满足条件的k的取值范围为P，若存在位于范围P中的x，使不等式成立，则实数m的取值范围为______． 14. 将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是______． 15. 一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的M的最大值是______． 16. 如图，在边长为的正方形中，是的中点，、、分别是、、上的点，，，于点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质． x … 0 1 2 3 4 … y … a b … （1）列表，写出表中a，b的值： ， ； 观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． （2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确，在横线上打“”或“” ①函数的图象关于y轴对称． ②当时，函数有最小值，最小值为． ③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小． ④函数的图象不经过第一、二象限． （3）若将横、纵坐标都为整数的点称为整点，直接写出直线与函数围成的封闭图形的内部恰有六个整点时，a的取值范围． 18. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． （1）c的值为__________； （2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h； ②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），我们定义：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“U区域”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点． （1）求抛物线的顶点P的坐标（用含有a的代数式表示）； （2）若抛物线经过点． ①求抛物线的表达式； ②在①的条件下，求出“U区域”内整点的坐标； （3）若抛物线在“U区域”内恰好有4个整点，直接写出a的取值范围． 20. 某研究团队进行实验，实验者须从装有1个白球和3个红球的盒子中连续放回地取出2个小球（每个小球除颜色外完全相同），若这2个小球均为白色，则实验成功，反之则向盒子中再放入一个黄色小球，然后继续进行实验直到实验轮数大于n（n为正整数）时实验失败，第i轮实验实验成功的概率记为 （1）求，； （2）直接写出与i的关系（以最简形式）； （3）求证：． 21. 定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图1，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，且点的坐标为，抛物线的解析式为． （1）求M，N两点的坐标； （2）在第三象限内的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由． （3）如图2，若有一组成“月牙线”的抛物线，它们的解析式分别为，，为轴上一点，过任意作一射线分别交和于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过作直线的垂线，垂足为，是否存在这样的点，使，恒成立？若存在，求出点的坐标，并探究是否为定值，说明理由． 22. 如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切； （2）当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； （3）在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共7页，共120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】2. 【11题答案】 【答案】或5或19 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】6273 【16题答案】 【答案】 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【17题答案】 【答案】（1），， 如图，描点画图如下： ； （2）①；②；③；④； （3） 【18题答案】 【答案】（1）66 （2）①基准点K的高度h为21m；②b＞； （3） 他的落地点能超过K点，理由如下： ∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m， ∴抛物线的顶点为（25，76）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76， 把（0，66）代入得： 66＝a（0﹣25）2+76， 解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76， 当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36， ∵36＞21， ∴他的落地点能超过K点． 【19题答案】 【答案】（1）顶点的坐标为； （2）①；②，，，，， （3）的取值范围为或． 【20题答案】 【答案】（1）； （2） （3）见详解 【21题答案】 【答案】（1），； （2）存在，的面积的最大值为； （3）存在，，是定值， 设，， ， 直线， ，则， ， ， 整理得：， 由恒成立，则方程的解与无关， ，解得：， ， 设， ， 直线， ， ， ，即符合题意； ，，， 设的直线为， ，解得：， 同理为， ，解得：， ， 整理得：， ， ，则， ，， ． 【22题答案】 【答案】（1）证明：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2） 解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $