专题 2.10 一元二次方程（单元培优卷）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.10 一元二次方程（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·期末）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 4．（2025九年级上·全国·专题练习）关于x的方程(a为常数)的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．（25-26九年级上·贵州遵义·月考）设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东广州·期末）某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为338万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·湖南怀化·月考）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 8．（25-26九年级上·河南商丘·月考）已知关于的一元二次方程的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 9．（25-26九年级上·重庆南岸·期末）存在一个矩形，矩形的面积与一个已知正方形面积相等，矩形的周长是已知正方形周长的2倍，则这个矩形的较长边的边长与正方形的边长之比是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·重庆涪陵·期末）如图，在中，，，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·西藏昌都·期末）关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 12．（25-26九年级上·山东聊城·月考）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 13．（24-25九年级上·重庆·期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 14．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在线段上找到一个点，且，满足，若，则 ． 15．（25-26九年级上·安徽黄山·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则的值为 ． 16．（25-26九年级上·江西新余·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为 m． 18．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（江西景德镇市第十三中学2026届九年级第一次质量检测卷数学）解方程： (1)； (2) 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． (1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 22．（本小题满分10分）（2026九年级上·河北沧州·学业考试）现有三组数值：①，；②，；③，． 从①~③中任选一组，的值代入，得到方程． (1)淇淇发现，她得到的方程没有实数根．则她选取的是____________（填序号）； (2)除（1）所选的一组外，从另外两组数值任选一组代入，解出所得方程的解． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·山东青岛·周测）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·广东珠海·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． （1）材料理解：一元二次方程两个根为，则： ， ． （2）类比探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.10 一元二次方程（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、，即，是一元二次方程，故选项符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·全国·期末）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，注意配方时添加常数项． 通过配方法将方程化为标准形式，先使二次项系数为1，再配方． 【详解】解：∵ ， ∴ 两边除以2：， ∴ 移项：， ∴ 配方：，即 ， ∴ 与 比较，得 ，， 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）关于x的方程(a为常数)的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次方程根的判别式应用及二次函数的符号判断，将方程化为标准形式，计算判别式并证明其恒大于零． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 判别式， 展开得， 对于，二次项系数为正，且其判别式， ∴恒成立，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．（25-26九年级上·贵州遵义·月考）设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，将表达式变形后整体代入求值． 【详解】是方程的实数根， ，即， 又，是方程的两个实数根， 由根与系数关系得：， ， 故选． 6．（25-26九年级上·广东广州·期末）某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为338万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的平均增长率问题，掌握“变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，经过两次变化后的数量关系为”是解题关键，根据每月增长率依次表示出二月份、三月份的营业额，再结合三月份营业额列方程即可． 【详解】解：∵设平均每月的增长率为， ∴二月份的营业额为万元， ∴三月份的营业额为万元， 又∵三月份的营业额为338万元， ∴列方程为， 故选A． 7．（25-26九年级上·湖南怀化·月考）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上公式是解题的关键． 根据特征数的定义，得出方程的原形式，利用根与系数关系及平方和条件列出方程，结合判别式求出的值． 【详解】解：∵特征数为， ∴方程为， 设两实数根为，，则， ， ， ∵， ∴， 化简得：， 解得或， 又∵方程有实数根， ∴， 即， ∴（舍去）， ∴， 故选C． 8．（25-26九年级上·河南商丘·月考）已知关于的一元二次方程的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式； 一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；根据一元二次方程根的判别式解答，即可求解． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ∴在方程中，， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 9．（25-26九年级上·重庆南岸·期末）存在一个矩形，矩形的面积与一个已知正方形面积相等，矩形的周长是已知正方形周长的2倍，则这个矩形的较长边的边长与正方形的边长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设正方形的边长为，可得正方形的周长为，设矩形的一条边长为，则可得另一条边长为，根据矩形的面积与一个已知正方形面积相等，列方程即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，可得正方形的周长为， 矩形的周长是已知正方形周长的2倍， 矩形的周长为， 设矩形的一条边长为，可得另一条边长为， 故可得， 可得， ， 这个矩形的较长边的边长为， 所以这个矩形的较长边的边长与正方形的边长之比是， 故选：C． 10．（25-26九年级上·重庆涪陵·期末）如图，在中，，，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，解直角三角形，三角形的等面积法，作出正确的辅助线是解题的关键．先过点作于点，于点，再根据翻折变换的性质，勾股定理和三角形的等面积法进行计算即可． 【详解】解：如图， 过点作于点，于点， ． 由折叠得，，， ∵， ∴， ， 由勾股定理可得，． 设， 则，， ∵，， 同理可得，， ， 解得， 即点到的距离为． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·西藏昌都·期末）关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为0是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且． 解方程，得，即， ∴或． ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 12．（25-26九年级上·山东聊城·月考）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练求解一元二次方程，本题属于基础题型． 根据一元二次方程的解法以及三角形三边关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时， 由于，故能围成三角形； 三角形的周长为， 当时， 由于，故不能围成三角形， 故答案为：10． 13．（24-25九年级上·重庆·期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解：， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 14．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在线段上找到一个点，且，满足，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查成比例线段和解一元二次方程，根据比例式列方程是解题的关键． 首先设，则，进而通过比例式列出一元二次方程，求解结果并保留正数即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，即， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·安徽黄山·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】由方程有两个实数根，得判别式大于等于零，求出 k 的取值范围；再化简表达式，利用绝对值和平方根的性质计算． 【详解】解： 有两个实数根，则判别式 ． ． 由 ，得 ，即 ，所以 ． ∴原式 ． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江西新余·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程的解的定义可得，利用根与系数的关系得到的值，并将原表达式变形后代入计算，即可求解． 【详解】因为是方程的根， 所以，即 ∴ 由根与系数的关系，， 所以原式， 故答案为：． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是该校一块长方形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的总面积为，则所修道路的宽为 m． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握通过平移将不规则种植区转化为规则长方形，根据面积列方程并检验解的合理性是解题的关键． 将种植区通过平移转化为长为、宽为的规则长方形，根据种植区面积列方程求解，舍去不符合实际的解． 【详解】解：设所修道路的宽为．根据题意，得， 整理，得，解得（不合题意，舍去），， 即所修道路的宽为． 故答案为：1． 18．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 利用根与系数的关系得到，；，；…，；把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴由根与系数的关系得：，； ，； … ，； ∴原式 ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（江西景德镇市第十三中学2026届九年级第一次质量检测卷数学）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解一元二次方程、解分式方程，掌握解一元二次方程的基本方法及解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）将原方程化为，然后将方程的左边进行因式分解，从而将方程转化为两个一元一次方程，求解即可； （2）将原方程去分母后化为一元一次方程，求解并检验后即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，即， ， ， 或， 解得：，； （2）解：在方程两边同乘以，得：， 解得：， 检验：将代入，得：， ∴是原分式方程的解． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 【答案】(1)见解析 (2)此方程的两个根为， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）设方程的两根分别为t，，根据根与系数的关系得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根分别为t，， 根据根与系数的关系得， ∴， ∴方程的两根分别为1和3， 即方程的两个根为，． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． (1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)是(2)m 的值为0或2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）解方程得到，，再由“邻根方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：是． （2）解：， ， ∴，， 由题意得：，即或， 解得，， ∴m的值为0或2． 22．（本小题满分10分）（2026九年级上·河北沧州·学业考试）现有三组数值：①，；②，；③，． 从①~③中任选一组，的值代入，得到方程． (1)淇淇发现，她得到的方程没有实数根．则她选取的是____________（填序号）； (2)除（1）所选的一组外，从另外两组数值任选一组代入，解出所得方程的解． 【答案】(1)③ (2)选①代入，，；选②代入，， 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）利用一元二次方程根的判别式可作出选择； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，， ①，：，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； ②，：，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； ③，：，方程没有实数根，符合题意， 她选取的是：③； （2）解：选①，代入，得，，，， ∴， ， 解，； 选②，代入，得，，，， ， ， 即，． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·山东青岛·周测）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 【答案】(1)二、三这两个月的销售量月平均增长率为；(2)该商品售价定为元时，商场当月获利元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意即可得出关于x的一元二次方程，进行计算即可得； （2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为元． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，三月的销售量是， 当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得，， 又∵要尽可能让利顾客，赢得市场， ∴， 答：该商品售价定为元时，商场当月获利元． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·广东珠海·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． （1）材料理解：一元二次方程两个根为，则： ， ． （2）类比探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】（1）5，；（2）；（3）． 【分析】（1）根据材料1解答即可； （2）由题可知m，n是方程的两个不相等的实数根，再根据材料1可得出，，将所求式子变形为，再整体代入求值即可； （3）等式两边同时除以，得：即，即说明实数s和可看作方程的两根，即得出，，将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：（1）∵一元二次方程两个根为， ∴，． 故答案为：5，； （2）由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，， 所以； （3）∵要求的值， ∴， ∴等式两边同时除以，得：，即， ∴实数s和可看作方程的两根， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $