专题 2.9 一元二次方程（单元基础卷）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.9 一元二次方程（单元基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）下列四个方程中，是一元二次方程的是（ ） A．     B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟记只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项分析判断即可得出答案． 解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程． B、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． C、分母含有未知数，是分式方程，不是一元二次方程． D、整理后为，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可通过移项后因式分解的方法，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解． 解：∵ ∴ ∴ ∴或 解得， 故选：B． 3．（25-26九年级上·天津津南·月考）若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，利用方程根的定义，将所求表达式变形后整体代入求值． 解：∵ m是方程 的根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方的方法是解题的关键． 根据配方法的步骤进行求解即可，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方． 解：∵， 移项，得， 方程两边同时加，得，即． 故选：B． 5．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 6．（25-26九年级上·湖南永州·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 7．（25-26九年级上·山东青岛·期末）若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值． 先将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，再代入对应值计算即可． 解：∵是方程的两个根， ∴， ∴； 故选：C． 8．（25-26八年级上·山东济南·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解及求代数式的值．先根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得出，，再将其代入整理后的代数式计算即可． 解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即，且 ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ， ∴原式， 故选：D． 9．（25-26九年级上·云南昆明·期末）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用之连续增长率问题，根据连续增长的数量关系列方程是解题关键，连续两次以相同增长率增长时，最终量=初始量×． 解：∵设增长率为x，第一周票房为8.98亿元， ∴第二周票房为亿元， ∴第三周票房为亿元， 又∵第三周票房收入达12.93亿元， ∴可列方程为， 故选：B． 10．（25-26九年级上·河北保定·月考）“这么近，那么美，周末到河北！”河北省某市文旅计划在本市打造一个仿古美食街区域，布局如图所示，该区域长为米，宽为米，美食店铺的总面积为平方米，步行街道的宽相同．设步行街道的宽为米，可得方程，则下列说法正确的是（  ） A．表示其中一排店铺的宽 B．“”处的内容为 C．“”处的内容为 D．的值为 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设步行街道的宽为米，根据美食店铺的总面积为平方米，可得方程，解方程即可求出． 解：A选项：美食街区域长为米，步行街道的宽为米， 表示一排店铺的长， 故选项错误； B选项：“”应是步行街的宽， “”处的内容为， 故B选项错误； C选项：“”应是步行街的宽， “”处的内容为， 故C选项错误； D选项：设步行街道的宽为米， 根据题意可得方程：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 的值为， 故D选项正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级上·上海金山·月考）当 时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，求解即可． 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海普陀·期末）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，用直接开平方法解一元二次方程即可． 解：∵， ∴， 即或， 解，得，， 解，得，， ∴方程的根是， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·内蒙古包头·月考）代数式的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了配方法的应用，通过配方将表达式转化为完全平方式与常数的和的形式，再利用非负性即可求出最小值． 解：， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为1， 即代数式的最小值为1． 故答案为：1． 14．（25-26九年级上·河南新乡·期中）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】29 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是确定方程的系数，代入判别式公式计算． 先明确一元二次方程根的判别式公式，再确定方程中的值，代入公式计算． 解：， 将系数代入判别式公式：． 故答案为：29． 15．（25-26九年级上·广东韶关·期末）已知是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是熟练应用定义解题；根据方程根的定义，得到 ，再代入求值即可． 解：∵ 是方程 的一个根， ∴ ，即 ， ∴ ， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设，则，原方程可变形为，解方程求出t的值即可得到答案． 解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：5． 17．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 由于直角三角形三边为连续整数且斜边最长，设斜边长为，则两直角边分别为和，根据勾股定理列出方程． 解：设斜边长为，则两条直角边长分别为和． 由勾股定理，得． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了 行． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据“增加的人数变化后的方阵人数-原方阵人数”列出方程求解． 设增加了行，根据人数变化关系列方程，求解符合实际意义的解． 解：设增加了行，因为增加的行数．列数相同，所以增加后方阵为行列． 原方阵人数为人，加入30人后总人数为人， 因此列方程：， 解得或（行数不能为负，舍去）， 故增加了3行． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可 （1）解： ， ∴ （2）解： 或 ∴． 20．（本小题满分8分）（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 【答案】(1)是凤凰方程，理由见解析 (2) 【分析】（）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义判断即可； （）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义得到关于的方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，，再由题意可得，据此求出，的值即可得到答案． （1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意． ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面． (1)若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？ (2)为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)和分别为与 (2)不能实现，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据矩形的面积，列出方程，是解题的关键． （1）设，则，根据矩形自由采摘区面积为，列出方程，解方程即可； （2）设，则，矩形自由采摘区的面积需改为，列出方程，判断方程解的情况即可． （1）解：设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：和分别为与． （2）解：设，则， 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解，所以想法不能实现． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·贵州遵义·期末）我市“幸福之城”大型楼盘陆续交付，家装灯具销售商纷纷推出各类优惠政策．某灯具销售商通过大数据分析：成本为每个30元的台灯，当售价为70元时，平均每天售出20个．若售价每下降1元，每日销售量就增加2个． (1)设售价下降元，请填空： 售价 70 65 利润 40 ___________ 销售量 20 30 ___________ (2)为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在每台台灯盈利不少于25元的前提下，若预计日销售获利恰好为1200元，求每个台灯的售价． 【答案】(1)35； (2)60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据“当售价为70元时，平均每天售出20个；若售价每下降1元，每日销售量就增加2个”列出代数式，即可解答； （2）设每个台灯的售价为元．根据每个台灯的利润销售数量总利润列出方程并解答． （1）解：当售价为65元时，每台台灯的利润为：（元）， 售价下降元，每日能售出个； （2）解：设每个台灯售价y元，根据题意得： ， 即， ， 每台台灯盈利不少于25元， ，解得。 不合题意，舍去。 ， 答：每个台灯售价60元． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得，即可作答． （2）先整理原式为，再结合非负性，得出，，然后代入计算，即可作答． （3）先整理原式为，因为，所以当，时，取得最小值，最小值为16，即可作答． （1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴配方得：， 即， ，， 故． （3）解：依题意， ， ， ，时， 即当，时，则， 即取得最小值，最小值为16． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.9 一元二次方程（单元基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）下列四个方程中，是一元二次方程的是（ ） A．     B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·天津津南·月考）若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖南永州·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．且 7．（25-26九年级上·山东青岛·期末）若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．9 8．（25-26八年级上·山东济南·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．2 D．4 9．（25-26九年级上·云南昆明·期末）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河北保定·月考）“这么近，那么美，周末到河北！”河北省某市文旅计划在本市打造一个仿古美食街区域，布局如图所示，该区域长为米，宽为米，美食店铺的总面积为平方米，步行街道的宽相同．设步行街道的宽为米，可得方程，则下列说法正确的是（  ） A．表示其中一排店铺的宽 B．“”处的内容为 C．“”处的内容为 D．的值为 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级上·上海金山·月考）当 时，关于的方程是一元二次方程． 12．（25-26八年级上·上海普陀·期末）方程的根是 ． 13．（24-25九年级上·内蒙古包头·月考）代数式的最小值为 ． 14．（25-26九年级上·河南新乡·期中）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 15．（25-26九年级上·广东韶关·期末）已知是方程的一个根，则的值为 ． 16．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知，则 ． 17．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程 ． 18．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了 行． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面． (1)若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？ (2)为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·贵州遵义·期末）我市“幸福之城”大型楼盘陆续交付，家装灯具销售商纷纷推出各类优惠政策．某灯具销售商通过大数据分析：成本为每个30元的台灯，当售价为70元时，平均每天售出20个．若售价每下降1元，每日销售量就增加2个． (1)设售价下降元，请填空： 售价 70 65 利润 40 ___________ 销售量 20 30 ___________ (2)为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在每台台灯盈利不少于25元的前提下，若预计日销售获利恰好为1200元，求每个台灯的售价． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $