专题 2.8 一元二次方程根与系数关系（专项练习）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.8 一元二次方程根与系数关系（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．2 D．4 2．（25-26九年级上·天津西青·期末）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 3．（25-26九年级上·广东佛山·期末）已知等腰三角形的一条边长为3，另外两条边的长是方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．11 B．13 C．11或13 D．11或12 4．（25-26九年级上·四川眉山·期末）已知、是方程的两根，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 5．（25-26九年级上·广东深圳·月考）若方程与方程的解相同，则p、q的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．（25-26九年级上·天津红桥·期末）若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则较长直角边的长为（   ） A．6 B．8 C．7 D．10 9．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知， 是关于的方程的两个根， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·山东聊城·期末）若方程的一个根是1，则另一个根是 ． 12．（25-26九年级上·福建漳州·期末）写出一个两个实数根分别为2和的一元二次方程： ． 13．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知、是方程的两根，则的值为 ． 14．（25-26九年级上·河北邢台·期末）等腰的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则的值是 ． 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为 ． 16．（25-26九年级上·四川成都·月考）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为 ． 17．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ． 18．（25-26八年级下·全国·周测）已知关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 ． （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，，，，…，则的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·湖北武汉·月考）若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·上海金山·月考）已知，在等腰三角形中，．、的长是关于x的方程的两个整数根，请求出的周长． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·上海松江·期末）已知关于的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值及此方程的两根． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为_________ (2)利用上述方法求下列方程中的值： (3)拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.8 一元二次方程根与系数关系（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程的两根为，则是解题的关键． 直接利用一元二次方程根与系数求解即可． 解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴． 故选C． 2．（25-26九年级上·天津西青·期末）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先由一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式变形求值即可． 解：∵，是方程的根， ∴可得，， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东佛山·期末）已知等腰三角形的一条边长为3，另外两条边的长是方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．11 B．13 C．11或13 D．11或12 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；已知等腰三角形一边长为3，另外两边为方程的根，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为8，周长等于三边之和，即3加上两根之和，然后问题可求解． 解：设另外两边为和，由一元二次方程及根与系数的关系可知：， ∴该等腰三角形的周长为， 当该等腰三角形的腰长为3时，则，当底边长为3时，则腰长为，均符合三角形三边关系， ∴该等腰三角形的周长为11； 故选A． 4．（25-26九年级上·四川眉山·期末）已知、是方程的两根，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的定义推出，，最后整体代入即可解决问题． 解：∵、是方程的两根， ∴，， ∴． ∴ ． 故选：B 5．（25-26九年级上·广东深圳·月考）若方程与方程的解相同，则p、q的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 先求第二个方程的两个根，这些根也是第一个方程的根，再利用根与系数的关系求 p 和 q即可． 解：解方程可得：， ∵方程与方程的解相同， ∴方程的解为， 根据根与系数的关系可得：，， ∴， ．     故选 C． 6．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，先利用方程的解得到，再结合根与系数关系得到，将所求代数式变形后代入计算即可． 解：∵a是方程的解， ∴ ∴ ∵a和b是方程的两个解 ∴， ∴ ， 故选：D． 7．（25-26九年级上·天津红桥·期末）若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用一元二次方程根与系数的关系判断出m和n的符号，从而确定点所在象限． 解：设方程的两个实数根为，，且，， 则，，， 所以，， 所以的横坐标为正，纵坐标为负，该点位于第四象限， 故选：D． 8．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则较长直角边的长为（   ） A．6 B．8 C．7 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设两条直角边分别为a和b（），根据条件列出方程，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 解：设较长直角边为a，较短直角边为b，（）， 由题意得：， ∴， ∵把a和b看作是一元二次方程的两个根， ∴解方程得：， ∵a是较长直角边， ∴； 故选：B． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知， 是关于的方程的两个根， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、整体代入法求代数式的值，因为是方程根，可得，代入代数式可得：原式，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，再利用整体代入法求代数式的值． 解：是方程的根， ， 即 ， ， ， ， 是关于的方程的两个根， ，， 原式 ， 故选：B． 10．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 11．（25-26九年级上·山东聊城·期末）若方程的一个根是1，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的根，熟练掌握方程的根是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系，根据已知根求另一个根． 解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系，两根之和为 ， 已知一个根为，则， 解得， 故答案为． 12．（25-26九年级上·福建漳州·期末）写出一个两个实数根分别为2和的一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若方程的两根为、，则方程可表示为是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入一般式（），取即可构造出满足条件的方程． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴两根之和，两根之积． 设一元二次方程为， ∵，， ∴，， ∴所求方程为． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知、是方程的两根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是根据根与系数的关系得到的值； 根据根与系数的关系求出的值，并利用满足原方程得到的值，进而计算表达式 解：∵、是方程的两根， ∴， 把代入中，得， ∴， 故答案为：2026． 14．（25-26九年级上·河北邢台·期末）等腰的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．根据为底边和腰两种情况求解即可． 解：设等腰的腰长为a，底边长为b， 当，则4和b是关于x的方程的两个实数根， ∴ ∴； 此时且，符合题意； 当，则a和a是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 此时且，符合题意； 故答案为：或． 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数关系定理，菱形的面积公式，设一元二次方程的两个根为，根据，根据面积公式计算即可． 设一元二次方程的两个根为， ∵， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·四川成都·月考）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 17．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根等知识，通过变形的方程，得到满足与相同的二次方程，从而利用根与系数的关系求出与 的和与积，进而代入表达式求值． 解：由，且（因为若，代入方程得，矛盾）， 两边除以，得， 又， 所以和是方程的两个根， 根据根与系数的关系，有，，即， 所以， 代入原式：， 将代入， 分子为， 分母为． 由，得， 代入分子：， 分母：， 所以原式． 故答案为：． 18．（25-26八年级下·全国·周测）已知关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 ． （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，，，，…，则的值为 ． 【答案】 有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键． （1）根据根的判别式即可进行判断； （2）根据根与系数的关系可得：，，进一步可寻找规律，利用裂项相消法即可求解． 解：（1）． ， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系，得，；，；⋯；，， ∴原式 ． 故答案为：． 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·湖北武汉·月考）若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，另一个根为 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 根据根与系数关系先求出另一个根，再将，代入原方程，得到关于的方程求解即可． 解：关于的一元二次方程有一个根是， 设另一个根为， 则， 解得：， 将代入， 得， 解得：． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·上海金山·月考）已知，在等腰三角形中，．、的长是关于x的方程的两个整数根，请求出的周长． 【答案】16 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质， 先根据一元二次方程根与系数的关系得，再分两种情况讨论得出答案． 解：∵的长是关于x的方程， ∴． 当时，， ∴的周长为； 当时，， ∴的周长为． 所以这个三角形的周长为16． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·上海松江·期末）已知关于的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值及此方程的两根． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据“有两个实数根”可知，进而求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，根据得到，将，代入得到，求出，此时，根据配方法求解即可． （1）解：，，， ， 方程有两个实数根， ， ； （2）解：∵关于的方程有两个实数根、， ∴，， 又， ， 即， ， 当时，方程， 解得，， ，方程两根为，． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 【答案】(1)见解析 (2)此方程的两个根为， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）设方程的两根分别为t，，根据根与系数的关系得，得到，据此求解即可． （1）证明：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根分别为t，， 根据根与系数的关系得， ∴， ∴方程的两根分别为1和3， 即方程的两个根为，． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． （1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； （1）解：由得， ，， 则， 所以①符合题意； 由得， ，， 则， 所以②不符合题意． 故答案为：①； （2）解：由得， ， 因为此方程是“差根方程”， 所以， 解得； （3）解：由题知，不妨令， 因为，的长为， 则 因为、的长是一个“差根方程”的两个实数根， 所以， 则， 所以， 所以， 所以， 同理可得，， 所以，， 则这个差根方程为 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为_________ (2)利用上述方法求下列方程中的值： (3)拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______． 【答案】(1)，，， (2)5 (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数关系，阅读材料正确进行换元是解决问题的关键． （1）类比材料中方法，将换元为解方程即可； （2）令，将原方程换元后解方程即可； （3）令，，换元可推出m，n是方程的两个不相等的实数根，然后利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． （1）解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； 故答案为：，，，； （2）解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 令，， 则，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $