专题 2.5 一元二次方程（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.5 一元二次方程（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】一元二次方程的有关概念 1 ★【题型 1】一元二次方程定义及其解 2 【知识点二】一元二次方程的解法 4 ★【题型 2】解一元二次方程 4 ★★【题型 3】用适当方法解一元二次方程 6 ★★【题型 4】解可化为一元二次方程的分式方程 9 【知识点三】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 12 ★【题型 5】一元二次方程根的判别式求值证明 12 ★★【题型 6】一元二次方程的解与根与系数关系求值 14 ★★【题型 7】一元二次方程根的判别式与根与系数关系综合求值 16 【知识点四】列一元二次方程解应用题 19 ★★【题型 8】增长率与营销问题综合 20 ★★【题型 9】图形问题与动态问题综合 22 ★★【题型 10】行程问题与工程问题 26 ★★【题型 11】一元二次方程与一次函数综合 29 ★★【题型 12】一元二次方程与反比例函数综合 32 二.中考真题 37 （一）单选题（6题） 37 （二）填空题（6题） 41 （三）解答题（4题） 44 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. ★【题型 1】一元二次方程定义及其解 【例题1】（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的除法，一元二次方程的解． 先化简代数式，再利用方程条件求值即可． 解：原式 ， ∵m是方程的根， ∴， 即， ∴原式的值为5． 【变式1】（25-26九年级上·江西抚州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零列式解答即可． 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 解：∵ ∴， ∴， ， ， ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； （1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 【知识点二】一元二次方程的解法 1．基本思想：一元二次方程一元一次方程 2．基本解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【要点提示】解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． ★【题型 2】解一元二次方程 【例题2】（25-26九年级上·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法即可； （2）方程运用配方法求解即可． （1）解：， ， ，， ∴； （2）解：， ， ， ， ， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和，则的值等于 ． 【答案】16 【分析】先将方程整理为标准形式，利用直接开平方法得出根的特征（互为相反数），再根据根的和为求出的值，进而得到方程的两个根，最后代入原方程求出的值． 解：方程化为一般形式为 ，设两根分别为 ，， 则由根与系数的关系，有 ，即 ， 解得 ． 又 ，即 ， 代入 得 ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程和根的性质，解题关键是发现方程的两个根互为相反数，从而利用两根之和为求出的值，再代入求解． 【变式3】（25-26九年级上·山东潍坊·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法解答即可； （2）方程运用公式法解答即可． （1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， ， ∴； （2）解：去括号，得， 移项并合并同类项，得，即， 这里， ， ， 即． ★★【题型 3】用适当方法解一元二次方程 【例题3】（2026八年级下·全国·专题练习）按指定的方法解方程： (1)（直接开方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）解方程，，，较简便的方法依次是（    ） A．直接开平方法，配方法，因式分解法 B．因式分解法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，因式分解法 D．配方法，公式法，因式分解法 【答案】C 【分析】根据每个一元二次方程的结构特征，判断其最简便的解法。不含一次项的方程优先用直接开平方法；不易因式分解且系数无特殊关系的方程优先用公式法；含相同整体因式的方程优先用因式分解法． 解：A、直接开平方法，配方法，因式分解法配方法不是的最优解法，不符合题意； B、因式分解法，配方法，直接开平方法三个方程的解法对应均错误，不符合题意； C、直接开平方法，公式法，因式分解法： ① 方程可整理为，直接开平方即可求解，适合直接开平方法； ② 方程，各项系数无明显因式分解特征，用公式法求解更高效，适合公式法； ③ 方程，移项后可提取公因式，适合因式分解法。 该选项完全匹配，符合题意； D、配方法，公式法，因式分解法配方法不是的最优解法，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了知识点一元二次方程的解法选择，解题关键是抓住方程的结构特点，区分直接开平方法、公式法、因式分解法的适用场景，避免盲目使用配方法增加计算量． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）若x、y为实数，且，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于t的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解并考虑非负性． 解：设 ，则 ． 原方程化为 ， 即 ． 解得 或 ． 由于 ， 故 ． 因此 ． 故答案为：3 【变式3】（25-26九年级上·河南洛阳·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，；(2)，；(3)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据因式分解法求解即可； （2）先求出根的判别式，再根据求根公式求解即可； （3）利用直接开平方法求解即可． （1）解：， 因式分解得， ∴，， 解得，； （2）解：， ，，， ， ∴， 解得，； （3）解：， 开方得， ∴，， 解得，． ★★【题型 4】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题4】（24-25八年级下·上海金山·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程化为一元二次方程；根据解分式方程的步骤计算即可得解. 解：公分母为： 去分母可得：， 整理可得：， 解得或， 经检验，当时， ∴是增根，舍去， ∴原方程的解为：． 【变式1】（2024八年级上·全国·竞赛）方程（　　） A．只有一个根 B．只有一个根 C．有两个根， D．无解 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，解题关键是熟练掌握分式方程的解法． 通过方程两边同乘将分式方程转化为一元二次方程，再求解即可，注意检验． 解：， 方程两边同乘得， ， ， 解得，， 经检验，时，，即不是原方程的根， 时，，是原方程的根， 综上，该方程只有一个根． 故选：． 【变式2】（2026·四川成都·一模）若，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解分式方程、解一元二次方程等知识点，正确将原式变形是解答本题的关键．由得，代入求解，并检验分母不为零． 由，得． 代入， 分子， 所以， 即． 两边乘以2，得． 所以， 整理得， 因式分解得， 解得或． 检验：当时，分母，；当时，分母，，均满足． 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）解分式方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 解： 去分母得，即， 去括号得 ， 移项，合并同类项得， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，当时，， ∴和都是原方程的解． 【知识点三】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式:一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， 0. ★【题型 5】一元二次方程根的判别式求值证明 【例题5】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用以及解一元二次方程．对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得出判别式大于，列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据（1）的结果找出满足条件的最大整数，再将其代入原方程，利用因式分解法求解方程的根． （1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，得； （2）解：由（1）知，则满足条件的最大整数值为， 此时原方程为， 因式分解得， ∴或， 解得，． 【变式1】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，时方程有两个不相等的实数根，时有两个相等的实数根，时无实数根． 解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握这些知识是解决此题的关键．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程有两个实数根的条件，需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零解答． 解：∵方程为一元二次方程， 故二次项系数， 即． ∵方程有两个实数根， ∴判别式． 解得． 综上，m的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根为，求的值； (2)求证：不论为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解及根的判别式是解题的关键； （1）把代入一元二次方程进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． （1）解：把代入方程，得：， 解得； （2）解：由关于的一元二次方程可知： ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． ★★【题型 6】一元二次方程的解与根与系数关系求值 【例题6】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程的两根为、，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．先根据题意得到，，则，再整体代入即可求解． 解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2025． 【变式1】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若是方程的两个根，则代数式的值为（    ）． A． B．2 C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解为，则、是解题的关键． 由根与系数的关系可得、，再对变形，然后将、整体代入求值即可． 解：∵是方程 的根， ∴，，（由方程变形得）， ∴ 代数式 ， ． 故选D． 【变式2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系．根据方程的解得到，根据根与系数的关系得到，然后将表达式进行变形，利用整体代入的方法计算即可． 解：因为α是方程的实数根， 所以， 即． 因为α，β是方程的两个实数根， 所以根据根与系数的关系，． ∴ 故答案为：． ★★【题型 7】一元二次方程根的判别式与根与系数关系综合求值 【例题7】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． （1）证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 【变式1】（25-26九年级上·湖南常德·期末）关于的一元二次方程的两实根满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 解：关于的一元二次方程的两实根满足，． ∵， ∴， ∴， 解得或． 又∵原方程有实根， ∴判别式， 解得． ∴， 故答案为． 【变式2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（   ） A．一个正根，一个负根 B．两个正根 C．两个负根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系． 通过计算判别式判断方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，由两根之积为负判断两根异号，即可解题． 解：∵方程化为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根之积， ∴方程有一个正根和一个负根． 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·上海松江·期末）已知关于的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值及此方程的两根． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据“有两个实数根”可知，进而求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，根据得到，将，代入得到，求出，此时，根据配方法求解即可． （1）解：，，， ， 方程有两个实数根， ， ； （2）解：∵关于的方程有两个实数根、， ∴，， 又， ， 即， ， 当时，方程， 解得，， ，方程两根为，． 【知识点四】列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. ★★【题型 8】增长率与营销问题综合 【例题8】（2026·重庆大渡口·一模）某飞机模型今年月份的销售量是件，月份的销售量是件． (1)若月份到月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)另据市场调查发现，该飞机模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． (1)设月平均增长率为，根据连续两个月增长后销量为件，列方程求解； (2)设应降价元，根据要求销售该模型每天获利元，列方程求出，为了尽量减少库存，要选降价最多的方案． （1）解：设月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：月平均增长率为； （2）解：设应降价元，则每天的销量为件，每个模型的利润为元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 为了尽量减少库存，应降价元， 答：售价应降低元． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）2026北京图书订货会于2026年1月10日在中国国际展览中心（朝阳馆）圆满落幕．1月8日至1月10日活动期间，入场观众超过10万人次．假设活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次，若进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天减少率．设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．进馆人次的每天减少率为x，根据“第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次”，列方程即可． 解：设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为， 故选：D． 【变式2】（2025九年级下·上海·专题练习）某公司推出了一款产品，成本为50元，以的盈利率定价，该公司希望通过调整售价的方式提高收入．据专业人士分析，以当前售价可以售出200件商品，若售价每件每涨5元，就少售出10件．若该公司想卖出后收入12600元，且让顾客享受到最大优惠，求调价后的盈利率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设涨价x次，成本为50元，初始盈利率，则定价为元，则售价为元，销售量为件，然后根据收入建立方程求解，再求解盈利率． 解：设涨价x次，由题意得， 整理得， 解得或．为让顾客享受最大优惠，取最小涨价， ∴售价为元， ∴盈利率为． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·重庆江津·期中）某商场将进货价为25元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到484个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在30元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加4个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利5240元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)35元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据题意得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这种台灯售价应定为元，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． （1）解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 整理得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． ★★【题型 9】图形问题与动态问题综合 【例题9】（25-26九年级上·山东日照·期末）我市在开展“一盔一带”安全守护行动中，联合“爱心头盔”厂家在多个地点开展免费领取头盔活动，据统计，某领取点六月份发放“爱心头盔”100个，八月份发放144个，且从六月份到八月份月增长率相同． (1)求该领取点“爱心头盔”发放量的月增长率； (2)为解决暑期海边音乐节的电动车停放问题，计划将一个长为，宽为的矩形空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为a的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽a应为多少？ 【答案】(1)“爱心头盔”发放量的月增长率为．(2)道路宽a应为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设“爱心头盔”发放量的月增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）根据题意可得方程，求出的值即可解答． （1）解：设“爱心头盔”发放量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：“爱心头盔”发放量的月增长率为． （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽a应为． 【变式1】（25-26九年级上·河南洛阳·期末）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．先求出的长，再根据面积公式列方程即可． 解：∵试验田垂直于墙的一边的长为， ∴， 则边使用篱笆， ∵边开有一扇宽的门， ∴， ∵面积为， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是 ． 【答案】或． 【分析】本题考查勾股定理和动点问题，设运动时间为，分别当为以或为底边的等腰三角形时，列方程解答即可． 解：设运动时间为， ， 当为以为底边的等腰三角形时，即， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：； 当为以为底边的等腰三角形时，即 ∴即 解得：或（舍去） ∴或． 【变式3】（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1)或 (2)能， 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． （1）解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． （2）解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． ★★【题型 10】行程问题与工程问题 【例题10】（25-26九年级上·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少；(2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． （1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 【变式1】（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答． 解：时速108千米30米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得： ，解得秒， 平均每秒减速米/秒； 设刹车后汽车滑行10米时用了秒， 依题意列方程：，即，解方程得，（舍去）， 秒， 故选：D． 【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【变式2】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． （1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． ★★【题型 11】一元二次方程与一次函数综合 【例题11】（24-25九年级上·河南新乡·月考）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． (1)y关于x的一次函数解析式为______； (2)若想每个月获得3150元的利润，则销售价格应定为多少元？ 【答案】(1) (2)当价格为25元或17元时，每个月获得3150元的利润． 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求法和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及方程，即可求解． （1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案； （2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出方程求解即可． （1）解：设，把，和，代入可得 ， 解得， 则； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当价格为25元或17元时，每个月获得3150元的利润． 【变式1】（25-26九年级上·天津南开·期中）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式， 一次函数的性质，先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 解：根据题意得， 解得， 所以一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）已知一次函数的图象不经过第一象限，则方程的根的个数为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，根据一次函数的图象判断的符号，进而判断出一元二次方程的判别式的符号，即可．解答本题的关键是讨论和． 解：∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴，或， ∵， ∴当时，方程化为，方程有1个解； 当时，则：，为一元二次方程， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2． 【变式3】（2022·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，y关于x的一次函数（c为常数），其图象与y轴交于点A，与x轴交于点B． (1)当时，求线段OA的长； (2)若的面积为18． ①求出满足条件的一次函数表达式； ②若点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，且点C在直线AB上，当时，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1)OA =1 (2)①满足条件的一次函数表达式或；②点C坐标为（-5,1）或（-7.5，-1.5） 【分析】（1）当时，y关于x的一次函数，在求函数与x轴的交点坐标即可； （2）①先求出当x=0，y=5-c，当y=0时，x=c-5，利用三角形面积列方程，然后解方程即可；②设点C（x，y）根据点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，确定函数解析式为，求出点A（0，6），点B（-6，0），根据，列方程，分类讨论即可，当点C在第二象限，当点C在第三象限，化去绝对值即可 （1）解：当时，y关于x的一次函数， 当x=0时，y=1， 点A（0，1）， ∴OA =1； （2）解：①当x=0，y=5-c，当y=0时，x=c-5， ∴S△OAB=， ∴|c-5|=6， ∴c-5=6或c-5=-6， ∴c=11或c=-1， ∴满足条件的一次函数表达式或； ②设点C（x，y）， ∵点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上， ∴函数解析式为， 点A（0，6），点B（-6，0）， ∴点C（x，x+6）， S△AOC=，S△BOC=， ∴， ∴， 当点C在第二象限， ， ∴x=-5， ∴点C（-5,1）， 当点C在第三象限， ， ∴x=-7.5， ∴点C（-7.5，-1.5）， 综合点C坐标为（-5,1）或（-7.5，-1.5）． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，三角形面积，直接开方法解一元二次方程，一元一次方程，本题难度不大，是中考常考试题． ★★【题型 12】一元二次方程与反比例函数综合 【例题12】（23-24八年级下·上海金山·期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．    (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围； (3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式． 【答案】(1) (2) (3)直线l的表达式为或 【分析】（1）由，得两点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）由题意易得M、N两点的坐标，直线向下平移m个单位后的解析式可求出，根据点M、N在直线上可求得向下平移的m值，即可求得m的取值范围； （3）设直线l解析式为，其中n为正数，设点P的坐标为，由勾股定理可分别求得的三边，根据等边三角形的性质建立方程即可求出n的值，从而求得直线l的表达式． （1）解：，，， ； ； 设直线解析式为， 把两点坐标分别代入得：， 解得：， 即直线解析式为； （2）解：， ； 由于M、N两点在双曲线上， 当时，；当时，； 即； 直线向下平移m个单位后的解析式为， 点M、N在直线上， ， 解得：， 所以m的取值范围为； （3）解：设直线l解析式为，其中n为正数， 设点P的坐标为， 由勾股定理得：，； 为等边三角形， ， ， 由，整理得：， 把它代入中，整理得：， 解得：， 则， 所以直线l的表达式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，反比例函数的图象，解一元二次方程等知识，有一定的综合性． 【变式1】（23-24九年级上·湖南·月考）若函数是反比例函数，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 解：∵， ∴， 又， ， ∴一元二次方程无实数根，故D正确． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”，那么 （1）根据以上定义，一元二次方程 （填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若点是在双曲线图象上的点，同时关于的方程也是倍根方程，则 ． 【答案】 是 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． （1）通过求解一元二次方程 的根，判断是否有一个根是另一个根的2倍； （2）根据“倍根方程”的定义，设根为和，利用根与系数的关系得到，再结合点在双曲线上，代入求解． 解：（1）解方程， 因式分解得， 解得，， 由于，即一个根是另一个根的2倍， 因此方程是“倍根方程”， 故答案为：是； （2）设方程的两个根为和，根据根与系数的关系，有：，，即：， 由得 ， 代入得：， 则， 点在双曲线上，故， 代入：， 解得， 验证判别式：，方程有两个实数根，符合条件． 故答案为：． 【变式3】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （1）初步思考：自变量的取值范围是_______________ （2）探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第_________象限； （3）深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2． 请仿照上述过程，求当时，的最大值； 【实际应用】（4）如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    【答案】（1）；（2）一、三；（3）；（4）25 【分析】（1）根据分母不为0即可求解； （2）根据当时，；当时，即可判断； （3）模仿题干所给的求解过程，利用配方法即可求解； （4）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 解：（1）函数的自变量x的取值范围为：， 故答案为：； （2）∵当时，；当时，． ∴该函数的函数图象在第一、三象限， 故答案为：一、三； （3）当时，， ∵， ∴当时，即时，的最大值是． 当时，的最大值为． 故答案为：； （4）设，已知， 由等高三角形可知：， 四边形面积， ∵ 当且仅当，即时取等号，即四边形面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了函数的相关知识和等高三角形的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 2．（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 解：对于方程，其判别式为： 由于，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根． 故选：B 3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 4．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 5．（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 6．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． （二）填空题（6题） 7．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 8．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 根据题意得，， 解得， 故答案为：． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 10．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 11．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出的值． 解：， 方程两边同时乘以得，， ， ， ， 或． 经检验时，，故舍去． 原方程的解为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况． 12．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则 ．    【答案】 【分析】根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解． 解：∵图中，， ∴ ∵与的面积相等， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算，根据题意列出关于的方程是解题的关键． （三）解答题（4题） 13．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)详见解析． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． （1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 14．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解． 【答案】或 【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，分式有意义、解一元二次方程等知识点，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程． 由于关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解． 解：设方程的两个根为， 则， 由条件知，即且， 故． 则方程为． 当，即时，关于x的方程为有实数根， 不等式即为， 则， 或． 当时，， ． 又是正整数，且， ，但使不等式的分母无意义． 综上，不等式的解为：或． 15．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． （1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 16．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． （1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.5 一元二次方程（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】一元二次方程的有关概念 2 ★【题型 1】一元二次方程定义及其解 2 【知识点二】一元二次方程的解法 2 ★【题型 2】解一元二次方程 3 ★★【题型 3】用适当方法解一元二次方程 3 ★★【题型 4】解可化为一元二次方程的分式方程 3 【知识点三】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 4 ★【题型 5】一元二次方程根的判别式求值证明 4 ★★【题型 6】一元二次方程的解与根与系数关系求值 5 ★★【题型 7】一元二次方程根的判别式与根与系数关系综合求值 5 【知识点四】列一元二次方程解应用题 5 ★★【题型 8】增长率与营销问题综合 6 ★★【题型 9】图形问题与动态问题综合 7 ★★【题型 10】行程问题与工程问题 8 ★★【题型 11】一元二次方程与一次函数综合 9 ★★【题型 12】一元二次方程与反比例函数综合 10 二.中考真题 11 （一）单选题（6题） 11 （二）填空题（6题） 12 （三）解答题（4题） 13 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. ★【题型 1】一元二次方程定义及其解 【例题1】（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【变式1】（25-26九年级上·江西抚州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【知识点二】一元二次方程的解法 1．基本思想：一元二次方程一元一次方程 2．基本解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【要点提示】解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． ★【题型 2】解一元二次方程 【例题2】（25-26九年级上·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和，则的值等于 ． 【变式3】（25-26九年级上·山东潍坊·期末）解方程： (1)； (2)． ★★【题型 3】用适当方法解一元二次方程 【例题3】（2026八年级下·全国·专题练习）按指定的方法解方程： (1)（直接开方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）解方程，，，较简便的方法依次是（    ） A．直接开平方法，配方法，因式分解法 B．因式分解法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，因式分解法 D．配方法，公式法，因式分解法 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）若x、y为实数，且，则 ． 【变式3】（25-26九年级上·河南洛阳·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)． ★★【题型 4】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题4】（24-25八年级下·上海金山·期末）解方程：． 【变式1】（2024八年级上·全国·竞赛）方程（　　） A．只有一个根 B．只有一个根 C．有两个根， D．无解 【变式2】（2026·四川成都·一模）若，则m的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）解分式方程：． 【知识点三】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式:一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， 0. ★【题型 5】一元二次方程根的判别式求值证明 【例题5】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 【变式1】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【变式3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根为，求的值； (2)求证：不论为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． ★★【题型 6】一元二次方程的解与根与系数关系求值 【例题6】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程的两根为、，则的值为 ． 【变式1】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若是方程的两个根，则代数式的值为（    ）． A． B．2 C． D．6 【变式2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． ★★【题型 7】一元二次方程根的判别式与根与系数关系综合求值 【例题7】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·湖南常德·期末）关于的一元二次方程的两实根满足，则 ． 【变式2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（   ） A．一个正根，一个负根 B．两个正根 C．两个负根 D．无实数根 【变式3】（25-26八年级上·上海松江·期末）已知关于的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值及此方程的两根． 【知识点四】列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. ★★【题型 8】增长率与营销问题综合 【例题8】（2026·重庆大渡口·一模）某飞机模型今年月份的销售量是件，月份的销售量是件． (1)若月份到月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)另据市场调查发现，该飞机模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）2026北京图书订货会于2026年1月10日在中国国际展览中心（朝阳馆）圆满落幕．1月8日至1月10日活动期间，入场观众超过10万人次．假设活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次，若进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天减少率．设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级下·上海·专题练习）某公司推出了一款产品，成本为50元，以的盈利率定价，该公司希望通过调整售价的方式提高收入．据专业人士分析，以当前售价可以售出200件商品，若售价每件每涨5元，就少售出10件．若该公司想卖出后收入12600元，且让顾客享受到最大优惠，求调价后的盈利率为 ． 【变式3】（25-26九年级上·重庆江津·期中）某商场将进货价为25元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到484个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在30元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加4个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利5240元，则这种台灯售价应定为多少元？ ★★【题型 9】图形问题与动态问题综合 【例题9】（25-26九年级上·山东日照·期末）我市在开展“一盔一带”安全守护行动中，联合“爱心头盔”厂家在多个地点开展免费领取头盔活动，据统计，某领取点六月份发放“爱心头盔”100个，八月份发放144个，且从六月份到八月份月增长率相同． (1)求该领取点“爱心头盔”发放量的月增长率； (2)为解决暑期海边音乐节的电动车停放问题，计划将一个长为，宽为的矩形空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为a的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽a应为多少？ 【变式1】（25-26九年级上·河南洛阳·期末）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是 ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． ★★【题型 10】行程问题与工程问题 【例题10】（25-26九年级上·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【变式1】（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【变式3】（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ ★★【题型 11】一元二次方程与一次函数综合 【例题11】（24-25九年级上·河南新乡·月考）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． (1)y关于x的一次函数解析式为______； (2)若想每个月获得3150元的利润，则销售价格应定为多少元？ 【变式1】（25-26九年级上·天津南开·期中）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）已知一次函数的图象不经过第一象限，则方程的根的个数为 ． 【变式3】（2022·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，y关于x的一次函数（c为常数），其图象与y轴交于点A，与x轴交于点B． (1)当时，求线段OA的长； (2)若的面积为18． ①求出满足条件的一次函数表达式； ②若点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，且点C在直线AB上，当时，请直接写出点C的坐标． ★★【题型 12】一元二次方程与反比例函数综合 【例题12】（23-24八年级下·上海金山·期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C、A分别在x轴和y轴正半轴上，，，双曲线与矩形交于M、N两点，直线与x轴负半轴交于点D，．    (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移m个单位，使平移后直线与双曲线的交点在矩形内部，求m的取值范围； (3)设直线l是平移直线所得直线，点P是直线l上的一个动点，当是等边三角形时，求直线l的表达式． 【变式1】（23-24九年级上·湖南·月考）若函数是反比例函数，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”，那么 （1）根据以上定义，一元二次方程 （填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若点是在双曲线图象上的点，同时关于的方程也是倍根方程，则 ． 【变式3】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （1）初步思考：自变量的取值范围是_______________ （2）探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第_________象限； （3）深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2． 请仿照上述过程，求当时，的最大值； 【实际应用】（4）如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 6．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 （二）填空题（6题） 7．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为 ． 8．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为 ． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 10．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 11．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为 ． 12．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则 ．    （三）解答题（4题） 13．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 14．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解． 15．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 16．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $