专题 2.4 一元二次方程的应用（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.4 一元二次方程的应用（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）解可化为一元二次方程的分式方程 1 【题型1】解可化为一元二次方程的分式方程 2 知识点（二）传播问题、增长率问题、握手、循环赛问题 4 【题型2】传播问题 4 【题型3】增长率问题 6 【题型4】握手和循环赛问题 9 知识点（三）图形问题和动态几何问题 11 【题型5】图形问题 11 【题型6】动态几何问题 14 知识点（四）数字问题、营销问题 20 【题型7】数字问题 20 【题型8】营销问题 22 知识点（五）工程问题、行程问题 25 【题型8】工程问题 25 【题型9】行程问题 29 二.中考真题 32 （一）单选题（5题） 32 （二）填空题（5题） 35 （三）解答题（4题） 39 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 知识点（一）解可化为一元二次方程的分式方程 解题步骤： 1. 确定最简公分母，去分母转化为整式方程 2. 整理整式方程为标准形式 3. 求解一元二次方程 4. 验根（关键步骤，不可省略） 5. 写出原方程的解 【题型1】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤． （1）先去分母，再解一元二次方程，最后检验即可； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可． （1）解： ， 解得，， 经检验，，都是原方程的解， ∴原方程的解为，； （2）解： 方程两边同乘以，得， 解得，， 经检验，是方程的解， ∴原方程的解为． 【变式1】（2025·内蒙古·模拟预测）方程的解为（    ） A．或 B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项合并同类项后解出方程的解，再验根，最终确定方程的解． 解：， 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， ， 解得或， 检验：当时，， 当时，， 原方程的解为． 故选：C ． 【变式2】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）将方程去分母后，所得的整式方程的一般式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，首先将分母因式分解，然后确定最小公倍数，两边同乘去分母，再展开和整理得到整式方程的一般式． 解：， 方程可化为， 去分母，得， 整理，得， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验； （2）先确定最简公分母，去分母转化为整式方程，求解后检验是否为增根． （1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． 检验：当时，． 故是原分式方程的解． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得． 检验：当时，． 故是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，并务必检验解是否使分母为零，避免增根． 知识点（二）传播问题、增长率问题、握手、循环赛问题  1.传播问题基本形式：设初始数为1，1个人传播人，经过一次传播后人数为：1+，两次传播后人数为（1+）+（1+）=； 2. 增长率问题基本形式：设初始数为,两次增长后数量为,则有； 3. 握手、循环赛问题基本形式：设共有人个或球队，进行循环握手（比赛）次数为： 【题型2】传播问题 【例题2】（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． （1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 【变式1】（25-26九年级上·山东聊城·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据主干、支干、小分支的数量关系，结合总数为列方程即可． 解：∵主干的数量为1个，每个支干长出个小分支， ∴支干的数量为个，小分支的数量为个， 又∵主干、支干和小分支的总数是121， ∴可列方程为， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传染模型，每轮传染中平均每人传染人，经过两轮传染后总患病人数为初始人数的倍，列方程即可． 解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【答案】(1)平均一个人传染了7人 (2)经过三轮传染后，患流感人数不能突破600 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有64人患病，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出算式求出三轮传染后的总人数，进行判断即可． （1）解：设平均一个人传染了人， 则． 解得，（舍去）． 答：平均一个人传染了7人． （2）经过三轮传染后，患流感人数为， ． 答：经过三轮传染后，患流感人数不能突破600人． 【题型3】增长率问题 【例题3】（25-26九年级上·四川资阳·期末）资阳某电商平台销售一种高档柠檬茶，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次降价的百分率相同． (1)求每次降价的百分率； (2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场研究发现，在进货价不变的情况下，电商平台决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价元，日销售量将减少盒，现在平台要保证每日盈利元，且要让顾客得到实惠，那么每盒柠檬茶应涨价多少元？ 【答案】(1)； (2)每盒柠檬茶应涨价元合适． 【分析】本题考查了一元二次方程应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解决问题的关键． （）设每次降价的百分率为，列出方程，然后解方程并检验即可； （）设每盒柠檬茶应涨价元，则每盒盈利元，日销售量为盒，列出方程，然后解方程并检验即可． （1）解：设每次降价的百分率为， 可列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：求每次降价的百分率为； （2）解：设每盒柠檬茶应涨价元，则每盒盈利元，日销售量为盒， 可列方程：， 解得，， ∵要让顾客得到实惠， ∴符合题意， 答：每盒柠檬茶应涨价元合适． 【变式1】（25-26九年级上·福建莆田·期末）2025年12月10－11日，中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号的笔记本电脑发售时每台售价12888元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为8888元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．本题考查百分率的实际应用，需根据两次降价的百分率相同，利用降价后的价格公式列出方程． 解：∵每次降价的百分率为 ∴第一次降价后的售价为元 ∴第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降，售价为元 又∵现在每台售价为元 ∴可列方程为 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·安徽黄山·期末）黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一．新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天的销售额为万元，之后每天的销售额按相同的增长率增长，三天总的销售额为万元，则增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设增长率为，根据三天销售额总和列出方程，解二次方程，舍去负根，得到增长率． 解：设增长率为，依题意 解得：（舍去） 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·海南海口·期中）假设我省自由贸易港于年月日正式封关运行．封关后，预计贸易额会快速增长．据统计，封关当年（年）贸易额为亿元，两年后（年月日）贸易额会达到亿元． (1)求这两年贸易额的年平均增长率； (2)若按增长率保持不变，请计算到年月日我省的贸易额将达到多少亿元？ 【答案】(1) (2)亿元 【分析】本题考查了一元二次方程中增长率的知识，解题的关键是熟练掌握增长后的量增长前的量（增长率）． （1）设这两年贸易额的年平均增长率，增长后的量增长前的量（增长率），列出方程，解方程即可得到答案； （2）由两年后（年月日）贸易额会达到亿元乘以即可得到答案． （1）解：设这两年贸易额的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：这两年贸易额的年平均增长率为； （2）解：∵到贸易额的年增长率保持不变， ∴亿元， 答：到年月日我省的贸易额将达到亿元； 【题型4】握手和循环赛问题 【例题4】（23-24九年级上·河北保定·期中）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手次． （1）若参加聚会的人数为，则共握手 次；若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手 次； （2）若参加聚会的人共握手次，请求出参加聚会的人数． 【答案】（1）15，；（2）10人 【分析】（1）根据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论； （2）设有x人参加聚会，由（1）的结论结合共握手45次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 解：（1）若参加聚会的人数为，则共握手（次）； 参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次． （2）设有人参加聚会，根据题意得，， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有人． 【点睛】本题考查了一元二次次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出握手总数；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【变式1】（25-26九年级上·江西九江·月考）某次聚会，参会的每两人都握了一次手，所有人共握手36次，参加聚会的人数是（   ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有人，根据题意，得，进一步解方程即可． 解：设有人，根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的有9人， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）根据题意列方程： （1）为庆祝元旦，在几名同学之间，每两个人互送贺卡各一张，所有人共送贺卡张，设有名同学，则所列方程是 （2）一个凸多边形共有条对角线，设这个多边形的边数为，则所列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系． （1）一元二次方程应用题双循环一类，依据题意即可求解； （2）一元二次方程应用题单循环一类，依据题意即可求解． 解：（1）根据题意： 故答案为：；           （2）根据题意： 故答案为：. 【变式3】（23-24九年级上·广西南宁·月考）【课本再现】 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛． （1）①共有______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他______个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以可列方程：______． 【小试牛刀】 （2）参加聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了45次，有多少人参加聚会？ 【答案】（1）①28；②，；（2）人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， （1）①利用乘法运算即可求解； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程； （2）同（1）的方法列出一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可求解． 解：(1)①共有场比赛； ②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有场比赛， 根据题意，列出相应方程：， 故答案为：28；②，； (2)设有人参加聚会， 根据题意，得：， 解得，(舍去) 答：一共有人参加聚会． 知识点（三）图形问题和动态几何问题 1. 基本图形： 靠墙问题 盒子折叠问题 平移问题 等量关系：利用矩形周长公式和面积公式建立等量关系 2.  动态几何问题： 三角形动态问题 四边形动态问题 等量关系：由点的速度求出线段长，利用图形性质建立等量关系 【题型5】图形问题 【例题5】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为米，解答下列问题： (1)的长为___________米；（用含有的代数式表示） (2)围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，的长为20米 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）用篱笆长加上门宽，减去和的长即可； （2）由长方形面积列出方程进行求解即可． （1）解：米； 故答案为：； （2）解：围成的矩形试验田的面积能为240平方米， ∴， 整理得到， 解得：，， 当时，，（不合题意舍去）， 当时，，（符合题意）， 的长为20米． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 解：若设停车场内车道的宽度为m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形， 根据题意得： 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）某校积极实施劳动教育课程，建设校园农场．如图，该矩形农场长米，宽米，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为米．设道路的宽为米，则可列方程为 ．（只列方程） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得试验田为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程即可． 由题意得，， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·重庆·月考）春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广，某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元．随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子．已知矩形硬纸板的长宽分别为，．    (1)求从正月初一到初三该影院票房收入的日平均增长率． (2)求纸盒的高 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查列一元二次方程解决平均增长率的问题及图形问题： （1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为a，根据题意列出方程并求解即可； （2）设纸盒的高为，根据图形表示出盒子底面积并列出方程求解即可． （1）解：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为a， 则， 解得：，（舍去）， 即从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； （2）解：设纸盒的高为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：纸盒的高为． 【题型6】动态几何问题 【例题6】（25-26九年级上·贵州遵义·月考）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 【答案】(1)经过1秒时，长为； (2)经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． （1）设经过x秒，的长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，得到关于x的一元二次方程求解； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． （1）解：设经过x秒，的长为， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，（舍去）， 答：经过1秒时，长为； （2）解：设经过t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中,．点P从B出发，以的速度向终点C运动；同时，点Q从C出发，以的速度向终点A运动．后,的面积等于4，则t的值为(    ) A．1或4 B．2或4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及三角形面积公式，解题的关键是根据运动时间表示出线段长度，再结合面积公式列方程求解． 先根据运动速度和时间表示出、的长度；再利用直角三角形面积公式列出关于的方程；最后结合动点的运动范围求解的值． 解：由题意，秒后，，，则． 因为，所以，即， 化简得，解得，． 又因为点到的时间为秒，点到的时间为秒，故符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 【变式3】（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)为或； (3)或或或． 【分析】（1）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （3）分、、三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． （1）解：，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，设运动时间为． ，，，， 四边形的面积为， ， 解得：， 当为5时，四边形的面积为； （2）解：如图1，，，，为矩形的四个顶点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，， 当为或时，点和点的距离为； （3）解：当时，过作，如图2， 四边形是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过作于，如图3， 同理可证：四边形是矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或； 当时，如图4， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，或或或时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确列出方程． 知识点（四）数字问题、营销问题  1.数字问题基本形式：一个三位数，设个位数字为，这个三位数为100+10+； 2. 营销问题基本形式：（1）单件利润 = 售价 - 成本价；（2）总利润 = 单件利润 × 销量. 【题型7】数字问题 【例题7】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：（1）较小的数是3， 较大的数是4， 它们的平方和是． 答：它们的平方和是25； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：这两个正整数分别是8和9． 【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）小明问这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，可通过设未知数，根据题目描述的运算关系列出一元二次方程，再利用因式分解法求解方程得到答案． 解：设这个数为 ∵根据题意，该数的平方减去该数加1的结果等于这个数， ∴列方程得：， 移项整理得：， 因式分解得：， 解得：， ∴符合条件的数是1， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）若一个数平方的2倍等于这个数的8倍，则这个数是 ． 【答案】0或4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个数为，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 解：设这个数为，则根据题意得． 移项得， 提取公因式得， 所以或． 故答案为：0或4． 【变式3】（25-26九年级上·江西南昌·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)八进制数换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． （1）解： （2）根据题意有：， ∴， 解得，（负值舍去）， 故的值为9． 【题型8】营销问题 【例题8】（25-26八年级上·山东济南·期末）某社区超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低2元，每天销量会增加8袋． (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现300元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 【答案】(1)每袋薯片降价5元 (2)不能实现300元的利润．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设降价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设降价为元，根据题意，列出方程，即可求解． （1）解：设降价为元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵让利给消费者， ， 答：每袋薯片降价5元； （2）解：不能． 设降价为元，根据题意得： ， 整理得：， ， ∴方程无实数解， ∴不能实现300元的利润． 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期末）信阳市位于豫鄂皖的三省交界，历史文化厚重，旅游资源丰富．据统计，2025年元旦假期，某景区共接待游客约10万人次，旅游总收入200万元．经调研发现，若景区内人均消费增加5元，则游客人数会减少0.5万人次．在预期接待10万人次的基础上，如果要使2026年元旦假期旅游总收入达到240万元，设人均消费增加元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是做题的关键．先求出原人均消费，再根据人均消费增加量与游客减少量的关系，分别表示出变化后的游客人数和人均消费，最后根据“总收入=游客人数×人均消费”列方程即可． 解：原旅游总收入200万元，接待游客约10万人次， 原人均消费为（元）． 人均消费增加5元，游客人数会减少0.5万人次， 人均消费增加元时，游客减少的人数为（万人次）， 根据题意，可列方程为． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·山西阳泉·月考）一款衬衫每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定降价销售，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，那么平均每天可多售出件．每件衬衫降价 元时，平均每天盈利元． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每件衬衫降价元时，每天可售出件，每件盈利元，根据“总利润＝每件利润×销售数量”列出方程求解可得．理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． 解：设每件衬衫降价元时，每天可售出件，每件盈利元，即元， 依题意，得：， 解得：或， ∵为了扩大销售量，增加利润， ∴， ∴每件衬衫降价元时，平均每天盈利元． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河南郑州·期末）2026年元旦假期期间，河南旅游收入再创新高，同时促进了文创产品的销售．某网红景点的超市购进一批文创商品，平均每天可售出20件，每件的销售利润44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降低1元，那么每天可多售5件． (1)若每件文创商品降价2元，则每天可售出___________件，每天的销售利润为___________元． (2)如果每天的销售利润是1600元，每件文创商品应降价多少元？ 【答案】(1)30，1260 (2)4元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据“每件降低1元，每天可多售5件”，可计算出降价2元时每天多销售的件数，进而得到每天的销售量，再根据“销售利润=每件利润×销售量”计算出每天的销售利润； （2）设每件文创商品应降价x元，根据“销售利润=每件利润×销售量”列出方程，求解方程并结合“每件降价幅度不超过10元”的条件确定x的值． （1）解：降价2元后的日销量：（件）， 每件利润：（元）， 日销售利润：（元）， 故答案为：30，1260． （2）解：设每件文创商品降价x元， 由题意得，， 解得，， ∵， ∴舍去， ∴每件文创商品应降价4元． 知识点（五）工程问题、行程问题 1. 工程问题：（1）工作量 = 工作效率 × 工作时间；（2）工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间（单位时间完成的工作量）；（3）工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率； 2.  行程问题：（1）路程 = 速度 × 时间；（2）速度 = 路程 ÷ 时间；（3）时间 = 路程 ÷ 速度 【题型8】工程问题 【例题8】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． （1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 【变式1】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】(1)600 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． （1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． （1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 【变式3】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【题型9】行程问题 【例题9】（25-26九年级上·全国·周测）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了; (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可. 解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了. （2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键. 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要 s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 【变式3】（25-26九年级上·吉林白城·月考）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． （1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 二.中考真题 （一）单选题（5题） 1．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 2．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 3．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解． 解：如图所示，四边形是黄金矩形，，， 设，，假设存在点，且，则， 在中，， 在中，， ， ，即， 整理得， ，又，即， ， ，， ， 方程无解，即点不存在． 故选：D． 4．（2024·青海西宁·中考真题）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 化简，得． 故选：A． 5．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （二）填空题（5题） 6．（2024·四川绵阳·中考真题）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键． 4月份价格从元开始降价，如果两个月平均降价率为r，根据“5月份的售价为486元”作为相等关系得到方程求解即可． 解：根据题意得， 解得，（不合理舍去）． 所以4，5月份两个月平均降价率为．即． 故答案为：． 7．（2023·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺． 【答案】8 【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解． 解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键． 8．（2023·湖北恩施·中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．    【答案】8，6，10 【分析】设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理求解即可． 解：设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺， 根据题意可得：， 解得：或（舍去）， ∴（尺），（尺）， 即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺， 故答案为：8，6，10． 【点睛】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题的关键． 9．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 【答案】 6 / 【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可． （1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为：6． （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个的值， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键． 10．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （三）解答题（4题） 11．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． （1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 12．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率 (2)预计该商场七月份投入资金将达到万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． （1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； （2）解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 13．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 14．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． （1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.4 一元二次方程的应用（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）解可化为一元二次方程的分式方程 1 【题型1】解可化为一元二次方程的分式方程 2 知识点（二）传播问题、增长率问题、握手、循环赛问题 2 【题型2】传播问题 2 【题型3】增长率问题 3 【题型4】握手和循环赛问题 4 知识点（三）图形问题和动态几何问题 4 【题型5】图形问题 5 【题型6】动态几何问题 6 知识点（四）数字问题、营销问题 7 【题型7】数字问题 7 【题型8】营销问题 8 知识点（五）工程问题、行程问题 9 【题型8】工程问题 9 【题型9】行程问题 10 二.中考真题 11 （一）单选题（5题） 11 （二）填空题（5题） 12 （三）解答题（4题） 13 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 知识点（一）解可化为一元二次方程的分式方程 解题步骤： 1. 确定最简公分母，去分母转化为整式方程 2. 整理整式方程为标准形式 3. 求解一元二次方程 4. 验根（关键步骤，不可省略） 5. 写出原方程的解 【题型1】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）解分式方程： (1) (2) 【变式1】（2025·内蒙古·模拟预测）方程的解为（    ） A．或 B． C． D．无解 【变式2】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）将方程去分母后，所得的整式方程的一般式是 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）解方程： (1)． (2)． 知识点（二）传播问题、增长率问题、握手、循环赛问题  1.传播问题基本形式：设初始数为1，1个人传播人，经过一次传播后人数为：1+，两次传播后人数为（1+）+（1+）=； 2. 增长率问题基本形式：设初始数为,两次增长后数量为,则有； 3. 握手、循环赛问题基本形式：设共有人个或球队，进行循环握手（比赛）次数为： 【题型2】传播问题 【例题2】（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【变式1】（25-26九年级上·山东聊城·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【题型3】增长率问题 【例题3】（25-26九年级上·四川资阳·期末）资阳某电商平台销售一种高档柠檬茶，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次降价的百分率相同． (1)求每次降价的百分率； (2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场研究发现，在进货价不变的情况下，电商平台决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价元，日销售量将减少盒，现在平台要保证每日盈利元，且要让顾客得到实惠，那么每盒柠檬茶应涨价多少元？ 【变式1】（25-26九年级上·福建莆田·期末）2025年12月10－11日，中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号的笔记本电脑发售时每台售价12888元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为8888元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽黄山·期末）黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一．新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天的销售额为万元，之后每天的销售额按相同的增长率增长，三天总的销售额为万元，则增长率为 ． 【变式3】（25-26九年级上·海南海口·期中）假设我省自由贸易港于年月日正式封关运行．封关后，预计贸易额会快速增长．据统计，封关当年（年）贸易额为亿元，两年后（年月日）贸易额会达到亿元． (1)求这两年贸易额的年平均增长率； (2)若按增长率保持不变，请计算到年月日我省的贸易额将达到多少亿元？ 【题型4】握手和循环赛问题 【例题4】（23-24九年级上·河北保定·期中）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手次． （1）若参加聚会的人数为，则共握手 次；若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手 次； （2）若参加聚会的人共握手次，请求出参加聚会的人数． 【变式1】（25-26九年级上·江西九江·月考）某次聚会，参会的每两人都握了一次手，所有人共握手36次，参加聚会的人数是（   ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【变式2】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）根据题意列方程： （1）为庆祝元旦，在几名同学之间，每两个人互送贺卡各一张，所有人共送贺卡张，设有名同学，则所列方程是 （2）一个凸多边形共有条对角线，设这个多边形的边数为，则所列方程是 ． 【变式3】（23-24九年级上·广西南宁·月考）【课本再现】 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛． （1）①共有______场比赛； ②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他______个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以可列方程：______． 【小试牛刀】 （2）参加聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了45次，有多少人参加聚会？ 知识点（三）图形问题和动态几何问题 1. 基本图形： 靠墙问题 盒子折叠问题 平移问题 等量关系：利用矩形周长公式和面积公式建立等量关系 2.  动态几何问题： 三角形动态问题 四边形动态问题 等量关系：由点的速度求出线段长，利用图形性质建立等量关系 【题型5】图形问题 【例题5】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为米，解答下列问题： (1)的长为___________米；（用含有的代数式表示） (2)围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）某校积极实施劳动教育课程，建设校园农场．如图，该矩形农场长米，宽米，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为米．设道路的宽为米，则可列方程为 ．（只列方程） 【变式3】（25-26九年级上·重庆·月考）春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广，某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元．随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子．已知矩形硬纸板的长宽分别为，．    (1)求从正月初一到初三该影院票房收入的日平均增长率． (2)求纸盒的高 【题型6】动态几何问题 【例题6】（25-26九年级上·贵州遵义·月考）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中,．点P从B出发，以的速度向终点C运动；同时，点Q从C出发，以的速度向终点A运动．后,的面积等于4，则t的值为(    ) A．1或4 B．2或4 C．2 D．1 【变式2】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 秒后的面积为？ 【变式3】（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 知识点（四）数字问题、营销问题  1.数字问题基本形式：一个三位数，设个位数字为，这个三位数为100+10+； 2. 营销问题基本形式：（1）单件利润 = 售价 - 成本价；（2）总利润 = 单件利润 × 销量. 【题型7】数字问题 【例题7】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）小明问这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A．1 B． C． D．1或 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）若一个数平方的2倍等于这个数的8倍，则这个数是 ． 【变式3】（25-26九年级上·江西南昌·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)八进制数换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【题型8】营销问题 【例题8】（25-26八年级上·山东济南·期末）某社区超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低2元，每天销量会增加8袋． (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现300元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期末）信阳市位于豫鄂皖的三省交界，历史文化厚重，旅游资源丰富．据统计，2025年元旦假期，某景区共接待游客约10万人次，旅游总收入200万元．经调研发现，若景区内人均消费增加5元，则游客人数会减少0.5万人次．在预期接待10万人次的基础上，如果要使2026年元旦假期旅游总收入达到240万元，设人均消费增加元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山西阳泉·月考）一款衬衫每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定降价销售，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，那么平均每天可多售出件．每件衬衫降价 元时，平均每天盈利元． 【变式3】（25-26九年级上·河南郑州·期末）2026年元旦假期期间，河南旅游收入再创新高，同时促进了文创产品的销售．某网红景点的超市购进一批文创商品，平均每天可售出20件，每件的销售利润44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降低1元，那么每天可多售5件． (1)若每件文创商品降价2元，则每天可售出___________件，每天的销售利润为___________元． (2)如果每天的销售利润是1600元，每件文创商品应降价多少元？ 知识点（五）工程问题、行程问题 1. 工程问题：（1）工作量 = 工作效率 × 工作时间；（2）工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间（单位时间完成的工作量）；（3）工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率； 2.  行程问题：（1）路程 = 速度 × 时间；（2）速度 = 路程 ÷ 时间；（3）时间 = 路程 ÷ 速度 【题型8】工程问题 【例题8】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【变式1】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【变式2】（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【变式3】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【题型9】行程问题 【例题9】（25-26九年级上·全国·周测）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要 s能到达终点． 【变式3】（25-26九年级上·吉林白城·月考）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 二.中考真题 （一）单选题（5题） 1．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 3．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（2024·青海西宁·中考真题）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． （二）填空题（5题） 6．（2024·四川绵阳·中考真题）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则 ． 7．（2023·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺． 8．（2023·湖北恩施·中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．    9．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 10．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． （三）解答题（4题） 11．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 12．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 13．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 14．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $