第14讲 一元二次方程的应用（第2课时）（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第14讲 一元二次方程的应用（第2课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：列一元二次方程解应用题的常见题型（二） ·图形面积或体积问题 解决长方形面积或长方体体积问题的一般步骤： （1）设其中一边为x； （2）结合题意中的等量关系表示出图形的其他边长或棱长； （3）列出x所表示的代数式要满足的条件，求x的取值范围； （4）根据面积公式、体积公式进行列式； （5）求解方程，然后结合x的取值范围进行作答。 注意：实际问题一定要注意x的取值范围，几何图形中也是一样的。尤其是一元二次方程实际有两个根，因此需要讨论是否两个根都满足条件。 知识点2 ：动点几何问题 1.线段长问题 结合勾股定理求解线段长问题的一般步骤： （1）通过几何图形的性质、作图、证明和计算先确定目标直角三角形； （2）设直角三角形其中一边为x，用x表示其他边长； （3）结合勾股定理和题意，用直角三角形的三边列出等量关系； （4）求解方程，然后结合x的取值范围进行作答。 2.动点几何问题的重点是用设时间为未知数t，用t结合题干中给出的点的速度，表示出边长关于t的代数式，再结合几何图形的性质列式，最后求解一元二次方程并作答即可。 注意：（1）同样要注意t的取值范围，t的取值范围受题干中动点的终点相关，要注意每个点什么时候停止运动，求出t的最大值。 （2）要注意分类讨论，动点的运动使得线段用t表示的方式有所不同，列式也有不同，需要分类讨论。 【题型1 图形面积或体积问题】 例1．（25-26九年级上·贵州遵义·月考）国庆节期间，遵义某广场打造一个“遵义特色食品展”． 如图，若使用长的挡板，一面利用墙围成矩形展示区，其中墙长，并在边上留一个宽的入口方便游客出入． (1)若围成展示区的面积为，求的长． (2)能否围成面积为展示区？ 例2．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，某市近郊有一块长为，宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽为，则_____；（用含x的代AI数式表示） (2)若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为多少米． 例3．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板，已知，，要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小亮按照图2四角剪去四个相同的长方形，恰好得到收纳盒的展开图（白色部分），并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，如图3，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)若收纳盒高是则该收纳盒底面的边______，______； (2)若收纳盒的底面积是，请求出该收纳盒底面的边的长度． 变式1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 变式2.（25-26九年级上·天津河西·期末）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)若的长不能超过，． ①当的长度为时，的长为______； ②若设长为，长为，直接写出关于的函数解析式； ③若围成的菜园面积为，则的长度是多少？ (2)若墙足够长，如何设计和的长度，才能使菜园的面积最大．（用含的代数式表示，直接写出答案即可） 变式3.（2024九年级上·全国·专题练习）综合实践：用矩形硬纸片制作纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，剪去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为________，宽为________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明又拿来一张同样大小的矩形硬纸片，先在硬纸片的两个角各剪去一个和（2）中同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．请直接写出这个有盖纸盒的底面积是________． 【题型3 动点几何问题】 例4．（25-26九年级上·福建三明·月考）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 例5．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 例6．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)在点M、N运动过程中，能否得到以A、B、C其中一个点为顶点，以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 变式1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 变式2.（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为秒． (1)根据题意知：__________，___________；（用含的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于？ (3)点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由． 变式3.（25-26九年级上·山东青岛·月考）在矩形中，，点P从点C开始以的速度沿边向点B移动，点Q从点D开始以的速度沿边向点C移动，P、Q分别从C、D同时出发，设运动时间为t秒（）. (1)经过几秒，是等腰三角形？ (2)是否存在某一时刻，使的面积是6？ (3)经过几秒，是等腰三角形？ 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）一个长方体木盒的高是，长比宽多，体积是，求这个木盒的长．设这个木盒的长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州遵义·月考）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，幼儿园计划用的围栏靠墙围成一个面积为的矩形小游戏乐园（墙长为 ），设与墙垂直的边长为 ，则 的值为 （    ） A． 或 B． 或 C． D． 4．（25-26九年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 5．（25-26九年级上·广西防城港·月考）如图所示，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动．若一点到达终点，另一点也随之停止运动．当两点出发 时，点和点的距离是10cm．（   ） A．2s或 B．1s或 C． D．2s或 6．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），所围成花圃面积为平方米；设花圃垂直于墙的边长为x米．则可列方程 ．（不用化简） 7．（25-26九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为 米． 8．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后的面积为？ 9．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是 ． 10．（25-26八年级上·上海·期末）如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 11．（25-26九年级上·湖南岳阳·月考） 如图， 在中，， ， 若点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发，运动时间为秒． (1) ， (用含有t的代数式表示) (2)出发几秒后，线段的长为 (3)的面积能否为?若能，求出时间；若不能，请说明理由． 12．（23-24八年级下·吉林·月考）如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒． (1)求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积； (4)点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值． 13．（25-26九年级上·福建漳州·月考）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相同的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下：．当时，有最大值． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来形成纸盒，其中一个纸盒的底面是正方形． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来形成纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形． 任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为________（用含的代数式表示），判断纸盒的底面积能否达到，并说明理由． 任务2 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 一元二次方程的应用（第2课时） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：列一元二次方程解应用题的常见题型（二） ·图形面积或体积问题 解决长方形面积或长方体体积问题的一般步骤： （1）设其中一边为x； （2）结合题意中的等量关系表示出图形的其他边长或棱长； （3）列出x所表示的代数式要满足的条件，求x的取值范围； （4）根据面积公式、体积公式进行列式； （5）求解方程，然后结合x的取值范围进行作答。 注意：实际问题一定要注意x的取值范围，几何图形中也是一样的。尤其是一元二次方程实际有两个根，因此需要讨论是否两个根都满足条件。 知识点2 ：动点几何问题 1.线段长问题 结合勾股定理求解线段长问题的一般步骤： （1）通过几何图形的性质、作图、证明和计算先确定目标直角三角形； （2）设直角三角形其中一边为x，用x表示其他边长； （3）结合勾股定理和题意，用直角三角形的三边列出等量关系； （4）求解方程，然后结合x的取值范围进行作答。 2.动点几何问题的重点是用设时间为未知数t，用t结合题干中给出的点的速度，表示出边长关于t的代数式，再结合几何图形的性质列式，最后求解一元二次方程并作答即可。 注意：（1）同样要注意t的取值范围，t的取值范围受题干中动点的终点相关，要注意每个点什么时候停止运动，求出t的最大值。 （2）要注意分类讨论，动点的运动使得线段用t表示的方式有所不同，列式也有不同，需要分类讨论。 【题型1 图形面积或体积问题】 例1．（25-26九年级上·贵州遵义·月考）国庆节期间，遵义某广场打造一个“遵义特色食品展”． 如图，若使用长的挡板，一面利用墙围成矩形展示区，其中墙长，并在边上留一个宽的入口方便游客出入． (1)若围成展示区的面积为，求的长． (2)能否围成面积为展示区？ 【答案】(1)的长为米； (2)不能围成面积为展示区． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则由题意得， ∴， 解得：或 当时，，故不符合题意； 当时，，符合题意， 答：的长为米； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则由题意得， ∴， 整理得， ∵， ∴方程没有实数解， 答：不能围成面积为展示区． 例2．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，某市近郊有一块长为，宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽为，则_____；（用含x的代AI数式表示） (2)若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为多少米． 【答案】(1)； (2)通道的宽为． 【详解】（1）解：设通道的宽为，则 ； （2）解：根据题意得 ， 整理得， 解得 (不符合题意，舍去)． 即通道的宽为． 例3．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板，已知，，要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小亮按照图2四角剪去四个相同的长方形，恰好得到收纳盒的展开图（白色部分），并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，如图3，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)若收纳盒高是则该收纳盒底面的边______，______； (2)若收纳盒的底面积是，请求出该收纳盒底面的边的长度． 【答案】(1)， (2)的长度分别为 【详解】（1）解：由题意得 ，， ， 故答案为：，； （2）解：设收纳盒高为，则 所以 所以（舍去）， 所以， ， 所以收纳盒底面的边的长度分别为． 变式1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 【答案】(1)停车位的宽为 (2) 【详解】（1）解：设停车位的宽为，则停车位的长为，通车道宽为，停车场的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：停车位的宽为． （2）解：价格上涨后，停车场收费， 高峰时段收费为元， 平峰时段收费为元， ， 解得，， 当，，停车场使用率不可能为负值，故舍去， ． 答：的值为2． 变式2.（25-26九年级上·天津河西·期末）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)若的长不能超过，． ①当的长度为时，的长为______； ②若设长为，长为，直接写出关于的函数解析式； ③若围成的菜园面积为，则的长度是多少？ (2)若墙足够长，如何设计和的长度，才能使菜园的面积最大．（用含的代数式表示，直接写出答案即可） 【答案】(1)①；②；③或； (2)， 【详解】（1）解：①由题意知，， 当时，； 故答案为：； ②， 且， ∴， 解得， ∴； ③， ∴， 整理得， ， ∴或， 即或； （2）解：由（1）知，， 其中， ∴， 当时，有最大值， 此时， ∴当，时，菜园的面积最大． 变式3.（2024九年级上·全国·专题练习）综合实践：用矩形硬纸片制作纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，剪去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为________，宽为________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明又拿来一张同样大小的矩形硬纸片，先在硬纸片的两个角各剪去一个和（2）中同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．请直接写出这个有盖纸盒的底面积是________． 【答案】(1)14，10 (2)剪去的正方形的边长为 (3)48 【详解】（1）解：由题意可知，纸盒底面长方形的长（），宽为（）， 即纸盒底面长方形的长为，宽为， 故答案为：14，10； （2）解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的正方形的边长为； （3）解：由（2）可知，剪去的正方形的边长为， 则有盖纸盒底面长方形的长为（），宽为， ∴这个有盖纸盒的底面积（）， 故答案为：48． 【题型3 动点几何问题】 例4．（25-26九年级上·福建三明·月考）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 例5．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)出发秒或秒后，的面积为 (2)出发秒或秒后，线段的长为 (3)的面积不能为，见解析 【详解】（1）解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，的面积为． （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，线段的长为． （3）解：假设能，根据题意得：， 整理，得：， ， 该方程无解， 假设不成立，即的面积不能为． 例6．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)在点M、N运动过程中，能否得到以A、B、C其中一个点为顶点，以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】(1)12秒 (2)4秒 (3)能，4秒或8秒或16秒或秒 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒后，M、N两点重合， 由题意得，， 解得：； （2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形， 如图1， 根据题意得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点M、N运动4秒后，可得到等边； （3）解：由（2）得，点M、N运动4秒后，可得到等边， 即是以为底边的等腰三角形， 当点M、N在边上运动时，可以得到以为底的等腰三角形， 当秒时，为以为底的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图2，假设是等腰三角形， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴， 设当点M、N在边上运动时，M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ∴， 由题意得，， 解得：． 如图3，当时，过点B作于H， ∵， ∴，， 在中，， 即， 解得： （负值舍去）， 综上所述，以为底边的等腰三角形时，M、N运动的时间为4秒或8秒或16秒或． 变式1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 变式2.（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为秒． (1)根据题意知：__________，___________；（用含的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于？ (3)点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不可以，理由见解析 【详解】（1）解：∵动点D、E同时出发，动点E从点C出发以的速度向点B移动， ∴， ∵动点D从点A出发以速度向点C移动， ∴， 故答案为：；； （2）解：当的面积等于， 根据题意得， 整理得， 解得， 答：，即运动1秒时，的面积等于； （3）解：不可以，理由如下： 如果可以，则由勾股定理得， 整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴的长不可以是． 变式3.（25-26九年级上·山东青岛·月考）在矩形中，，点P从点C开始以的速度沿边向点B移动，点Q从点D开始以的速度沿边向点C移动，P、Q分别从C、D同时出发，设运动时间为t秒（）. (1)经过几秒，是等腰三角形？ (2)是否存在某一时刻，使的面积是6？ (3)经过几秒，是等腰三角形？ 【答案】(1)4秒 (2)不存在某一时刻，使的面积是6，理由见解析 (3)或时，是等腰三角形 【详解】（1）解：设经过秒，，即是等腰三角形，根据题意得， ， 解得， ∴经过4秒，是等腰三角形； （2）解：设经过秒，的面积是6，根据题意得， ， ， 整理得， ∵， ∴该方程无解， ∴不存在某一时刻，使的面积是6； （3）解：①当时得， ， 由勾股定理得 解得，（负值已舍） ∵， 即， ∴符合题意； ②当时得， ， 由勾股定理得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∴符合题意； ③当时得， ， 由勾股定理得 解得或 ∵， ∴，， ∴， ∴和不符合题意； 综上，或时，是等腰三角形． 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）一个长方体木盒的高是，长比宽多，体积是，求这个木盒的长．设这个木盒的长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设这个木盒的长为，则木盒的宽为， 根据题意，， 故选：C． 2．（24-25九年级上·贵州遵义·月考）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：道路的宽为， 种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得，． 故选：C． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，幼儿园计划用的围栏靠墙围成一个面积为的矩形小游戏乐园（墙长为 ），设与墙垂直的边长为 ，则 的值为 （    ） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】C 【详解】解：设与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米， 根据题意得，， 整理得，， 解得或， 当时，， 则舍去， 因此 的值为， 故选：C． 4．（25-26九年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 5．（25-26九年级上·广西防城港·月考）如图所示，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动．若一点到达终点，另一点也随之停止运动．当两点出发 时，点和点的距离是10cm．（   ） A．2s或 B．1s或 C． D．2s或 【答案】D 【详解】解：设当两点出发时，点和点的距离是10cm， 此时． 根据题意，得，即， 解得． 故当两点出发2s或时，点和点的距离是10cm． 故选：D． 6．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），所围成花圃面积为平方米；设花圃垂直于墙的边长为x米．则可列方程 ．（不用化简） 【答案】 【详解】解：设花圃垂直于墙的边长为x米， 则， 根据题意可得， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为 米． 【答案】5 【详解】解：设玻璃栈道的宽度是米， 则扩建后的矩形的长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：玻璃栈道的宽度是5米． 故答案为：5． 8．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 9．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是 ． 【答案】或． 【详解】解：设运动时间为， ， 当为以为底边的等腰三角形时，即， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：； 当为以为底边的等腰三角形时，即 ∴即 解得：或（舍去） ∴或． 10．（25-26八年级上·上海·期末）如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 【答案】(1)米和米或米和米 (2)米和米 【详解】（1）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， 当时，（米）； 当时，（米）； ∴和各为米和米或米和米； （2）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， ∴， 此时，（米）， ∴和各为米和米． 11．（25-26九年级上·湖南岳阳·月考） 如图， 在中，， ， 若点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发，运动时间为秒． (1) ， (用含有t的代数式表示) (2)出发几秒后，线段的长为 (3)的面积能否为?若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)经过秒或2秒后，线段的长为 (3)的面积不会等于，详见解析 【详解】（1）解：根据题意得， ∴， 故答案为：，； （2）解：出发秒后，，则， 在中，得， ， ， ，解得：， 故经过秒或2秒后，线段的长为； （3）解：不能，理由如下：经过秒，的面积等于， 则， ， 即， 该方程无实数解， 的面积不会等于． 12．（23-24八年级下·吉林·月考）如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒． (1)求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积； (4)点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)当时，；当时，； (3)的面积为或； (4)或． 【详解】（1）解： ，的面积为，是边上的高， ， ，解得; （2）解： ，， ， 动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动， ①当点P在上运动时（即时）， 有， ， ②当点P在上运动时（即时）， ， 综上所述，当时，；当时，； （3）解：①当点P在上运动，为等腰直角三角形时， 有， ，解得， ， ， 的面积为：； ②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时， 有， ， ， ， ， 的面积为：； 综上所述，的面积为或； （4）解：点P在上运动，图中存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况： ①为等腰三角形，， ， ， ， 秒（不合题意，舍去）， ②为等腰三角形，， ， 整理得，解得（不合题意，舍去），， ③为等腰三角形，， 即，解得． 综上所述，或． 13．（25-26九年级上·福建漳州·月考）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相同的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下：．当时，有最大值． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来形成纸盒，其中一个纸盒的底面是正方形． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来形成纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形． 任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为________（用含的代数式表示），判断纸盒的底面积能否达到，并说明理由． 任务2 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 【答案】任务1：，能，见解析；任务2：纸盒体积有最大值为 【详解】解：任务1：纸盒的底面积能达到， 理由：假设纸盒的底面积能到达， 由题意，得， 即．， 方程存在实数根，且当底面积为900时，，符合题意，（当，，不符合题意，舍去） ， 综上所述，假设成立，纸盒的底面积能到达； 任务2：由题意可知， 方案2中的长为，的长为， 方案2中纸盒的体积为， 当时，纸盒体积有最大值为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $