专题 2.3 一元二次方程根与系数的关系（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.3 一元二次方程根与系数的关系（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点】一元二次方程根与系数关系 1 ★【题型 1】直接用根与系数的关系求值 1 ★【题型 2】利用根与系数关系对称性变形求值 3 ★【题型 3】利用根与系数关系一元二次方程的解求值（整体思想） 5 ★★【题型 4】一元二次方程的解与根与系数关系求值 8 ★★【题型 5】利用根与系数关系与根的判别式求值证明 11 ★★【题型 6】利用根与系数关系与几何问题 14 ★★【题型 7】利用根与系数关系与函数问题 17 二.中考真题 21 （一）单选题（6题） 21 （二）填空题（6题） 24 （三）解答题（4题） 27 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点】一元二次方程根与系数关系 一般地，一元二次方程的根与系数有如下关系: 如果，是一元二次方程的两个根， 那么， ★【题型 1】直接用根与系数的关系求值 【例题1】（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的方程的根为，当时，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解题的关键．将代入方程，利用一元二次方程根与系数的关系得到，整体代入计算即可． 解：∵当时，方程为， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程的两根为，则是解题的关键． 直接利用一元二次方程根与系数求解即可． 解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴． 故选C． 【变式2】（25-26九年级上·山东滨州·期末）设是关于x的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法进行计算即可． 解：由题意，， ∴； 故答案为：1． 【变式3】（25-26九年级上·福建三明·月考）已知，是方程的两根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．先根据根与系数的关系求出和的值，然后将和的值代入即可得解．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴． ★【题型 2】利用根与系数关系对称性变形求值 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）设，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论． （1）解：由题意，得，． 原式 ． （2）解：由题意，得，． 原式 ． 【变式1】（25-26九年级上·云南大理·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分式的化简求值． 利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再把分式进行通分化简，最后代入求值即可． ，是方程的两个实数根， ，， ． 故选D． 【变式2】（25-26九年级上·四川凉山·期末）若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由题可得m、n是的两个根，整理得到，从而得到，的值，代入即可得到答案． 解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m、n是，即的两个根， 根据根与系数的关系，得，， ∴ ， 故答案为：6． 【变式3】（25-26九年级上·江西吉安·期末）已知是一元二次方程的两个实数根． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式的变形进行计算，熟知：若是一元二次方程的两个实数根，则，是解本题的关键． （1）由根与系数的关系得，再代入计算即可； （2）由完全平方公式的变形可得，再代入计算即可． （1）解：是一元二次方程的两个实数根， ， ； （2）解：． ★【题型 3】利用根与系数关系一元二次方程的解求值（整体思想） 【例题3】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知关于x的一元二次方程 (1)证明：对于任意实数m，方程总有实数根； (2)若方程两根异号，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，解题的关键掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）根据根与系数的关系得出，然后结合已知得出关于m的不等式，然后求解即可． （1）解：∵，，， ∴ ， ∴对于任意实数m，方程总有实数根； （2）解：设方程两根为，， 由根与系数的关系得， ∵方程两根异号， ∴， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·江西九江·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若，为方程的两个根，且满足，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式以及根与系数的关系． （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，得到，代入代数式求解即可． 熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系以及根与系数的关系，是解题的关键． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）由题意，得：， ∴， ∴． 【变式2】（22-23九年级上·山东潍坊·期末）已知k为实数，关于x的方程为． (1)请证明不论k取何值，这个方程总有两个根； (2)若方程的两个根分别记为，，且满足，求k值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； (2)根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． （1）证明：由原方程变形为， ， ∴不论k取何值，方程总有两个实数解； （2）解：，分别是关于x的方程的两个根， ，， ， ， ， 得， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键． 【变式3】（2025九年级下·浙江金华·学业考试）一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)证明：． (3)设抛物线交轴于点，原点为，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程： （1）通过判别式确定的取值范围； （2）利用根与系数的关系证明根的符号； （3）将根与系数的关系：代入题意条件，得到方程后，求解的具体值即可． （1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得． （2）证明：由（1）可得． （3）解：由（2）可得， 令，． ， ， ， ， 解得． ． ★★【题型 4】一元二次方程的解与根与系数关系求值 【例题4】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知、是方程的两根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是根据根与系数的关系得到的值； 根据根与系数的关系求出的值，并利用满足原方程得到的值，进而计算表达式 解：∵、是方程的两根， ∴， 把代入中，得， ∴， 故答案为：2026． 【变式1】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，先利用方程的解得到，再结合根与系数关系得到，将所求代数式变形后代入计算即可． 解：∵a是方程的解， ∴ ∴ ∵a和b是方程的两个解 ∴， ∴ ， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·广东中山·月考）已知m，n是方程的两个根，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，由m是方程的根，可得，代入原式化简为，再根据方程根与系数的关系，即可求值． 解：∵m是方程的一个根， ∴， 即， ∴ 又∵ m， n是方程的两个根， ∴， ∴ 原式， 故选C． 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·月考）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． ★★【题型 5】利用根与系数关系与根的判别式求值证明 【例题5】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据方程有两个根可得，再结合即可解决问题； （2）利用根与系数的关系即可解决问题． （1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵， ∴的取值范围是且． （2）解：∵该方程有两个实数根分别为、， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，但，不符合题意舍去， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）若关于的方程的两个实数根都大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．根据方程有两个实数根得出，可得或，根据两个实数根都大于列不等式组，解不等式组即可得答案． 解：设方程的两个实数根为、， ∴，，， 解得：或， ∵关于的方程的两个实数根都大于， ∴，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，则的值是（　　） A．3 B． C．3或 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程有两个不相等的实数根，根据判别式大于零求出k的取值范围；再根据根与系数的关系，将条件转化为关于k的方程，解出k的值，并验证是否满足取值范围． 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 又∵，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴符合，不符合 故， 故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程根与系数的关系； （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式，代入方程系数建立不等式求解即可； （2）先利用根与系数的关系得到与的表达式，再代入给定等式得到关于的方程，结合第一问的取值范围确定最终符合条件的值，即可求解． （1） 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得． （2）解：∵，是方程的两个实数根 ∴， ∵ ∴ ∴或 解得， ∵ ∴不符合条件，舍去 ∴． ★★【题型 6】利用根与系数关系与几何问题 【例题6】（2024九年级上·全国·专题练习）关于的方程． (1)求证：无论为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)以该方程的两根为一个直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为，求实数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题解决的关键是依据直角三角形的性质，由已知斜边上的中线长为，能转化为方程的根的关系，从而转化为解方程的问题求解． （1）求证无论a为任何实数，该方程总有两个不等实数根，只要证明根的判别式即可； （2）根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知该三角形斜边上的中线长为，即已知直角三角形斜边的长是，即两直角边的平方和是35，利用勾股定理结合根与系数的关系，即可得到关于a的方程，求出a的值． （1）证明：∵， ， ， ， ∴无论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由题意，得，即， ∵， ∴， 解得或， 由于方程的两根是三角形的边长，则需满足且， 则， ∴ 【变式1】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（     ） A．12 B．12或16 C．16 D．14 【答案】B 【分析】此题考查解一元二次方程及根的判别式，等腰三角形的性质，分6为底边和6为腰两种情况讨论，利用一元二次方程根的性质和三角形三边关系求解即可 解：①当6为底边时，则， ∵， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为4, 4, 6，满足，故成立； ②当6为腰时，设， 则，即， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为6, 2, 6，满足，故成立； 综上，m的值为12或16， 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·山东德州·期中）若方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，则该三角形斜边上的中线长为 ． 【答案】6.5/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而得到，再利用勾股定理得到该三角形斜边长，最后根据直角三角形性质求解，即可解题． 解： ，， ， 方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长， 该三角形斜边长为， 该三角形斜边上的中线长为， 故答案为：6.5． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，勾股定理，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 【变式3】（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）已知，为实数，关于的方程恰有三个不相等的实数根． (1)求证： (2)若该方程的三个不等实根恰为某三角形的三内角的角度．求证：该三角形中必有一内角为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意得或，设这两个方程的判别式为，，通过计算可得恒成立，再由恰有三个不相等的实数根，可得，，即可证明； （2）设方程的根为，的两个根为，，根据根与系数的关系可得，，则，再利用三角形内角和定理得到，解得，即可证明． （1）证明：∵， ∴， ∴或， 设这两个方程的判别式分别为，， 则，， ∴恒成立， ∵恰有三个不相等的实数根， ∴，， ∴； （2）证明：设方程的根为，的两个根为，， 由根与系数的关系得，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴该三角形中必有一内角为． ★★【题型 7】利用根与系数关系与函数问题 【例题7】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于的函数 (1)求证：无论取何值时，此函数图像与轴总有两个交点． (2)若此函数图像与轴的两个交点为点和点，且有，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 或 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系． （1）求出的值，根据的取值范围即可证明函数图象与x轴总有两个交点． （2）根据根与系数的关系可得，，再进一步求解即可． （1）解：由题意可得， ， 故无论取何值时，此函数图像与轴总有两个交点． （2）解：函数图像与轴的两个交点为点和点， 的两个根分别为， ，， ， ， ， 解得 或 ． 【变式1】（2024·江苏苏州·一模）已知一元二次方程有两个实数根，，直线经过点和点，则直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系可得出a+b，ab=﹣3，进而可得出点A，B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线l的函数表达式，此题得解． 解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b，ab=﹣3， ∴点A的坐标为(，0)，点B的坐标为(0，﹣3)． 设直线l的函数表达式为y=mx+n(m≠0)， 将A(，0)，B(0，﹣3)代入y=mx+n， 得：， 解得：， ∴直线l的函数表达式为y=6x﹣3． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若，判断动点是否在某定直线上，如果是，请求出这条定直线的函数解析式；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)动点在定直线上上，理由见解析 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、函数图象上点的坐标特征等； （1）先求出该一元二次方程的的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式的关系进行说明即可； （2）根据和，进而待定系数法求解析式，即可求解． （1）∵， ∴该一元二次方程总有两个实数根； （2）解：∵x的一元二次方程的两个实数根分别为，． ∴ 又∵， ∴， 设在上，则，将代入，得 ∴ ∴ ∴在定直线上上， 【变式3】（24-25九年级上·海南儋州·月考）已知：关于的一元二次方程（是整数）． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，（其中），设，判断是否为变量的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)是；是变量的函数，函数解析式为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式．熟练掌握一元二次方程根的判别式以及求根公式是解题的关键． （1）计算根的判别式并判断其正负来证明方程根的情况； （2）先利用求根公式求出方程的两个根，再根据已知条件确定，，进而得出关于的函数解析式． （1）解：是一元二次方程， ， ， 化简得：， 是整数， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：是 在方程中， ， 当取正号时，， 当取负号时，， 是整数， ，则， ， ，， ， 是变量的函数，函数解析式为：． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 2．（2024·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意两根之和为，两根之积为，利用根与系数的关系写出方程即可作答． 解：∵关于x的一元二次方程的两个根为，， ∴两根之和为，两根之积为， ∴这个方程是； 故选：B． 3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 4．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 5．（山东潍坊·中考真题）已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　） A．2 B． C．2或 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组；（2）牢记，．先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值． 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、， ， 解得：且． 、是方程的两个实数根， ，， ， ， 或， ， ． 故选：A． 6．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． （二）填空题（6题） 7．（2023·湖北鄂州·中考真题）若实数、分别满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意可以把，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，，再 根据进行求解即可． 设，依题，满足方程，是这个方程的两根， ∴，， ∵； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 9．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 10．（2023·湖北宜昌·中考真题）已知、是方程的两根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可． 解：由题意得 ， 原式． 故答案：． 【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键． 11．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 12．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． （三）解答题（4题） 13．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，；(2)详见解析． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． （1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 14．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． （1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 15．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． （1）解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 16．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，；(2)，；(3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． （1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.3 一元二次方程根与系数的关系（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点】一元二次方程根与系数关系 1 ★【题型 1】直接用根与系数的关系求值 1 ★【题型 2】利用根与系数关系对称性变形求值 2 ★【题型 3】利用根与系数关系一元二次方程的解求值（整体思想） 2 ★★【题型 4】一元二次方程的解与根与系数关系求值 3 ★★【题型 5】利用根与系数关系与根的判别式求值证明 3 ★★【题型 6】利用根与系数关系与几何问题 4 ★★【题型 7】利用根与系数关系与函数问题 4 二.中考真题 5 （一）单选题（6题） 5 （二）填空题（6题） 6 （三）解答题（4题） 6 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点】一元二次方程根与系数关系 一般地，一元二次方程的根与系数有如下关系: 如果，是一元二次方程的两个根， 那么， ★【题型 1】直接用根与系数的关系求值 【例题1】（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的方程的根为，当时，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2】（25-26九年级上·山东滨州·期末）设是关于x的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【变式3】（25-26九年级上·福建三明·月考）已知，是方程的两根，求代数式的值． ★【题型 2】利用根与系数关系对称性变形求值 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）设，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)． (2)． 【变式1】（25-26九年级上·云南大理·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川凉山·期末）若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 【变式3】（25-26九年级上·江西吉安·期末）已知是一元二次方程的两个实数根． (1)求的值； (2)求的值． ★【题型 3】利用根与系数关系一元二次方程的解求值（整体思想） 【例题3】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知关于x的一元二次方程 (1)证明：对于任意实数m，方程总有实数根； (2)若方程两根异号，求m的取值范围． 【变式1】（23-24九年级上·江西九江·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若，为方程的两个根，且满足，求a的值． 【变式2】（22-23九年级上·山东潍坊·期末）已知k为实数，关于x的方程为． (1)请证明不论k取何值，这个方程总有两个根； (2)若方程的两个根分别记为，，且满足，求k值． 【变式3】（2025九年级下·浙江金华·学业考试）一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)证明：． (3)设抛物线交轴于点，原点为，若，求的值． ★★【题型 4】一元二次方程的解与根与系数关系求值 【例题4】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知、是方程的两根，则的值为 ． 【变式1】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2】（24-25九年级上·广东中山·月考）已知m，n是方程的两个根，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·月考）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为 ． ★★【题型 5】利用根与系数关系与根的判别式求值证明 【例题5】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）若关于的方程的两个实数根都大于，则的取值范围是 ． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，则的值是（　　） A．3 B． C．3或 D．不存在 【变式3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，且，求的值． ★★【题型 6】利用根与系数关系与几何问题 【例题6】（2024九年级上·全国·专题练习）关于的方程． (1)求证：无论为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)以该方程的两根为一个直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为，求实数的值． 【变式1】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（     ） A．12 B．12或16 C．16 D．14 【变式2】（24-25九年级上·山东德州·期中）若方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，则该三角形斜边上的中线长为 ． 【变式3】（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）已知，为实数，关于的方程恰有三个不相等的实数根． (1)求证： (2)若该方程的三个不等实根恰为某三角形的三内角的角度．求证：该三角形中必有一内角为． ★★【题型 7】利用根与系数关系与函数问题 【例题7】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于的函数 (1)求证：无论取何值时，此函数图像与轴总有两个交点． (2)若此函数图像与轴的两个交点为点和点，且有，试求的值． 【变式1】（2024·江苏苏州·一模）已知一元二次方程有两个实数根，，直线经过点和点，则直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若，判断动点是否在某定直线上，如果是，请求出这条定直线的函数解析式；如果不是，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·海南儋州·月考）已知：关于的一元二次方程（是整数）． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，（其中），设，判断是否为变量的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（山东潍坊·中考真题）已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　） A．2 B． C．2或 D．不存在 6．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2023·湖北鄂州·中考真题）若实数、分别满足，，且，则 ． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 9．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 10．（2023·湖北宜昌·中考真题）已知、是方程的两根，则代数式的值为 ． 11．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 12．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 （三）解答题（4题） 13．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 14．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 15．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． 16．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $