第12讲 一元二次方程根与系数的关系（寒假预习讲义）八年级数学新教材浙教版

第12讲 一元二次方程根与系数的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：韦达定理 如果x1,x2是一元二次方程的两个根，那么： ①，即：两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数； ②，即：两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 推到如下： 我们用公式法已知对于一元二次方程，当时，它的两个根为。设，，则有： ； . 这一结论也被称作是“韦达定理” 注意：（1）一元二次方程根与系数的关系成立的前提是。 （2）利用一元二次方程根与系数的关系，不用解方程就可以快速地求出两根之和与两根之积。因此，涉及到关于根的和差倍的探究，要注意使用韦达定理。 【题型1 用根与系数的关系求一元二次方程的根】 例1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为 ． 例2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 变式1．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的两根为，则的值为 ． 变式2.（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根． 【题型2 用根与系数的关系求一元二次方程中的字母参数】 例3．（上海市黄浦区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 例4．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 变式1．（25-26八年级上·上海松江·期末）已知关于的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值及此方程的两根． 变式2.（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“2倍根方程”：方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“3倍根方程”． (1)根据上述定义，是“__________倍根方程”；（填数字） (2)若关于的方程是“4倍根方程”，求t的值； 【题型3 与一元二次方程的根有关的问题探究】 例5．已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长． 变式1.（25-26九年级上·全国·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 1．（25-26八年级上·上海·期末）如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东·月考）已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）若方程与方程的解相同，则p、q的值为（    ） A． B． C． D． 4．（天津市西青区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 5．（25-26九年级上·广东佛山·期末）已知等腰三角形的一条边长为3，另外两条边的长是方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．11 B．13 C．11或13 D．11或12 6．（上海市杨浦区2025-2026学年八年级上学期数学期末考试试卷）设、是方程的两根，则 ． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知、是方程的两个实数根，若，则 ． 8．（上海市黄浦区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）若、是方程的两个实数根，则的值为 ． 9．（23-24八年级上·上海金山·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为 ． 10．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)是否存在，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由． 11．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）已知方程的两根分别为、． (1)求与的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 12．（25-26九年级上·江西九江·月考）定义：如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）； ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，求出，满足的数量关系． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 一元二次方程根与系数的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：韦达定理 如果x1,x2是一元二次方程的两个根，那么： ①，即：两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数； ②，即：两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 推到如下： 我们用公式法已知对于一元二次方程，当时，它的两个根为。设，，则有： ； . 这一结论也被称作是“韦达定理” 注意：（1）一元二次方程根与系数的关系成立的前提是。 （2）利用一元二次方程根与系数的关系，不用解方程就可以快速地求出两根之和与两根之积。因此，涉及到关于根的和差倍的探究，要注意使用韦达定理。 【题型1 用根与系数的关系求一元二次方程的根】 例1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为 ． 【答案】4 【详解】解：设另一个根为 m， 则根据根与系数的关系，有， 解得． 即另一个根为4． 故答案为：4． 例2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据韦达定理，得，； 将变形为，代入得； 故答案为：． 变式1．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴由根与系数的关系，得 ，． 则 ． 故答案为：2． 变式2.（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一根为 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为n， 则， ∴， ∴，方程的另一根为． 【题型2 用根与系数的关系求一元二次方程中的字母参数】 例3．（上海市黄浦区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵， ∴的取值范围是且． （2）解：∵该方程有两个实数根分别为、， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，但，不符合题意舍去， ∴． 例4．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 【答案】(1)见解析 (2)此方程的两个根为， 【详解】（1）证明：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根分别为t，， 根据根与系数的关系得， ∴， ∴方程的两根分别为1和3， 即方程的两个根为，． 变式1．（25-26八年级上·上海松江·期末）已知关于的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值及此方程的两根． 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）解：，，， ， 方程有两个实数根， ， ； （2）解：∵关于的方程有两个实数根、， ∴，， 又， ， 即， ， 当时，方程， 解得，， ，方程两根为，． 变式2.（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“2倍根方程”：方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“3倍根方程”． (1)根据上述定义，是“__________倍根方程”；（填数字） (2)若关于的方程是“4倍根方程”，求t的值； 【答案】(1)3 (2)16 【详解】（1）解： ， 或 解得，， ∵ ， ∴ 方程是“3倍根方程”； （2）解：设方程 的两个根为和， 由题意得， 根据根与系数的关系，有， ∴， 解得 ， ∴， 又∵， ∴， ∴ 的值为16． 【题型3 与一元二次方程的根有关的问题探究】 例5．已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长． 【答案】(1)6 (2)17 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理可证，当时，三角形的周长为17； ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 变式1.（25-26九年级上·全国·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）解：设一元二次方程的两个根分别为， 由等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，可分为： 当边长为2是该等腰三角形的腰长时，则令，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为2、2、1，根据三角形三边关系可知符合题意； 当边长为2是该等腰三角形的底边长时，则有，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为1、1、2，不符合三角形三边关系； 综上所述：． 1．（25-26八年级上·上海·期末）如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴选项C正确， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东·月考）已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵方程 的一个根为， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）若方程与方程的解相同，则p、q的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解方程可得：， ∵方程与方程的解相同， ∴方程的解为， 根据根与系数的关系可得：，， ∴， ．     故选 C． 4．（天津市西青区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】C 【详解】解：∵，是方程的根， ∴可得，， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·广东佛山·期末）已知等腰三角形的一条边长为3，另外两条边的长是方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．11 B．13 C．11或13 D．11或12 【答案】A 【详解】解：设另外两边为和，由一元二次方程及根与系数的关系可知：， ∴该等腰三角形的周长为， 当该等腰三角形的腰长为3时，则，当底边长为3时，则腰长为，均符合三角形三边关系， ∴该等腰三角形的周长为11； 故选A． 6．（上海市杨浦区2025-2026学年八年级上学期数学期末考试试卷）设、是方程的两根，则 ． 【答案】3 【详解】解：方程 中，，， 则 ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知、是方程的两个实数根，若，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵方程有两个根， 又∴， ∴． 在方程中，，，． ∴，． ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍）或． 故答案为：1． 8．（上海市黄浦区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）若、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2023 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， 又∵ a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2023． 9．（23-24八年级上·上海金山·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和， ∴， ∵， ∴， 即可得出：，， ∵整数，是正整数， ∴或， 根据题意可知：， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 综上：或． 故答案为：或． 10．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)是否存在，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在；理由见解析 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； （2）解：不存在， 由题意可知， ， ， 解得， ， 舍去， 的值不存在． 11．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）已知方程的两根分别为、． (1)求与的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 【答案】(1), (2) (3) (4) 【详解】（1）解：由题意，∵方程， ∴． ∴，． （2）解： ； （3）解：； （4）解：由题意， ， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 12．（25-26九年级上·江西九江·月考）定义：如果关于的一元二次方程（均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）； ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，求出，满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【详解】（1）解： ①解方程得，，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，，， ， 方程是“邻根方程”， 综上，是“邻根方程”的是①③． 故答案为：①③． （2）解：解方程， 得，． 该方程是“邻根方程”， 或， 解得或． （3）解：一元二次方程（均为常数）为“邻根方程”，设方程的两个根为，， ，，． 由，得， ， 即， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $