17.1 一元二次方程课件 2025-2026学年 沪科版数学八年级下册

第17章 一元二次方程及其应用 17.1 一元二次方程 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 情景导入 知识回顾 没有未知数，不是方程 1.下列式子哪些是方程？如果是，是什么类型的方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18 不是等式，不是方程 一元一次方程 二元一次方程 不是等式，是不等式 分式方程 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日.为庆祝生日，凡是今天过生日的人都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56张生日贺卡.那么,谁知道我们班一共有多少人今天过生日？ 解: 设一共有x人过生日,由已知,每个过生日的人要做（x-1）张生日贺卡，即共做x(x-1)张.由题意得 x(x-1)=56 整理可得 x2-x-56=0 ① 情景导入 这是什么类型的方程？ 获取新知 问题1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为100t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为200t），要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 知识点1：一元二次方程的概念 思考： 1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？ 方程 dell (d) - 通过实际问题让学生经历对实际问题中数量关系的分析，建立一元二次方程，让学生认识一元二次方程来源于实际，体会学习方程的意义和作用. 2.如图：假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x, 去年的产量为100t， 那么今年无公害蔬菜产量为 t， 明年无公害蔬菜产量为 t. 100+100x=100(1+x) 100(1+x)+100(1+x)x=100(1+x)2 100 100 100（1+x） 100（1+x）. x 100x 去年 今年 明年 根据题意，得 100(1+x)2=200 即 (1+x)2=2 整理，得 x2+2x-1=0 ② 3.你能根据题意，列出方程吗？ 问题2 在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成6块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为570m2，小路的宽应是多少？ 32 20 x 全品初中 1.若设小路的宽是x m，则横向小路面积是______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠部分的面积是 m2. 32x 2×20x 2x2 32 20 x 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570 整理，得： x2-36x＋35=0 ③ 一起讨论 2. 花坛的总面积是570 m2. 你能根据题意，列出方程吗？ 全品文教初中 还有其它的列法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570 32-2x 20-x 32 20 想一想 整理，得： x2-36x＋35=0 ③ 请观察前面得到的三个方程并回答问题： x2-x-56=0 x2+2x-1=0 x2-36x+35=0 （1）它们是一元一次方程吗？ （2）它们与一元一次方程有何异同？ （3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 1.等号两边都是整式 2.只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是2 特点： 一起观察 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程，叫做一元二次方程． 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax²+bx+c=0 （ a≠0 ） 的形式. 一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0） ——一元二次方程的一般形式（又叫标准形式）. 概念学习 a x 2 + b x + c = 0 二次项系数 二次项 一次项 常数项 一次项系数 (a ≠ 0) 一元二次方程的结构 下列方程中哪些是一元二次方程？ 是一元二次方程的有：____________ 可能为0 是分式 是二次根式 两个未知数 针对训练 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 想一想 例题讲解 例1 已知方程3x(x-1)=2(x+2)+4. （1）把该方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项. 解：（1）去括号，得3x2－3x＝2x+4+4. 移项，合并同类项，得方程的一般形式： 3x2－5x-8＝0. 二次项系数是 3，一次项系数是－5，常数项是-8. 1.先要化成一般形式 （二次项系数尽量是正数）； 2.一次项系数和常数项包括它的符号 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项是对于方程的一般形式而言，要确定他们必须先化为一般形式. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 练一练：下列哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根? -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 解： 3和-2. 获取新知 知识点2：一元二次方程的解（或根） 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 例题讲解 例1 已知方程3x(x-1)=2(x+2)+4. （2）判定-1是否为该方程的根. 解：（2）把x=-1代入原方程的左右两边，得 左边=3×（-1）×（-1-1）＝6， 右边=2×（-1+2）+4＝6， ∵左边=右边， ∴ -1是该方程的根. 例2 已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+6的值. 解：由题意得 ∴2a2+4a+6 =2（a2+2a）+6 =2×2+6 =10. 随堂演练 1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是(　　) A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0 C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0 D 2.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项. (1) 2(x-3)(x+4)=x2-10 它的二次项系数是1，一次项系数是2,常数项是-14. 解：(1)一般形式：x2+2x-14=0. (2)一般形式：2x2=0. 它的二次项系数是2，一次项系数是0,常数项是0. 3.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？（列出方程并化成一般形式） 解：设应邀请x个队参加比赛，由题意得： 22 4.判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根. 解：把x= -1带入方程x2-2=x的左右两边， ∵左边=（-1）²-2=-1，右边=-1， ∴左边=右边， ∴x=-1是方程的解. 同理：x=0不是方程的解， x=2是方程的解， ∴x=-1和x=2是方程x2-2=x的根. 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件 使方程左右两边相等的 未知数的值 概念 一般形式 一元二次方程 的根 一元二次方程 课堂小结 $