精品解析：贵州省黔东南州剑河县第四中学2025---2026学年第一学期期末备考模拟训练九年级数学试卷

2025－2026第一学期期末备考模拟训练 九年级数学 （本试卷共三个大题，25个小题、满分：150分，考试时间：120分钟） 【注意事项】 1．答题时，备心将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上， 2．答选择题，必须优用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号： 3．填涂选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷答题无效． 一、选择题：以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答．本大题有12个小题，每小题3分，共36分． 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B. 实心铁球投入水中会沉入水底 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 明天一定会下雨 3. 抛物线的开口方向和顶点坐标是（ ）． A. 向上， B. 向下， C. 向上， D. 向下， 4. 方程的两个根是（ ） A. B. C. D. 5. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有、、、、、的点数，掷这个骰子一次，则掷得面朝上的点数为偶数的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点、、是上的点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 图中的风车图案绕点O 旋转，若旋转后的图案与原来的图案重合，则旋转的角度至少为（ ） A. B. C. D. 9. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 6 10. 如图，在的内接四边形中，，则的度数是（ ） A. 150° B. 115° C. 65° D. 130° 11. 如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分 13. 若点与点关于原点对称，则_____． 14. 已知二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，则的值为______． 15. 一个袋子中装有5个白球和若干个红球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组进行摸球试验．每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6000次．估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是_______． 16. 如图，在平面内有四点，，，，其中，，若，则最大值是_______． 三、解答题：本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 劳动教育具有树德、增智、强体、美育的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动观念．为促进学校劳动教育，提升学生劳动技能，某校举办了劳动技能大赛，比赛项目分别为：A“美味佳肴”（制作菜品）、B“穿针引线”（完成钉扣子）、C“颗粒归仓”（将谷物放入相应的地方）、D“心系国防”（制作军事模型）．大赛规定每位选手都从以上四个项目中随机抽取其中一个项目进行比赛（不考虑其他因素，即每个项目被抽中的可能性相等）． （1）甲同学从四个项目中随机抽取一个项目，则抽到“美味佳肴”的概率为______； （2）用列表法或画树状图法求甲、乙两位同学所抽项目相同的概率． 19. 如图所示，点O是等边内的任一点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得． （1）求的度数； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 20. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； （1）当移动几秒时，的面积为． （2）设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 21. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求此抛物线解析式； （2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）若点在该二次函数的图象上，且，比较的大小． 22. 如图，内接于，为的直径，为上一点，过点作的切线分别交，的延长线于点．，且，连接． （1）求证：； （2）若，且、分别为、的中点，求的长． 23. 如图，内接于于，过点的切线与的延长线交于点，．求： （1）的度数； （2）线段长；（结果保留根号） （3）图中阴影部分的面积． 24. “互联网”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店销售一款秋季时装，每件成本为元，当售价为元时，每天可销售件，为了吸引更多消费者，该网店决定采取降价措施，调整价格时也要兼顾顾客利益，根据市场调查发现：销售的数量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如表： 销售单价元 销售数量件 （1）请求出与的函数关系式； （2）当销售单价是多少元时，若该网店每天获得元的利润？ （3）当销售价格为多少元时，该网店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 25. 综合与探究 【数学背景】如图，线段于点，点是线段上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段． （1）【问题操作】如图①，过点作于点，补全图形后，线段与线段，之间的数量关系为 ． （2）【迁移应用】如图②，以线段中点为圆心，长为半径画弧，点恰好在的弧上，，求的长： （3）【拓展延伸】点从点向点运动过程中，判断点运动的路径长与线段的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026第一学期期末备考模拟训练 九年级数学 （本试卷共三个大题，25个小题、满分：150分，考试时间：120分钟） 【注意事项】 1．答题时，备心将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上， 2．答选择题，必须优用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号： 3．填涂选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷答题无效． 一、选择题：以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答．本大题有12个小题，每小题3分，共36分． 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A不符合题意； B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C符合题意； D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B. 实心铁球投入水中会沉入水底 C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D. 明天一定会下雨 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件的概念：一定会发生的事件称为必然事件，据此逐项判断即可． 【详解】A.任意买一张电影票，座位号可能是2的倍数，也可能不是2的倍数，故不是必然事件，不符合题意； B.实心铁球投入水中，由于铁球的密度大，所以会沉入水底，故是必然事件，符合题意； C.车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到黄灯和绿灯，故不是必然事件，不符合题意； D.明天不一定会下雨，故不是必然事件，不符合题意． 故选：B 【点睛】此题主要考查了随机事件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件． 3. 抛物线的开口方向和顶点坐标是（ ）． A. 向上， B. 向下， C. 向上， D. 向下， 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4. 方程的两个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，利用方程的特点选择简便的方法是解题的关键． 5. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有、、、、、的点数，掷这个骰子一次，则掷得面朝上的点数为偶数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列举出所有可能发生的结果，在从中找出点数为偶数的结果，根据等可能事件的概率计算公式计算即可. 【详解】∵在、、、、、这个数中，偶数有、、这个， ∴掷得面朝上的点数为偶数的概率是， 故选D． 【点睛】本题考查等可能事件的概率，如果一次试验可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，其中事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率. 6. 如图，在中，点、、是上的点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理即可直接求解． 【详解】解： ． 故选：B． 7. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后根据对称轴计算与0的关系；由判断，由顶点处取最大值判断，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A、由抛物线的开口向下知，对称轴为直线，则，故本选项错误； B、由对称轴为直线， ，，则，故本选项正确； C、由图象可知，当时，，则，故本选项错误； D、对称轴为直线， 当时，抛物线有最大值， ∴，即，故本选项错误； 故选：B． 8. 图中的风车图案绕点O 旋转，若旋转后的图案与原来的图案重合，则旋转的角度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该图形被平分成四部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合．本题考查了旋转对称图形的概念，熟练掌握旋转对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知该图形被平分成四部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故旋转角最少为． 故选：B． 9. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. B. 2 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算．根据一元二次方程的解即可求出m的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， 解得． 故选：C． 10. 如图，在的内接四边形中，，则的度数是（ ） A. 150° B. 115° C. 65° D. 130° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质及圆周角定理，掌握圆内接四边形性质及圆周角定理是解题关键，先求出，再根据圆周角定理求出结论即可． 【详解】解：在的内接四边形中，， ， ， 故选：D． 11. 如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式．证明是等边三角形是本题的关键．利用含30度的直角三角形三边的关系得到，利用勾股定理求出，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，得到，即旋转角为，再利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，即旋转角为， ∴， ∴点走过的路径长为． 故选：A． 12. 已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．先利用抛物线对称轴公式求出的值，再代入已知交点求出的值得到抛物线解析式，通过配方确定顶点（最小值点），结合区间端点函数值与抛物线开口方向，确定的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，，对称轴， ∴，解得， ∵抛物线与轴交于点，代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为，配方得， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点为最低点，故的最小值为， 当时，， 当时，， 又∵，在该区间内，的最大值小于，最小值大于， ∴． 故选：B． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分 13. 若点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，正确得出，的值是解题关键． 直接利用关于原点对称点的坐标性质得出，的值，即可求解． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 则； 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题，掌握知识点是解题的关键． 由二次函数与x轴的交点横坐标可得一元二次方程的根，利用根与系数的关系求解 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，， ∴，是方程的两个根， 由根与系数的关系，得 ，， ∴， 故答案为：． 15. 一个袋子中装有5个白球和若干个红球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组进行摸球试验．每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6000次．估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率的知识，根据红球的次数除以试验总次数即可得到答案． 【详解】解：由题意知，红球的概率为：， 故答案为：． 16. 如图，在平面内有四点，，，，其中，，若，则的最大值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，圆周角定理，证明是等边三角形，得，由，可得点在以为直径的圆上运动，连接并延长交于点，当点与点重合时，有最大值，最大值为的长，由等边三角形的性质及勾股定理可求解．确定点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】如图，连接，取的中点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上运动， 连接并延长交于点， ∴ ∴当点与点重合时，有最大值，最大值为的长， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 三、解答题：本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键． （1）根据配方法解方程即可； （2）根据因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ，即， 或， 解得． 18. 劳动教育具有树德、增智、强体、美育的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动观念．为促进学校劳动教育，提升学生劳动技能，某校举办了劳动技能大赛，比赛项目分别为：A“美味佳肴”（制作菜品）、B“穿针引线”（完成钉扣子）、C“颗粒归仓”（将谷物放入相应的地方）、D“心系国防”（制作军事模型）．大赛规定每位选手都从以上四个项目中随机抽取其中一个项目进行比赛（不考虑其他因素，即每个项目被抽中的可能性相等）． （1）甲同学从四个项目中随机抽取一个项目，则抽到“美味佳肴”的概率为______； （2）用列表法或画树状图法求甲、乙两位同学所抽项目相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 小问1详解】 解：共有4四个项目，则抽到“美味佳肴”的概率为； 故答案：． 【小问2详解】 解：画树状图如图， 共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组，有4种， ∴甲、乙两人所抽项目相同的概率． 19. 如图所示，点O是等边内的任一点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得． （1）求的度数； （2）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）．见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质和勾股定理等知识点， （1）根据旋转变换的性质、四边形内角和为计算即可； （2）连接，证明是等边三角形，得出，根据勾股定理可得出结论； 熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴； 【小问2详解】 线段之间的数量关系是． 如图，连接． ∵绕点C按顺时针方向旋转得， ∴． ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ． ∴． 在中，， ∴． ∴． 20. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； （1）当移动几秒时，的面积为． （2）设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】（1）当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）当移动3秒时，四边形的面积为，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积． （1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可； （2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； 【小问2详解】 解： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 21. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）若点在该二次函数的图象上，且，比较的大小． 【答案】（1） （2）此抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配方成顶点式，即可求解； （3）由于该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向下，可得当时，随的增大而增大，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于，两点． ∴，解得， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知二次函数的表达式为， ∵， ∴此抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）知抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵点在该二次函数的图象上，且， ∴． 22. 如图，内接于，为的直径，为上一点，过点作的切线分别交，的延长线于点．，且，连接． （1）求证：； （2）若，且、分别为、的中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理及其推论，三角形中位线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质和三角形中位线的性质定理是解题的关键． （1）如图，连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到； （2）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，再根据三角形中位线的性质即可得到结果． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：为的直径， ， ，， ， ， 、分别为、的中点， 是的中位线， ． 23. 如图，内接于于，过点的切线与的延长线交于点，．求： （1）的度数； （2）线段的长；（结果保留根号） （3）图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角与同弧所对的圆周角的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形．不规则图形的面积，掌握圆周角定理和扇形的面积公式，是解题的关键． （1）根据与是同弧所对的圆心角与圆周角，因而，进而即可求解； （2）证明是等边三角形，再根据切线的性质结合直角三角形的三边长关系即可求解； （3）阴影部分的面积是与扇形的面积差，可据此来求阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：∵，内接于， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴是等边三角形； ∵，， ∴， ∴； ∵与相切， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵ ，， ∴． 24. “互联网”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店销售一款秋季时装，每件成本为元，当售价为元时，每天可销售件，为了吸引更多消费者，该网店决定采取降价措施，调整价格时也要兼顾顾客的利益，根据市场调查发现：销售的数量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如表： 销售单价元 销售数量件 （1）请求出与的函数关系式； （2）当销售单价是多少元时，若该网店每天获得元的利润？ （3）当销售价格为多少元时，该网店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价是元时，该网店每天获得元的利润 （3）当销售价格为元时，该网店每天可获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式； （2）利用一元二次方程求解即可； （3）运用二次函数求出最大利润． 【小问1详解】 设与的函数关系式为， 则， 解得， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得，， 要兼顾顾客的利益， ， 答：当销售单价是元时，该网店每天获得元的利润； 【小问3详解】 设每日利润为元， 则， ， 当时，有最大值，最大值， 答：当销售价格为元时，该网店每天可获得最大利润，最大利润是元． 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，一元二次方程和二次函数的最值，读懂题意列出关系式是解题的关键． 25. 综合与探究 【数学背景】如图，线段于点，点是线段上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段． （1）【问题操作】如图①，过点作于点，补全图形后，线段与线段，之间的数量关系为 ． （2）【迁移应用】如图②，以线段中点为圆心，长为半径画弧，点恰好在的弧上，，求的长： （3）【拓展延伸】点从点向点运动过程中，判断点运动的路径长与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点运动的路径长 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程； （1）根据旋转得到，，再，得到，，即可得到； （2）过点作于点，连接，由（1）同理可得，，，根据画弧，得到，设，则，，再在中，根据列方程求解即可； （3）过点作于点，当在点时，则对应点在线段上，当在点时， 对应点，过点作交直线于点，分别证明，得到，同理可证，则，，即可得到、、在同一条线上，则点从点向点运动过程中，点运动的路径为线段，点运动的路径长与线段的数量关系为． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图所示， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作于点，连接，如图所示， 由（1）同理可得， ∴，， ∵，， ∴，， ∵以线段中点为圆心，长为半径画弧， ∴， 设，则，， 中，， ∴， 解得， ∵，当时，，不符合， ∴； 【小问3详解】 解：点运动的路径长与线段的数量关系为，理由如下： 过点作于点，当在点时，则对应点在线段上，当在点时， 对应点，过点作交直线于点，如图所示， 由（1）同理可得，， ∴，，，， 由旋转可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理可证，则， ∴、、在同一条线上， ∴点从点向点运动过程中，点运动的路径为线段，点运动的路径长与线段的数量关系为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $