第5讲 圆与扇形面积 精讲提升培优讲义2025- 2026学年沪教版（五四制）六年级数学下册

本讲义聚焦圆与扇形的面积计算，系统梳理圆的面积概念、公式推导（割补法拼接近似长方形）及公式（S=πr²、S=π(d/2)²），延伸至扇形概念、面积公式（S=n/360×πr²、S=1/2lr），构建从基础推导到应用的知识支架。 资料通过推导过程培养抽象能力与几何直观，真题精讲涵盖推导应用、面积变化、阴影计算等题型，如分针扫过面积、圆环面积等实例，提升运算能力与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后巩固助力学生查漏补缺，强化应用意识。

第5讲 圆与扇形的面积 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版六年级下6.2 1.知道圆的面积的概念，了解圆的面积计算公式； 2.学会计算圆的面积，根据圆的面积公式计算其他量； 3.掌握圆的面积公式的应用； 4.知道扇形的概念； 5.掌握圆心角所对扇形面积与圆面积的关系； 6.学会用扇形的面积计算公式进行计算. 知识点一 圆的面积公式的推导 1.圆所占平面的大小叫做圆的面积. 利用割补法把一个圆等分成若干份，然后拼接成一个近似长方形（或三角形或梯形）的图形，再通过求拼接后的图形面积得出圆的面积.根据无限逼近的思想等分的份数越多，那么拼接后的图形越接近圆. 平行四边形的高相当于圆的 半径， 平行四边形的底边相当于圆 周长 的一半． 因为平行四边形的面积＝底×高＝ . 2、圆的面积公式 已知圆的半径r,可得出圆的面积; 若已知圆的直径d，可得出圆的面积. 3、圆的面积与圆的周长之间的关系 若已知圆的周长C，可通过先求出C=2,再用公式求面积. 题型1：圆的面积公式推导 【例1】在推导圆的面积计算公式时，是将一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，如图2所示．（注：本题中的π取3.14） （1）若圆的半径为3cm，则拼成的近似长方形的周长比圆的周长多多少厘米？ （2）若拼成的近似长方形的周长为33.12cm，则圆的半径为多少？ （3）在（2）的条件下，求此圆的面积． 题型2：圆的面积及其变化 【例2】教室里挂钟的分针长20cm，经过半小时后，分针扫过的面积是_______． 【例3】有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积是与大圆面积的比是______． 【例4】周长相等的长方形、正方形和圆，______的面积最大． ☆【举一反三】 1．一张半圆形纸片的面积是6.28平方分米，要剪成这样的半圆形，所需一张长方形纸片的面积至少为（ ） A．8平方分米 B．9平方分米 C．10平方分米 D．12平方分米 2．两圆半径的比为，则两圆的面积比为（ ） A． B． C． D． 3．一个圆的周长增加40％，那么这个圆的面积将增加（ ）％． A．40 B．69 C．96 D．160 题型3：圆环面积计算 【例5】两个同心圆，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米，求圆环的面积．（取3.14） 【例6】一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路，求路面的面积．（取3.14） ☆【举一反三】 如下图，在半径为5米的圆形花坛周 围修一条宽1米的小路，求小路的面积． 题型4：圆的阴影部分面积计算 【例7】如图，正方形的边长是8cm，求图中阴影部分的面积． 【例8】如图，已知小正方形的面积是16平方厘米，则圆的面积是_____平方厘米． 【例9】大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的，是小圆面积的，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（取3.14） 【例10】如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？（取3.14） ☆【举一反三】 1.用一根长为16分米的铁丝围成一个圆，接头处长为0.3分米，这个圆的面积是多少？（取3.14） 2. 图中正方形的边长为2㎝，求下图中阴影部分的面积． 3.两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是_______平方厘米．（取3.14） 4.有5块圆形的花圃它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近． 知识点二 扇形的面积公式 1、扇形 如图，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形.图中的扇形记作扇形OAB,圆心角也叫做扇形的圆心角. 在同一个圆中，弧的长短，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关. 2、扇形的面积公式 扇形面积：所在的圆的面积=扇形的圆心角度数n：360.也就是说，扇形面积是所在圆面积的,于是 推得扇形的面积公式 公式一： 公式在应用时可变形为，即扇形面积与它所在的圆面积之比等于它的圆心角与周角的比. 公式二： 扇形可看作曲边三角形，它的高就是扇形半径，底就是弧长，此时它的面积公式类似于三角形的面积公式. 题型1：扇形面积公式及应用 【例11】草坪上有一个洒水龙头，它最远洒水至30米处，可以作150°的旋转，那么可以被这个龙头洒到水的草坪的面积是（ ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【例12】如图所示，扇形的半径是2厘米，周长是15.7厘米，这个扇形的面积是多少平方厘米？ 【例13】如图，某数学兴趣小组将边长5的的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），求所得的扇形ABD面积． ☆【举一反三】 1.已知扇形的弧长是31.4厘米，半径是10厘米，那么扇形的面积是______平方厘米．（取3.14） 2.一扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍；若它的圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍． 3.一个圆心角为60°的扇形，其面积与一个直径为9的圆相等，求此扇形所在圆的面积．（结果保留） 4.一个圆心角为45°的扇形，它的周长为11.14厘米，求它的面积．（取3.14） 题型2：求阴影部分面积 【例14】如图，已知正方形边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积．（结果保留） 【例15】如图，扇形BAC的面积是半圆ADB面积的倍，那么是______度． 【例16】如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的图形（阴影部分）的面积等于（ ） A． B． C． D． 【例17】如图，在等腰直角三角形ABC中，，，分别以A、B、C为圆心，以为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积为．（结果保留） 【例18】如图，扇形BAC的面积是半圆ADB面积的倍，那么是______度． 【例19】 如图，三角形为任意三角形，三个圆的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．（取3.14） 【例20】如图，的三条边都是6厘米，高AH为5.2厘米，分别以A、B、C三点为圆心，6厘米长为半径画弧，求这三段弧围成的图形的面积．（取3.14） 【例21】如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（取3.14） 【例22】如图，圆的半径是6厘米，阴影部分的面积是平方厘米，求图中三角形的面积． 【例23】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（取3.14） ☆【举一反三】 1．扇形圆心角缩小到原来的一半，半径扩大到原来的4倍，则面积（ ） A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的8倍 C．扩大到原来的16倍 D．缩小到原来的 3. 如图，三角形是等腰直角三角形，图中阴影部分的面积和空白部分的面积相比，（ ） A．阴影部分面积大 B．空白部分面积大 C．阴影部分和空白部分面积相等 D．无法确定 3.（嘉定区期末14）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”那么半径为8的“等边扇形”的面积是________. 4. （浦东四署期末）已知，如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为 . 5. （浦东南片十六校期末）如图，扇形AOB的半径OA=OB=4cm，，分别以OA、OB的中点C、D为圆心，OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积 为 平方厘米. 6.（松江期末16） 如图，三角形ABC是直角三角形，AC长为4cm，BC长 为2cm，以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上，则图中阴影部分的面积为________cm2. 【例题24】有一个著名的希波克拉蒂月牙问题.如图：以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点，（不与A、B重合），以AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形1、2（阴影部分）.已知直径AC为4,直径BC为3,直径AB为5.题型3：拓展延伸（压轴题） （1）分别求出三个半圆的面积（结果保留π）； （2）请你猜测，这两个月牙形的面积与三角形ABC的面积之间有何等量关系，请写出你的猜想，并通过计算说明。 【例25】（卢湾中学期末31）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形． ① 甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ② 乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③ 丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为S甲、S乙和S丙． （1）请你直接写出S甲= ．（结果保留π） （2）请你直接将S甲和S乙的数量关系填在横线上：_________________． （3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得S丙＝_______________．（结果保留π） ※【例26】（闵行区期末27）阅读材料：在房屋建造的过程中，我们常会见到“容积率”这个名词. “容积率”（floor area ratio），是指规划建设用地地面上的建筑物总面积与规划建设用地面积之比，其结果一般用整数或小数表示. 比如一块规划建设用地面积为10000平方米，其中底层总面积为3000平方米，除底层之外其余楼层的总面积为22000平方米，那么这块规划建设用地的“容积率”就是. 居住小区的“容积率”一般不超过5，因为规划建设用地的“容积率”越大，就意味着地面上建筑物的总面积也越大，那么居住的人口也相对越多，会降低居民在小区居住的舒适度. （1）（单选题）下列关于“容积率”的表述，错误的为（ ） A.当规划建设用地面积确定时，地面上的建筑物总面积越大，容积率也越大； B. 当地面上的建筑物总面积确定时，规划建设用地面积越大，容积率也越大； C. 房产开发商希望容积率越大越好，这样可出售的面积也越大，收益也越大； D. 住户希望容积率越小越好，这样绿化、公共设施相对较多，小区环境就好. （2） 某建筑规划建设用地6400平方米，该建筑的底层总面积为2240平方米. 如果该建筑共10层，2至10层每层的建筑面积均为1800平方米，那么该建筑的容积率为多少？（精确到0.01） （3）①某综合养老社区平面设计方案如图所示，阴影部分的面积为该建筑的底层面积，其中正方形AOGD与正方形OBCG的边长均为60米，OE、OF为120米，求该建筑的底层面积. ②若该养老社区规划建设用地面积为25000平方米，容积率为1.2，计划建造5层，且2至5层面积相同. 为让老人居住舒适，平均每个床位需要12平方米的空间，且底层不安排床位，那么该养老社区总共可以安排多少个床位？ 1.（进才北月考6）一个圆的半径为r,圆周长为,面积为; 一个半圆的半径为2r,半圆弧长为,面积为,则以下结论成立的是 ( ) (A) (B) (C) (D) . 2.（闵行区期末5）扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（ ） A.不变； B.扩大为原来的3倍； C.缩小为原来的； D.扩大为原来的9倍. 3.（闵行区期末6）如图，四个圆的半径均为1，A、B、C、D分别为四个圆的圆心，那么阴影部分的面积是（ ） A.； B. ； C. ； D.4. 4．（虹口区期末6）如图1和2，两个圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）不能确定. 5．一个圆形花坛周围围上了一圈栅栏，栅栏长18.84米，又沿栅栏一周砌有一条宽1米的鹅卵石小路．若每平方米约需鹅卵石100颗，则共需鹅卵石（ ） A．1570颗 B．1884颗 C．2198颗 D．2512颗 6.两圆的周长的比为1：2，则两圆的面积比为 . 7．已知圆、正三角形、正方形，三个图形面积一样大，则周长最大的是__________，最小的是__________． 8．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是_______． 9.（闵行区期末25）如图所示，正方形的边长为2，求阴影部分的周长与面积. 10. （浦东四署期末24）如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画扇形，求阴影部分的面积. 11. （川沙中学南校期末23）如图，正方形的边长为4，求图中阴影部分的面积与周长.（保留） 12．下图是一块草地上残留的一段墙角，，米，米，为紧靠在段残墙外侧地面上的一个木桩，米．现木桩上拴有一只白山羊，若这只羊能吃到草的最远距离为8米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（取3.14，结果保留两位小数） 13．如图所示，两个相邻的正方形边长分别是、，求图中阴影部分的面积和周长．（结果保留） 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 圆与扇形的面积 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版六年级下6.2 1.知道圆的面积的概念，了解圆的面积计算公式； 2.学会计算圆的面积，根据圆的面积公式计算其他量； 3.掌握圆的面积公式的应用； 4.知道扇形的概念； 5.掌握圆心角所对扇形面积与圆面积的关系； 6.学会用扇形的面积计算公式进行计算. 知识点一 圆的面积公式的推导 1.圆所占平面的大小叫做圆的面积. 利用割补法把一个圆等分成若干份，然后拼接成一个近似长方形（或三角形或梯形）的图形，再通过求拼接后的图形面积得出圆的面积.根据无限逼近的思想等分的份数越多，那么拼接后的图形越接近圆. 平行四边形的高相当于圆的 半径， 平行四边形的底边相当于圆 周长 的一半． 因为平行四边形的面积＝底×高＝ . 2、圆的面积公式 已知圆的半径r,可得出圆的面积; 若已知圆的直径d，可得出圆的面积. 3、圆的面积与圆的周长之间的关系 若已知圆的周长C，可通过先求出C=2,再用公式求面积. 题型1：圆的面积公式推导 【例1】在推导圆的面积计算公式时，是将一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，如图2所示．（注：本题中的π取3.14） （1）若圆的半径为3cm，则拼成的近似长方形的周长比圆的周长多多少厘米？ （2）若拼成的近似长方形的周长为33.12cm，则圆的半径为多少？ （3）在（2）的条件下，求此圆的面积． 【答案】（1）6cm；（2）4cm；（3）50.24（cm2）． 【分析】 （1）根据圆和长方形的周长公式即可得到即可； （2）设圆的半径为r，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：（1）拼成的近似长方形的周长比圆的周长多3×2＝6cm； （2）设圆的半径为r， 由题意得，2πr+2r＝33.12， 解得：r＝4， 答：圆的半径为4cm； （3）此圆的面积＝3.14×42＝50.24（cm2）． 【点睛】 本题考查了认识平面图形，图形的拼组及圆的面积公式的推导过程． 题型2：圆的面积及其变化 【例2】教室里挂钟的分针长20cm，经过半小时后，分针扫过的面积是_______． 【答案】6.28 【分析】 根据钟面上的特点可知，半小时分针是旋转了180°，正好是经历了一个半圆，扫过的面积就是这个半圆的面积． 【详解】 20cm=2dm 3.14×22÷2， =3.14×4÷2， =6.28（dm2）． 答：分针扫过的面积是6.28dm2． 故答案为：6.28． 【点睛】 本题考查旋转扫过的面积，关键抓住钟面上分针旋转的角度，得出旋转后经历的图形． 【例3】有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积是与大圆面积的比是______． 【难度】★ 【答案】3；9；1:16． 【解析】圆的周长与半径成正比，圆的面积与半径的平方成正比． 【总结】考查圆的面积与圆的周长与圆的半径的关系． 【例4】周长相等的长方形、正方形和圆，______的面积最大． 【难度】★★ 【答案】圆 【解析】在所有周长相等的图形中，圆的面积最大． 【总结】通过周长求面积，考查学生的转换能力． ☆【举一反三】 1．一张半圆形纸片的面积是6.28平方分米，要剪成这样的半圆形，所需一张长方形纸片的面积至少为（ ） A．8平方分米 B．9平方分米 C．10平方分米 D．12平方分米 【答案】A 【分析】 根据半圆形的面积公式：S=，求得半圆形的半径和直径；需要的长方形的长等于半圆的直径，长方形的宽等于半圆的半径，据此求出长方形的长和宽的值，进而利用长方形的面积公式即可求解． 【详解】 ， ， 由于， 所以圆的半径为，直径为4， (平方分米) ， 故选：A． 2．两圆半径的比为，则两圆的面积比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意，可设甲乙两圆的半径分别为2m，3m，然后利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】 解：根据题意， ∵两圆半径的比为， 设甲乙两圆的半径分别为2m，3m， ∴圆的面积比为：； 故选：C． 3．一个圆的周长增加40％，那么这个圆的面积将增加（ ）％． A．40 B．69 C．96 D．160 【答案】C 【分析】 要使圆的周长增加40%，它的半径就增加40%，设原来的半径是1，那么增加后的半径是原来的（1+40%），由此求出增加后的半径；再分别求出原来的面积和增加后的面积，用增加后的面积减去原来的面积再除以原来的面积即可． 【详解】 解：要使圆的周长增加40%，它的半径就增加40%，设原来的半径是1； 原来的面积是：3.14×12=3.14； 后来的半径是： 1×（1+40%）， =1×140%， =1.4； 后来的面积是： 3.14×1.42， =3.14×1.96， =6.1544； （6.1544-3.14）÷3.14， =3.0144÷3.14， =96%； 答：这个圆的面积增加96%． 故选：C． 题型3：圆环面积计算 【例5】两个同心圆，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米，求圆环的面积．（取3.14） 【难度】★★ 【答案】50.24平方厘米． 【解析】圆环的面积为：3.14×（259）= 50.24平方厘米． 【总结】考查圆环的面积的计算． 【例6】一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路，求路面的面积．（取3.14） 【难度】★★ 【答案】138.16平方米． 【解析】圆心水池的半径为：62.8÷3.14÷2=10米，则路面的面积为： 3.14×（144100）= 138.16平方米． 【总结】考查圆环的面积在实际问题中的应用． ☆【举一反三】 如下图，在半径为5米的圆形花坛周 围修一条宽1米的小路，求小路的面积． 【答案】28.26平方米 【分析】 利用圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积，即可完成求解． 【详解】 外圆半径r1为5米，围修一条宽1米的小路 ∴内圆半径r2为4米 圆环的面积为 =πr12-πr22=3.14×5×5-3.14×4×4=78.5-50.24=28.26 ∴小路的面积为28.26平方米． 题型4：圆的阴影部分面积计算 【例7】如图，正方形的边长是8cm，求图中阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为． 【分析】 图中阴影部分的面积是由四个圆与圆的重叠部分形成的，求出图中空白部分的面积，然后把相关数值代入即可求解． 【详解】解：如图： 空白部分的一半： ． ∴阴影部分的面积为：． 答：阴影部分的面积为． 【点睛】 本题考查了圆的面积公式，解题的关键是掌握图中阴影部分图形的构成，从而进行解题． 【例8】如图，已知小正方形的面积是16平方厘米，则圆的面积是_____平方厘米． 【答案】 【分析】 由正方形的面积可知正方形的边长，即圆的半径，进而由圆的面积公式即可求解． 【详解】 解：∵小正方形的面积是16平方厘米， ∴小正方形的边长是4厘米，即圆的半径是4厘米， ∴（平方厘米） 故答案为：． 【点睛】 本题考查正方形的面积和圆的面积公式，解题的关键是利用正方形的面积求得圆的半径． 【例9】大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的，是小圆面积的，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（取3.14） 【难度】★★★ 【答案】7.5厘米． 【解析】由题意，可得：，， 则，设大圆半径为R，则，解得：． 即大圆的半径为7.5厘米． 【总结】本题综合性较强，要根据阴影部分的面积表示出大圆面积和小圆面积的关系，从而 求出大圆的半径． 【例10】如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？（取3.14） 【难度】★★★ 【答案】20.5厘米． 【解析】由图可知，这个长方形的宽等于圆的半径，长方形的面积等于圆的面积， 所以长方形的长等于圆的周长的一半， 故阴影部分的周长=长方形的长×2+长方形的宽圆的半径+×圆的周长 =16.4+16.4÷4=20.5厘米． 【总结】考查不规则图形的周长的计算，注意计算周长是要包含组成图形的所有的线段和弧 长． ☆【举一反三】 1.用一根长为16分米的铁丝围成一个圆，接头处长为0.3分米，这个圆的面积是多少？（取3.14） 【难度】★★ 【答案】19.625平方分米． 【解析】由题意，可得圆的半径为：（16-0.3）÷3.14÷2 = 2.5分米，故这个圆的面积为： 2.5×2.5×3.14 = 19.625平方分米． 【总结】考查圆的面积的计算，注意本题中铁丝的总长度剪出接头处的长度即为圆的周长． 2. 图中正方形的边长为2㎝，求下图中阴影部分的面积． 【答案】0.86平方厘米 【分析】 空白部分的面积围起来刚好是一个半径为1厘米的圆形；利用阴影的面积等于正方形的面积减去空白的面积，从而完成求解． 【详解】 阴影的面积=正方形面积-四个四分之一圆面积 即：阴影的面积=正方形面积 =2×2-3.14×1×1=4-3.14=0．86 ∴阴影部分的面积为0.86平方厘米． 3.两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是_______平方厘米．（取3.14） 【难度】★★ 【答案】1100． 【解析】设大圆的半径为10r，小圆半径为9r，所以大圆面积占两圆面积的，所以 大圆面积为：1991÷181×100=1100平方厘米． 【总结】考查圆的面积的计算 4.有5块圆形的花圃它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近． 【难度】★★ 【答案】直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，直径3米、5米和8米的三个花圃交 给另一个班管理． 【解析】由于面积与半径的平方成正比，故几个花圃面积之比是9:16:25:64:81， 因为16+81=97；9+25+64=98， 所以符合要求， 所以把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，其余交给另一个班管理． 【总结】本题一方面考查圆的面积与半径的关系，另一方面考查圆面积计算的简单应用． 知识点二 扇形的面积公式 1、扇形 如图，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形.图中的扇形记作扇形OAB,圆心角也叫做扇形的圆心角. 在同一个圆中，弧的长短，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关. 2、扇形的面积公式 扇形面积：所在的圆的面积=扇形的圆心角度数n：360.也就是说，扇形面积是所在圆面积的,于是 推得扇形的面积公式 公式一： 公式在应用时可变形为，即扇形面积与它所在的圆面积之比等于它的圆心角与周角的比. 公式二： 扇形可看作曲边三角形，它的高就是扇形半径，底就是弧长，此时它的面积公式类似于三角形的面积公式. 题型1：扇形面积公式及应用 【例11】草坪上有一个洒水龙头，它最远洒水至30米处，可以作150°的旋转，那么可以被这个龙头洒到水的草坪的面积是（ ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】A 【分析】 直接根据扇形面积：即可求解． 【详解】 解：平方米． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查扇形的面积，正确理解扇形面积与所在圆的面积关系是解题关键． 【例12】如图所示，扇形的半径是2厘米，周长是15.7厘米，这个扇形的面积是多少平方厘米？ 【答案】扇形的面积是11.7平方厘米 【分析】 用给的扇形周长减去两个半径，求弧长，这段弧长占圆周的比，用这个比值乘圆的面积来求即可． 【详解】 扇形的弧长=15.7-4=11.7厘米，扇形面积= l r = ×11.7×2=11.7（平方厘米）． 答：扇形的面积是11.7平方厘米． 【点睛】 本题考查已知弧长求面积的方法，关键求出扇形和弧长与圆周长的比例，确定扇形面积占圆面积的比例． 【例13】如图，某数学兴趣小组将边长5的的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），求所得的扇形ABD面积． 【答案】25 【分析】 求BCD弧长，求BCD弧占圆的比，再求面积即可． 【详解】 扇形BCD弧长=2×5=10， ∴扇形BCD弧长：圆周长=10:（10×3.14）=1:3.14， ∴扇形BCD的面积=． 【点睛】 本题考查周长相等的正方形变形为扇形的面积问题，抓住扇形的弧长与圆周长的比是关键． ☆【举一反三】 1.已知扇形的弧长是31.4厘米，半径是10厘米，那么扇形的面积是______平方厘米．（取3.14） 【难度】★ 【答案】157． 【解析】平方厘米． 【总结】考查扇形面积的计算． 2.一扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍；若它的圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍． 【难度】★ 【答案】3，9． 【解析】． 【总结】考查扇形的面积与扇形的圆心角及所在的圆的半径之间的关系． 3.一个圆心角为60°的扇形，其面积与一个直径为9的圆相等，求此扇形所在圆的面积．（结果保留） 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由题意，可得：，解得：， 故此扇形所在圆的面积为：． 【总结】考查扇形面积的计算，注意先根据题目中的条件计算出半径的平方，再求面积． 4.一个圆心角为45°的扇形，它的周长为11.14厘米，求它的面积．（取3.14） 【难度】★★ 【答案】6.28平方厘米． 【解析】设扇形所在圆的半径为r，则由题意可得：， 解得：厘米，故此扇形的面积为：平方厘米． 【总结】本题一方面考查扇形的半径的计算，另一方面考查扇形面积的计算． 题型2：求阴影部分面积 【例14】如图，已知正方形边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积．（结果保留） 【难度】★★ 【答案】． 【解析】． 【总结】本题主要考查形如“树叶”状的图形的面积的计算． 【例15】如图，扇形BAC的面积是半圆ADB面积的倍，那么是______度． 【难度】★★ 【答案】60 【解析】因为半圆的直径为扇形的半径，所以设半圆的半径为r， 则扇形的半径为2r，故由题意，可得： ，解得：．即是60度． 【总结】本题要认真观察，先分析半圆的半径与扇形半径的关系，然后再进行计算． 【例16】如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的图形（阴影部分）的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由正方形面积减去两个半圆面积可得两个空白面积，再将正方形面积将去4个空白面积即得阴影部分面积． 【详解】 解：则，， 由题意得：图中阴影部分的面积， 故选：． 【点睛】 该题主要考查了正方形的面积、圆的面积公式；解题的关键是将阴影部分的面积转化为规则图形的面积和或差． 【例17】如图，在等腰直角三角形ABC中，，，分别以A、B、C为圆心，以为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积为．（结果保留） 【答案】 【分析】 根据图形可知阴影部分的面积等于△ABC的面积减去三个扇形的面积，而三个扇形的半径都相等，且圆心角的度数和正好是△ABC的内角和，因此三个扇形组合起来是个半圆，由此可求出阴影部分的面积． 【详解】 解：由题意得，三个扇形组合起来是个半圆，半径为， =． 故答案为． 【点睛】 本题考查了扇形的面积，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理及三角形的面积．熟练掌握各个知识点是解题的关键． 【例18】如图，扇形BAC的面积是半圆ADB面积的倍，那么是______度． 【难度】★★ 【答案】60 【解析】因为半圆的直径为扇形的半径，所以设半圆的半径为r， 则扇形的半径为2r，故由题意，可得： ，解得：．即是60度． 【总结】本题要认真观察，先分析半圆的半径与扇形半径的关系，然后再进行计算． 【例19】如图，三角形为任意三角形，三个圆的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．（取3.14） 【难度】★★ 【答案】1.57平方厘米． 【解析】由图可知：阴影部分的面积是三个扇形的面积之和， 三个扇形的半径分别为1，圆心角之和为180°， 故阴影部分面积为：180×3.14×1×1÷360=1.57． 【总结】考查阴影部分的面积，本题的关键是求出三个扇形的圆心角之和． 【例20】如图，的三条边都是6厘米，高AH为5.2厘米，分别以A、B、C三点为圆心，6厘米长为半径画弧，求这三段弧围成的图形的面积．（取3.14） 【难度】★★ 【答案】25.32平方厘米． 【解析】一个小扇形的面积是：60×3.14×6×6÷360=18.84平方厘米， 等边三角形的面积为：6×5.2÷2=15.6（平方厘米）， 所以这三段弧所围成的图形的面积是： 18.84×315.6×2=56.5231.2=25.32（平方厘米） 【总结】本题主要是利用割补法将不规则图形的面积问题转化为规则图形的面积计算． 【例21】如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（取3.14） 【难度】★★ 【答案】48.125． 【解析】． 【总结】本题中阴影部分的面积等于大扇形的面积减去长方形的面积再加上小扇形的面积． 【例22】如图，圆的半径是6厘米，阴影部分的面积是平方厘米，求图中三角形的面积． 【难度】★★★ 【答案】18平方厘米． 【解析】圆的面积为：， 空白部分的扇形的面积为：， 设空白部分的扇形的圆心角为，则， 解得 =，所以空白部分的三角形是等腰直角三角形， 故面积为6×6×0.5=18平方厘米． 【总结】本题主要是根据扇形的面积公式求出圆心角的度数，从而求出三角形的面积． 【例23】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（取3.14） 【难度】★★★ 【答案】175.84平方米． 【解析】根据图可知：大扇形的圆心角为36060=300度， 小扇形的圆心角为：18060=120度， 故总面积为：平方米． 【总结】本题中要注意小狗活动的范围包含了三个扇形． ☆【举一反三】 1．扇形圆心角缩小到原来的一半，半径扩大到原来的4倍，则面积（ ） A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的8倍 C．扩大到原来的16倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】 根据扇形的面积公式分析即可得出答案． 【详解】 ∵，圆心角缩小到原来的一半，半径扩大到原来的4倍， ∴后来的扇形的面积为， ∴面积扩大到原来的8倍， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 3. 如图，三角形是等腰直角三角形，图中阴影部分的面积和空白部分的面积相比，（ ） A．阴影部分面积大 B．空白部分面积大 C．阴影部分和空白部分面积相等 D．无法确定 【答案】B 【分析】 如解图所示，由圆的对称性可知，图形①的面积=图形②的面积，从而可得S阴影= S△BCD，然后根据等底同高的两个三角形的面积相等即可得出结论． 【详解】 解：连接BD，如下图所示， 由圆的对称性可知，图形①的面积=图形②的面积 则S阴影= S△BCD 由AD=CD，设△ABC的边AC上的高为h 则S△ABD=AD·h=CD·h= S△BCD 则S空白＞S△ABD=S△BCD= S阴影 所以空白部分面积大 故选B． 【点睛】 此题考查的是比较不规则图形的面积的大小，掌握圆的对称性和等底同高的两个三角形的面积是解题关键． 3.（嘉定区期末14）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”那么半径为8的“等边扇形”的面积是________. 【答案】32； 【解析】解：依题，此扇形中. 4. （浦东四署期末18）已知，如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为 . 【答案】1.14； 【解析】解：= =. 5. （浦东南片十六校期末18）如图，扇形AOB的半径OA=OB=4cm，，分别以OA、OB的中点C、D为圆心，OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积 为 平方厘米. 【答案】4.56； 【解析】解：如图所示，= =. 6.（松江期末16） 如图，三角形ABC是直角三角形，AC长为4cm，BC长 为2cm，以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上，则图中阴影部分的面积为________cm2. 【答案】3.85； 【解析】解：观察图形可知，== =3.85. 【例题24】有一个著名的希波克拉蒂月牙问题.如图：以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点，（不与A、B重合），以AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形1、2（阴影部分）.已知直径AC为4,直径BC为3,直径AB为5.题型3：拓展延伸（压轴题） （1）分别求出三个半圆的面积（结果保留π）； （2）请你猜测，这两个月牙形的面积与三角形ABC的面积之间有何等量关系，请写出你的猜想，并通过计算说明。 【答案与解析】解：以AB为直径的半圆：；以AC为直径的半圆：；以BC为直径的半圆：；（2）两个月牙形的面积之和等于三角形ABC的面积（或）. ，， ，所以 【例25】（卢湾中学期末31）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为4的正方形． ① 甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ② 乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③ 丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为S甲、S乙和S丙． （1）请你直接写出S甲= ．（结果保留π） （2）请你直接将S甲和S乙的数量关系填在横线上：_________________． （3）由题（2）中面积的数量关系，可直接求得S丙＝_______________．（结果保留π） 【答案】（1）S甲＝;（2）S甲＝2 S乙;（3）S丙＝. 【解析】解：（1）S甲＝ ＝;（2），所以S甲＝2 S乙;（3）S丙＝. ※【例26】（闵行区期末27）阅读材料：在房屋建造的过程中，我们常会见到“容积率”这个名词. “容积率”（floor area ratio），是指规划建设用地地面上的建筑物总面积与规划建设用地面积之比，其结果一般用整数或小数表示. 比如一块规划建设用地面积为10000平方米，其中底层总面积为3000平方米，除底层之外其余楼层的总面积为22000平方米，那么这块规划建设用地的“容积率”就是. 居住小区的“容积率”一般不超过5，因为规划建设用地的“容积率”越大，就意味着地面上建筑物的总面积也越大，那么居住的人口也相对越多，会降低居民在小区居住的舒适度. （1）（单选题）下列关于“容积率”的表述，错误的为（ ） A.当规划建设用地面积确定时，地面上的建筑物总面积越大，容积率也越大； B. 当地面上的建筑物总面积确定时，规划建设用地面积越大，容积率也越大； C. 房产开发商希望容积率越大越好，这样可出售的面积也越大，收益也越大； D. 住户希望容积率越小越好，这样绿化、公共设施相对较多，小区环境就好. （2）某建筑规划建设用地6400平方米，该建筑的底层总面积为2240平方米. 如果该建筑共10层，2至10层每层的建筑面积均为1800平方米，那么该建筑的容积率为多少？（精确到0.01） （3）①某综合养老社区平面设计方案如图所示，阴影部分的面积为该建筑的底层面积，其中正方形AOGD与正方形OBCG的边长均为60米，OE、OF为120米，求该建筑的底层面积. ②若该养老社区规划建设用地面积为25000平方米，容积率为1.2，计划建造5层，且2至5层面积相同. 为让老人居住舒适，平均每个床位需要12平方米的空间，且底层不安排床位，那么该养老社区总共可以安排多少个床位？ 【答案】（1）B；（2）2.88；（3）①11808平方米；②1516个； 【解析】解：（1）B；（2）125≈2.88；（3）①（平方米）；（平方米）；所以（平方米）；答：该建筑的底层面积为11808平方米；②1.2×25000=30000平方米；个；答：该养老社区共可以安排1516个床位. 1.（进才北月考6）一个圆的半径为r,圆周长为,面积为; 一个半圆的半径为2r,半圆弧长为,面积为,则以下结论成立的是 ( ) (A) (B) (C) (D) . 【答案】A； 【解析】解：根据题意，，因此，故B错误；A正确；又，，故，因此C、D均错误；所以答案选A. 2.（闵行区期末5）扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（ ） A.不变； B.扩大为原来的3倍； C.缩小为原来的； D.扩大为原来的9倍. 【答案】A； 【解析】解：设原扇形面积为，则，故不变，选A. 3.（闵行区期末6）如图，四个圆的半径均为1，A、B、C、D分别为四个圆的圆心，那么阴影部分的面积是（ ） A.； B. ； C. ； D.4. 【答案】D； 【解析】解：根据题意，得，故答案选D. 4．（虹口区期末6）如图1和2，两个圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）不能确定. 【答案】A； 【解析】解：设两圆的半径为r，如图1，，如图2， ，因为，所以，因此答案选A. 5．一个圆形花坛周围围上了一圈栅栏，栅栏长18.84米，又沿栅栏一周砌有一条宽1米的鹅卵石小路．若每平方米约需鹅卵石100颗，则共需鹅卵石（ ） A．1570颗 B．1884颗 C．2198颗 D．2512颗 【答案】C 【分析】 由题意知，要求这条小路的面积就是求圆环的面积，已知内圆的周长是18.84米，利用C=2πr可求得内圆半径，用内圆半径加上环宽1米就是外圆半径，再利用S圆环=π(R2-r2)求得环形的面积，最后再乘以100即可． 【详解】 内圆半径：18.84÷3.14÷2=3（米）， 外圆半径：3+1=4（米）； 小路的面积：3.14×(42-32) =3.14×(25-9) =3.14×7 =21.98（平方米）； 则共需鹅卵石：(颗) ． 答：共需鹅卵石颗． 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆环的面积公式的灵活应用，解答关键是把实际问题转化成数学问题中，再把对应的数据代入圆环公式计算即可．解答此题要注意：求圆环的面积要先知道内、外圆的半径，再用外圆面积减去内圆面积． 6.两圆的周长的比为1：2，则两圆的面积比为 . 【答案】1:4； 【解析】解：因为两圆周长之比为1：2即，所以两圆的面积之比为： . 7．已知圆、正三角形、正方形，三个图形面积一样大，则周长最大的是__________，最小的是__________． 【答案】正三角形 圆 【分析】 方法一：设三个图形的面积为，先分别根据圆、正三角形、正方形的面积公式求出圆的半径、正三角形的边长、正方形的边长，再分别求出它们的周长的平方，然后进行大小比较即可得；方法二：根据“面积相等时，形状越不接近圆，周长越大”即可得． 【详解】 方法一：设三个图形面积为，圆的半径为，正三角形的边长为，正方形的边长为， 则，，， 解得，， 则圆的周长的平方为， 正三角形的周长的平方为， 正方形的周长的平方为， 因为， 所以周长最大的是正三角形，最小的是圆； 方法二：因为面积相等时，形状越不接近圆，周长越大， 所以周长最大的是正三角形，最小的是圆， 故答案为：正三角形，圆． 8．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是_______． 【答案】0.86 【分析】 图形纸片“不能接触到的部分”的面积就是小正方形的面积与扇形的面积的差，再乘以4即可得解． 【详解】 如图所示小正方形的面积是：； 当圆运动到正方形的一个角时，形成扇形，它的面积为； 所以这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是：． 故答案为0.86． 【点睛】 本题主要考查不规则图形的面积，关键是根据题意及割补法进行求解． 9.（闵行区期末25）如图所示，正方形的边长为2，求阴影部分的周长与面积. 【答案】周长6.71；面积0.645； 【解析】解：（1）；；；所以；（2），； ，，所以. 10. （浦东四署期末24）如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画扇形，求阴影部分的面积. 【答案】； 【解析】解：因为正方形ABCD的边长为1，所以扇形的半径分别1、2、3、4，圆心角为，所以==. 11. （川沙中学南校期末23）如图，正方形的边长为4，求图中阴影部分的面积与周长.（保留） 【答案】16；； 【解析】解：由题意，得=； .答：阴影部分的面积是16，周长是. 12．下图是一块草地上残留的一段墙角，，米，米，为紧靠在段残墙外侧地面上的一个木桩，米．现木桩上拴有一只白山羊，若这只羊能吃到草的最远距离为8米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（取3.14，结果保留两位小数） 【答案】159.36平方米 【分析】 根据题意，这只羊吃到草的区域是半径为8米的半圆（红色部分），以及半径是米的半圆（蓝色部分），以及半径是米的四分之一圆（黄色部分），根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】 解：这只羊吃到草的区域是半径为8米的半圆（红色部分），以及半径是米的半圆（蓝色部分），以及半径是米的四分之一圆（黄色部分）， 所以这只羊能吃到草的面积为： （平方米）． 【点睛】 本题考查扇形的面积，明确羊能够吃到草的面积是哪几个部分是解题的关键． 13．如图所示，两个相邻的正方形边长分别是、，求图中阴影部分的面积和周长．（结果保留） 【答案】阴影部分的面积是平方厘米，周长是厘米． 【分析】 根据题意，阴影部分的面积等于以8厘米为半径的圆的面积减去以为半径的圆的面积再加上小正方形的面积减去以6为半径的圆的面积即可；阴影部分的周长等于以8厘米为半径的圆的周长加上以为半径的圆的周长再加上以6厘米为半径的圆的周长再加上两条6厘米的边即可得到答案． 【详解】 解：阴影部分的面积为： ， ， （平方厘米）， 阴影部分的周长为： ， ， （厘米）， 答：阴影部分的面积是平方厘米，周长是厘米． 【点睛】 本题考查不规则图形的周长和面积，掌握扇形的周长和面积求解方法是解题的关键． 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $