专题09 导数与函数恒成立问题、能成立问题5类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题09 导数与函数恒成立问题、能成立问题5类题型归类 目录 典例详解 类型一、利用导数研究函数恒成立求参数问题：参变分离 类型二、利用导数研究函数恒成立求参数问题：构造函数分类讨论单调性 类型三、利用导数研究函数能成立求参数问题 类型四、利用导数证明不等式恒成立问题 类型五、利用导数研究双变量问题 压轴专练 类型一、利用导数研究函数恒成立求参数问题：参变分离 【知识归纳】 1.与不等式恒成立问题有关的结论 （1）,均有恒成立,则. （2）,均有恒成立,则. （3）,均有恒成立,令，则. （4）,均有恒成立, 令，则. （5）, ,均有恒成立,则. （6）, ,均有恒成立,则. 2.通过分类参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值 形如不等式，，参变分离得，令，讨论的最值即可. 3.使用参变分离的要求 （1）参数与变量可以比较容易地分离开． （2）分离参数后得到的函数的形式不复杂，通过导数来研究单调性，极值以及最值比较容易． （3）分离参数后得到的函数的值域容易算，不会出现必须使用洛必达法则才能解决问题的情形． 例1.已知函数. (1)若，，求函数的单调区间及极值； (2)若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围. 【变式1-1】已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【变式1-2】设函数，曲线恒与轴相切于坐标原点． (1)求常数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； 【变式1-3】设函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数有唯一零点，求实数的值； (3)若对于，都有，求实数的取值范围. 【变式1-4】已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【变式1-5】已知. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若，都有，求实数的取值范围. 类型二、利用导数研究函数恒成立求参数问题：构造函数分类讨论单调性 【知识归纳】 1.构造函数求参数范围的步骤 （1）构造辅助函数 形如不等式恒成立，求参数的范围，可构造辅助函数. 此时恒成立转化为恒成立求参数范围. （2）求导分析单调性：分类讨论含参的函数的单调性. （3）寻找函数最值：根据函数的单调性，求出符合题目要求的最值点. （4）结论转化 将回代，恒成立转化为恒成立，解不等式得参数范围 例2.已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； 【变式2-1】已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在R上的单调性； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围. 【变式2-2】已知函数，函数， (1)若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【变式2-3】已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 【变式2-4】已知函数. (1)求的极小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集. 【变式2-5】已知函数在处取得极值． (1)求的值； (2)若对任意，都有成立，（其中是函数的导函数），求实数的取值范围． 类型三、利用导数研究函数能成立求参数问题 例3.已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 【变式3-1】已知函数， (1)若是的极小值点，求a； (2)若存在，使，求a的取值范围. 【变式3-2】已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 【变式3-3】已知函数． (1)当时，讨论函数在内的单调性； (2)若存在，使得，求的取值范围． 类型四、利用导数证明不等式恒成立问题 例4.已知函数,且恒成立. (1)求实数； (2)证明：当时，． 【变式4-1】已知函数 (1)若，求实数的值； (2)证明： 【变式4-2】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)利用（2）的结论证明：． 【变式4-3】已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)对一切，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切，有成立． 【变式4-4】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 【变式4-5】设函数. (1)若对，成立，求实数a的取值范围； (2)（ⅰ）当时，比较与的大小； （ⅱ）证明；当，时，. 类型五、利用导数研究双变量问题 【知识归纳】 含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及两个不同的变量，处理此类问题的步骤：（1）转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式；（2）巧妙构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而证明不等式． 与和相关的常见同构模型 ①，构造函数（或，构造函数）； ②，构造函数（或，构造函数）； ③，构造函数（或，构造函数）． 例5.已知函数，，. (1)讨论的单调性; (2)若与有相同的最小值，求实数的值; (3)设是的两个不同的极值点，判断与的大小，并证明你的结论. 【变式5-1】已知函数，若函数有两个零点，，求证：. 【变式5-2】已知函数.若存在，，使得.证明：. 【变式5-3】已知函数. (1)当，时，求证：； (2)当时， （ⅰ）求在上的所有极大值点之和； （ⅱ）若在上有两个实根，，比较与的大小关系. 一、单选题 1．对，，都有恒成立，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知，函数，若存在值，使得对任意成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．在上不是增函数 B．若关于的方程有两个不相等的实根，，且，则 C．若（），且，则的最大值为 D．若，，不等式恒成立，则的取值范围为 5．已知函数，则下列说法中正确的有（   ） A．若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是 B．，都存在极大值 C．，使得恒成立 D．当时，若方程有两个不同实根，，则 6．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数有且只有一个零点 B．若，则 C．若有两个极值点，则 D．若在上恒成立，则 三、填空题 7．已知函数，若不等式对任意恒成立，则正数的取值范围为 . 8．已知，，且恒成立，则的最大值为 . 9．若对，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为 四、解答题 10．已知函数. (1)若， （i）求函数的单调区间； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 11．已知，，． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围． 12．设函数，． (1)求证：当时，； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 13．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明不等式恒成立． 14．已知函数． (1)当时，讨论函数的极值； (2)已知，函数存在两个极值点，，证明：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 导数与函数恒成立问题、能成立问题5类题型归类 目录 典例详解 类型一、利用导数研究函数恒成立求参数问题：参变分离 类型二、利用导数研究函数恒成立求参数问题：构造函数分类讨论单调性 类型三、利用导数研究函数能成立求参数问题 类型四、利用导数证明不等式恒成立问题 类型五、利用导数研究双变量问题 压轴专练 类型一、利用导数研究函数恒成立求参数问题：参变分离 【知识归纳】 1.与不等式恒成立问题有关的结论 （1）,均有恒成立,则. （2）,均有恒成立,则. （3）,均有恒成立,令，则. （4）,均有恒成立, 令，则. （5）, ,均有恒成立,则. （6）, ,均有恒成立,则. 2.通过分类参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值 形如不等式，，参变分离得，令，讨论的最值即可. 3.使用参变分离的要求 （1）参数与变量可以比较容易地分离开． （2）分离参数后得到的函数的形式不复杂，通过导数来研究单调性，极值以及最值比较容易． （3）分离参数后得到的函数的值域容易算，不会出现必须使用洛必达法则才能解决问题的情形． 例1.已知函数. (1)若，，求函数的单调区间及极值； (2)若，，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是，极大值为，无极小值； (2) 【详解】（1）当，时，，函数的定义域为，      所以，令，得，      当时，，在上是增函数；      当时，，在上是减函数，      所以的极大值为，无极小值，      所以函数的单调增区间是，单调减区间是， 极大值为，无极小值； （2）由，，得，则，故，     由，可得，      又∵，由上式可得在上恒成立，     令，可得，      令，解得，      当时，，在上是减函数；     当时，，在上是增函数，      ∴，所以，     故实数b的取值范围是. 【变式1-1】已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. 【变式1-2】设函数，曲线恒与轴相切于坐标原点． (1)求常数的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意， 由得，. （2）当时，，满足要求， 由（1）得， 当时，分离变量可得， 令，则， 令，， 则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，故， 所以在上恒成立，故在上单调递减， 故，故， 两边平方得，故在恒成立， 故在上单调递增， 故要使恒成立只需证明即可，当时，属于类型， 由洛必达法则得， ， 故，实数a的取值范围是. 【变式1-3】设函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数有唯一零点，求实数的值； (3)若对于，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）时，，， ，， 故在点处的切线方程为，即； （2）当时，，定义域为R， 则， ， 所以，故关于对称， 函数有唯一零点，则有， 即，解得， 验证，当时，， 令，则， 因为定义域为R，且， 所以为偶函数，且， ， 当时，，故恒成立， 当时，，故恒成立， 故当时，，在上单调递增，故， 当时，由对称性可知，， 综上，此时有唯一零点0，所以有唯一零点， 所以； （3）对于，都有， 则，即在上恒成立， 令，，则， 则， 令，，则在恒成立， 故在上单调递增，故， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，实数的取值范围为. 【变式1-4】已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故 . 【变式1-5】已知. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，则，. ，所以切点坐标为，切线斜率为， 曲线在点处的切线方程为. 化简可得：. （2）若，都有，即， 即在上恒成立，令，， 由题意，只需当时，即可， 令， 因为当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， ，. 综上所述，实数的取值范围是. 类型二、利用导数研究函数恒成立求参数问题：构造函数分类讨论单调性 【知识归纳】 1.构造函数求参数范围的步骤 （1）构造辅助函数 形如不等式恒成立，求参数的范围，可构造辅助函数. 此时恒成立转化为恒成立求参数范围. （2）求导分析单调性：分类讨论含参的函数的单调性. （3）寻找函数最值：根据函数的单调性，求出符合题目要求的最值点. （4）结论转化 将回代，恒成立转化为恒成立，解不等式得参数范围 例2.已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，, 则函数在单调递减 即． （2） ①当时，在上单调递减， 即，故原不等式不成立． ②当时，因为，所以， 即，显然原不等式成立． ③当时，存在，使得， 当在单调递增， 当在单调递减， 即， 由题意，可知，解得 综上所述：． 【变式2-1】已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在R上的单调性； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1). (2)答案见解析； (3) 【详解】（1）当时，函数，求导可得， 则有, 则在处的切线方程为，即. （2）易知， 当时，，故恒成立，在上单调递增； 当时，令，解得, 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可知时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）不等式即为， 即对任意的恒成立， 设，易知， 令， 则，因为，所以, 因此，因此在上单调递增； 又， 当时，即时，，即在上恒成立， 因此在上单调递增，所以恒成立，满足题意； 当时，，由可得； 此时， 易知当时，， 即在上单调递减，所以存在，这与对任意的恒成立矛盾， 综上可得的取值范围为. 【变式2-2】已知函数，函数， (1)若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意得的定义域为， 因为，所以， 所以切线方程为， 则， 令， 化简得， 则，令，， 令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 所以是极小值点也是最小值点，得到， 即成立，可得， 故得证. （2）因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 则在上恒成立， 令，且满足题意， 而， 令， 则，令， 则， 则在上是增函数，即在上单调递增， 得到，当时，， 此时在上单调递增，即在上单调递增， 则，可得在上单调递增， 得到恒成立，原不等式恒成立， 当时，则， 又， 得到， 则由零点存在性定理得，存在，使得， 当时，，此时在上单调递减， 即在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 即在上单调递增，而， 则当时，，此时在上单调递减， 可得，不合题意， 综上，的取值范围是. 【变式2-3】已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【详解】（1）由题意得， ①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减； ②当时，令，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 若恒成立，则有， ①若，即时，则在上单调递减，则， 由得，此时前后矛盾，故舍； ②若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 则， 由得，解得， 综上所述，的取值范围是. 【变式2-4】已知函数. (1)求的极小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数定义域为，求导得； 令，得到 ； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因此，在 处取得极小值. （2）当时，恒成立，即恒成立； 令，则， 令，得到. 当，即时，在上， 函数单调递增，满足条件； 当，即时，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在处有最小值； 令，则，所以在上单调递减； ，即，不满足条件； 综上所述，实数的取值范围是. （3）不等式即，设，得到； 令，得到，且 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， 所以当时，，当时，，当时，； 故不等式的解集为. 【变式2-5】已知函数在处取得极值． (1)求的值； (2)若对任意，都有成立，（其中是函数的导函数），求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题设可得，在处取得极值， 所以，即，解得，， 经检验知，，满足题设条件． （2）由（1）得，， 在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 则，，， 则 ①当，即时，， ，在上单调递增， ，即当时，满足题设条件． ②当，即时， 设，是方程的两个实根，且， 由可知， 由题设可知，当且仅当，即，即，即时， 对任意的有，即在上恒成立， 在上单调递增，，时，也满足条件， 综上，的取值范围为. 类型三、利用导数研究函数能成立求参数问题 例3.已知函数，若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】 【详解】由题意得有解，即在时有解. 令，则    若，则，则，符合题意； 若，即，则，不符合题意；     若，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得.               综上，的取值范围为. 【变式3-1】已知函数， (1)若是的极小值点，求a； (2)若存在，使，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且是极值点， 所以，即，得，此时， 由得；得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是极小值点， 综上，； （2）原命题的否定为，，， 假设其为真命题，则，解得， 下面证明：时，在恒成立， 因为， 令，则， 由得；得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即证. 所以当命题，使得为真命题时，， 故a的取值范围为 【变式3-2】已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； (2) 【详解】（1）定义域为R，， 令得或，令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）等价于在有解， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 其中，，， ，故， 在有解，故. 【变式3-3】已知函数． (1)当时，讨论函数在内的单调性； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)函数在内单调递增，在内单调递减 (2) 【详解】（1）当时，，则． 当时，令得， 故当时，单调递增；当时，单调递减， 所以在内单调递增，在内单调递减． （2）时，由，即，得． 令，则． 当时，因为，所以， 此时，不满足题意； 当时，， 故在内单调递增，所以，不满足题意； 当时，令， 则，故在内单调递增． 又，，故存在使得， 且当时，，即在上单调递减，，满足题意． 综上，的取值范围是. 类型四、利用导数证明不等式恒成立问题 例4.已知函数,且恒成立. (1)求实数； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）∵，∴恒成立， ∴，所以， ∵，∴，∴， 当时，， ∴时，，单调递减，时，，单调递增， ∴，∴恒成立， 所以． （2）由（1）知对任意实数有，令（）， 则，即，故， 要证明，即证明， 由，可得， 因此只需证明当时，即可. 令函数， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以当时，， 即当时，． 【变式4-1】已知函数 (1)若，求实数的值； (2)证明： 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知函数的定义域为． ， 令，则对任意恒成立， 令，则． 令，得；令，得．     ∴函数在上单调递减，在上单调递增． ，即，当且仅当时，等号成立． 当时，，由，得． 当时，，由，得． 当时，不等式恒成立． 综上，实数的值为1； （2）由（1）知，当时，， 即． 要证明， 对两边同乘得 只需证明，即证， 令， 则． 易知当时，单调递增， ， 在上单调递减，． 当时，且，所以， 故对任意，都有， ，故原不等式成立． 【变式4-2】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)利用（2）的结论证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，，令， 依题意，，恒成立， 求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以. （3）由（2）知，，即，当且仅当时取等号， 则当时，，，…，， 因此， 所以原不等式成立. 【变式4-3】已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)对一切，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切，有成立． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1），∴ 所以，所以函数在处的切线方程为. （2）因为在上恒成立，∴恒成立， 令，则， 由，得，，时，； 时，．∴时，．∴． ∴实数的取值范围是． （3）对一切，都有成立， ∴，∴， 由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到． 设，则， ∵时，，时，，∴， 从而对一切，成立． 【变式4-4】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)函数在区间单调递减，在区间单调递增 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 所以当时，；当时，． 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增． （2）因为，所以当时，，由（1）知， 当时，． 又当时，，， 所以，即．所以在区间单调递减， 所以，不符合题意．综上，的取值范围是． （3）由（1）知，当时，函数在区间单调递增， 所以当时，， 即，所以当时，． 当时，，则有． 令，求导得，当时，； 当时，，所以， 所以，所以，所以． 所以．记， 所以． 所以．综上，原不等式成立． 【变式4-5】设函数. (1)若对，成立，求实数a的取值范围； (2)（ⅰ）当时，比较与的大小； （ⅱ）证明；当，时，. 【答案】(1) (2)（ⅰ）当时，；（ⅱ）证明见详解 【详解】（1）因为，则， 若对，成立，注意到， 则，解得， 若，则， 可知在内单调递减，则，即符合题意； 综上所述：实数a的取值范围为. （2）（ⅰ）设，，则， 令，，则， 可知在区间上单调递减，则， 即，可知在区间上单调递减， 则，所以当时，； （ⅱ）由（1）可知：当时，，等价于， 当，时，可得， 又因为当时，，可得， 则， 即， 则， 所以当，时，. 类型五、利用导数研究双变量问题 【知识归纳】 含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及两个不同的变量，处理此类问题的步骤：（1）转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式；（2）巧妙构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而证明不等式． 与和相关的常见同构模型 ①，构造函数（或，构造函数）； ②，构造函数（或，构造函数）； ③，构造函数（或，构造函数）． 例5.已知函数，，. (1)讨论的单调性; (2)若与有相同的最小值，求实数的值; (3)设是的两个不同的极值点，判断与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1)当时，是增函数；当时，单调在上单调递减；在上单调递增. (2). (3)，证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为. . 因为恒成立，所以当时，恒成立，是增函数； 当时，令，得. 因为是增函数，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，是增函数； 当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）由（1）得，当时，是增函数，无最小值； 当时，单调在上单调递减；在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为. ，定义域为. . 当时，恒成立，是减函数，无最小值； 当时，令，得. 因为是增函数，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 因为与有相同的最小值，所以，即. 令，则. 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得最大值，最大值为. 所以是减函数. 因为，所以方程有唯一实数根. 所以. （3），证明如下： 函数的定义域为. . 设是的两个不同的极值点，则是方程，即的两个不同实根. 即，所以. 令，则. 令，则. 令，则. 因为，所以恒成立，所以为增函数. 所以，即，所以为增函数，所以. 因为，所以，即. 即. 【变式5-1】已知函数，若函数有两个零点，，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】设， 代入得， 两式相减并整理得：， 又由两式相加得并整理得：， 则，. 设，则，单调递增， 则当时，，即， 代入即，则， 则, 则， 则， 设，则单调递增，且， 则. 【变式5-2】已知函数.若存在，，使得.证明：. 【答案】证明见解析 【详解】由函数，可得，， 设，由，可得，则， 令，则， 所以函数在上单调递增，故， 由，得，即， ，即，整理得， ， 故，得证! 【变式5-3】已知函数. (1)当，时，求证：； (2)当时， （ⅰ）求在上的所有极大值点之和； （ⅱ）若在上有两个实根，，比较与的大小关系. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）当，时，，要证，即证：. 设，则，∴在上单调递减， ∵，∴，即，∴得证. （2）（ⅰ）当时，， . 当时，由得或， 解得，，，，或， 当，，，时，， ∴在，，，上单调递增； 当，，时，， ∴在，，上单调递减. ∴当时，的极大值点为，，，所以极大值点的和为. （ⅱ），证明如下： ∵的定义域为，且， ∴为奇函数，由（ⅰ）知是周期为的周期函数， ∴易知在上单调递减，在上单调递增， ∴是的极小值点. 设，∴，，∴， 要证，只需证，即证， ∴，∴只需证. 令，其中， ∴ ， ∵，∴，， ∴，，∴， ∴在上单调递增， ∵，∴，∴， ∴，所以得证. 一、单选题 1．对，，都有恒成立，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】，， 设， ，恒成立， 是的一次函数或常函数， 要使在内恒成立， 则需满足， 的解为， ， ， ，， ，， 设，， ，，， 在上是单调递增函数， ， 的解为， 又，，的最大值为. ，的最大值为. 故选：B. 2．已知，函数，若存在值，使得对任意成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 令，， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，， 当时，，画出大致图像如下：   当时，与仅有一个交点， 令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； ，此时，， ， ， ， 令，， 若存在a，使得对任意成立， 等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，故， 实数b的取值范围，的最小值为. 故选：D 3．已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原不等式等价于， 设，，所以，得． 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，取极大值. 又，且时，， 因此与的图象如下，直线恒过点. 当时，显然不满足条件； 当时，只需要满足，即，解得． 故选：D. 二、多选题 4．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．在上不是增函数 B．若关于的方程有两个不相等的实根，，且，则 C．若（），且，则的最大值为 D．若，，不等式恒成立，则的取值范围为 【答案】ACD 【详解】因为，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且； 又因为的定义域，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且. 对于选项A：因为，则， 所以在上不是增函数，故A正确； 对于选项B：因为关于的方程有两个不相等的实根，， 可知，，且， 整理可得，即， 结合对数不等式，可得，即， 所以，故B错误； 对于选项C：若（），且， 由图象可知：， 则，即，可得， 且，即，可得， 又因为， 且，，在内单调递增，可得， 则， 构建，，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则，所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且，可得， 又因为在内单调递增，可得，则， 构建，，则， 因为，可知： 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，且. 可得，所以的取值范围为，故D正确； 故选：ACD 5．已知函数，则下列说法中正确的有（   ） A．若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是 B．，都存在极大值 C．，使得恒成立 D．当时，若方程有两个不同实根，，则 【答案】BCD 【详解】选项A，，若在上存在单调递增区间， 则在上有解，即，，，， ，令，则，所以在上单调递减， 在[1，e]上的最大值为，最小值为, 要使在上有解，只需的最大值，即.因此A错误； 选项B，由选项A可知，令，则当时，， 单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为， 因为，所以必有唯一的解.当时，当时，. 故是的极大值点，对任意，都存在极大值，因此B正确： 选项C，要使对所有的恒成立， 当时，，需，即，成立；当时，，需， 即，当时，满足条件,取显然成立，因此C正确； 选项D，当时，，,,,, 所以在原点处的切线为,在处的切线为, 设直线与两条切线的交点横坐标是,联立方程和, 可得,,由图可知,因此D正确.    故选：BCD 6．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数有且只有一个零点 B．若，则 C．若有两个极值点，则 D．若在上恒成立，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由已知有：当时，，当时，，又， 根据零点存在定理得函数有且只有一个零点，故A正确； 对于B，令，所以，由，得， 所以在单调递增，即在不单调，故B错误； 对于C，由，所以， 令，所以， 令，所以， 令，所以，由， 所以在单调递增，在单调递减，所以， 作出函数的函数图像： 由图可知：，即，故C正确； 对于D，由在上恒成立，所以， 令，即在上恒成立，即， 又，令，即， 由， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 7．已知函数，若不等式对任意恒成立，则正数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由可得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 故对于，不等式成立的充要条件为； 令，则不等式对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 即，即； 令，，则，在上单调递增， 故须大于等于在上的上确界，即； 令，，则，在上单调递减， 故须小于等于在上的下确界，即； 综上，可得正数的值范围为. 故答案为： 8．已知，，且恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【详解】令，因为恒成立， 所以恒成立， 对求导得：， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，，不满足； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以， 即； 则， 令， 则， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 即的最大值为. 故答案为： 9．若对，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为 【答案】 【详解】，不等式恒成立， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，所以实数的最小值为. 故答案为： 四、解答题 10．已知函数. (1)若， （i）求函数的单调区间； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)（i）单调递增区间为，单调递减区间为；（ii）证明见解析 (2) 【详解】（1）（i）函数的定义域为， 当时，， 则，令，得；令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （ii）因为， 令，则， 当时，所以，所以即在区间上单调递减， 故对任意，都有，所以在区间上单调递增， 又， 所以在区间上有且只有一个零点． （2）由对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，则， 所以，令， 则， 当时，对任意，则， 所以在上单调递减，所以，满足题意； 当时，在区间上恒成立，所以在区间上单调递减， 又， ①当，即时，恒成立， 所以在区间上单调递减，所以，满足题意； ②当且，即时， 由零点存在性定理知，，使得． 当时，，所以在上单调递增，所以，不满足题意； ③当，即时， 对任意单调递增，所以，不满足题意． 综上，实数的取值范围为． 11．已知，，． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）因为，所以， 当时，，则在上单调递增； 当时，由可解得：， 由可解得：或. 则在区间上单调递增，在区间，上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，则在区间上单调递增，在区间，上单调递减. （2）当时，要证明，即证明， 因为，所以原不等式可变为，即. 令，则只需证在恒成立即可. . 因为，所以，，，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 因此，当时，. （3）分离参数：，因为，所以. 构造函数，，只需求恒成立即可. 令 当时，且（令，则，故）， 故，所以. 所以在上单调递增，所以， 故，单调递增. 当时，，所以， 故. 因此. 12．设函数，． (1)求证：当时，； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为当时，， 所以在上单调递减， 又， 所以当时，． （2）因为， 所以， 由（1）知，当时，， 所以， 所以在上单调递减， 所以当时，， 因为在上有解， 所以，即， 所以的取值范围是． 13．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明不等式恒成立． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为    ①当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． ②当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，上单调递减，        综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，上单调递减． （2）证明：时，由（1）知在上单调递增，上单调递减， 所以，            要证，即证，即证， 因为，即证            ①当时，成立，符合题意；         ②当时，设，则，所以在上单调递增，要证，即证，即证， 即证，即证，             设在上单调递增，上单调递减．又，所以恒成立，得证． 综上所述，时，． 14．已知函数． (1)当时，讨论函数的极值； (2)已知，函数存在两个极值点，，证明：． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，∴． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． ∴的极小值为，无极大值． （2）解法一  ， ∴，∵有两个极值点，， ∴有两个变号零点，，即方程有两个不相等的实根，， 即方程有两个不相等的实根，． 设，则，易知在上单调递增， ∴，则．设，则直线与函数的图象有两个不同的交点． ∵，∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 不妨设，则．要证，即证， ∵在上单调递增，∴即证， 即证．设， 则， ∴在上单调递增，∴， ∵，∴，即，∴，得证． 解法二  ，∴， ∵有两个极值点，，∴有两个变号零点， 即方程有两个不相等的实根，， 即方程有两个不相等的实根，， 即方程有两个不相等的实根，．（关键：化同构） 设，易知在上单调递增，∴， ∴，，则， 则， 由对数平均不等式得，（对数平均不等式：已知实数，，，则） ∴，则，∴，得证． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $