6.2.2 第1课时 函数的导数与极值（课件PPT）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数的导数与极值，通过图像分析引导学生探究极值点处函数值、导数值及导数符号规律，从具体问题抽象出极值概念和存在条件，构建“问题链—结论形成—基础自测”的学习支架，衔接导数与函数性质的知识脉络。 其特色在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过题型分类（求极值、参数问题、综合应用）和规律方法总结，结合规范答题步骤培养数学运算能力。例如利用导函数符号判断极值，分类讨论含参函数极值，帮助学生深化理解，教师可直接使用结构化内容提升教学效率。

6.2.2　导数与函数的极值、最值 第六章　导数及其应用 第1课时　函数的导数与极值 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 f(x)＜f(x0) 极大值 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 f(x)＞f(x0) 极小值 极值点 极值 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 极大值 极大值 极小值 极小值 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 谢谢观看 栏目导航 第六章　导数及其应用 1 学业标准 素养目标 1．理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点) 2．会利用导数和单调性求函数的极值．(重点) 1．通过学习函数的极值、极值点等概念，培养数学抽象核心素养． 2．借助利用导数求函数的极值，提升逻辑推理、数学运算核心素养． 导学　函数的导数与极值 已知y＝f(x)的图象(如图). [提示]　f′(b)＝f′(c)＝f′(d)＝f′(e)＝0. 　函数y＝f(x)在b，c，d，e点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ [提示]　在b，d点的函数值是这两个点附近的函数值中最大的，而在c，e点的函数值是这两个点附近的函数值中最小的． 　y＝f(x)在b，c，d，e点的导数值是多少？ 　在b，c，d，e附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？ [提示]　在b，d的附近的导数的符号是左正右负，而在c，e点附近的导数的符号是左负右正． ◎结论形成 1．极大值点与极大值 如果函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有______________，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取__________． 2．极小值点与极小值 如果函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有______________，则称x0为函数f(x) 的一个极小值点，且f(x)在x0处取__________． 3．极值 (1)极大值点、极小值点统称为__________． (2)极大值与极小值统称为________． 4．求函数y＝f(x)的极值的方法 (1)如果x0是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有f′(x0)＝0，若f′(x0)＝0存在，则“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的必要条件． (2)设函数f(x)在x0处可导且f′(x0)＝0： ①如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)＞0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)＜0，此时x0是f(x)的__________点，f(x0)是f(x)的__________； ②如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)＜0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)＞0，此时x0是f(x)的__________点，f(x0)是f(x)的__________． [微点睛]　如果f′(x)在x0的左、右两侧附近同号，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)单调递增函数没有极值．(　　) (2)单调递减函数没有极值．(　　) (3)函数的极大值大于函数的极小值．(　　) (4)导数为0的点不一定是函数的极值点．(　　) 解析　由于单调函数没有极值，所以(1)、(2)正确，f(x)＝x3在x＝0处f′(0)＝0，但f(x)＝x3在R上递增，没有极值点，所以(4)正确．函数的极值是一个局部概念，函数的极大值和极小值，没有必然的大小关系，函数的极大值不一定比极小值大，所以(3)错误． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．可导函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在该点取得极值的(　　) A．充分条件　　　　　 B．必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 解析　可导函数y＝f(x)若在x0点取得极值，一定有f′(x0)＝0，反之不成立，如f(x)＝x3在x0＝0处f′(0)＝0，但x0＝0点不是极值点． 故选D. 答案　D 3．函数f(x)＝x＋的极值情况是(　　) A．当x＝1时极小值为2，但无极大值 B．当x＝－1时极大值为－2，但无极小值 C．当x＝－1时，极小值为－2，当x＝1时极大值为2 D．当x＝－1时，极大值为－2，当x＝1时极小值为2 解析　f′(x)＝1－，令f′(x)＝0得x＝±1， 函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，0)和(0，1)上单调递减，所以当x＝－1时取极大值－2.当x＝1时取极小值2. 答案　D 4．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为______． 解析　由f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2. 列表如下． x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  ∴当x＝2时，f(x)取得极小值． 答案　2 题型一　求已知函数的极值(点) 　[教材例2提升]求下列函数的极值． (1)f(x)＝x3－x2－3x＋3； (2)f(x)＝＋3ln x. [解析]　(1)函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3). 令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)， f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 单调递减 －6 单调递增 所以x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点． 所以f(x)极大值＝，f(x)极小值＝－6. (2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 3 单调递增 所以x＝1是函数f(x)的极小点，所以f(x)极小值＝3.f(x)无极大值． 利用导数求函数极值的步骤 [触类旁通] 1．求下列函数的极值． (1)f(x)＝x3－x； (2)f(x)＝x2e－x. 解析　(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－1； 令f′(x)＝0，即3x2－1＝0，解得x＝或x＝－， 当x变化时，f(x)和f′(x)变化情况如下表： x － f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 单调递减 － 单调递增 f(x)在x＝－处取得极大值，在x＝处取得极小值－. (2)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－1)＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，即x(2－x)e－x＝0，解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 0 单调递增 4e-2 单调递减 因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0； 当x＝2时，f(x)取得极大值，且极大值为f(2)＝4e-2＝. 题型二　利用函数极值(点)求参数　(一题多变) 　函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，求a的取值范围． [解析]　f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a＞0，解得a＜1. [母题变式] 1．(变条件、变结论)本例中若函数的极大值点为－1，求a的值． 解析　f′(x)＝x2－2x＋a，由题意f′(－1)＝1＋2＋a＝0， 解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3， 经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值． 2．(变条件)本例中若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围． 解析　由题意，方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2＝a＜0，故a的取值范围是(－∞，0). [素养聚焦]　本题考查含参数的函数的极值问题，提升逻辑推理、数学运算核心素养． (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的必要条件：极值点处的导数值为0；极值点两侧的导数值异号． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立，此时需注意不等式中的等号是否成立． [触类旁通] 2. (1)(2025·安徽合肥高二期中)若函数f(x)＝a ln x＋－，既有极大值又有极小值，则a的取值范围为(　　) A．　　　　　　 B． C．(－∞，8) D．(0，8) (2) (2025·全国二卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________． 解析　(1)f(x)＝a ln x＋－(x＞0)， 则f′(x)＝－＋＝(x＞0)， 函数f(x)既有极大值，也有极小值， 等价于一元二次方程ax2－x＋2＝0在(0，＋∞)上有2个不同的实根， 则解得0＜a＜， 即实数a的取值范围为. (2)由题意有f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a), 所以f′(x)＝(x－a)(x－1)＋(x－1)(x－2)＋(x－a)(x－2)， 因为2是函数f(x)极值点，所以f′(2)＝2－a＝0，得a＝2， 当a＝2时，f′(x)＝2(x－2)(x－1)＋(x－2)2＝(x－2)(3x－4)， 当x∈，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(2，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极小值点，符合题意； 所以f(0)＝－1×(－2)×(－a)＝－2a＝－4. 故答案为－4. 答案　(1)B　(2)－4 题型三　函数极值的综合应用 　已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R. (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程． (2)讨论f(x)的单调性并判断其有无极值，有极值时求出极值． [解析]　(1)由题意f′(x)＝x2－ax， 所以，当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以f′(3)＝3，因此， 曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)， 即3x－y－9＝0. (2)因为f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)， ①a＝0时，f′(x)＝x2≥0，f(x)在R上单调递增； ②a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞a或x＜0， 所以f(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增； 令f′(x)＜0，得0＜x＜a， 所以f(x)在(0，a)上单调递减， 所以当x＝0时，f(x)取到极大值，极大值是f(0)＝0. 当x＝a时，f(x)取到极小值，极小值是f(a)＝－a3； ③a＜0时，令f′(x)＝0，得x1＝a＜x2＝0， 所以f(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减， 所以当x＝a时，f(x)取到极大值， 极大值为f(a)＝－a3， 当x＝0时，f(x)取到极小值，极小值是f(0)＝0. (1)三次函数有极值的充要条件 三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极值⇔导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4b2－12ac＞0. (2)解析式中含有参数的极值的求法 求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论(比如导函数存在零点及零点大小)；二是看 f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论． [触类旁通] 3．函数f(x)＝2x3－6x＋m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．[－4，4] B．(－4，4) C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 解析　由题意可得f′(x)＝6x2－6＝6(x＋1)(x－1)， 当x＜－1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 据此可得函数在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值， 结合题意可得解得－4＜m＜4， 所以实数m的取值范围是(－4，4). 答案　B [缜密思维提能区]　规范答题 利用极值求参数 [典例]　(13分)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值． [审题指导]　→或 →代入导函数验证两侧符号→结果． [规范解答]　因为f(x)在x＝－1时有极值0， 且f′(x)＝3x2＋6ax＋b. 所以即(2分) 解得或(4分) 当a＝1，b＝3时， f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；(7分) 当a＝2，b＝9时， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).(9分) 当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数； 当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，(11分) 所以f(x)在x＝－1时取得极小值． 因此a＝2，b＝9.(13分) 知识落实 技法强化 (1)函数极值的定义． (2)可导函数的极值点与导数之间的关系．　 (1)“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件． (2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同． (3)对于可导函数而言，它的单调递减和单调递增区间的分界点应是其导数符号正负交替的分界点．解题时，按照求函数极值的步骤，要注意表格的使用，利用表格，可使极值点两边的增减性一目了然，便于求极值． $