专题08 导数与函数的零点问题5类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题08 导数与函数的零点问题5类题型归类 目录 典例详解 类型一、由函数的零点数量求参数问题 类型二、利用导数求函数的零点数量 类型三、隐零点问题 类型四、利用函数的零点证明不等式问题 类型五、利用函数的零点比大小 压轴专练 类型一、由函数的零点数量求参数问题 例1.已知函数. (1)若，证明：； (2)令，若函数在区间上恰有一个零点，求k的取值范围； (3)若，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，函数定义域为，则， 易得，下证当时. 要证，需证，即证， 设，则， 当时，，则在上单调递增，故，即，故有； 当时，，则在上单调递减，故，即，故有. 综上可得，当时，恒成立； （2），由可得，即，， 设，则问题转化为函数与在上恰有一个交点. 则，由可得，因，则， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减. 又， 则当时，两函数无交点；当或时，两函数有1个交点；当两函数有2个交点. 故当函数在区间上恰有一个零点时，k的取值范围为或； （3）由（1）知，当时，，即在上单调递减， 因，则，即，也即， 由可得，在（1）中已证，当且仅当时取等， 故有，所以得证. 【变式1-1】已知函数，，. (1)当时，若的图像与轴相切，求的值； (2)当时，若在有一个零点，求的取值范围； (3)设数列满足，.证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，函数， 则 设的图像与轴相切于点， 则， 即，可得，从而， 设，则，令，得， 则时，，则函数单调递减， 时，，则函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值为， 所以方程只有一解，即， 所以； （2）当时，， 则， 当时，，所以函数在单调递增，此时； 所以在上无零点； 当时，令，则， 当时，，则函数在单调递减， 时，，则函数在单调递增， 由于，所以， 且当趋于时，趋于， 所以在有一个零点，符合题意， 综上所述，； （3）由于，则， 由（1），即，则， 所以， 所以， 则，所以， 则， 设，则，令，得， 则时，，则函数单调递增， 时，，则函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值为， 则，所以， 则， 所以 ， 所以. 【变式1-2】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2). 【详解】（1）当时，则， 因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）令，可得， 因为，记，， 原题意等价于在内恰有一个零点， 因为， 当时，则，可知在单调递减， 且，所以在区间上无零点，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，当趋近于时，趋近于， 则，解得； 综上所述：的取值范围为． 【变式1-3】已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求； (3)若函数有且只有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)0 (3) 【详解】（1）由题意得的定义域为，． 当时，，单调递增． 当时，令，得． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由题意得，则，． 设曲线的切点为，由（1）可得． 因为曲线在点处的切线也是曲线的切线， 所以，得 （3）令，得． 因为有且只有两个零点， 所以直线与的图象有且只有两个公共点． 设函数，则．当时，，单调递减， 当0时，，单调递增，则， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为在上单调递增，，， 所以存在，使得． ， 当且仅当时，等号成立. 当时，，当时，，所以， 故的取值范围为． 类型二、利用导数求函数的零点数量 例2.设函数．记，若，试讨论在上的零点个数． 【答案】1 【详解】由已知得，所以. 令，则． 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减. 即在上单调递增，在上单调递减． 当时，. 所以存在，使得. 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为，故函数在上无零点， 又因为，由零点存在定理可得在上有且只有一个零点． 综上所述，当时，函数在上的零点个数为1． 【变式2-1】已知函数，讨论函数的零点个数. 【答案】答案见解析 【详解】由，得, 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以， 据此可画出大致图象如图， 所以①当或时，无零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有两个零点. 【变式2-2】已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)当，且时. （i）求在区间上的零点个数； （ii）将在区间上的所有零点从小到大依次记为，证明：. 【答案】(1) (2)（i）有两个零点；（ii）证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 当时，；当时，， 在区间上单调递增；在区间上单调递减， 在处取得极大值，即的最大值为. （2）（i）当时，， 令函数，则的零点与的零点相同， 只需求在区间上的零点个数即可， 令函数，即， ①当，时， 不难知道，且， ， ∴函数单调递增， ，且， 在区间上存在唯一零点， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 在区间上有唯一零点； ②当时，，且， ，即在区间上无零点； ③当时， 不难知道，且， 则， 即，单调递减， ， 在区间上有唯一零点， 综上所述，在区间上有2个零点. （ii）易知， ， ，令，则，易得在上单调递增，在上单调递减， 所以，， ， . 又， ， 【变式2-3】已知函数的图象在点处的切线与平行． (1)求实数及； (2)求的零点个数； (3)证明：． 【答案】(1)， (2)2个 (3)证明见解析 【详解】（1）由，得， 则，解得，经检验符合题意， 所以． （2）由，得，则， 令，， 则， 令，，显然在上单调递增， 且，，故存在唯一，使， 当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增． 所以， 因为，；，；， 所以在上存在唯一零点，在上存在唯一零点， 从而的零点个数为2，即的零点个数为2． （3）要证，即证，即证， 令，，则， 令， 则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 因此，所以，即， 则在上单调递增， 因为，所以当时，，即， 则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 从而，得证． 类型三、隐零点问题 例3.已知函数． (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，依题意，解得； （2）因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 【变式3-1】已知函数，其中，且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【详解】（1）当时，， ， 所以，即. （2）函数等价于，则即， 令，则转化为的解的个数，， 当时，单调递增；当时，单调递减． 则在处取得极大值，也是最大值， 当时，；当． 当时，，解得，1个零点； 当时，与有1个交点，此时1个零点； 当时，与有2个交点，此时2个零点； 当时，与有2个交点，此时2个零点； 综上，当或时，1个零点；当或时，2个零点． （3）恒成立恒成立． 当时，，不符合题意； 当时，，因为曲线与关于直线对称， 所以. 令， 令，又因为单调递增， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以时，取极小值点，也是最小值， 所以的最小值为，其中， 由，得，即，所以． 综上可得，所以的取值范围是． 【变式3-2】已知函数. (1)若，求在区间上的单调递增区间； (2)若，对，求的取值范围； (3)若，证明：有且只有个极值点. 【答案】(1)和 (2) (3)证明见详解 【详解】（1）当时，函数为，求导得：， 令，即 在区间内，不等式的解为：或， 所以在区间上的单调递增区间为和. （2）当时，函数为，，且； 对求导：， 当时，因为，所以，且，故， 在上单调递增，则，与矛盾，故不成立； 当时，令，得，记， 若，则，故， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 则，与矛盾，故不成立； 当时，，则， 故在上单调递减，，符合条件， 综上，的取值范围为. （3）当时，的定义域为，， 当时，，不等式恒成立； 令，， 当时，，，则在上递减，； 当时，，求导得，令， 求导得，函数在上单调递增，， 函数在上单调递增，，即； ， 当时，，，在上递增，， 当时，令，求导得， 函数在上单调递减，则函数在上单调递减， 而，函数，即在上单调递减， 而，则存在，使得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，，在上单调递减，， 因此当时，（当且仅当时取等号），当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，也是唯一极值点， 所以函数有且只有1个极值点. 【变式3-3】已知函数，为实数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，讨论的零点个数； (3)对，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为． (2)有且仅有一个零点 (3) 【详解】（1）当时，， 由，所以函数的定义域为， 此时，           令，， 所以在上单调递增，即在上单调递增，           因为，所以当时，；当时，，           故的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由， 则， 令，，           在上单调递减，           当时，， 所以在上单调递增， 又因为，所以，即，           所以在上单调递减， 故，故在上无零点，          当时， ， ，显然， 所以，，           当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 又，所以， 当时，， 所以，使得， 所以当时，即，所以单调递增， 当时，即，所以单调递减，           又，所以， 当时，， 所以，使得， 故当时，有且仅有一个零点． （3）由， 整理得， 因为，所以， 故， 所以， 令， 则，           所以在上单调递增，又因为， 所以当时，，； 当时，，； 当时，， 从而对，，当且仅当时等号成立，           即， 所以，从而， 所以的取值范围为：. 类型四、利用函数的零点证明不等式问题 例4.已知函数，其中. (1)证明：在区间上存在唯一的极小值点； (2)若在定义域内不存在零点，求的取值范围； (3)当有两个不同的零点时，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为， ．因为且，所以恒成立，故在上单调递增． 当时，，因为，所以， 从而．任取极小正数，则， 根据零点存在定理，存在使得． 由于单调递增，故是唯一的，且当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增，因此，是在上的唯一极小值点． （2）由（1）可知，在上先减后增，其最小值为， 其中满足．若在定义域内不存在零点，则必有最小值大于0， 即．由可得，即， 故设，其中， 则．因为，所以恒成立， 故在上单调递减. 又，要使得，即， 由单调性可知必须有．令，则． 当时，，故单调递增，因为， 所以，即，也即． 故的取值范围是． （3）由可得，等价于． 不妨令，则，解得，则， 也即．设，． 当时，且，故，函数单调递增； 当时，且，故，函数单调递减． 有两个不同零点，不妨设，则等价于方程有两个不同根， 其中．由的单调性可知0. 要证明，即证明，即． 代入得，即．因为，所以．而， 且在上单调递减。所以等价于． 又是方程的根，满足， 故只需证明对任意成立， 设，其中， 则， . 不妨设，则． 设，其中 因为，所以，且各项系数均为负．故在上恒成立， 即在上单调递减，又， 所以当时，在上单调递减． 又，所以当时，．又，且， 所以，即，则在上恒成立， 在上单调递减．，故， 即．也即，又， 得，且在上单调递减，可得， 即．故成立 【变式4-1】已知函数. (1)证明函数存在唯一零点； (2)的零点为，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为，当时，，（这是因为） 故函数在没有零点； 当时，，易见在上是减函数， 且，故存在，使得在上递增，在上递减， 且， 所以在上存在唯一零点，又，所以在上无零点， 故在上存在唯一零点. （2）注意到，由（1）知存在唯一使得， 即有，故. 令， 令，显然当时，.故在上单调递减， 所以. 【变式4-2】已知函数（）. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数零点个数； (3)若，（）是函数的两个零点，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，则， ，，， 在点处的切线方程为， 即，即. （2）令，因为，所以，， 令，，则， 令，则；令，则或； 的递增区间为，递减区间为和； 是的极小值，是的极大值， 当时，；当时，且， 则的零点个数即为与的交点个数， 当时，与无交点，即函数无零点； 当或时，与有且仅有个交点，即函数有1个零点； 当时，与有个交点，即函数有2个零点； 当时，与有个交点，即函数有3个零点. 综上可得，当时，函数无零点； 当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点. （3）由题意得，， ，，是方程的两个正实数根， 由（2）可知，在上单调递增， 在单调递减，且，要证， 需证，只需证， ，只需证，即需证， 两边取对数，整理得， 令，，则， 在上单调递增，， 成立， 【变式4-3】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程在上有两个不等实根和， ①求m的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析. 【详解】（1）对求导得， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）①令，则，所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为方程在上有两个不等实根和， 所以，故m的取值范围为； ②法一：方程在上有两个不等实根和，不妨设， 则，所以， 所以， 令，则， 所以，即，所以，即， 所以，， 要证，即证，需证， 即证， 令， 则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，所以， 所以. 法二：由①得，不妨设， 构造函数， 即，则， 设，则在上恒成立， 所以函数在在上单调递减， ，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以函数在上单调递减， 故，即， 因为，所以， 即， 又在上单调递增，所以，故. 法三：先证明不等式（且）， 证明如下：假设，原不等式等价于， 即， 令，可得， 可构造函数，由， 所以在上单调递增，又， 即，得， 所以不等式且成立. 由①得，， 将方程两边取对数得方程， 所以方程有两个根 所以，， 作差得，即， . 类型五、利用函数的零点比大小 例5.已知、，且，则（   ） A． B． C． D．无法确定、的大小 【答案】A 【详解】令，则， 当时，，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在定理得， 令，则， 由上面的求解可知在上单调递增， 且存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故的零点，，所以. 故选：A. 【变式5-1】已知函数有两个零点，且，则（   ） A． B． C． D．与无法比较大小 【答案】C 【详解】函数有两个零点，即方程有两个不同的根． 设，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 又因为当时，，当时，，所以． 因为可以趋近于无穷小，所以猜测，下面给出证明． 先证当时，． 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增． 由知，当时，，即，所以． 再证当时，． 令，则． 令，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即， 所以． 所以，所以． 故选：C． 【变式5-2】设函数，，在上的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以在上单调递增， 又因为，所以存在使得， 所以， 因为，，令，解得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又因为， 又，，所以，所以在上单调递增， 又，，所以存在使得，所以最大， 因为，所以， ，， 又， . 故选：B． 一、单选题 1．已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若恒成立，则的取值范围是 C．若有两个零点，则的取值范围是 D．若有两个零点，则 【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为， ， 因为，，令，解得：， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值点，故有1个极值点，故A错误； 对于B，若恒成立，则， 由A选项知，，解得：，故B错误； 对于C，当趋近正无穷，趋近正无穷，当趋近，趋近正无穷， 所以由A选项知要使有两个零点，则， 则，故C正确； 对于D，在和各有一个零点， 所以， 为判断D选项的真伪，下面证明， 要证，即证， 因为，即证， 又因为，故只需证， 即证 即证， 下面证明时，， 设， 则， ， 设， 所以，而， 所以，所以， 所以在单调递增， 即，所以， 令， ， 所以在单调递减， 即，所以； 综上， ，所以.故D错误. 故选：C. 2．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，函数恰有两个零点， 因为当时，， 所以是函数的一个零点， 又当时，由可得， 所以当时，与的图象必有一个交点， 由于， 当时，，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 当时，，则， 当时，， 当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以，函数图象如图： 由图可知，若与，图象必有一个交点，则， 故选：A. 3．已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 因此在区间上有两个零点，可等价转化为与在有两个交点. 设函数，则 ，即. 由恒成立，并且因为，故， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此当时，的最大值为， 又且时，，所以要使函数与函数在上有两个交点，应使， 故选：A. 二、多选题 4．已知函数，则（    ） A．的图象关于点成中心对称 B．当时，有两个极值点 C．对于任意有三个零点 D．当时，在上存在最大值 【答案】AC 【详解】对于A： ， 所以的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B：，令，即， 所以， 所以当时，方程有两个根，即有两个极值点，故B错误； 对于C：由，解得， 显然当时，， 由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 当，所以对于任意有三个零点，故C正确； 对于D：当时，在单调递减，又， 所以在单调递减，故不存在最大值，存在最小值，故D错误； 故选：AC. 5．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，在区间上单调递增 B．当时，在上单调递增 C．当时，是函数的极小值点 D．当时，函数有三个零点 【答案】BCD 【详解】函数，定义域为. . 当时，. 当时，，所以在区间上单调递减，所以A错误. 当时，恒成立，所以在上单调递增，所以B正确. 当时，令，则或. 所以当时，；当或时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以是函数的极小值点，所以C正确. 当时，. 所以当时，；当或时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因为， 所以函数在上各有一个零点，共三个零点，所以D正确. 故选：BCD. 6．已知函数（），则（   ） A． B．的零点个数为1 C．在上存在零点 D．在上单调递减 【答案】BCD 【详解】A：由，错， B：令，则， 所以，则，且， 令，且，所以与的零点相同， 所以， 所以在上单调递增，而， 所以在上存在零点，则在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而，，，故在上存在一个零点， 则在上存在唯一零点，即在上零点个数为1，对， C：由B分析知，在上存在一个零点，对， D：由题意，令且， 所以，即在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 所以在上单调递减，对. 故选：BCD 三、填空题 7．设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，得， 令，则或， 当时，由，得， 所以，则， 当时，由，得， 由，得或， 当时，不存在极值点， 当时，得， 综上，， 所以当时，. 故答案为：（答案不唯一）. 8．函数有个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】解析：函数的零点，即为关于的方程的实根， 将方程化为方程，令，， 由导数知识可知，直线与曲线相切时有， 所以关于的方程有两个不同的实根， 实数的取值范围是. 故答案为：. 9．已知函数有零点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为. 设是在上的零点， 可得，即， 即点在直线上. 可理解为点到原点的距离的平方. 所以原点到直线的距离一定小于等于点到原点的距离， 即在上能成立， 即在上能成立. 令，则， 令，因为，所以解得. 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，， 即的最小值为. 故答案为： 四、解答题 10．已知函数． (1)求函数的极值； (2)函数有两个零点，． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若函数有两个零点为，，证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ⅱ）证明见解析. 【详解】（1）因为（），所以. 当时，在上恒成立，所以在上单调递减，无极值； 当时，由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）（i）. 设，则问题转化为与函数的图象有两个交点. 因为. 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. ，且当时，；；当时，. 所以当时，与函数的图象有两个交点. 所以实数的取值范围为. （ⅱ）由（i）可知，. 由. 设，，则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，当时，. 当时，与函数的图象有两个交点，且. 所以，且. 又，，，， 结合（i），，. 由，由. 所以. 因为，所以，， 所以，即. 11．已知函数. (1)当时，证明：： (2)证明：当时，仅有1个零点；当时，有2个零点. (3)若，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 则. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，即. （2），当时，. 当时，令，得单调递减， 令，得单调递增， 又，函数在处取得极小值， 故在上的唯一零点是 所以当时，仅有1个零点. 当时，令，得单调递减， 令，得单调递增， 因为，所以，则， 又，当时，，所以必存在唯一的，使得， 所以当时，有2个零点. （3）由（1）和（2）知，当时，，此时才有可能成立， 且在上单调递增，在上单调递减，则. 设， 则 ， 所以在上单调递增，则， 所以. 又，所以， 因为在上单调递减，且， 所以. 12．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的极值点的个数； (3)若函数在区间上有唯一零点，证明：. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析； 【详解】（1）当时，函数， 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由函数，. 令，，. ①若时，，所以在上单调递增，且， 即在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，函数无极值点； ②当时，，， 当，所以. 所以函数在上单调递增且有唯一零点， 即函数在上单调递增且有唯一零点， 当；当， 所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点； ③当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减，无极值点. 综上所述：当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点. （3）由（2）可知，当时，函数在上单调递减，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在有唯一的极小值点，且， 要使函数在区间上有唯一零点，所以. 所以， 令，得，即. 再令，， 所以在上单调递增， 且. 所以函数在上有唯一零点， 所以，即. 13．已知函数．有3个零点，且． (1)求a的取值范围； (2)证明： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由，得； 设，则， 令，得或， 所以时，单调递减，； 时，单调递增，； 时，单调递减，； 画出函数的大致图象，如图所示： 由函数的图象，结合题意知，的取值范围是； （2）证明：由（1）知，，设， 则，又，由得，两式相减得， 由对数均值不等式得，所以； 要证，即证， 只需证，即证， 又因为，所以， 所以，只需证； 设，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 所以，即， 由，得成立，命题得证． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 导数与函数的零点问题5类题型归类 目录 典例详解 类型一、由函数的零点数量求参数问题 类型二、利用导数求函数的零点数量 类型三、隐零点问题 类型四、利用函数的零点证明不等式问题 类型五、利用函数的零点比大小 压轴专练 类型一、由函数的零点数量求参数问题 例1.已知函数. (1)若，证明：； (2)令，若函数在区间上恰有一个零点，求k的取值范围； (3)若，证明：. 【变式1-1】已知函数，，. (1)当时，若的图像与轴相切，求的值； (2)当时，若在有一个零点，求的取值范围； (3)设数列满足，.证明：. 【变式1-2】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 【变式1-3】已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求； (3)若函数有且只有两个零点，求的取值范围． 类型二、利用导数求函数的零点数量 例2.设函数．记，若，试讨论在上的零点个数． 【变式2-1】已知函数，讨论函数的零点个数. 【变式2-2】已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)当，且时. （i）求在区间上的零点个数； （ii）将在区间上的所有零点从小到大依次记为，证明：. 【变式2-3】已知函数的图象在点处的切线与平行． (1)求实数及； (2)求的零点个数； (3)证明：． 类型三、隐零点问题 例3.已知函数． (1)若在处的切线斜率为，求； (2)若恒成立，求的取值范围． 【变式3-1】已知函数，其中，且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)若恒成立，求的取值范围． 【变式3-2】已知函数. (1)若，求在区间上的单调递增区间； (2)若，对，求的取值范围； (3)若，证明：有且只有个极值点. 【变式3-3】已知函数，为实数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，讨论的零点个数； (3)对，恒成立，求的取值范围． 类型四、利用函数的零点证明不等式问题 例4.已知函数，其中. (1)证明：在区间上存在唯一的极小值点； (2)若在定义域内不存在零点，求的取值范围； (3)当有两个不同的零点时，证明：. 【变式4-1】已知函数. (1)证明函数存在唯一零点； (2)的零点为，证明. 【变式4-2】已知函数（）. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数零点个数； (3)若，（）是函数的两个零点，证明：. 【变式4-3】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程在上有两个不等实根和， ①求m的取值范围； ②证明：． 类型五、利用函数的零点比大小 例5.已知、，且，则（   ） A． B． C． D．无法确定、的大小 【变式5-1】已知函数有两个零点，且，则（   ） A． B． C． D．与无法比较大小 【变式5-2】设函数，，在上的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若恒成立，则的取值范围是 C．若有两个零点，则的取值范围是 D．若有两个零点，则 2．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知函数，则（    ） A．的图象关于点成中心对称 B．当时，有两个极值点 C．对于任意有三个零点 D．当时，在上存在最大值 5．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，在区间上单调递增 B．当时，在上单调递增 C．当时，是函数的极小值点 D．当时，函数有三个零点 6．已知函数（），则（   ） A． B．的零点个数为1 C．在上存在零点 D．在上单调递减 三、填空题 7．设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为 . 8．函数有个零点，则的取值范围是 . 9．已知函数有零点，则的最小值为 ． 四、解答题 10．已知函数． (1)求函数的极值； (2)函数有两个零点，． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若函数有两个零点为，，证明：． 11．已知函数. (1)当时，证明：： (2)证明：当时，仅有1个零点；当时，有2个零点. (3)若，证明：. 12．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的极值点的个数； (3)若函数在区间上有唯一零点，证明：. 13．已知函数．有3个零点，且． (1)求a的取值范围； (2)证明： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $