专题07 导数与函数的单调性、极值、最值7类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题07 导数与函数的单调性、极值、最值7类题型归类 （压轴题专项训练） 目录 典例详解 类型一、已知函数单调性求参数问题 类型二、已知函数极值或极值点求参数问题 类型三、已知函数最值求参数问题 类型四、函数与导函数图象之间的关系 类型五、利用导数求函数（含参）单调性问题 类型六、利用导数求函数（含参）最值问题 类型七、构造函数的单调性 压轴专练 类型一、已知函数单调性求参数问题 【知识归纳】 1. 导数与函数的单调性 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0． 2.解题步骤 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 例1.已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 ． 【变式1-4】若，为正实数，函数在上单调递增，则的最大值为 ． 类型二、已知函数极值或极值点求参数问题 【知识归纳】 1. 导数与函数的极值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3.解题步骤 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 例2.已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式2-2】若是函数的极值点，则的极小值为 . 【变式2-3】已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 类型三、已知函数最值求参数问题 【知识归纳】 1.求闭区间上连续函数最值的步骤 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线， 那么它必有最大值与最小值． 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 步骤6：比较极值点与、的大小，确定最值. 例3.若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【变式3-1】已知当时，函数取得最小值1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【变式3-2】已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【变式3-3】已知函数，若函数的最大值是2，则的取值范围是 ． 类型四、函数与导函数图象之间的关系 例4.已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 【变式4-1】定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（   ）    A．函数的增区间是， B．函数的减区间是， C．是的极大值点 D．是的极大值点 【变式4-2】已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 【变式4-3】已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 类型五、利用导数求函数（含参）单调性问题 【知识归纳】 1.求连续函数单调性的基本流程： （1）求函数的定义域. （2）求函数的导数. （3）令函数的导数等于0，求根. （4）根据的根把定义域分区间，确定不同区间导数的正负， 进而由导数的正负确定函数单调性. 2.含参问题的基本讨论点： （1）的根的个数（0个、1个、2个）. （2）的根的意义（自身意义、定义域问题）. （3）的根的大小（多根且能因式分解）. （4）在不同区间的正负. 3. 讨论根是否有意义的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，令导数，求根（只有一根）； 步骤3：讨论的根自身是否有意义以及根是否在定义域内； 步骤4：根据根的意义，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 4.讨论根的数量的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根； 步骤3：根据判别式的正负讨论的根的数量； 步骤4：根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 5.讨论根的大小的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数可因式分解为的形式，令导数，求根； 步骤3：讨论的两个根的大小； 步骤4：根据根的大小，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 6.讨论根的大小与根是否有意义的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数可因式分解为的形式，令导数，求根； 步骤3：讨论的两个根的大小，以及是否在定义域内； 步骤4：根据根的大小以及是否在定义域内，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 7.讨论根的数量与根是否有意义的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根； 步骤3：根据判别式的正负讨论的根的数量； 步骤4：确定根的数量之后，用求根公式写出根的表达式，进而利用韦达定理确定根的正负； 步骤5：根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 例5.已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【变式5-1】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若存在正实数，使得成立当且仅当，求的取值范围. 【变式5-2】已知函数．讨论的单调区间. 【变式5-3】已知函数 (1)当时，求函数的最值； (2)讨论函数的单调性． 【变式5-4】已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【变式5-5】已知函数. (1)若函数为增函数，求实数的取值范围； (2)若函数，求函数的单调区间. 类型六、利用导数求函数（含参）最值问题 例6.已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 【变式6-1】已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【变式6-2】已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【变式6-3】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 类型七、构造函数的单调性 【知识归纳】 定理1：； 定理2：当时，； 定理3：； 定理4：由于； 定理5：正弦同号，余弦反号定理 ；当 定理6： 例7.函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为　　 A． B． C．，或 D．，或 【变式7-1】若定义在上的函数满足，，则不等式为自然对数的底数）的解集为　　 A． B．，， C．，， D． 【变式7-2】已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是　　 A． B． C． D． 一、单选题 1．已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数是上的增函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．  B．  C．   D．   5．已知函数的导函数的图象如下图所示，则（   ） A．函数的图象在处的切线斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．当时，函数取得极值 D．当时，函数取得极值 6．已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 三、填空题 7．若函数的最小值为1，则实数a的取值范围为 . 8．已知函数为其一个极值点，且，则 ． 9．已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 10．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值． 11．已知函数 (其中为常数)． (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数在上的最小值． 12．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间． 13．已知函数，． (1)当，求的极值； (2)当时，讨论的单调性． 14．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值为，求实数m的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 导数与函数的单调性、极值、最值7类题型归类 （压轴题专项训练） 目录 典例详解 类型一、已知函数单调性求参数问题 类型二、已知函数极值或极值点求参数问题 类型三、已知函数最值求参数问题 类型四、函数与导函数图象之间的关系 类型五、利用导数求函数（含参）单调性问题 类型六、利用导数求函数（含参）最值问题 类型七、构造函数的单调性 压轴专练 类型一、已知函数单调性求参数问题 【知识归纳】 1. 导数与函数的单调性 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0． 2.解题步骤 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 例1.已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 由在上单调递增，得不等式 在上恒成立，令， 而在上单调递增，则函数在上单调递增， 因此在上恒成立， 令函数，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，因此， 所以实数a的最大值为. 故选：B 【变式1-2】若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则只需即可， 当时，由反比例函数的性质得单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是， 故选：B 【变式1-3】若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 由题意可知：在区间有解，整理得， 即不等式 在区间 内有解，因为 ，所以 ， 要使 在 内有解，需 小于 的上界，即 ， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1-4】若，为正实数，函数在上单调递增，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】求导得：.已知，为正实数，函数在上单调递增，故对所有恒成立. 当时，，此时需要； 当时，，此时需要； 当时，，此时等式成立. 特别地，当时，，此时必须满足，即. 综合可得为临界点，此时： 求最大值：将b代入，得. 设，求导：. 令：，. 故 当时，，函数递增； 当时，，函数递减; 所以时，取得最大值：. 故答案为：. 类型二、已知函数极值或极值点求参数问题 【知识归纳】 1. 导数与函数的极值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3.解题步骤 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 例2.已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 【变式2-1】若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】， 当时，恒成立，单调递增，无极值点，所以. 所以为的极大值点，或为的极大值点. 因为，所以不是的极大值点， 为的极大值点，且，， 解得. 故选:C. 【变式2-2】若是函数的极值点，则的极小值为 . 【答案】 【详解】由函数， 可得， 因为是函数的极值点，可得，解得， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为. 故答案为：. 【变式2-3】已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数，可得 令，即， 因为函数有两个极值点，可得在内有两个不等实根， 所以由一元二次方程根的分布知，，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 类型三、已知函数最值求参数问题 【知识归纳】 1.求闭区间上连续函数最值的步骤 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线， 那么它必有最大值与最小值． 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 步骤6：比较极值点与、的大小，确定最值. 例3.若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 【变式3-1】已知当时，函数取得最小值1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】当时，函数取得最小值1， 则，，，， 所以，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在时取到最小值，符合题意， 则，，所以. 故选：D. 【变式3-2】已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 . 【答案】 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 【变式3-3】已知函数，若函数的最大值是2，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意有：当时，，所以当时，， 当时，，所以， 令有：或，由或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，令，即， 解得或，所以，    要使当时，，只需，即， 故答案为：. 类型四、函数与导函数图象之间的关系 例4.已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【详解】由图像可知，当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，A错误； 当时，，所以. 所以，所以在上为增函数， 当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误； 因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确； 故选：D. 【变式4-1】定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（   ）    A．函数的增区间是， B．函数的减区间是， C．是的极大值点 D．是的极大值点 【答案】C 【详解】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值. 故ABD错误，C正确． 故选：C． 【变式4-2】已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 【答案】D 【详解】由图可知，当时，，所以在上单调递减，故AC错误； 而在区间上单调递增，在上单调递减，故B错误， 所以在处取得极大值，故D正确. 故选：D 【变式4-3】已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 类型五、利用导数求函数（含参）单调性问题 【知识归纳】 1.求连续函数单调性的基本流程： （1）求函数的定义域. （2）求函数的导数. （3）令函数的导数等于0，求根. （4）根据的根把定义域分区间，确定不同区间导数的正负， 进而由导数的正负确定函数单调性. 2.含参问题的基本讨论点： （1）的根的个数（0个、1个、2个）. （2）的根的意义（自身意义、定义域问题）. （3）的根的大小（多根且能因式分解）. （4）在不同区间的正负. 3. 讨论根是否有意义的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，令导数，求根（只有一根）； 步骤3：讨论的根自身是否有意义以及根是否在定义域内； 步骤4：根据根的意义，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 4.讨论根的数量的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根； 步骤3：根据判别式的正负讨论的根的数量； 步骤4：根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 5.讨论根的大小的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数可因式分解为的形式，令导数，求根； 步骤3：讨论的两个根的大小； 步骤4：根据根的大小，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. 6.讨论根的大小与根是否有意义的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数可因式分解为的形式，令导数，求根； 步骤3：讨论的两个根的大小，以及是否在定义域内； 步骤4：根据根的大小以及是否在定义域内，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 7.讨论根的数量与根是否有意义的步骤 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根； 步骤3：根据判别式的正负讨论的根的数量； 步骤4：确定根的数量之后，用求根公式写出根的表达式，进而利用韦达定理确定根的正负； 步骤5：根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 例5.已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分、分别讨论即可. 【详解】（1）若，则， 所以．又， 所以， 故曲线在处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，． 当时，， 故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式5-1】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若存在正实数，使得成立当且仅当，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题可得. 令，则， 当时，，此时，，故在上单调递减； 当时，，记两根为，， 此时，，则两根均为负，得， 故在上单调递减； 当时，，此时，，则两根均为正，且， 故或时，，在、上单调递减， 时，，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. （2）注意到. 若，则在上单调递减， 当时，，当时，， 所以成立当且仅当，结论成立； 若，，，在上单调递增，从而有，， 时，，由零点存在定理，知，使得， 当时，，当时，，当时，， 故不存在满足条件的区间. 综上，的取值范围为. 【变式5-2】已知函数．讨论的单调区间. 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】由题意得的定义域为，且， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式5-3】已知函数 (1)当时，求函数的最值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)最小值为，无最大值． (2)答案见解析. 【详解】（1）由题可知，函数定义域为，当时，， ，令， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为，无最大值． （2）． 当时，当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上恒成立，函数在上单调递减； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，， 令，得或，令，得， 函数在和上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增． 【变式5-4】已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，则， 可得，解得. （2）由（1）可知， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时， 令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； ②当，即时，则，可知在上单调递减； ③当，即时，令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式5-5】已知函数. (1)若函数为增函数，求实数的取值范围； (2)若函数，求函数的单调区间. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）因为为增函数，所以在上恒成立， 所以，则，可得. （2）， 所以， 当时，则增区间为，无减区间； 当时，令，则或，令，则， 所以增区间为和，减区间为； 当时，令，则或，令，则， 所以增区间为和，减区间； 综上： 当时，增区间为和，减区间为； 当时，增区间为，无减区间； 当时，增区间为和，减区间为. 类型六、利用导数求函数（含参）最值问题 例6.已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值； (2)答案见解析. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，即，解得，可得，，的变化如下表所示， 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，无极大值 （2）为增函数， ①当时，在上，函数单调递增， 此时； ②当时，令解得 若，即，在上，函数单调递增， 此时； 若，即，在上，，的变化如下表所示， － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 此时； 若，即，在上，函数单调递减， 此时； 综上所述，当时取得最小值， 当时，取得最小值， 当时取得最小值. 【变式6-1】已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【详解】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时，在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时，)在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 【变式6-2】已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)答案见解析. 【详解】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 【变式6-3】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)单调递增区间为，，单调减区间为 (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，， 令，解得或 当变化时，和的变化情况如表所示： 0 4 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 所以函数的单调递增区间为，，单调减区间为. （2），令，解得或 当时， 若，则，所以在区间上单调递增， 此时 当时， 若，则，所以在区间上单调递增， 若，则，所以在区间上单调递减； 此时 当时， 若，则，所以在区间上单调递减； 此时 综上所述，当时，； 当时，； 当时， 类型七、构造函数的单调性 【知识归纳】 定理1：； 定理2：当时，； 定理3：； 定理4：由于； 定理5：正弦同号，余弦反号定理 ；当 定理6： 例7.函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为　　 A． B． C．，或 D．，或 【答案】 【解析】解：令，则， ， ， ，即在上单调递减， 又，， 故当时，，即，整理得， 的解集为． 故选：． 【变式7-1】若定义在上的函数满足，，则不等式为自然对数的底数）的解集为　　 A． B．，， C．，， D． 【答案】A 【解析】解：不等式可化为 ； 令， 则 ； ， ； 故在上是增函数， 又； 故当时，； 故的解集为； 即不等式为自然对数的底数）的解集为； 故选：． 【变式7-2】已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：构造函数， 则， 对任意的，满足， ，即函数在，单调递增， 对于，，即， ，即，故正确； 对于C，，即， ，故C正确； 对于D，，即， ，故D正确； 由排除法， 故选：． 一、单选题 1．已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在上单调递减，所以在上恒成立． 因为，所以，即恒成立． 令，则． 令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即． 故选：A. 2．已知函数是上的增函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以， 因为是上的增函数，则恒成立， 即恒成立， 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，等价于对恒成立， 则，即，则， 设，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即的最小值是. 故选：B. 3．已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，两边同时求导，即是奇函数， 令， 则，可得， 令， 可得， 易知，当且仅当时，等号成立； 即函数在上单调递减，又是奇函数，可得, 当时，,单调递增，当时，,单调递减， 因函数是偶函数，则， 可知不等式等价于，即， 即，即可得，解得或, 故选：D. 二、多选题 4．设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【详解】对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确； 对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误. 故选：ABC. 5．已知函数的导函数的图象如下图所示，则（   ） A．函数的图象在处的切线斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．当时，函数取得极值 D．当时，函数取得极值 【答案】BC 【详解】由图可知，所以函数的图象在处的切线斜率大于零，所以Ａ错误. 当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增，所以Ｂ正确. 由图可知，在的附近，当时，；当时，. 即是的一个变号零点，所以在处取得极值.所以Ｃ正确. 在的附近，恒成立，所以单调递增，所以不是的极值点，所以Ｄ错误. 故选：BC. 6．已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 【答案】ACD 【详解】根据的图象，可得： 当时，恒成立，所以在上单调递增，所以A正确； 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不是函数的最小值，所以B不正确； 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增. 所以函数仅在处有极大值，所以C正确. 由函数的单调性，知函数图象与直线最多有三个交点，所以至多有3个零点，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．若函数的最小值为1，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】， 令，原式可化为，， 当，，单调递增；当，，单调递减， 则时，取得最小值1，所以有解，即有解. 记，， 当，，在单调递增， 当，，在单调递减. 故，且当，，，， 所以，得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 8．已知函数为其一个极值点，且，则 ． 【答案】4 【详解】由，求导得， 为其一个极值点，，解得， ，此时， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以满足条件，又， ，解得． 故答案为：4． 9．已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，令，即， 解得或， 要使函数在上既有最大值，又有最小值， 则必须满足两个极值点都在内，且极值点处的函数值必须为区间内的最大值和最小值； 若，此时，则需要，解得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即， 解得， 所以； 若，此时，则需要，解得； 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即，无解； 若，则恒成立，所以函数在上单调递增， 无最大值和最小值， 综上所述：的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 10．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）的定义域为 ， 求导数，得 ， 若，则，此时在上单调递增， 若，则由得，当时，，在上单调递减， 当时， ，在上单调递增， 综上，当，的增区间为，无减区间， 若，减区间为，增区间为. （2）由（1）知，当时，在区间上为增函数， 函数的最大值为， 当时，在区间上为减函数， 函数的最大值为， 当时，在区间上为减函数，在上为增函数， 函数的最大值为， 由，得， 若时，函数的最大值为， 若时，函数的最大值为， 综上，当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 11．已知函数 (其中为常数)． (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为 (2)答案见解析 【详解】（1） 令解得，所以的单调递增区间为 令解得，所以的单调递减区间为 （2） ①当时，在上单调递增，； ②当时，在上单调递增，； ③当时，令和分别解得和， 则在上单调递减，单调递增，所以； ④当时，在上单调递减. 综上所述：当时，； 当时，； 当时，. 12．已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)设函数，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题知，的定义域为， 则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为， 即. （2）由题知，， 其定义域为， 则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，令，，令，， 此时在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，递减区间为. 13．已知函数，． (1)当，求的极值； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)答案见解析 【详解】（1）时，，（） 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故，且无极大值． （2）（） （i）当，时，，，单调递减； （ii）当，时，，，单调递减； 时，，，单调递增． 综上，时，的减区间是，无增区间； 时，的减区间是，增区间是． 14．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值为，求实数m的值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）由题可得定义域为：.. 若，则在上单调递增； 若，则， 从而在上单调递减；在上单调递增. 综上，时，的单调增区间为；时，的单调减区间为，单调增区间为； （2）由（1），若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符； 若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时，符合假设. 若，则在上单调递减， 则此时，这与假设不符. 综上可得，实数m的值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $