专题06 导数与函数的切线问题6类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题06 导数与函数的切线问题6类题型归类 目录 典例详解 类型一、求函数在某点的切线问题 类型二、求函数过某点的切线问题 类型三、已知切线方程求参数问题 类型四、已知切线数量求参数问题 类型五、公切线问题 类型六、利用切线求距离最值问题 压轴专练 类型一、求函数在某点的切线问题 【知识归纳】 1. 导数与切线斜率、倾斜角的关系 （1）. （2）为切线，为切线倾斜角，为切线上异于的一点. 2. 已知切点求切线方程的步骤 若已知函数与切点，不知斜率。 此时,利用点斜式写出切线方程 步骤1：求，得切点. 步骤2：求导数，得. 步骤3：写切线方程. 例1.函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数，则函数在处的切线方程是 . 【变式1-3】已知，则在处的切线方程为 . 类型二、求函数过某点的切线问题 【知识归纳】 1. 求函数过某点的切线核心原理 函数在切点处的导数，就是切线的斜率； 切线过切点和定点，因此斜率也可表示为​​； 联立和​​，解出切点横坐标​，再代入点斜式即可。 2. 通用解题步骤（无论点是否在曲线上） （1）设切点：设切线与曲线的切点为（未知量为​）； （2）求导得斜率：求的导数，则切线斜率； （3）列斜率等式：由切线过和，得​​，因此有核心方程： （4）解方程求：解上述方程，得到的解（可能 1 个、2 个或无解，对应切线的条数）； （5）写切线方程：将每个​代入，得切点和斜率， 用点斜式写切线方程，化简为斜截式/一般式即可. 例2.过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-1】设曲线的一条切线过点，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为 . 【变式2-3】过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 类型三、已知切线方程求参数问题 例3.已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式3-1】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式3-2】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为 ． 【变式3-3】已知曲线在处的切线方程为，则 ． 类型四、已知切线数量求参数问题 【知识归纳】 1.利用函数过某点的切线的数量求参数的思路 若已知函数过平面上一点， 且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考类型二， 设切点，此时, 由切点与斜率写出切线方程， 再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 2.求参数的两个常见方法 （1）参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得， 求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量. （2）判别式法求参数范围：对于二次方程， 判别式，由判别式得方程的解的数量. 3.解题步骤 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3； 步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 例4.若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为 . 【变式4-3】若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 类型五、公切线问题 【知识归纳】 求函数和的公切线. 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为； 步骤2：求导数与，得函数的斜率 ， 函数的斜率； 步骤3：函数的切线， 函数的切线； 步骤4：化简得，； 步骤5：对比得，联立解方程得公切线. 例5.若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【变式5-2】已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 【变式5-3】已知直线是曲线与的公切线，则 ． 类型六、利用切线求距离最值问题 【知识归纳】 “曲线与直线距离型” 最值（转化为切线纵截距） 核心思路：求函数上的点到直线的最短 / 最长距离， 等价于求与已知直线平行的曲线切线，切点到已知直线的距离即为最值（平行线间距离）. 例6.函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】函数图象上一点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知在函数的图像上，在直线上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 一、单选题 1．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 2．若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 6．下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（ ） （） A． B． C． D． 7．记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，可作1条切线 B．若，，可作0条切线 C．若，，可作3条切线 D．若，，可作2条切线 三、填空题 8．函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围 . 9．若直线是函数的一条切线，则的最小值为 . 10．若直线是曲线（且）的一条切线，则 ． 四、解答题 11．（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 12．已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 13．已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明：（1）中直线与函数的图象也相切. 14．已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数与函数的切线问题6类题型归类 目录 典例详解 类型一、求函数在某点的切线问题 类型二、求函数过某点的切线问题 类型三、已知切线方程求参数问题 类型四、已知切线数量求参数问题 类型五、公切线问题 类型六、利用切线求距离最值问题 压轴专练 类型一、求函数在某点的切线问题 【知识归纳】 1. 导数与切线斜率、倾斜角的关系 （1）. （2）为切线，为切线倾斜角，为切线上异于的一点. 2. 已知切点求切线方程的步骤 若已知函数与切点，不知斜率。 此时,利用点斜式写出切线方程 步骤1：求，得切点. 步骤2：求导数，得. 步骤3：写切线方程. 例1.函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， 则切线方程为，整理得． 故选：D． 【变式1-1】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得，所以所求切线的斜率， 所以所求切线的方程为，即. 故选：B. 【变式1-2】已知函数，则函数在处的切线方程是 . 【答案】 【分析】求得，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果. 【详解】由题可得：，所以，解得：, 所以， 则函数在处的切线方程是，即; 故答案为： 【变式1-3】已知，则在处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由，得，令，则，解得，所以， 所以在处的切线方程的斜率为， 又， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 类型二、求函数过某点的切线问题 【知识归纳】 1. 求函数过某点的切线核心原理 函数在切点处的导数，就是切线的斜率； 切线过切点和定点，因此斜率也可表示为​​； 联立和​​，解出切点横坐标​，再代入点斜式即可。 2. 通用解题步骤（无论点是否在曲线上） （1）设切点：设切线与曲线的切点为（未知量为​）； （2）求导得斜率：求的导数，则切线斜率； （3）列斜率等式：由切线过和，得​​，因此有核心方程： （4）解方程求：解上述方程，得到的解（可能 1 个、2 个或无解，对应切线的条数）； （5）写切线方程：将每个​代入，得切点和斜率， 用点斜式写切线方程，化简为斜截式/一般式即可. 例2.过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】由，得为偶函数， 故过原点作的两条切线一定关于y轴对称． 当时，，则， 设切点为，故，解得或（舍）， 所以切线斜率为1，从而切线方程为． 由对称性知：另一条切线方程为． 故选：A 【变式2-1】设曲线的一条切线过点，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点为 ， 可得切线方程为， 切线过点， ， ，， 切线方程为， 故其于轴截距为，于轴截距为 故此切线与坐标轴围成的三角形面积为： 三角形面积为. 故选：C. 【变式2-2】已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为 . 【答案】 【详解】设切点坐标为，则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，解得，所以切线方程为. 故答案为： 【变式2-3】过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 【答案】/ 【详解】由，得，，化简得，， 则，设切点为，显然不在曲线上， 则，解得，则切点坐标为. 故答案为： 类型三、已知切线方程求参数问题 例3.已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 【变式3-1】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 【变式3-2】已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为 ． 【答案】 【详解】由直线与切线垂直可得切线斜率， 又，即， 所以，解得得， 即切点坐标为， 故切线方程为，整理得：. 故答案为： 【变式3-3】已知曲线在处的切线方程为，则 ． 【答案】1 【详解】点在切线上，即， ， 点处的切线为，则斜率为1，函数求导得， ， ． 故答案为：1． 类型四、已知切线数量求参数问题 【知识归纳】 1.利用函数过某点的切线的数量求参数的思路 若已知函数过平面上一点， 且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考类型二， 设切点，此时, 由切点与斜率写出切线方程， 再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 2.求参数的两个常见方法 （1）参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得， 求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量. （2）判别式法求参数范围：对于二次方程， 判别式，由判别式得方程的解的数量. 3.解题步骤 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3； 步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围. 例4.若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D 【变式4-1】已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点坐标曲线在处的切线斜率为， 又切线过点切线斜率为，，即， ∵过点可作曲线的三条切线，方程有3个解． 令，则图象与轴有3个交点，的极大值与极小值异号，，令，得或2， 或时，，时，，即在及上递增，在上递减，是极大值，是极小值， ,即，解得， 故选：D. 【变式4-2】若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】设点为曲线上一点，则 又，则， 则曲线在点处的切线方程为 ，又切线过点， 则，即 令，则， 则时，单调递减； 时，单调递增； 时，单调递减， 则时取得极小值，时取得极大值， 又， 当时，恒成立，时，， 又由题意得方程有3个根， 则与图像有3个交点，则. 则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为.      故答案为： 【变式4-3】若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 类型五、公切线问题 【知识归纳】 求函数和的公切线. 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为； 步骤2：求导数与，得函数的斜率 ， 函数的斜率； 步骤3：函数的切线， 函数的切线； 步骤4：化简得，； 步骤5：对比得，联立解方程得公切线. 例5.若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 【变式5-1】若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【答案】D 【详解】解：因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， ，设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D 【变式5-2】已知直线是曲线和的公切线，则的值为 . 【答案】 【详解】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为： 【变式5-3】已知直线是曲线与的公切线，则 ． 【答案】1 【详解】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故， 解得 ， 故 故答案为：1 类型六、利用切线求距离最值问题 【知识归纳】 “曲线与直线距离型” 最值（转化为切线纵截距） 核心思路：求函数上的点到直线的最短 / 最长距离， 等价于求与已知直线平行的曲线切线，切点到已知直线的距离即为最值（平行线间距离）. 例6.函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，令，即， 令，，恒成立， 故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点， 令，，即切点横坐标为， 代入，切点坐标为，切线方程为：， 切线与直线之间的距离. 故选：C 【变式6-1】函数图象上一点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为． 因为，所以，解得，则切点坐标为． 最短距离为点到直线的距离，即． 故选：C 【变式6-2】若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为， 由函数，可得， 令，可得，负值舍去， 又， 所以平行于直线且与曲线相切的直线与曲线的切点坐标为． 点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为. 故选：C． 【变式6-3】已知在函数的图像上，在直线上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】设函数上在点的切线恰与直线平行， 由，可得，则， 所以，解得， 所以的最小值为点到直线的距离. 故选：A 一、单选题 1．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 2．若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由函数，可得，所以且， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由，可得， 设切线与曲线相切的切点为，则， 解得，所以，解得. 故选：C. 3．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 当时，，此时， 所以， 求导可得， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：C. 4．已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 由倾斜角的范围，解得. 故选：D 二、多选题 5．设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】BC 【详解】设为直线上任意一点， 过点作的切线，切点为， 则函数图象在点B处的切线方程为， 即，   整理得，， 解得1或 当时，，方程仅有一个实根，切线仅可以作1条； 当时，，方程有两个不同实根，切线可以作2条. 故选：. 6．下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（ ） （） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由，可得，无解，所以A不符合题意； 对于B，由，可得，有解，所以B符合题意； 对于C，由，可得，有解，所以C符合题意； 对于D，由，可得，有解，所以D符合题意. 故选：BCD. 7．记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，可作1条切线 B．若，，可作0条切线 C．若，，可作3条切线 D．若，，可作2条切线 【答案】BCD 【详解】曲线如图实线部分，不妨补全下方图象，    显然，曲线的切线必在其“凸面”，即单独对而言，在时不可作切线，在时不可作切线，而在其“凹面”能作条切线，    因此在区域内和都不可作切线， 因为在处切线为， 所以又可分为三个区域，在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在， 而若在下方，上方， 若，则两切点都在上，    若，则两切点都在上，    对，根据对称性也有类似结论， 回到题目中，可分为如图的个区域，区域不可作切线，    由于区域和在的“凹面”，故在段必不可作切线， 由于区域在上方，区域在下方， 所以在上区域可作条切线，区域可作条切线， 根据对称性，区域和区域在的“凹面”， 所以在必不可作切线，区域在下方，区域在上方， 所以在上，区域可作条切线，区域不可作切线， 同理，区域在，的“凸面”，又在上侧，上侧， 所以在可作条切线，在可作条切线， 所以区域可作条切线，由对称性知区域仅在作条切线， 最后，区域在可作条切线，在可作条切线， 对于A选项，因为，， 所以区域内可作一条切线，而区域可作条切线，故A错误； 对于B选项，因为，， 所以在区域，可作条切线，故B正确； 对于C选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故C正确； 对于D选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 8．函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围 . 【答案】 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 9．若直线是函数的一条切线，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】设切点为，，， 函数的切线方程为， 即， 又直线是函数的一条切线，， 由，得，故，， 联立，， ，当且仅当时取等号. 故答案为： 10．若直线是曲线（且）的一条切线，则 ． 【答案】 【详解】设切点坐标为，曲线， 求导得， 由题知， 显然，即， ，得， 即，则， 即，代入， 化简得，即，即 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，故， 故． 故答案为：． 四、解答题 11．（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2），，又， 设公共点为，由题意，解得，则， 从而，所以． 12．已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 【答案】(1). (2). 【详解】（1）解：因为，所以的图象在处切线的斜率为. 又，所以的图象在处的切线方程为， 则，故的面积为. （2）解：设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，则 由点在切线上，得； 由点在切线上，得. 故，解得. 故. 13．已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明：（1）中直线与函数的图象也相切. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知，，∴切线的斜率为1 ∴切线方程为 （2）设为函数图象上一点 令点处切线斜率为1，则， 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，不符合题意 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，即直线 ∴直线与函数的图象相切 14．已知函数. (1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数和有公切线，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，当时，设， 则， ， 令，得（舍负） 在上单调递减，在上单调递增， . 根据题意的取值范围为. （2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线， 则， ，代入 得. 问题转化为：关于的方程有解， 设，则函数有零点， ，当时， . 问题转化为：的最小值小于或等于0. ， 设，则 当时，，当时，. 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为. 由知， 故. 设， 则， 故在上单调递增， 当时，， 的最小值等价于. 又函数在上单调递增， . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $